2021 届高二期中考试数学（文）试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求集合 ，然后求 .
【详解】因为 ，所以 ，选 B.
【点睛】本题考查了集合的交集.
2.命题“存在 ， 的否定是（ ）
A. 不存在 ，
B. 存 ，
C. 对任意的 ，
D. 对任意的 ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题的有关知识，选出正确选项.
【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，主要到要否定结论，故只有 D 选项符合.
故选：D.
【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题.
3.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧
度数是 ( )
A. B. C. - D. -
【答案】B
在
{ }1,0,1A = − { }2 1xB x= ≤ A B =
{ }1,0,1− { }1,0− { }0,1 { }1,1−
B A B
{ }0B x x= ≤ { }1,0A B∩ = −
Rx∈ 2 1 0x x+ + ≤
Rx∈ 2 1 0x x+ + >
Rx∈ 2 2 0x x+ + ≥
Rx∈ 2 1 0x x+ + ≤
Rx∈ 2 1 0x x+ + >
π
3
π
6
π
3
π
6【解析】
【分析】
由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为 ．
【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转 弧度.
故选 B.
【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题．
4.平面向量 与 的夹角为 60°，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. 19 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平方再开方的方法化简所求表达式，结合向量数量积的运算求得所求表达式的值.
【 详 解 】 依 题 意
.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查平面向量模的求法，考查平面向量数量积的运算，属于基础题.
5.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 的单调性判断 的大小关系，由 判断出三者的大小关系.
【详解】由 ， ， ，则 .故选 C.
【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基
础题.
6
π
π
6
a b 3 0( )a = ， 1b = 2a b+ =
3 19 2 3
2a b+ = 2 22( 2 ) 4 4a b a a b b+ = + ⋅ +
9 4 3 1 cos60 4 19= + × × × + =
3a e= 3 3log 5 log 2b = − 2ln 3c = a b c
a c b> > b c a> >
c a b> > c b a> >
3logy x= ,a b 1a c< <
3log 1a e= < 3 3
5log log2b ae= < = ln3 1c = > c a b> >6.函数 零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用零点存在性定理计算 ，由此求得函数零点所在区间.
【详解】依题意可知 在 上为增函数，且 ， ，
，所以函数零点在区间 .
故选：C.
【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，属于基础题.
7.甲、乙两班在我校举行 “勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7 位评委的评分情况如茎叶图
所示，其中甲班成绩的中位数是 81，乙班成绩的平均数是 86，若正实数 a、b 满足：a，G，b
成等差数列且 x，G，y 成等比数列，则 的最小值为（ ）
A. B. 2 C. 8 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目所给中位数和平均数，求得 的值，根据等差中项和等比中项的性质求得 的关
系式，进而利用基本不等式求得所求表达式的最小值.
【详解】由于甲班成绩的中位数是 ，乙班成绩的平均数是 ，结合茎叶图可知， ，
，解得 .由于正实数 a、b 满足：a，G，b 成等
的
( ) 3 lgf x x x= − +
( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4
( ) ( ) 0f a f b⋅ <
( )f x ( )0, ∞+ ( )2 lg 2 1 0f = − < ( )3 lg3 0f = >
( ) ( )2 3 0f f⋅ < ( )2,3
1 4
a b
+
4
9
9
4
,x y ,a b
81 86 1x =
76 80 82 80 91 93 96 867
y+ + + + + + + = 4y =差 数 列 且 x ，G ，y 成 等 比 数 列 ， 所 以 ， 即 . 所 以
.
故选：D.
【点睛】本小题主要考查茎叶图的识别，考查平均数、中位数的概念，考查等差中项、等比
中项的性质，考查利用基本不等式求最值的方法，属于中档题.
8.函数 图像的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值对图像进行排除，由此得出正确选项.
【 详 解 】 由 于 函 数 的 定 义 域 为 ， ，
，所以函数 为偶函数，图像关于 轴
对称，故排除 D 选项.而 ，排除 C 选项， ，由于 ，所以
，而 ，由此排除 A 选项.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.
