冲刺2020年高考数学(文)全真模拟9(解析版)
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冲刺2020年高考数学(文)全真模拟9(解析版)

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资料简介
冲刺 2020 年高考数学(文)全真模拟(九) 一、单选题 1.复数 z = (i 是虚数单位)在复平面上所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】 试题分析:因复数 ,所以复数在复平面内对应的点在第一象限. 考点:复数的运算及几何意义. 2.如果集合 , , , 那么点 的条件是(). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得 ,由此求得 满足的不等式组,将 点坐标代入上述不等式组,解不等式组求得 的取值范围. 【详解】 依题意 ,所以 满足的不等式组为 ,由于 ,故 ,解得 , . 故选:A 【点睛】 本小题主要考查交集和补集的概念及运算,考查点与线性约束条件表示的区域的位置关系,属于基础题. 3.已知 p:∃x0∈R,m +1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若 p∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围为(  ) A.m≥2 B.m≤-2 C.m≤-2 或 m≥2 D.-2≤m≤2 2 2 i i + − ( )2 2 2 22 3 4 2 2 5 ii iz i i ++ += = =− − { }( , ) | ,U x y x y= ∈ ∈R R 2{ | }0A x y x y m= − + >( , ) { | 0}B x y x y n= + − ≤( , ) (2,3) UP A C B∈ ∩ 1 5m n> − , 1 5m n< − >, UC B UA C B∩ P ,m n ( ){ }, | 0UC B x y x y n= + − > UA C B∩ 2 0 0 x y m x y n − + >  + − > ( )UP A C B∈ ∩ 4 3 0 2 3 0 m n − + >  + − > 1m > − 5n < 2 0x【答案】A 【解析】 分析:先求出 p,q 是真命题的 x 的范围,由于 p 或 q 为假命题,得到 p,q 应该全假,即 p,q 的否定为真, 列出方程组,求出 m 的范围. 解答:解:若 p 真则 m<0; 若 q 真,即 x2+mx+1>0 恒成立, 所以△=m2-4<0, 解得-2<m<2. 因为 p 或 q 为假命题,所以 p,q 全假. 所以有 , 所以 m≥2. 故选 A 4.在等差数列 中,若 公差 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的通项公式求解即可得到结果. 【详解】 ∵等差数列 中, ,公差 , ∴ . 故选 B. 【点睛】 等差数列中的计算问题都可转为基本量(首项和公差)来处理,运用公式时要注意项和项数的对应关系.本 题也可求出等差数列的通项公式后再求出 的值,属于简单题. 5.已知向量 , 满足 ,且 , ,则向量 与 的夹角为( ) A. B. C. D. m 0{m 2 m 2 ≥ ≤ − ≥或 { }na 2 8,a = − 2d = 12a = 10 12 14 16 { }na 2 8a = − 2d = 12 2 10 8 20 12da a= + =− + = 12a a b a b a b+ = −   | | 3a = | | 1b = b a b−  3 π 2 3 π 6 π 5 6 π【答案】B 【解析】 【分析】 对 两边平方,求得 ,所以 .画出图像,根据图像确定 与 的夹角,并 根据它补角的正切值求得对应的角的大小. 【详解】 因为 ,所以 ,即 ,所以 .如图,设 , ,则向量 与 的夹角为 ,因为 ,所以 , .故选 B. 【点睛】 本题考查平面向量的模以及夹角问题,考查运算求解能力,考查数形结合的数学思想方法.属于中档题. 6.函数 的最小正周期为 ,若其图象向左平移 个单位后得到的函 数为奇函数,则函数 的图象( ) A.关于点 对称 B.关于点 对称 C.关于直线 对称 D.关于直线 对称 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数 的最小正周期为 ,求出 ,向左平移 个单位后得到的函数为奇函数,求出 ,可得出 的解析式,结合三角函数的性质可得出对称中心和对称轴,由此判断即可求得答案. 