高三数学试题 第 1 页 共 6 页
绝密★启用前 试卷类型：A
高三实验班过程检测
数学试题 2020.03
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．集合 }0)2)(1(|{ xxxA ， }2＜|{ xxB ，则 BA （ ）
A．[0,2] B． [0,1] C． 0,2]（ D． [ 1,0]
2．若复数 z＝ 1 i
1 ia
（i 表示虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）
A．1 B．0 C．－ 1
2 D．－1
3．设 na 为公差不为 0 的等差数列，p，q，k，l 为正整数，则“ p q k l ”是“ p q k la a a a ”
的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知
3
1log,3
1log,2
2
12
3
1
cba ，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
5．据《孙子算经》中记载,中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公,共五级.现
有每个级别的诸侯各一人,共五人,要把80 个橘子分完且每人都要分到橘子,级别每高一级就多
分 m 个( m 为正整数),若按这种方法分橘子,“公”恰好分得 30 个橘子的概率是( )
A．
8
1
B．
7
1
C．
6
1
D．
5
1高三数学试题 第 2 页 共 6 页
6．17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，
另一个是黄金分割. 如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.” 黄
金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一
个顶角为 36°的等腰三角形（另一种是顶角为 108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金
三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ ABC 中， 5 1= 2
BC
AC
. 根据这些
信息，可得sin 234 ( )
A． 1 2 5
4
B． 3 5
8
C． 5 1
4
D． 4 5
8
7．已知 1F ， 2F 分别是双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的左、右焦点，直线 l 为双曲线 C 的一条
渐近线， 1F 关于直线 l 的对称点 1F 在以 2F 为圆心，以半焦距 c 为半径的圆上，则双曲线 C 的
离心率为 ( )
A． 2 B． 3 C．2 D．3
8．已知 ABC 为等边三角形，动点 P 在以 BC 为直径的圆上，若 AP AB AC ，则 2
的最大值为（ ）
A． 1
2 B． 31 3
C． 5
2 D． 32 2
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求的，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分。
9． 已知 2a b ，则 ( )
A． 2 3b b a B． 3 3 2 2a b a b ab
C． ab a b D． 1 2 1 1
2 ab a b
10．如图，已知矩形 ABCD 中， 2AB AD ， E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻折
成 1A DE ，若 M 为线段 1AC 的中点，则 ADE 在翻折过程中，下列说法正确的是 ( )
A． 线段 BM 的长是定值
B． 存在某个位置，使 1DE AC
C． 点 M 的运动轨迹是一个圆
D． 存在某个位置，使 1MB A DE 平面高三数学试题 第 3 页 共 6 页
11．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面. 一些优美的曲线是数学形象美、对称
美、和谐美的结合产物，曲线 C：(x2＋y2)3＝16x2y2 恰好是四叶玫瑰
线.
给出下列结论正确的是（ ）
A.曲线 C 经过 5 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)
B.曲线 C 上任意一点到坐标原点 O 的距离都不超过 2
C.曲线 C 围成区域的面积大于 4π
D.方程(x2＋y2)3＝16x2y2(xy>0)表示的曲线 C 在第一象限和第三象限
12．已知函数 ( ) sin( )( 0)f x x 满足 0 0
1( ) ( 1) 2f x f x ，且 ( )f x 在 0 0( , 1)x x 上
有最小值，无最大值. 则（ ）
A． 0
1( ) 12f x B．若 0 0x ，则 ( ) sin(2 )6f x x
C． ( )f x 的最小正周期为 3 D． ( )f x 在 (0,2019) 上的零点个数最少为 1346 个
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中第 15 题第一空 2 分，第二空 3 分。
13．为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，
其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共
有________种．(用数字作答)
14．已知函数 ( ) 2cosf x x x ，在区间 π0, 2
上任取三个数 1 2 3, ,x x x ，均存在以
1 2 3, ,f x f x f x 为边长的三角形，则 的取值范围是_________.
