2019—2020 学年高二第二学期阶段考试试题
文科数学
说明：本试题考试时间 120 分钟，满分 150 分
参考公式：
（1）
（2）： 其中 为样本容量。
（3）：
一、选择题(本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，每小题给出的 4 个选项中，只有一选项
是符合题目要求的)
1.复数 的共轭复数是 （ ）
A．i +2 B．i -2 C．-i -2 D．2 - i
2.数列 …中的 等于 （ ）
A.28 B.27 C.33 D.32
3.命题“ ， ”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.“函数 是增函数”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
,))()()((
)( 2
2
dbcadcba
bcadnK ++++
−= dcban +++=
n
i i
i 1
n
2 2
i
i 1
x y nx y
ˆ ˆˆb= ,a=y-bx
x nx
=
=
−
−
∑
∑
2
5
−i
2,5,11,20, ,47,x x
[ )2,x∀ ∈ +∞ ( )2log 1 0x − >
[ )2,x∀ ∈ +∞ ( )2log 1 0x − < [ )0 2,x∃ ∈ +∞ ( )2 0log 1 0x − ≤
( ),2x∀ ∈ −∞ ( )2log 1 0x − < ( )0 ,2x∃ ∈ −∞ ( )2 0log 1 0x − ≤
( ) (2 1)xf x a= − 2a >
P k≥2（K ）
kC. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.下面框图属于（ ）
A．流程图 B．结构图 C．程序框图 D．工序流程图
6.若复数 z = + ( + 2 -15 )i 为实数,则实数 的值是( )
A. 3 B . -5 C . 3 或-5 D. -3 或 5
7.下表为某班 5 位同学身高 （单位：cm）与体重 （单位 kg）的数据，
身高 170 171 166 178 160
体重 75 80 70 85 65
若两个量间的回归直线方程为 ，则 的值为（ ）
A．21 B．123.2 C． 121.04 D． 45.12
8.在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9.一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为 2 的正三角形，俯视图是正方
形，那么该几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. 8 D. 12
10.已知函数 的导函数为 ，且满足关系式 ，则 的值等
于（ ）
A. B. C. D.
11.已知 分别为双曲线 的左、右焦点, 为双曲线右支上的任意一
1
5a +
2a a a
x y
1.16y x a= + a
− −
2)31(1 ii
iz +++=
4 3 4+ 4 3
( )f x ( )f x′ ( ) 3 (2) lnf x xf x′= + (1)f ′
1
4
1
4
− 3
4
− 3
4
1 2,F F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > P点,若 的最小值为 ,则双曲线的离心率 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.定义在 上的函数 满足： 则不等式
（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的横线上）
13.将演绎推理“ 在 上是增函数”写成三段论的形式，
其中大前提是
14.设 是数列 的前 项和， ，且 ，则数列 的通项公式为
________．
15.已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为该抛物线的焦点，点 在抛物
线上且满足 ,则 的最小值为 ．
16.若函数 （ 是自然对数的底数）在 的定义域上单调递增，则称
函数 具有 性质.下列函数中所有具有 性质的函数的序号为_______.
① ② ③ ④
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分 10 分）
某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查，喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多
的有 18 人，认为作业不多的有 9 人，不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有 8 人，认为作
业不多的有 15 人，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？
18.（本小题满分 12 分）
某产品的广告费支出 x(单位:百万元)与销售额 y(单位:百万元)之间有如下数据:
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
2
1
2
| |PF
PF 8a e
(1, 3 [ )3,+∞ 3,3 ( ]1,3
R ( )f x ( ) ( ) ( )1, 0 4,f x f x f> =′+ ( ) 3x xe f x e> +
(0 )+ ∞， ( 0) (3 )−∞ ∪ + ∞， ， ( 0) (0 )−∞ ∪ + ∞， ， (3 )+ ∞，
xy 2log= ),0( +∞
nS { }na n 0na > ( )1 36n n nS a a= + { }na
A 21
4y x= F P
PF m PA= m
( )xe f x 2.71828e = ( )f x
( )f x M M
( ) 2 xf x −= ( ) xf x −= 3 ( ) 3f x x= ( ) 2 2f x x= +(1)画出散点图.