【详解】 a b a b+ = −   0a b⋅ = a b⊥  b a b−  a b a b+ = −   2 2 2 22 2a a b b a a b b+ ⋅ + = − ⋅ +       0a b⋅ = a b⊥  AB a=  AD b=  b a b−  BDE∠ tan 3BDA∠ = 3BDA π∠ = 2 3BDE π∠ = ( ) ( ) πsin 0, 2f x xω φ ω φ = + > ω 2ω = ( ) sin(2 )f x x ϕ= + ( )f x 6 π ( )g x ( ) sin 2 sin 22 6 3g x x x ϕ π πϕ    = + + = + +         ( )g x (0) 0g = 3 k πϕ π+ = k Z∈ ( ),3 k k Z πϕ π= − + ∈ | | 2 ϕ π< 3 πϕ = − ( ) sin 2 3f x x π = −   2 3x k π π− = k Z∈ 6 2 kx π π= + ( )f x ,06 2 kπ π +   k Z∈ k 7 6 2 12 kπ π π+ = k 6 2 12 kπ π π+ = − 2 3 2x k π π π− = + k Z∈ 5 12 2 kx π π= + ( )f x 5 12 2 kx π π= + k Z∈ 1k = − 12x π= − ( )f x 12x π= − k 5 7 12 2 12 kπ π π+ = 2 xC. D. 【答案】D 【解析】 分析:先研究函数的奇偶性,再研究函数在 上的符号,即可判断选择. 详解:令 , 因为 ,所以 为奇函数,排除选项 A,B; 因为 时, ,所以排除选项 C,选 D. 点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置, 由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇 偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 8.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.240 B.264 C.274 D.282 【答案】B 【解析】 【分析】 将三视图还原成几何体,然后分别求出各个面的面积,得到答案. 【详解】 由三视图可得,该几何体的直观图如图所示, 延长 交 于 点, 其中 , , , π( ,π)2 ( ) 2 sin 2xf x x= , ( ) 2 sin 2( ) 2 sin 2 ( )x xx R f x x x f x−∈ − = − = − = − ( ) 2 sin 2xf x x= π( ,π)2x∈ ( ) 0f x < BE DF A 1 6AB AD DD= = = 3AE = 4AF =所以表面积 . 故选 B 项. 【点睛】 本题考查三视图还原几何体,求组合体的表面积,属于中档题 9.我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题,根据问题的条件绘制如图的程序框图,则输出的 , 分别是( ) A.12,23 B.23,12 C.13,22 D.22,13 【答案】B 【解析】 【分析】 分析程序框图功能,求当鸡、兔共 35 只头,94 条腿时,鸡和兔各有多少只.根据条件确定跳出循环的 S 值, 即可得到输出值. 【详解】 由程序框图,得 , , ; , , ; , , ; , , ;……, , , .输出 , .故选 B. 【点睛】 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键. ( ) 3 436 5 3 6 2 4 6 30 2642S ×= × + × + × + × + = x y 1x = 34y = 138S = 3x = 32y = 134S = 5x = 30y = 130S = 7x = 28y = 126S = 23x = 12y = 94S = 23x = 12y =10.已知椭圆 C: 及点 B(0,a),过 B 与椭圆相切的直线交 x 轴的负半轴于点 A,F 为椭 圆的右焦点,则∠ABF 等于( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意画出图形,设出过 的直线方程为 ,联立直线方程与椭圆方程,化为关于 的一元二次 方程,由判别式等于 0 求得 ,进一步得到直线方程,求出 的坐标,然后可求得 . 