15．设抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点为 )0,1(F ，准线为 l ，过焦点的直线交抛物线于 A ，B 两点，
分别过 A ，B 作 l 的垂线，垂足为 C ，D ，若 ||4|| BFAF ，则 ______p ，三角形 CDF
的面积为_________．
16．在三棱锥 ABCP 中，底面 ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，且 2AB ，
5 PCPA ， PB 与底面 ABC 所成的角的正弦值为
3
1 ，则三棱锥 ABCP 的外接球的
体积为 .高三数学试题 第 4 页 共 6 页
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
如图，在 π= 4ABC C ABC 中， ， 的平分线 BD 交 AC 于点 D ，且 1tan = 2CBD ．
(1)求 sin A ；
(2)若 28CA CB ，求 AB 的长．
18．（12 分）
在① 322
1 nn aa ( 0na )，② 2
1 13 9 0n n n na a a a ，③ 2 2 2nS n n 这三个条
件中任选一个，补充在下面问题中．
已知：数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 1 1a ，________．
(1)求数列{ }na 的通项公式；
(2)对大于 1 的自然数 n ，是否存在大于 2 的自然数 m ，使得 1, ,n ma a a 成等比数列．若存在，
求 m 的最小值；若不存在，说明理由．
19．（12 分）
如图，在直角梯形 ABCD 中， , 90 , 2 2AB DC ABC AB DC BC ， E 为 AB 的中
点，沿 DE 将 ADE 折起，使得点 A 到点 P 位置，且 PE EB ，M 为 PB 的中点，N 是 BC 上
的动点（与点 ,B C 不重合）.
（1）证明：平面 EMN 平面 PBC ；
（2）是否存在点 N ，使得二面角 B EN M 的余弦值为 6
6
？若存在，确定 N 点位置；若不
存在，说明理由.高三数学试题 第 5 页 共 6 页
20．（12 分）
沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大。为防
范罕见暴发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多
道防线，从源头上控制沙漠蝗群。经研究，每只
蝗虫的平均产卵数 y 和平均温度 x 有关，现收集
了以往某地的 7 组数据，得到下面的散点图及一
些统计量的值.
平均温度 ix C 21 23 25 27 29 32 35
平均产卵数 iy 个 7 11 21 24 66 115 325
7
1
192i
i
x
，
7
1
569i
i
y
，
7
1
18542i i
i
x y
7
2
1
5414i
i
x
，
7
1
25.2848i
i
z
，
7
1
733.7079i i
i
x z
.（其中
7
1
1ln , 7i i
i
z y z z
）.
（1）根据散点图判断， y a b x 与 ed xy c （其中 e 2.718 自然对数的底数）哪一个更适宜
作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断
结果及表中数据，求出 y 关于 x 的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到 28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，
其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到 28℃以上的概率为 0 1p p .
①记该地今后 5 年中，恰好需要 3 次人工防治的概率为 f p ，求 f p 的最大值，并求出相应
的概率 p.
②当 f p 取最大值时，记该地今后 5 年中，需要人工防治的次数为 X，求 X 的数学期望和方差.高三数学试题 第 6 页 共 6 页
附：线性回归方程系数公式
1
2
1
ˆ ˆˆ,
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b a y bx
x x
.
21．（12 分）
已知圆 2 2: 4O x y ，定点 )0,1(A ，P 为平面内一动点，以线段 AP 为直径的圆内切于圆 O ，
设动点 P 的轨迹为曲线 C ．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）过点 (2, 3)Q 的直线 l 与C 交于 E ， F 两点，已知点 )0,2(D ，直线 0x x 分别与直线 DE ，
DF 交于 S ，T 两点．线段 ST 的中点 M 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说
明理由．
22．（12 分）
已知函数 e cosxf x ax x ，其中 Ra .