2
2G a b
G xy
= +
=
2
4, 42
a b a b
+ = + =
( ) ( )1 4 1 1 4 1 4 1 4 1 95 5 2 5 44 4 4 4 4
a b a ba ba b a b b a b a
+ = ⋅ + + = + + ≥ + ⋅ = + =
2( ) 1 sin1 xf x xe
= − +
( )f x R ( ) 1 sin1
x
x
ef x xe
−= ⋅+
( ) ( ) ( )1 1sin sin1 1
x x
x x
e ef x x x f xe e
−
−
− −− = ⋅ − = ⋅ =+ +
( )f x y
( )0 0f = π
2
π 2 12 1
f
e
= − +
π
21 2e+ >
π
2
π 2 1 02 1
f
e
= − > 24y x= 1
2
2 2
13 4
x y+ =
2 2
112 16
x y+ =
2
2128 32 13
x y+ =
2
2256 64 13
x y+ =
1
2
1
4
= 1
16
1
16
1
16
1
2
1
2
c
a
= 1
8
2 2 3
16a c= − =
2 2
3
256
11
64
x y+ =
3 1 2+ +
A
B A B【解析】
【分析】
事件 与事件 不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得
到答案.
【详解】事件 与事件 不能同时发生，是互斥事件
他还可以选择化学和政治，不是对立事件
故答案选 A
【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.
11.圆柱的侧面展开图是一个面积为 的正方形，该圆柱内有一个体积为 V 的球，则 V 的最
大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方形的面积计算出圆柱的底面直径和高，由此求得圆柱内最大球的半径，进而求得体
积.
【详解】设圆柱的底面直径为 ，高为 ，则 ，解得 .故圆柱的底面直径
为 ，高为 ，所以圆柱内最大球的直径为 ，半径为 ，其体积为 .
故选 A.
【点睛】本小题主要考查圆柱侧面展开图有关计算，考查圆柱内的最大球的体积的求法，属
于基础题.
12.已知锐角 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ，三角形 ABC 的面积
，则 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
A B
A B
216π
32
3
π 432
3
π 256
3
π 4256
3
π
2r l 2 2
2π
16π
r l
l
=
=
2
4π
r
l
=
=
4 4π 4 2 34π 32π23 3
× =
ABC 1c =
1ABCS =△
2 2a b+ ( )
17 ,2
+∞
( )9,+∞ 17 ,92
17 ,92
【分析】
因为三角形为锐角三角形，所以过 C 做 于 D，D 在边 AB 上，根据面积算出
，再根据勾股定理表示出 ，由二次函数知识可求得．
【详解】因为三角形为锐角三角形，所以过 C 作 于 D，D 在边 AB 上，如图：
因为： ，所以 ，
在三角形 ADC 中， ，
在三角形 BDC 中， ，
， ，
．设 结合二次函数的性质得到：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角函数的应用以及二次函数的值域，最值问题；题目难度中等.这个题
目考查了二元问题的应用，一般采用的是二元化一元.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
13.不等式 的解集为________.
【答案】
【解析】
CD AB⊥
2CD = 2 2a b+
CD AB⊥
1 12S ABC AB CD= ⋅ =
2CD =
2 2 2 4AD AC CD b= − = −
2 2 2 4BD BC CD a= − = −
1AD BD AB+ = = 2 24 4 1a b∴ − + − =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4 8 ( 4) ( 4) 8 ( 4) (1 4) 8a b a b a b a a∴ + = − + − + = − + − + = − + − − +
2 2 22( 4) 2 4 9a a= − − − +
( )2 4 0,1a − ∈ ( )2 4 0,1t a∈ − ∈ 2 22 2 2 9a t tb∴ = − ++
2 2 17 ,92a b + ∈
1 2x
x
− >
( )1,0−【分析】
将不等式右边化为零，然后利用分式不等式的解法，求得不等式的解集.
【详解】由 得 ，即 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，属于基础题.