【详解】 解如图,设过点 的直线方程为: 由 得 由 ,得 由题意取 ,则过点 的直线方程为: 令 ,得 ,所以 在 中, , 所以 为直角三角形,即 故选:B 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > B y kx a= + x k A ABF∠ B y kx a= + 2 2 2 2 1 y kx a x y a b = + + = ( )2 2 2 2 3 4 2 22 0a k b x a kx a a b+ + + − = ( )( )6 2 2 2 2 4 2 2=4 4 0a k a k b a a b− + − =△ ck a = ± ck a = B cy x aa = + 0y = 2ax c = − 2 0aA c  −   , ABF 4 2 2 2| | aAB a c = + 2 2 2| |BF a c= + 22 4 2 2 2 2 2 2| | = 2 | | | |a aAF c c a AB BFc c  + = + + = +   ABF =90ABF∠ °【点睛】 本题考查椭圆的简单性质,考查了直线与椭圆位置关系的应用,是中档题. 11.一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F 为 6 个开关,其闭合的概率为 ,且是相互独立的,则灯亮 的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设 与 中至少有一个不闭合的事件为 与 至少有一个不闭合的事件为 ,则 ,所以灯亮的概率为 , 故选 B. 【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式,属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要 把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来,要会对一个复杂的随机事件进行分析,也就是说能把一个复 杂的事件分成若干个互斥事件的和,再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积,这种把复杂事 件转化为简单事件,综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 12.定义在 上的函数 的导函数为 ,若 ,且 ,则( ) A. B. C. D. 1 2 1 64 55 64 1 8 1 16 A B ,T E F R ( ) ( ) 1 1 31 2 2 4P T P R= = − × = ( ) ( )1P P T P R= − ⋅ ⋅ ( ) ( ) 3 3 1 1 551 4 4 2 2 64P C P D⋅ = − × × × =  R ( )f x '( )f x ( ) 0f x < ( ) '( )21 12 f x f x+  >   ( ) ( )2 2 2 13 ff e < ( ) ( )2 1f fe < ( ) ( )2 21 2f fe < ( ) ( )23 1f e f< ⋅【答案】C 【解析】 【分析】 由 得 ,构造函数: ,求导判单调性得 , 进而得 则可求 【详解】 因为 ,所以 .构造函数: ,所以 .所以函数 在 上单调递增,所 以 ,即 ,即 故选:C 【点睛】 本题考查导数与函数的单调性,考查构造函数的思想,考查逻辑推理能力,是中档题 二、填空题 13.已知函数 的图象在点 处的切线恰好与直线 平行,若 在区间 上单调递减,则实数 t 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 , ,又 ,两方程联立解方程组得 ,所以 所以 f(x)的减区间为 ,故 14.二项式 展开式中,含 的项的系数为_____. 【答案】60 【解析】 【分析】 ( ) '( )21 12 f x f x+  >   ( ) 2 '( ) 0f x f x+ < 2( ) ( )xg x e f x= ⋅ ( 2) (1)g g> 2 2(2) (1)e f f⋅ > ( ) '( ) 021 112 2 f x f x+   > =       ( ) 2 '( ) 0f x f x+ < 2( ) ( )xg x e f x= ⋅ 2'( ) ( ) 2 ( ) '( )x xg x e f x e f x f x= ⋅ + ⋅ ⋅ ( ) [ ( ) 2 '( )] 0xe f x f x f x= ⋅ ⋅ + > ( )g x R ( 2) (1)g g> 2 2 2(2) (1)e f e f⋅ > ⋅ ( ) ( )2 21 2f fe < 62( )x x − 3x根据二项式展开式的通项公式,令 的指数等于 3,从而求得展开式中含 项的系数. 【详解】 展开式的通项公式为 , 令 ,解得 ; ∴展开式中含 项的系数为 . 故答案为:60. 