(1)求证：当 1a 时， f x 无极值点；
(2)若函数 ( ) ln( 1)g x f x x ，是否存在 a ，使得 ( )g x 在 0x 处取得极小值？并说明理由.高三数学试题 第 1 页 共 11 页
绝密★启用前 试卷类型：A
高三实验班过程检测（数学试题答案）
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．答案：A 解析：求得 [ 1,2]A ， [0,4)B ，所以 [0,2]A B ，故选 A
2．答案：D 解析：设 iz b b R, 且 0b ，则 1 i i1 i ba
，得到1 i i 1ab b ab , ，
且1 b ，解得 1a ，故选 D．
3．答案：D 解析：D 设等差数列的公差为 d ，
1 1 1 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)p q k l a p d a q d aa a a a k d a l d
[( ) ( )] 0d p q k l 0d
p q k l
或 0d
p q k l
，显然由 p q k l 不一定能推出
p q k la a a a ，由 p q k la a a a 也不一定能推出 p q k l ，因此 p q k l 是
p q k la a a a 的既不充分也不必要条件，故本题选 D．
4．答案：C 解析:有函数知， 1,0,10 cba ，故答案为 C
5．答案：B 解析:设首项为 1a ,因为和为 80,所以 5 1a + 5×4×m=80,故 m=8- 1a .因为 m, 1a ∈N*,
所以 因此“公”
恰好分得 30 个橘子的概率是
6．答案：C 解析：由题可知 072ACB ，
且 0
1
5 12cos72 4
BC
AC
, 0 2 2 5 1cos144 2cos 72 1 4
则 0 0 0 0 5 1sin 234 sin(144 90 ) cos144 4
.
7．答案：C 解析：方法一：直线l 为双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的一条渐近线，则直线 l
为 by xa
， 1F ， 2F 是双曲线 C 的左、右焦点， 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)F c ，高三数学试题 第 2 页 共 11 页
1F 关于直线 l 的对称点为 1F ，设 1F 为 ( , )x y ， y a
x c b
， 0
2 2
y b x c
a
，
解得
2 2b ax c
， 2aby c
，
2 2
1 (b aF c
， 2 )ab
c
， 1F 在以 2F 为圆心，以半焦距 c 为半径
的圆上，
2 2
2 2 22( ) ( 0)b a abc cc c
，整理可得 2 24a c ，即 2a c ，
2ce a
，故选：C．
方法二：由题意知 21211 FFOFOFOF ，所以三角形 211 FFF 是直角三角形，且 ，30211 FFF
又由焦点到渐近线的距离为b ，得 bFF 211 ，所以 cb 32 ，所以 2e .故选：C.
8．答案：C 解析：设 ABC 的边长为 2 ，不妨设线段 BC 的中点 O 为坐标原点，建立
坐标系 xoy 则点 0, 3A 、 1,0B 、 1,0C ，以线段 BC 为直径的圆的方程为
2 2 1x y ,设点 P cos ,sin ，则 1, 3AB ， 1, 3AC ，
cos , 3sinAP 由于 AP AB AC ，则
cos , 3 3 sin 3 ，解得 1 3 1sin cos2 6 2
，
1 3 1sin cos2 6 2
，所以
1 3 1 1 3 12 sin cos 2 sin cos2 6 2 2 6 2
3 3 1 3 5sin cos sin , 22 2 2 2 6 2
因 此 ， 的 最 大 值 为
故选 C
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求的，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．答案：BC
解析：对于 A，因为 2a b ，所以 2 (3 ) ( ) ( 2) 0b b a a b b b ，故 A 错误；
对于 B，可通过作差证明，正确；高三数学试题 第 3 页 共 11 页
对于 C， 2 2 ( 2) ( 2)( ) 02 2
ab a ab b a b b aab a b ，故 C 正确；
对于 D，若 1 2 1 1
2 ab a b
成立，当 10, 2a b 时，左边=右边= 3
5
，故 D 错误.