14.已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式是________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用累积法求得数列 的通项公式，
【 详 解 】 依 题 意 ， 当 时 ， 所 以
，当 时上式也符合，故数列 的通项公式是
.
故答案为： .
【点睛】本小题主要考查累加法求数列通项公式，考查等差数列前 项和公式，属于基础题.
15.已知一组数 1，2，m，6，7 的平均数为 4，则这组数的方差为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据平均数计算出 的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.
【 详 解 】 依 题 意 . 所 以 方 差 为
.
1 2x
x
− > 1 2 1 0x x x
x x
− − − −= > ( )1 0x x + < ( )1,0x∈ −
( )1,0−
{ }na 1 1a = 1 1n na a n+ = + + { }na
( 1)
2n
n na
+=
{ }na
2n ≥ 1n na a n−− =
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a− − −= − + − + + − +
( ) ( )11 2 1 2
n nn n
+= + − + + + = 1n = { }na
( 1)
2n
n na
+=
( 1)
2n
n na
+=
n
26
5
m
1 2 6 7 4, 45
m m
+ + + + = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 1 4 2 4 4 4 6 4 7 45
− + − + − + − + − [ ]1 269 4 4 95 5
= + + + =故答案为： .
【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.
16.已知函数 ，若存在实数 ，当 时，
，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
所以 ， ，得
则 ，
令 ，得 ，
又 ，则 的取值范围为 。
点睛：分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，通过画出函数图象，得到
， ，则所求式子 即关
于 的函数求值域问题，根据复合函数求值域的方法求出值域即可。
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知函数 ．
26
5
( ) 1
1 ,0 2
1 ,2 32
x
x x
f x
x
−
− ≤ ≤
= < ≤
1 2 3, ,x x x 21 30 3x x x≤ < < ≤
1 2 3( ) ( ) ( )f x f x f x= = 1 2 2 3( ) ( )x x x f x+
5 3[ , )8 2
1 2 2x x+ = 3 1
1 2
11 1 2
x
x x
− − = − =
3 1
2
1 12
x
x
− = +
( ) ( ) 3 31 1
1 2 2 3
1 12 12 2
x x
x x x f x
− − + = +
( ]3 1
3
1 , 2,32
x
t x
− = ∈
1 1,4 2t ∈
( ) 22 1 2 2y t t t t= + = + y 5 3,8 2
1 2 2x x+ = 3 1
2
1 12
x
x
− = +
( ) ( ) 3 31 1
1 2 2 3
1 12 12 2
x x
x x x f x
− − + = +
3x
( ) 2cos ( 3sin cos )f x x x x= +（I）求函数 的最小正周期和对称中心坐标；
（II）讨论 在区间 上的单调性．
【答案】（Ⅰ） ，对称中心为 ；（Ⅱ）增区间 ；减区间
【解析】
分析】
（Ⅰ）化简函数的解析式 ，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
（Ⅱ）由（1）可知 ，根据 和三角函数的图象与性质，即可求
解.
【详解】（Ⅰ）由题意，函数
，
所以函数 的最小正周期 ，
令 ，即 ，即 ，解得
所以函数 的对称中心为 .
（Ⅱ）由（1）可知 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
又因为 ，
当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三家函数的图象与性质的应用，其中解
答中熟记三角函数恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，
着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
【
( )f x
( )f x [0, ]2
π
T π= ,0 ( )12 2
k k Z
π π − + ∈ 0 6,
π
,6 2
π π
( ) 2sin(2 )6f x x
π= +
( ) 2sin(2 )6f x x
π= + [0, ]2x
π∈
2( ) 2cos ( 3sin cos ) 1 2 3sin cos 2cos 1f x x x x x x x= + − = + −
3sin 2 cos2 2sin(2 )6x x x
π= + = +
( )f x 2 2
2T w
π π π= = =
( ) 0f x = 2sin(2 ) 06x
π+ = 2 ,6x k k Z
π π+ = ∈
12 2
kx
π π= − + ,k Z∈
( )f x ( ,0),12 2
k k Z
π π− + ∈
( ) 2sin(2 )6f x x
π= +
2 2 2 ,2 6 2k x k k Z
π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈ ,3 6k x k k Z
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈
32 2 2 ,2 6 2k x k k Z
π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈ 2 ,6 3k x k k Z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈
[0, ]2x
π∈
0k = ( )f x 0 6,
π
,6 2
π π
18.已知 是公差不为零的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 求数列 的前 n 项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根据等比中项的性质列方程，然后转化为 的的形式，解方程求得 的值，进而求得
数列 的通项公式.