(2)求 y 关于 x 的回归直线方程.
(3)预测广告费为 9 百万元时的销售额是多少?
19、（本小题满分 12 分）已知 -(3-2i)x-6i=0.
(1) 若 x∈R,求 x 的值. (2)若 x∈C,求 x 的值.
20. （本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 中， ，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，且四棱锥 的体积为 ，求该四棱
锥的侧面积．
21. （本小题满分 12 分）已知函数
(1)当 时， 在 上是增函数，求实数 的取值范围；
(2)当 时， 在 处取得极值，求函数 在 上的值域.
22.（本小题满分 12 分）
已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上．
（ ）求椭圆 的方程．
（ ）设动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 为圆心的圆，满足此
圆与 相交于两点 ， （两点均不在坐标轴上），且使得直线 、 的斜率之积为定
值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．
2x
P ABCD− AB CD∥ 90BAP CDP∠ = ∠ = °
PAB ⊥ PAD
PA PD AB DC= = = 90APD∠ = ° P ABCD− 8
3
3 2( ) .f x x ax bx= − +
2b = − ( )f x [ )1,+∞ a
3b = ( )f x 1
3x = ( )f x [ ]1, a
2 2
2 2: 1( )x yC a b ca b
+ = > > 3
2
31, 2A
1 C
2 l C O
l 1P 2P 1OP 2OP高二文科数学答案
一、BDBBAA CBCADA
二、
13. 函数 （a>1）在 是增函数 14.
15. 16.①④
三、
17.解：
认为作业多 认为作业不多 总数
喜欢玩电脑游戏 18 9 27
不喜欢玩电脑游戏 8 15 23
总数 26 24 50
K2= ， P（K2>5.024）=0.025,
有 97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系.
18.解：（1）图略
（2）
（3）
19.解：（1）
（2）
alog x ),0( +∞ 3na n=
2
2
059.523272426
)981518(50 2
=×××
×−×
5 5
2
1 1
5
1
5 22
1
5 50 145 1380
5
6 5 17 5
5
6 5 17 5
i i i
i i
i i
i
i
i
x y x x y
x y xy
b . a y bx .
x x
y . x .
= =
=
=
= = = =
−
= = = − =
−
= +
∑ ∑
∑
∑
故
9 76x y= =当 时， （百万元）
2
2 0
0
x R
x x x i
x x x
x
∈
=
=
时，由方程得
（ - 3 ）+（2 - 6） =0
- 3则 得 =3
2 - 620.（1）由已知 ，得 ， ．
由于 ，故 ，从而 平面 ．
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）在平面 内作 ，垂足为 ．
由（1）知， 面 ，故 ，可得 平面 ．
设 ，则由已知可得 ， ．
故四棱锥 的体积 ．
由题设得 ，故 ．
从而 ， ， ．
可得四棱锥 的侧面积为
21.(1) ,
因为 在 上是增函数，
所以 在区间 上横成立，
即 在区间 上横成立，
2 2
2 2 0 30
2 00
3 2
x C x a bi a b R
a b -3a-2b ab b a i
a aa b -3a-2b
b bab b a
x x i
∈ ∈
= = =
= − ==
= = −
时，设 = + （ 、 ）
代入方程整理得
（ - ）+（2 - 3 +2 - 6） =0
-则 得 或
2 - 3 +2 - 6
故 或
90BAP CDP∠ = ∠ = ° AB AP⊥ CD PD⊥
AB CD AB PD⊥ AB ⊥ PAD
AB ⊂ PAB PAB ⊥ PAD
PAD PE AD⊥ E
AB ⊥ PAD AB PE⊥ PE ⊥ ABCD
AB x= 2AD x= 2
2PE x=
P ABCD− 31 1
3 3P ABCDV AB AD PE x− = ⋅ ⋅ =
31 8
3 3x = 2x =
2PA PD= = 2 2AD BC= = 2 2PB PC= =
P ABCD−
1 1 1
2 2 2PA PD PA AB PD DC⋅ + ⋅ + ⋅ 21 sin60 6 2 32 BC+ ° = +
( ) ( )3 2 22 . 3 2 2f x x ax x f x x ax= − − ∴ = − −′
( )f x [ )1,+∞
( ) 23 2 2 0f x x ax= − − ≥′ [ )1,+∞
2
2 3 2 22 3 2, 2 , 2 3xax x a a xx x
−≤ − ∴ ≤ ≤ −即 [ )1,+∞令 ， ， 在 上单调增函数.