所以，选 BC.
10．答案：AC
解 析 ： 对 A ， 取 CD 中 点 F ， 连 接 ,MF BF ， 则 1,MF DA BF DE ， 由
1 1
1, 2A DE MFB MF A D 为定值，FB DE 为定值，由余弦定理
可得
2 2 2 2 cosMB MF FB MF FB MFB ，所以 FB 为定值，A 正确；
若 B 正确，即 1DE AC ，由 45AED BEC ，可得 DE CE ，
则 1DE A EC 平面 ，
所以 1DE A E ，而这与 1 1DA A E 矛盾，故 B 错误；
因为 B 是定点，所以 M 在以 B 为圆心， MB 为半径的圆上，故 C 正确；
取 CD 中 点 F ， 连 接 ,MF BF ， 则 1MF DA ， BF DE ， 由 面 面 平 行 的 判 定 定 理 得
1MBF A DE平面 平面 ，即有 1MB A DE平面 ，可得 D 错误.
所以，答案为 AC.
11．答案:BD 解析:
12．答案:AC
解析: 0 0( , 1)x x 区间中点为 0
1
2x ，根据正弦曲线的对称性知 0
1( ) 12f x ,故选项 A 正确；
若 0 0x ，则 0 0
1( ) ( 1) 2f x f x ，即 1sin 2
，不妨取
6
，此
( ) sin(2 )6f x x ，满足条件，但 1 13f
为 上的最大值，不满足条件，故选项 B 错
误；不妨令 0
52 6x k ， 0( 1) 2 6x k ，两式相减得 2
3
,即函数的周
期 2 3T
，故 C 正确；区间 的长度恰好为 673 个周期，当 0 0f 时，即 k 高三数学试题 第 4 页 共 11 页
时， ( )f x 在开区间 上零点个数至少为 ，故 D 错误。故正确的是 AC．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中第 15 题第一空 2 分，第二空 3 分。
13．答案：660
解析：若甲小区 2 人，乙、丙、丁其中一小区 2 人，共有 3
3
2
4
2
6 ACC 种，若甲小区 3 人，乙、
丙、丁每小区 1 人，共有 3
3
3
6 AC 种，则不同的分配方案共有 660=+ 3
3
3
6
3
3
2
4
2
6 ACACC 种．
14．答案: 53 ,6
解析:求导得 1 2sin 0f x x 得
6x ，易得 max 36 6f x f
，
min 2 2f x f
，又有题意知 02 2f
，且 ( ) ( ) ( )2 2 6f f f ，由
此解得 的取值范围。
15．答案:2，5 .
解析:抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点为 )0,1(F 所以 2p ，准线为 1x ，
设过焦点的直线方程为 1 myx ，设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y
联立
xy
myx
4
1
2 ，得 0442 myy ， 421 yy ①又 ||4|| BFAF ， 21 4yy ②
由①②解得 1,4 21 yy 或 1,4 21 yy ，所以 5|||| 21 yyCD
所以三角形 CDF 的面积为 5522
1 ，故答案为5 .
16．答案: 9
2
或 89 89
6
解析：如图，取 AC 中点O ，因为 PA=PC= 5 ，AB=BC，所以 AC PO ， AC O B ，
所以 AC 平面 PO B ,所以平面 PO B 平面 ABC，易知 O BP 即为 PB 与底面 ABC 所成的角
或补角. 2O B ， 3O P ，所以在 O PB 中，
2 2 2( 2) 2 2 cos ( 3)PB PB O BP ，
因为 1sin 3O BP ，当 2 2cos 3O BP 时，求得 PB=3，此时
PCB= PAB= 。90 .故 PB 为三棱锥 P-ABC 外接球直径， 9
2V ；高三数学试题 第 5 页 共 11 页
当 2 2cos 3O BP 时，求得 PB=
3
1 ，延长 BO交外接球于 Q，
则 BQ 为圆O 的直径，则 QBP 的外接圆直径为球的直径，由
9
89)3
22(3
1222)3
1()22(cos2 22222 QBPBPBQBPBQPQ
，
球的
直径为 89sin2
QBP
PQR ，可求得 89 89
6V .