（2）利用裂项求和法、分组求和法求得数列 的前 n 项和 .
【详解】（1）已知 是公差 不为零的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列．
所以 ，整理得 ，解得 .
故 .
（2）由于 ，
所以 ，
所以
.
【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查裂项求和法、分组求和法，考查运算
求解能力，属于中档题.
19.某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手
机流量使用情况，通过抽样，得到 100 位员工每人手机月平均使用流量 L（单位：M)的数据，
其频率分布直方图如图．
{ }na 1 1a = 1a 2a 5a
{ }na
1
12 na
n
n n
b a a +
= + { }nb nS
2 1na n= − ( )2 4 13 2 1
n
n
nS n
= − + +
1,a d d
{ }na
{ }nb nS
{ }na d 1 1a = 1a 2a 5a
2
2 1 5a a a= ⋅ ( ) ( )2
1 1 1 4a d a a d+ = ⋅ + 2d =
1 2( 1) 2 1na a n n= + − = −
2 1na n= −
2 1
1
1 1 4 1 1 12 2 (2 1)(2 1) 2 2 2 1 2 1
n
n
a n
n
n n
b a a n n n n
−
+
= + = + = + − − + − +
( )1 21 1 1 1 1 1 14 4 4 12 2 3 3 5 2 1 2 1
n
nS n n
= + + + + − + − + + − − +
( )4 4 11 1 112 4 1 2 2 1
n
n
− = ⋅ + − − +
( )2 4 13 2 1
n n
n
= − + +（1）从该企业的 100 位员工中随机抽取 1 人，求手机月平均使用流量不超过 900M 的概率；
（2）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：
套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位：M）
A 20 700
B 30 1000
流量套餐的规则是：每月 1 日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购
买流量叠加包，每一个叠加包（包含 200M 的流量）需要 10 元，可以多次购买，如果当月流
量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及
购买流量叠加包所需月费用．若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？
【答案】(1)0.9；(2) 企业选择 A 套餐更经济
【解析】
分析】
（1）首先根据频率分布直方图小长方形的面积和也即频率之和为 列方程，由此求得 的值.
然后计算出流量不超过 的概率.
（2）分别计算选择套餐 和套餐 ，每月使用流量的平均费用，由此确定该企业选择 套餐
更经济.
【详解】（1）由题意知
．
所以 100 位员工每人手机月平均使用流量不超过 900M 的概率为
.
（2）若该企业选择 A 套餐，则 100 位员工每人所需费用可能为 20 元，30 元，40 元，
【
1 a
900M
A B A
( )0.002 0 0008 0 0025 0 0035 0 0008 100 1 0 0022a a+ + + + + × = ⇒ =. . . . .
( )1 0 0002 0 0008 100 0 9− + × =. . ．每月使用流量的平均费用为 ，
若该企业选择 B 套餐，则 100 位员工每人所需费用可能为 30 元，40 元，每月使用流量的平均
费用为 ，
所以该企业选择 A 套餐更经济．
【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识运用，考查利用频率分布直方图求解实际生
活中的应用问题，属于基础题.
20.如图，在四棱锥 E-ABCD 中， 平面 ABCD， ， ，
．
（1）求证： 平面 BDE；
（2）当几何体 ABCE 的体积等于 时，求四棱锥 E-ABCD 的侧面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
（ 1 ） 取 的 中 点 ， 连 接 ， 证 得 ， 结 合 平 面 ， 证 得
，由此证得 平面 .