【点睛】 本题考查二项式展开式的通项公式计算问题,考查函数与方程思想,考查逻辑推理能力运算求解能力,属 于基础题. 15.过抛物线 的焦点作直线 交 于 、 两点, 是线段 的三等分点, 过 作 的准线的垂线,垂足是 ,则 ________; 的最小值等于________. 【答案】 【解析】 【分析】 由抛物线方程,求出焦点坐标 ,设直线方程 ,联立方程组,通过韦达定理求得 和 ,进而得出 ;由抛物线的定义和性质,利用基本不等式求 最小值,即可得出结果. 【详解】 解:由题可知,抛物线 的焦点坐标为 , 设直线 的方程为: , 设 , , 联立方程 ,得 , x 3x 62( )x x − 366 2 1 6 6 2( ) ( 2) rr r r r r rT C x C x x −− + = − = −    36 32 r− = 2r = 3x 2 2 6( 2) 4 15 60C− = × = 2: 6E y x= l E ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y M AB M E M ′ 1 2x x = MM′ 9 4 3 32 + 3 ,02      3 2x my= + 1 2y y+ 1 2y y 1 2x x Mx 2: 6E y x= 3 ,02      l 3 2x my= + ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , ,M MA x y B x y M x y 1 20, 0x x> > 2 3 2 6 x my y x  = +  = 2 6 9 0y my− − =则 , , 又因为 ,则 , 解得: . 因为 是线段 的三等分点,则 ,即 , 因为 ,则 , 当且仅当 时,取等号,得 最小值为 , 而 ,所以 的最小值为: . 故答案为: ; . 【点睛】 本题考查抛物线性质的应用,包括联立方程、韦达定理、抛物线的定义和性质,还利用基本不等式求最值, 同时考查转化能力和解题能力,属于中档题. 16.已知函数 ,当______时(从①②③④中选出一个作为条件),函数有 ______.(从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论,只填出一组即可) ① ② ③ , ④ , 或 ⑤4 个极小值点⑥1 个极小 值点⑦6 个零点⑧4 个零点 【答案】① ⑥ 【解析】 【分析】 本题为开放题型,根据选择的条件,把绝对值打开,求导研究函数单调性,继而研究函数的极值点,零点 即可. 【详解】 . 比如:当 时, 1 2 6y y m+ = 1 2 9y y = − ( )2 1 2 1 236y y x x= 1 281 36x x= 1 2 9 4x x = M AB 1 22 3M x xx += 1 1 92 4 3M x xx + = 1 1 1 1 9 92 2 2 3 24 4x xx x + ≥ ⋅ = 3 2 23Mx ≥ = 1 3 2 4x = Mx 2 3 2MMM x′ = + MM′ 3 22 + 9 4 3 22 + ( )22 2( ) 3 1f x x a x b= − − − − 1 2a ≤ − 3 5 2 2a< < 1a = 2 0b− < < 1a = 9 24 b− < < − 0b = 1 2a ≤ −由于 ,故 在 无零点, 由于 ,故 恒成立, 有唯一零点 x=0,且 左负右正,故 f(x)有唯一的极小值. 故答案为:①,⑥(答案不唯一) 【点睛】 本题为开放题型,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题. 三、解答题 17.已知 的内角分别为 ,其对应边分别是 ,且满足 . (Ⅰ)求角 的大小; (Ⅱ)若 ,求 的最大值. 【答案】(1) . (2) . 【解析】 分析:(1)先根据正弦定理进行边化角,然后结合三角函数正弦的和差公式逆运用即可;(2)先由正弦 定理得出 , ,然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可. 