2021 届高二期中考试(理科)数学试题
一、单选题(每题 5 分,共 60 分)
1.已知集合 ,则 ().
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解出集合 ,根据并集的定义求得结果.
【 详 解 】
本题正确选项:
【点睛】本题考查集合运算中的并集运算,属于基础题.
2.设 ,集合 是奇数集,集合 是偶数集.若命题 : , ,则( )
A. : , B. : ,
C. : , D. : ,
【答案】C
【解析】
【分析】
“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题.
【详解】解:∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,
∴命题 p:∀x∈A,2x∈B 的否定是:
: , .
故选:C.
【点睛】命题的否定即命题的对立面.“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的
表述.如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”;“都是”与“不都是”等,所以
“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,“存在性命题”的否定一定是“全称命题”.
{ } { }21 , 2 0A x x B x x x= ≥ = − − < =A B
{ }1x x ≥ { }1 2x x≤ < { }1 1x x− < ≤
{ }1x x > −
B
{ } ( )( ){ } { }2 2 0 2 1 0 1 2B x x x x x x x x= − − < = − + < = − < <
{ }1A B x x∴ ∪ = > −
D
x∈Z A B p x A∀ ∈ 2x B∈
p¬
0x A∃ ∈ 02x B∈ p¬
0x A∃ ∉ 02x B∈
p¬
0x A∃ ∈ 02x B∉ p¬ x A∃ ∉ 2x B∉
p¬
0x A∃ ∈ 02x B∉3.阅读如图所示的程序,则运行结果为( )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
按照顺序从上往下依次进行,最后求出运算的结果.
【详解】由题意知 .
【点睛】本题考查了赋值语句、输出语句,掌握赋值语句的原则是解题的关键.
4.下列各函数中,最小值为 2 的是( )
A. B. ,
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对于选项 A 中的 x 来说,因为 x 不等于 0,所以 x 大于 0 小于 0 不确定,所以最小值不一定为
2;对于选项 B 和 C 中的函数来说,sinx 大于 0,而 也大于 0,但是基本不等式不满
足取等号的条件;从而可得结果.
1x =
3y =
2z =
2 1x= z −
y = x+ z
PRINT y
END
2, 2 1=3, 3 2 5z = x= z y = x+ z = + =−
1y x x
= + 1sin siny x x
= + (0, )2x
π∈
2
2
3
2
xy
x
+=
+
1y x
x
= +
2 2x +详解】对于 A:不能保证 x>0,
对于 B:不能保证 sinx= ,
对于 C:不能保证 ,
对于 D: ,
当 时,最小值为 2.
故选 D
【点睛】利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:
一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积
定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数是否
在定义域内,二是多次用 或 时等号能否同时成立).
5.直线 ( , )过点(-1,-1),则 的最小值为 ( )
A. 9 B. 1 C. 4 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】
将点的坐标代入直线方程: ,再利用乘 1 法求最值
【详解】将点的坐标代入直线方程: ,
,当且仅当 时取等号
【点睛】已知和为定值,求倒数和的最小值,利用乘 1 法求最值。
6.若 是两条不同的直线, 是三个不同的平面:① ;②
;③ ;④若
, ,则 ,则以上说法中正确的有( )个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【
1
sin x
2
2
12
2
x
x
+ =
+
1 12 2y x x
x x
= + ≥ × =
1x =
≥ ≤
1 0ax by+ + = a 0b > 1 4
a b
+
=1a b+
=1a b+
1 4 1 4 4=( )( )=5+ 9b aa ba b a b a b
+ + + + ≥ 22 3b a= =
,m n , ,α β γ / / ,m n m nα α⊥ ⇒ ⊥
/ / , , / /m n m nα β α β⊂ ⊂ ⇒ / / , / / ,m n m nα β α β⊥ ⇒ ⊥
,m nα γ β γ= = //m n / /α β【解析】
【详解】由 是两条不同的直线, 是三个不同的平面,知:
对于①, , ,由线面垂直的判定定理得 ,故①正确;
对于②, , , ,则 与 平行或异面,
故②错误;
对于③, , , ,由线面垂直的判定定理得 ,故③正确;
对于④,若 , , ,则 与 相交或平行,故④错误,故选 B.
7.函数 在 上的图像大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点,对选项进行排除,由此得出正确选项.
【详解】由于 ,所以函数为奇函数,图像关于原点对称,
排除 C 选项.由于 ,所以排除 D 选项.由于 ,所以排除 B 选
项.
故选:A.
【点睛】本小题主要考查函数图像的识别,考查函数的奇偶性、特殊点,属于基础题.