（2）首先根据三棱锥的体积公式结合等体积法，利用几何体 的体积为 列方程，解方
程求得 的长，进而计算的 的长，证得三角形 为直角三角形，由此计算
出四棱锥 的侧面积.
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，四边形 为矩
形，
( ) ( ) ( )20 0 08 0 22 30 0.25+0.35 40 0 08 0 02 28× + + × + × + =. . . .
( )30 0 08 0 22 0 25 0 35 40 0 02 30 2× + + + + × =. . . . . .
ED ⊥ / /AB CD AB AD⊥
1 12AB AD CD= = =
BC ⊥
1
3
6 2 3 5
2
+ +
CD F BF BC BC⊥ ED ⊥ ABCD
ED BC⊥ BC ⊥ BDE
ABCE 1
3
DE , ,EA BE CE BCE
E ABCD−
CD F BF / / ,AB FD AB FD= ABFD则直角梯形 中， ， ，
，即 ，
又 平面 ， 平面 ，
，
又
平面 ,
（2）由于 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，而 ，
所以 平面 ，所以 ，
，
解得 ，
又 ， ， ，又 ， ；而
，所以 ，故三角形 为直角三角形.
所以四棱锥 E-ABCD 的侧面积为
.
【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积有关计算，考查四棱锥侧面积
有关计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21.已知 ，若动点 满足 ，设线段 的中点为
（1）求点 的轨迹方程；
（2）设直线 与点 的轨迹交于不同的两点 ，且满足
，求直线 的方程.
ABCD BF CD⊥ BF CF DF= =
90CBD °∴∠ = BC BD⊥
ED ⊥ ABCD BC ⊂ ABCD
BC ED∴ ⊥
BD DE D∩ =
BC∴ ⊥ BDE
ED ⊥ ABCD ED ⊂ ADE ADE ⊥ ABCD AB AD⊥
AB ⊥ ADE AB AE⊥
1 1 1 1
3 2 6 3A BCE E ABCV V DE AB AD DE− −∴ = = ⋅ ⋅ ⋅ = =三棱锥 三棱锥
2DE =
1 12AD CD= = DE AD⊥ 5EA∴ = 1AB = 6BE∴ =
2 2, 2CE BC= = 2 2 2BE BC CE+ = BCE
1 1 1 1 6 2 3 5
2 2 2 2 2S DE AD AE AB DE CD BC BE
+ += ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =侧
( 2,0), (1,0), (6,0)A B Q− ( , )P x y′ ′ 2PA PB= PQ
M
M
1y kx= − M 1 1 2 2( , ), ( , )C x y D x y
1 2 2
1
1x x k
− = + l【答案】(1) ;(2) 或 .
【解析】
试题分析： 利用代入法求出点 的轨迹方程；
（2）联立直线与圆方程求得 再根据题目条件
联立即可求得直线方程。
解析：(1)因为 ， ，且
所以 ，
化简得 ，即 ①
设 ，由中点坐标公式得 ，即 ②
将②代入①得：
所以点 的轨迹方程为 .
（2）由 消去 得
整理得
所以
由已知 得
所以
即 ，即
所以
2 2( 4) 1x y− + = 2 1 0x y− − = 30 30 0x y− − =
( )1 M
( )
1 2 1 22 2
2 4 16
1 1
kx x x xk k
++ = ⋅ =+ +、 ，
1 2 2
1
1x x k
− = +
( ) ( )2,0 , 1,0A B− ( ),P x y′ ′ 2PA PB=
( ) ( )2 22 22 2 1x y x y+ + = −′ +′ ′ ′
2 2 4 0x y x+ −′ ′ =′ ( )2 22 4x y− + ′ =′
( ),M x y
6
2
2
xx
yy
′
′
+ =
=
2 6
2
x x
y y
′
′
= −
=
( ) ( )2 22 8 2 4x y− + =
M ( )2 24 1x y− + =
( )2 2
1
4 1
y kx
x y
= − − + =
y ( ) ( )2 24 1 1x kx− + − =
( ) ( )2 21 2 4 16 0k x k x+ − + + =
( )
1 2 1 22 2
2 4 16,1 1
kx x x xk k
++ = ⋅ =+ +
1 2 2
1
1x x k
− = +
( ) ( )
2
1 2 1 2 22
14
1
x x x x
k
+ − ⋅ =
+
( )
( ) ( )
2
2 222 2
4 4 16 14 11 1
k
kk k
+ − × =++ +
( ) ( )2 24 4 64 1 1k k+ − + = 260 32 1 0k k− + =
1 2
1 1,2 30k k= =所以直线 的方程为 或
即 或 .