所以
(2) ，
因为 处取得极值，所以 =0，得出
,令 ，
在 上为减函数，在 上增函数，
又 ，函数的最大值 函数的最小值
所以，函数 上的值域为 .
22.（I）由题意得： ， ，
又点 在椭圆 上，∴ ，解得 ， ， ，
∴椭圆 的方程为 ．
（II）存在符合条件的圆，且此圆的方程为 ．
证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 ．
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ．
由方程组 得 ．
∵直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，
∴ ，即 ．
由方程组 得 ，
则 ．
( ) 23g x x x
= − ( ) 2
23 0g x x
= + >′ ( )g x∴ [ )1,+∞
( ) 12 1 1, .2a g a≤ = ≤即
( ) ( )3 2 23 . 3 2 3f x x ax x f x x ax= − + ∴ = − +′
( ) 1
3f x x =在 1
3f
′ 5.a =
( ) ( )( )23 10 3 3 1 3f x x x x x∴ = − + = − −′ ( ) 10, 3, 3f x x x=′ = =得
∴ ( )f x [ ]1,3 [ ]3,5
( ) ( )1 1, 5 15f f= − = ( ) ( ){ }1 , 5 15,max f f= =
( )3 9,f= = −
( ) [ ]1f x a在 ， [ ]9,15−
3
2
c
a
= 2 2 2a b c= +
3(1, )2A C 2 2
1 3 14a b
+ = 2a = 1b = 3c =
C
2
2 14
x y+ =
2 2 5x y+ =
2 2 2 ( 0)x y r r+ = >
l l y kx m= +
2
2{
14
y kx m
x y
= +
+ =
2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =
l C
2 2 2
1 (8 ) 4(4 1)(4 4) 0km k m∆ = − + − = 2 24 1m k= +
2 2 2{y kx m
x y r
= +
+ =
2 2 2 2( 1) 2 0k x kmx m r+ + + − =
2 2 2 2
2 (2 ) 4( 1)( ) 0km k m r∆ = − + − >设 ，则 ， ，
设直线 的斜率分别为 ，
∴
，将 代入上式，
得 ．
要使得 为定值，则 ，即 ，代入 验证知符合题意．
∴当圆的方程为 时，圆与 的交点 满足 为定值 ．
当直线 的斜率不存在时，由题意知 的方程为 ．
此时，圆 与 的交点 也满足 ．
综上，当圆的方程为 时，
圆与 的交点 满足直线 的斜率之积为定值 ．
1 1 1 2 2 2( , ) ( , )P x y P x y， 1 2 2
2
1
kmx x k
−+ = +
1 2OP OP， 1 2k k，
2 2
2 2
2 2 22 2
2 2 2 2
2
2· ·1 1
1
m r kmk km m m r kk k
m r m r
k
− −+ + −+ += =− −
+
2 24 1m k= +
2 2
1 2 2 2
(4 ) 1
4 (1 )
r kk k k r
− += + −
1 2k k
2
2
4 1
4 1
r
r
− = −
2 5r = 2
∆
2 2 5x y+ = l 1 2P P， 1 2k k 1
4
−
l l 2x = ±
2 2 5x y+ = l 1 2P P， 1 2
1
4k k = −
2 2 5x y+ =
l 1 2P P， 1 2OP OP， 1
4
−
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