综上外接球的体积为 9
2
或 89 89
6
.
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．解：（1）设 CBD 因为
1 5 2 5tan 0 , .................................( )2 2 5 5 2
，又 ， ，故sin = , os = 分c
2
5 2 5 4
5 5 5
4 3cos 2 cos 1 2 1 .........................................(5 4 )5
则sin ABC=sin2 =2sin cos =2
ABC=cos 分2
sin sin 2 sin 24 4
2 2 4 3 7 2sin 2 cos2 ................................ .............( )2 2 5 10 55
A
分
故
（2）由正弦定理 7 2, , ...........( )4sin 87 2
510
7BC AC BC AC BC ACA sin ABC
即 所以 分
2CA CB= CA CB = CA CB = 2........................ ............( )2 8
又 28，所以 8 分2
AB ABAC= 2 , AB=5..............( )4sin sin 2
52
10AC AC
C ABC
所以 4 ，又由 = , = 所以 分得
18．解：方案一：选条件①.
(1)由 322
1 nn aa ，得 2
na 是公差为 3 的等差数列，由 1 1a ，得 12
1 a ,高三数学试题 第 6 页 共 11 页
则 232 nan
，又 0na 所以 23 nan
.………………………………………6 分
（2）根据 1, ,n ma a a 成等比数列，得到 2
1n ma a a ，即3 2 3 2n m ，
则有 23 4 2m n n ，，因为 *n N 且 2n ，所以 2 *3 4 2m n n N ，
当 2n 时， min 6m ；……………………………………………………………12 分
方案二：选条件②.
(1)因为 2
1 13 9 0n n n na a a a 1( 3)( 3) 0n n na a a ，
因为 1 1a ，所以 1 3 0n na a ，则{ }na 是等差数列，则 3 2na n …………………6 分
（2）要使得 1, ,n ma a a 成等比数列，只需要 2
1n ma a a ，即 2(3 2) 3 2n m
则有 23 4 2m n n ，，因为 *n N 且 2n ，所以 2 *3 4 2m n n N ，
当 2n 时， min 6m ；………………………………………………………12 分
方案三：选条件③.
(1)由 2 2 2nS n n ，得 1 1
2 3 2n
na n n
，………………………………6 分
(2)要使得 1, ,n ma a a 成等比数列，只需要 2
1n ma a a ，即 2(2 3) 2 3n m
则有 22 6 6m n n ，，因为 *n N 且 2n ，所以 2 *2 6 6m n n N ，
当 3n 时， min 6m ；………………………………………………………12 分
19．解：（1）证明：因为 , ,PE EB PE ED EB ED E ,
所以 PE EBCD 平面 ，………………………………………………………………2 分
又 PE PEB 平面 ，所以 PEB EBCD平面 平面 ,
而 BC EBCD 平面 ， BC EB ，所以 PBC PEB平面 平面 ，
由 ,PE EB PM MB 知， EM PB ，于是 EM PBC 平面 .
又 EM EMN 平面 ， 所 以 平 面 EMN 平 面
PBC . …………………………5 分
（2）假设存在点 N 满足题意，取 E 为原点，直线 , ,EB ED EP 分别为
, ,x y z 轴，建立空间直角坐标系 E xyz ，不妨设 2PE EB ，显
然 平 面 BEN 的 一 个 法 向 量 为
1 (0,0,1)n ， ………………………………………………………………7 分
设 (0 2)BN m m ，则 (1,0,1), (2, ,0)EM EN m
.高三数学试题 第 7 页 共 11 页
设平面 EMN 的法向量为 2 ( , , )x y zn ，则由 2 2 0EM EN
n n ，即
(1,0,1) ( , , ) 0
(2, ,0) ( , , ) 0
x y z
m x y z
，即 0
2 0
x z
x my
，故可取 2 ( , 2, )m m n .…………………9 分
所以 1 2
1 2 2 2
1 2
(0,0,1) ( , 2, )cos , | || | 2 4 2 4
m m m
m m
n nn n n n
，
依题意
2
6
62 4
m
m
，解得 1 (0,2)m ，此时 N 为 BC 的中点.