点睛：遇到 这样的条件时，要想到阿波罗尼斯圆，计算得到点的轨迹方程是圆，
联立直线与圆的方程，然后求得两根之和与两根之积，来表示两根之差，从而计算出结果。
22.已知函数 ，
（1）若 ， ，判断 在 上的单调性，并用定义证明；
（2）已知 ，存在 ，对任意 ，都有 成立，求
的取值范围．
【答案】(1) 减函数，证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）先求得 的解析式，然后判断函数 在 递减，并利用单调性的定义，证
明结论成立.
（2）将原不等式等价转化为存在 ，使得 ，求
得 的取值范围，首先证得 恒成立，然后对 分成 和
两种情况分类讨论，结合 求得 的取值范围.
【详解】（1） ，且 ，
， 在 上为减函数
证明：任取 、 ，且 ，
l 1 12y x= − 1 130y x= −
2 1 0x y− − = 30 30 0x y− − =
2PA PB=
| |( ) x af x e −= ( ) bxh x e=
2a = 1b = ( ) ( ) ( )g x f x h x= + ( )1−∞，
0,[ )ln2b∈ 0 [0,1]x ∈ [0,1]x∈ ( )0( ) 1f x h x− < a
( ) ( )( )1 ln 1 ,ln 1b be e− + +
( )g x ( )g x ( )1−∞，
0 [0,1]x ∈ ( )max 0 min( ( ) 1) ( ( ) 1)f x h x f x− < < +
( )0h x ( )0 min( ( ) 1)h x f x< + a 1
2a ≤ 1
2a >
max( ( ) 1) bf x e− < a
| 2|( ) ( ) ( ) x xg x f x h x e e−= + = + 1x <
2( ) x xg x e e−∴ = + ( )y g x= ( )1−∞，
1x 2 1( )x ∈ −∞， 1 2x x<
( ) ( ) ( ) ( )2 1
1 2 2 1
1 2 1 2
22 2
1 2
x x
x x x x
x x x x
e e ee eg x g x e e e ee e e e
− − = + − + = − −
( ) 1 2
2 1
1 2
2 x x
x x
x x
e e ee e e e
−= −
2 1 2 1 1 2
2
2
1 1, 0,x x x x x xx e e e e e ex +< => >< ∴ >，即
在 上为减函数.
（2） ，
对任意 ，存在 ，
使得 成立，
即存 ，使得 ，
当 ， 为增函数或常函数，
此时 ，
则有 恒成立
当 时，
，
当 时，
，
.
.
故实数 的取值范围是 .
【点睛】本小题主要考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查存在性问题和恒成立问
题组合而成的不等式的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.
在
( ) ( )1 2 0g x g x∴ − > ( ) ( )1 2g x g x>
( )y g x∴ = ( ,1)−∞
( )0( ) 1f x h x− − +
( ) 1ln 1 ln2 ln 2
be e+ ≥ > =
( ) 11 ln 1 2
be∴ − + < ( ) 11 ln 1 , 2
ba e ∴ ∈ − +
1
2a > max( ) (0) af x f e∴ = =
1b ae e∴ + > ( )ln 1ba e∴ < +
( ) 1ln 1 ln2 ln 2
be e+ ≥ > =
( )1 ,ln 12
ba e ∴ ∈ +
a ( ) ( )( )1 ln 1 ,ln 1b be e− + +
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