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2020 年塘沽一中高三毕业班第二次模拟考试
数 学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至
3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
温馨提示：疫情期间，受时间和地域限制，此次考试采用线上测试方式，答卷时，考生务必
将答案选出上传，拍照上传部分的试题按要求，拍照清楚，在规定时间内完成上传。特殊时期，
请各位考生珍惜实战演练机会，独立作答！
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最
符合题目要求的。
一、选择题
1.设复数 z 满足 1 2 1z i i （i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于
（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合 03
xA x Z x
，则集合 A 真子集的个数为（ ）
A． 3 B． 4 C． 7 D．8
3.已知 m 为实数，直线 1l ： 1 0mx y ，2l ： 3 2 2 0m x my ，则“ 1m ”是“ 1 2/ /l l ”
的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件第 2 页 共 5 页
4．已知圆 2 2 4 2 1 0x y x y 关于双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0C a ba b
y x 的一条渐近线对称，则
双曲线C 的离心率为（ ）
A． 5 B． 5 C． 5
2
D． 5
4
5．已知数列 na 的通项公式是 2 2 1sin 2n
na n （ ），则 1 2 3 12a a a a （ ）
A．0 B．55 C．66 D．78
6.设 f x 是定义在实数集 R 上的函数，满足条件 1y f x 是偶函数，且当 1x 时，
1 12
x
f x
，则 3log 2a f ， 3
1log 2b f
， 3c f 的大小关系是（ ）
A． a b c B．b c a C．b a c D． c b a
7.已知函数 ( ) sin( )f x x ，其中 0 ， 0, 2
，其图象关于直线
6x 对称，对满
足 1 2 2f x f x 的 1x ， 2x ，有 1 2 min 2x x ，将函数 ( )f x 的图象向左平移
6
个单位
长度得到函数 ( )g x 的图象，则函数 ( )g x 的单调递减区间是（ ）
A． 2,6k k k Z B． , 2k k k Z
C． 5,3 6k k k Z D． 7,12 12k k k Z
8．袋中装有标号为 1，2，3，4，5，6 且大小相同的 6 个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记
下号码并放回，如果两个号码的和是 3 的倍数，则获奖，若有 5 人参与摸球，则恰好 2 人获奖
的概率是（ ）
A． 40
243 B． 70
243 C． 80
243 D． 38
243第 3 页 共 5 页
2
ln 2 , 0
2 , 0
x x x xf x x x x
9．已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 1y 的对称
点在 1y kx 的图像上，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 1 ,12
B．(0,1) C． 1,02
D．(-1,0)
2020 年塘沽一中高三毕业班第二次模拟考试
数 学
第Ⅱ卷
二．填空题(每小题 5 分，共 30 分，将每道小题的结果标清题号按顺序分别拍图片上传）
10．函数 0.5( ) log (4 3)f x x 的定义域是 ____________．
11.已知二项式 2 2 n
x x
的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数
____________．
12．已知 F 是抛物线 C: 2 2y x 的焦点， 是 C 上一点，F 的延长线交 y 轴于点 ．若 为
F 的中点，则 F ____________．
13．已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，
PA PC ，则球 O 的体积为________.
14．若 ABC△ 的面积为 2 2 21 ( )4 a c b ,且∠C 为钝角，则∠B=_________； c
a
的取值范围是
_________.
15． ac 50, 0, 4, 2, 2 2
c ca b c a b b ab c
已知 且 则 的最小值为 _________.第 4 页 共 5 页
三．解答题（共 5 个大题，共 75 分，将每道大题的解题过程按规定顺序拍图片分别上传）
16．（本题满分 14 分）
4 月 23 日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外
阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一
个读书小组）学生抽取 12 名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：
（1）从参加问卷调查的 12 名学生中随机抽取 2 人，求这 2 人来自同一个小组的概率；
（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取 2 人，用 X 表示抽得甲组学生的人数，
求随机变量 X 的分布列和数学期望．
17.（本题满分 15 分）
如图，已知四边形 ABCD 的直角梯形， AD BC∥ , AD DC ， 4, 2AD DC BC ，G
为线段 AD 的中点， PG 平面 ABCD ， 2PG ， M 为线段
AP 上一点（ M 不与端点重合）.
（1）若 AM MP ，
（i）求证： PC P 平面 BMG ；
（ii）求平面 PAD 与平面 BMD 所成的锐二面角的余弦值；
（2）否存在实数 满足 AM AP ，使得直线 PB 与平面 BMG 所
成的角的正弦值为 10
5
，若存在，确定 的值，若不存在，请说
明理由.
小组 甲 乙 丙 丁
人数 12 9 6 9第 5 页 共 5 页
18．(本题满分 15 分)已知椭圆
2 2
2 2: 1x yC a b
（ 0a b ）的焦距为 2，且过点 (2,0)P ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设 F 为C 的左焦点，点 M 为直线 4x 上任意一点，过点 F 作 MF 的垂线交C 于两点 A,B
（i）证明：OM 平分线段 AB （其中O 为坐标原点）；
（ii）当 | |
| |
MF
AB
取最小值时，求点 M 的坐标．
19.（本题满分 15 分）已知各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 2
1 2 4n na S n ，
2 3 71, ,a a a ，恰为等比数列 nb 的前 3 项.
（1）求数列 na ， nb 的通项公式；
（2）求数列
1
{ }n
n n
nb
a a
的前 n 项和为 nT ；若对 *Nn 均满足
2020n
mT ，求整数 m 的最大值;
（3）是否存在数列 nc ,满足等式 1
1
1
( 1) 2 2
n
n
i n i
i
a c n
成立，若存在,求出数列 nc 的通项
公式；若不存在，请说明理由.