综上知，存在点 N ，使得二面角 B EN M 的余弦值为 6
6
，此时 N 为 BC 的中点.
…………………………………………………………12 分
20．解：（1）根据散点图可以判断， dxy ce 更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程
类型；..............................................................................................................................2 分
对 dxy ce 两边取自然对数，得 ln lny c dx ；
令 ln , ln ,z y a c b d ，得 z a bx ；
因为
7 7
1 1
2
1
7
2 2
1
7
40.1820ˆ
7
0.272147 71437 .
i i
i i
i
i i
i i
i
x z xz
x x
x x z z
b
x x
........................4 分
ˆˆ 3.612 0.272 27.429 3.849a z bx ；
所以 z 关于 x 的回归方程为 ˆ 0.272 3.849z x ；
所以 y 关于 x 的回归方程为 0.272 3.849ˆ xy e ；...............................................................6 分
（2）（i）由 5
3 3 2( ) (1 )f p C p p ，
得 3 2
5 (1 )(3 5 )f Cp p p p ，
因为 0 1p ，令 0f p ，得3 5 0p ，解得 30 5p ；
所以 f p 在 30, 5
上单调递增，在 3 ,15
上单调递减，
所以 f p 有唯一的极大值为 3
5f
，也是最大值；高三数学试题 第 8 页 共 11 页
所以当 3
5p 时， max
3 216
5 625f p f
；.......................................................9 分
（ii）由（i）知，当 f p 取最大值时， 3
5p ，所以 3~ 5, 5X B
，
所以 X 的数学期望为 3( ) 5 35E X ，
方差为 3 2 6( ) 5 5 5 5D X ..........................................................................12 分
21． 解：（1）设以 AP 为直径的圆的圆心为 B ，切点为 N ，
则 .2|||||,|2|| BAOBBAOB 取 A 关 于 y 轴 的 对 称 点 A ， 连 PA ， 故
24|)||(|2|||| BABOAPPA ．------------------------------------------------------------2 分
所以点 P 的轨迹是以 AA , 为焦点，长轴长为 4 的椭圆．
其中， 2a ， 1c ，曲线 C 方程为
2 2
14 3
x y ．------------------------------------------------4 分
（2）设直线 l 的方程为 (2 3 )x ty t ，设 1(E x ， 1)y ， 2(F x ， 2 )y ， 0(M x ， 0 )y ，
直线 DE 的方程为 1
1
( 2)2
yy xx
，故 1
0
1
( 2)2S
yy xx
，
同理 2
0
2
( 2)2T
yy xx
；-------------------------------------------------------------------------------6 分
所以 1 2
0 0 0
1 2
2 ( 2) ( 2)2 2S T
y yy y y x xx x
，
即 0 1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 3( )
( 2) 2 2 ( 3) ( 3) [ 3( ) 3]
y y y y y y y y y
x x x t y t y t y y y y
③-----------8 分
联立 2 2
(2 3 )
3 4 12 0
x ty t
x y
，化简得 2 2 2 2(3 4) (12 6 3 ) 9 12 3 0t y t t y t t ，
所以
2 2
1 2 1 22 2
6 3 12 9 12 3,3 4 3 4
t t t ty y y yt t
---------------------------------------------------10 分
代入③得，
2 2
2 20
2 2
0
2 2