8.已知曲线 : , : ,则下面结论正确的是( )
m n, , ,α β γ
//m n m ⊥ α n ⊥ α
α / / β m α⊂ n β⊂ m n
α / / β //m n m ⊥ α n ⊥ β
α γ∩ m= β γ∩ n= //m n α β
( ) cosf x x x x= + [ ],π π−
( ) ( ) ( )cosf x x x x f x− = − + = −
( )π 0f = π π π π 03 6 3 2f = + = >
1C siny x= 2C cos 2 3y x
π = − A. 把 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位
长度,得到曲线
B. 把 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单
位长度,得到曲线
C. 把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单
位长度,得到曲线
D. 把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单
位长度,得到曲线
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用诱导公式得 ,根据函数 的图象变
换规律,得出结论.
【详解】已知曲线 , ,
∴把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,可得 的图象,
再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线 的
图象,故选 C.
【点睛】本题主要考查函数 的图象变换规律,属于基础题.
9.已知函数 的定义域是 ,求函数 的定义域( )
A. B. C. D.
【答案】B
1C 3
π
2C
1C 2
3
π
2C
1C 1
2 12
π
2C
1C 1
2 12
π
2C
1 sin cos: 2C y x x
π = = −
( )cosy A xω ϕ= +
1 sin cos: 2C y x x
π = = − 2 cos 2 3:C y x
π = −
1C 1
2
cos 2 2y x
π = −
12
π
2 cos 2 cos 26 3: 2C x x
π π π + − = −
( )cosy A xω ϕ= +
( 1)f x + [1,2] ( )f x
( )2,3 [ ]2,3 [0,1] (2,3]【解析】
【分析】
先求出 的范围,即可求得 的定义域
【详解】由题, ,设 , , 的定义域为
故选:B
【点睛】本题考查抽象函数的定义域问题,属于基础题
10.点 与 位于 异侧,则 m 的范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由于点不在直线上,则将点代入直线方程中会得到大于 0 或小于 0 的不等式,由于两点位于直
线两侧,则 ,解出不等式即可
【详解】由题,点 与 位于 异侧,将两点分别代入直线方程中,则
,即 ,
故选:A
【点睛】本题考查点与直线的位置关系,考查解不等式,考查运算能力
11.设向量 满足 , , ,若 ,则
( )
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
由题得到 ,代入 中,整理可得 ,再求 ,最后代回
即可
【详解】由题, ,则 ,
1x + ( )f x
[ ]1,2x∈ 1t x= + [ ]2,3t∴ ∈ ( )f x∴ [ ]2,3
(1,0) (2,5) 1 0mx y+ − =
( 2,1)− ( 1,2)− ( 1, )− +∞ ( ,2)−∞
( )( )1 2 5 1 0m m− + − <
(1,0) (2,5) 1 0mx y+ − =
( )( )1 2 5 1 0m m− + − < ( )( )1 2 4 0m m− + < 2 1m∴− < <
, ,a b c 0a b c+ + = ( )a b c− ⊥ a b⊥ | | 1a = 2 2 2| | | | | |a b c+ + =
( )c a b= − + ( ) 0a b c− ⋅ = 1=b ( ) 22c a b= − +
2 2 2| | | | | |a b c+ +
0a b c+ + = ( )c a b= − + , ,
, ,
,
,
,
故选:B
【点睛】本题考查向量的模,考查向量的线性运算,考查数量积表示垂直关系,考查运算能力
12.一段 1 米长的绳子,将其截为 3 段,问这三段可以组成三角形的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别设绳子三段长为 , , ,均需满足大于 0 小于 1,列不等式组可得出可行域为
,再由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列出不等式组,可行域为
,则面积比即为概率
【详解】由题,设绳子三段长为 , , ,则 ,则可行域为 ,
,
由三角形三边性质可得, ,则可行域为 ,其中 分别为
的中点,
( )a b c− ⊥ a b⊥
( ) 0a b c∴ − ⋅ = 0a b⋅ =
( ) 2 2 2 2( ) ( ) 0a b c a b a b b a b a ∴ − ⋅ = − ⋅ − + = − = − =
1b a∴ = =
( ) 2 22 2 2 1 1 2c a b a b a b∴ = − + = + + ⋅ = + =
∴ 2 2 2| | | | | | 1 1 2 4a b c+ + = + + =
1
4
1
2
1
8
1
3
x y 1 x y− −
ABC△
DEF
x y 1 x y− −
0 1
0 1
0 1 1
x
y
x y
< > ⋅⋅⋅
max 4
1( ) 4nb b= =
13 4m − > 13
4m >