详解: (Ⅰ) ,由正弦定理得: , 即 ,于是 , 从而 ; ( ) 4 2 222 2 4 2 2 (2 3) 3 , ( , 1] [1, )( ) 3 1 (2 3) 3 , ( 1,1) x a x a b xf x x a x b x a x a b x  − + + + − ∈ −∞ − ∪ +∞= − − − − =  − − + − − ∈ − 2 2 (2 3)4 [ ], ( , 1] [1, )2'( ) (2 3)4 [ ], ( 1,1)2 ax x x f x ax x x + − ∈ −∞ − ∪ +∞=  − − ∈ − (2 3) 12 a + ≤ 2 (2 3)4 [ ]2 ay x x += − ( , 1] [1, )x∈ −∞ − ∪ +∞ (2 3) 22 a − ≤ − 2 (2 3) 02 ay x += − > 2 (2 3)4 [ ], ( 1,1)2 ay x x x −= − ∈ − ABC∆ , ,A B C , ,a b c cos cos 2 cosb C c B a B+ = B 3b = 2a c+ 3B π= 2 7 2sina A= sinc C=  cos cos 2 cosb C c B a B+ = sin cos sin cos 2sin cosB C C B A B+ = ( )sin sin 2sin cosB C A A B+ = = 1cos 2B = 3B π=(Ⅱ)由正弦定理得: , , , ,(其中 , 所以当 时, 的最大值是 . 点睛:考查正弦定理的边化角,三角化简求最值,对定理的灵活运用转化为解题关键,属于中档题. 18.已知三棱锥 P﹣ABC 中,AC⊥BC,AC=BC=2,PA=PB=PC=3,O 是 AB 中点,E 是 PB 中点. (1)证明:平面 PAB⊥平面 ABC; (2)求点 B 到平面 OEC 的距离. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)连结 PO,利用等腰三角形的性质证得 ,利用勾股定理计算证明证得 ,由此证 得 平面 ,进而证得平面 平面 . (2)利用等体积法,由 列方程,解方程求得 到平面 的距离. 【详解】 (1)连结 PO,在△PAB 中,PA=PB,O 是 AB 中点, ∴PO⊥AB, 又∵AC=BC=2,AC⊥BC,∴ . 3 2sin sin sin 3 2 a c b A C B = = = = 2sina A∴ = sinc C= ∴ ( )22 2sin 4sin 2sin 4sin 2 2sin 3cos3a c A C A A A A π + = + = + − = + =   ( )2 7sin A φ+ 3tan , 0, )2 2 πφ φ  = ∈   2A π φ= − 2a c+ 2 7 14 3 PO AB⊥ PO OC⊥ PO ⊥ ABC PAB ⊥ ABC B OEC E OBCV V− −= B OEC 2 2 2AB OB OC= = =,∵PA=PB=3,∴ ,PC2=PO2+OC2, ∴PO⊥OC. 又 AB∩OC=O,AB⊂平面 ABC,OC⊂平面 ABC, ∴PO⊥平面 ABC, ∵PO⊂平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 ABC. (2)∵OE 是△PAB 的中位线,∴ . ∵O 是 AB 中点,AC=BC,∴OC⊥AB. 又平面 PAB⊥平面 ABC,两平面的交线为 AB,∴OC⊥平面 PAB, ∵OE⊂平面 PAB,∴OC⊥OE. 设点 B 到平面 OEC 的距离为 d,则 VB﹣OEC=VE﹣OBC, ∴ , ∴点 B 到平面 OEC 的距离: . 【点睛】 本小题主要考查面面垂直的证明,考查点面距离的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题. 19.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班 40 名学生进行了问卷调查,得到了如下的 列联表: 男生 女生 总计 喜爱打篮球 19 15 34 不喜爱打篮球 1 5 6 7PO = 3 2OE = 1 1 1 3 3 2OEC OBCS d S OP× ⋅ = × ×   1 1 1 142 2 2 1 3 2 OBC OEC S OP OB OC OP d S OE OC ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅   2 2×总计 20 20 40 (1)在女生不喜爱打篮球的 5 个个体中,随机抽取 2 人,求女生甲被选中的概率; (2)判断能否在犯错误的概率不超过 的条件下认为喜爱篮球与性别有关? 附: ,其中 . 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) ;(2)不能 【解析】 【分析】 (1)根据随机事件概率公式,计算即可求解; (2)根据题意,计算 ,与 比较,完成独立性检验. 【详解】 (1)在女生不喜爱打篮球的 5 个个体中,随机抽取 2 人, 则女生甲被选中的概率 ; (2)根据题中给出的列联表, , 故不能在犯错误的概率不超过 0.1 的条件下认为喜爱篮球与性别有关. 【点睛】 本题考查(1)随机事件概率公式(2)独立性检验,考查计算能力,属于基础题. 20.