9 12 3 6 3 122 ( ) 32 3 4 3 4
( 2) 9 12 3 6 3 12[ 3 3]3 4 3 4
t t t t
y t t
x t t t tt t t
高三数学试题 第 9 页 共 11 页
0 0
12 3 3 3 2 2 3 012
t x yt
所以点 M 都在定直线 03223 yx 上．------------------------------------------------12 分
22．解析：(1)对 ( )f x 求导得 ( ) sinxf x e x a ，显然 0,sin 1xe x ，
所以 sin 0 1 0xe x a a ，即 ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在其定义域上是单调递增函数，故 f x
无极值点；------------------------------------------------4 分
(2) 解法一：对 ( )g x 求导得 1( ) sin ( 1)1
xg x e a x xx
又注意到 (0) 2 ,g a 令 (0) 2 0,g a 得 2a 。
此时 1( ) 2 sin ,1
xg x e xx
令 1( ) ( ) 2 sin ,1
xh x g x e xx
则 2
1( ) cos( 1)
xh x e xx
,显然，在 0, 2
上 2
11 , cos 0,( 1)
xe xx
此时 2
1( ) cos 0,( 1)
xh x e xx
故 ( )h x 在 0, 2
上是增函数，
所以 ( ) (0) 0,h x h 即 1( ) 2 sin 01
xg x e xx
；-------------------------------7 分
又当 ( 1,0)x 时，令 2 2( ) ( 1) , ( ) ( 1) cosxs x x e t x x x
则 ( ) ( 1)( 3) 0xs x x x e ， ( )s x 是 ( 1,0) 上的增函数，所以 ( 1) ( ) (0)s s x s ，即
0 ( ) 1s x ，
故存在区间 1( ,0) ( 1,0)x ，使 1( ) 2s x ，即 2
1
2( 1)
xe x
；
又 20 ( 1) 1x ， cos1 cos 1x ，即 0 ( ) 1t x ，
故存在区间 2( ,0) ( 1,0)x ，使 1( ) 2t x ，即 2
1cos 2( 1)x x
。-----------------------9 分
现设 1 2 0( ,0) ( ,0) ( ,0)x x x ，则在区间 0( ,0)x 上， 2
1
2( 1)
xe x
， 2
1cos 2( 1)x x
同时成立，
即 2
1( ) cos 0,( 1)
xh x e xx
故 ( )h x 在 0( ,0)x 上是增函数， ( ) (0) 0h x h 。
从而存在区间 0( ,0)x ，使得 1( ) 2 sin 01
xg x e xx
；
因此存在 2a ，使得 ( )g x 在 0x 处取得极小值。------------------------------------------------12 分
解法二： 0x 是 ( )f x 的极小值点的必要条件是 (0) 2f a ，即 2a ．高三数学试题 第 10 页 共 11 页
此时， 1( ) e 2 sin1
xf x xx
显然当 0, 2x
时， 1 1( ) e 2 sin 1 2 sin 01 1
xf x x x xx x
；---------6 分
当 1 04 x 时，
2
2 23 1 3(1 ) 1 1 (3 1) 1 12 2 1 2
xx x x x x xx
．
令 xxxxm
e21)(
2
， 0e2)(
2
xxxm ， 故 )(xm 是 减 函 数 ． 因 此 ， 当 0x 时 ，
1)0()( mxm ，即
21e
2xxx ．------------------------------------------------9 分
令 xxxh 2
1sin)( ，
2
1cos)( xxh ．当 01 x 时， 02
11cos)( xh ，故 )(xh 在
)0,1( 上单调递增．因此，当 01 x 时， 0)0()( hxh ，即 xx 2
1sin ．
故当 1 ,04x
时，
2
2 21 3( ) e 2 sin 1 1 2 2 01 2 2 2 2
x x x xf x x x x x xx
；
因此， 2a 时 0x 是 ( )f x 的极小值点．------------------------------------------------12 分
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