20. (本题满分 16 分)已知 xxaxf ln)1sin()( ，其中 a R .
（1） 20 ( ) ( )a g x f x x 当 时，设函数 ，求函数g(x)的极值.
（2）若函数 ( )f x 在区间 0,1 上递增，求 a 的取值范围；
（3）证明： 2
1
1sin ln3 ln2(2 )
n
k k
.数学 第 1 页 （共 17 页）
3( ,1]4
132 2
2
2
3
2
4 ccc
662
12 c
66
13P
3
4
2020 届塘沽一中高三毕业班线上二模考试试题
数 学
参考答案
一．选择题：（每小题 5 分，共计 45 分）
DCAAD ,CBCB
二．填空：（每小题 5 分，共计 30 分）
10. ； 11. -672 ； 12.
2
3
13. 6 14. 45 ( 2, ) 15.
2
55
三．解答题
16.（1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为 4,3,2,3（人），
从参加问卷调查的 12 名学生中随机抽取两名的取法 共有（种），
抽取的两名学生来自同一小组的取法共 有（种），
所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为
（2）由（1）知，在参加问卷调查的 12 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为 4 人、2 人，
所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数 X 的可能取值为 0,1,2
X 0 1 2
P 1/15 8/15 6/15
所求 X 的期望为
17.（Ⅰ）（i）证明：连接 AC 交 BG 于点O ，连接OM ，CG ，依题意易证四边形 ABCG 为平行四边形.
∴ AO OC 又∵ PM MA ，
∴ MO PC 又∵ MO 平面 BMG ， PC 平面 BMG ，
∴ PC 平面 BMG .数学 第 1 页 （共 17 页）
3
1
mKmK ABMF
3,3
)1(3 xmy
)12
3,12
12( 22
m
m
m
xmy 4
（ii）解：如图，在平行四边形 BCDG 中∵ BG CD ，CD GD ，
∴ BG GD
以G 为原点建立空间直角坐标系O xyz
则 0,0,0 , 0,0,2 , 0,2,0G P D ，
0, 2,0 , 2,0,0 , 2,2,0 , 0, 1,1A B C M
∴ 2,0, 2 , 2,0,0 , 0, 1,1PB GB GM 平面 PAD 的法向量为
（1,0,0）
平面 BMD 的法向量为 （1,1,3）
锐二面角的余弦值为
（Ⅱ）设 0,2,2 0,2 ,2 , 0,1AM AP
∴ 0,2 2,2M 平面 BMG 的法向量为 )1,,0(
（过程略）解得
18.
（1）
134
22
yx
（2） i 设点 M 的坐标为(-4,m）
当 0m 时，AB 与 x 轴垂直 F， 为 AB 的中点,OM 平分 AB 显然成立
当 0m ，由已知可得：
则直线 AB 的方程为：
联立消去 y 得： 012424)12( 222 mxxm ，
由韦达定理得
AB 中点 P 的坐标为
又因为直线 OM： 所以 P 在直线 OM 上.综上 OM 平分线段 AB.
11
11数学 第 1 页 （共 17 页）
2
2
AB
MF 9,)12(
)9(4 2
22
22
mMFm
mAB
12
2 AB
MF
ii 当 0m 时， 当 0m 时，由 (i) 可知
169
994
1
2
2
mmAB
MF 又 ∴m=0 时， 最小，点 M 的坐标为(-4,0)
19.
(1)由题,当 1n 时, 1
2
2 2 5a S ,即 1
2
2 2 5a a
当 2n 时, 2
1 2 4n na S n …① 2
12 3nn Sa n …②
①-②得 2 2
1 2 1n n na a a ,整理得 2 2
1 1n na a ,又因为各项均为正数的数列 na .
故 1 1n na a , na 是从第二项的等差数列,公差为 1.
又 2 1a , 3 7,a a 恰为等比数列 nb 的前 3 项,
故 22
3 2 7 2 2 21 1 1 5a a a a a a ,解得 2 3a .又 1
2
2 2 5a a ,
故 1 2a ,因为 2 1 1a a 也成立.
故 na 是以 1 2a 为首项,1 为公差的等差数列.故 2 1 1na n n .
即 2,4,8 恰为等比数列 nb 的前 3 项,故 nb 是以 1 2b 为首项,公比为 4 22
的等比数列.
故 2n
nb .综上 1na n , 2n
nb
(2）
1
2
2
2 1
1
nnaa
nb nn
nn
n
前
n
项和为
12
2 1
nT
n
n
， nT 单增，所以
nT 的最小值为 1/3
所以
3
2020m
，所以 m 的最大整数是 673.
（3）过程略 12,3 n
ncn ，又 2,1 21 cc 符合
所以 12 n
nc数学 第 1 页 （共 17 页）
2
1
2
2ln 20. （1）极大值 无极小值；
(2) 即
1
cos 1a x x
在区间 0,1 上恒成立.
设 cos 1t x x x ，则 cos 1 sin 1 0t x x x x 在区间 0,1 上恒成立.
所以 cos 1t x x x 在 0,1 单调递.增，则 0 1t x ，
所以 1a .
(3) 由（2）可知当 1a 时，函数 sin 1 lnxG x x 在区间 0,1 上递增，
所以 sin 1 ln 1 0x x G ，即 1sin 1 ln 0 1x xx
，
所以
)3)(1(
)2(ln])2(
)3)(1(1sin[)2(
1sin
2
22
kk
k
k
kk
k
.
.
求和即可得证（略）
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