已知圆 : ,过定点 作斜率为 1 的直线交圆 于 、 两点, 为线段 的中点. 0.1 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 2 0( )P K k≥ 0k 2 5 2K 0 =6.635k 1 4 2 5 4 2 10 5 CP C = = = ( ) ( )( )( )( ) 2 2 2 40(19 5 15 1) 3.137 6.63520 20 34 6 n ad bcK a b c d a c b d − × − ×= = ≈+ + + + × × × < C 2 2 4 1 0x y ax y+ + − + = ( )a R∈ (0,1)P C A B P AB(1)求 的值; (2)设 为圆 上异于 、 的一点,求△ 面积的最大值; (3)从圆外一点 向圆 引一条切线,切点为 ,且有 , 求 的最小值,并求 取 最小值时点 的坐标. 【答案】(1)2;(2) ;(3) ; . 【解析】 【详解】 试题分析:(1)通过 ⊥ 求解 的值; (2)当 为与 垂直的直径,且与 较远的直径端点时,△ 面积最大; (3)通过△ 为直角三角形勾股定理列出关系式,然后通过 进行转化, 找出点 所在轨迹,然后利用点到直线的距离即可找到 的最小值,进而求出点 的坐标. 试题解析:(1)由题知圆心 ,又 为线段 的中点,∴ ⊥ , ∴ ,即 ,∴ . (2)由(1)知圆 的方程为 ,∴圆心 ,半径 , 又直线 的方程是 , ∴圆心 到直线 的距离 , . 当 ⊥ 时,△ 面积最大, . (3)∵ ⊥ ,∴ , 又 ,∴ . 设 ,则有 ,整理得 ,即点 在 上, ∴ 的最小值即为 的最小值 , a E C A B ABE M C N MN MP= MN MN M 2 2 2+ 2 2 1 1( , )2 2 CP AB a E AB AB ABE CMN MN MP= M MN M C ( ,2)2 a− (0,1)P AB CP AB 1PCk = − 1 2 1 0 ( )2 a − = − − − 2a = C 2 2( 1) ( 2) 4x y+ + − = ( 1,2)C − 2r = AB 1 0x y− + = C AB 1 2 2 1 2 1 2 1 1 d − − += = + 2 4 2 2 2AB = − = EC AB ABE max 1 2 2 (2 2) 2 2 22S = × × + = + MN CN 2 2| | 4MN MC= − MN MP= 2 2| | 4MP MC= − ( , )M x y 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 4x y x y+ − = + + − − y x= M y x= MN MP 2 0 1 2 22 d −= =由 解得 ∴满足条件的 点坐标为 . 考点:1.弦所在直线方程的求解;2.最值问题. 21.设函数 , . (1)当 ( 为自然对数的底数)时,求 的极小值; (2)讨论函数 零点的个数. 【答案】(1)极小值 ; (2)①当 时, 无零点, ②当 或 时, 有且仅有 个零点, ③当 时, 有两个零点. 【解析】 【详解】 试题分析:(1)要求 的极小值,可以通过判断其单调性从而求得其极小值,对 求导,可知 ,再通过列表即可得当 时, 取得极小值 ;(2)令 ,可得 ,因此要判断函数 的零点个数,可通过画出函数 的草图来判断,同样可以通过求导判断函数 的单调性来画出函数图象的 草图: ,通过列表可得到 的单调性,作出 的图象,进而可得 ①当 时, 无零点,②当 或 时, 有且仅有 个零点, ③当 时, 有两个零点. 试题解析:(1)当 时, ,其定义域为 , , 令 , , ( )22 0 11 2 x y x y − = + − = 1 ,2{ 1 .2 x y = = M 1 1( , )2 2 ( ) ln mf x x x = + m R∈ m e= e ( )f x ( ) ( ) 3 xg x f x −′= ( ) ln 2ef e e e = + = 2 3m > ( )g x 2 3m = 0m ≤ ( )g x 1 20 3m< < ( )g x ( )f x ( )f x ( ) 2 2 1 e x ef x x x x −′ = − = x e= ( )f x ( ) ln 2ef e e e = + = ( ) 0g x = 31 3m x x= − + ( ) ( ) 3 xg x f x′= − 31( ) 3h x x x= − + 31( ) 3h x x x= − + ( ) ( )( )2 1 1 1h x x x x= − + = − + −′ ( )h x ( )h x 2 3m > ( )g x 2 3m = 0m ≤ ( )g x 1 20 3m< < ( )g x m e= ( ) ln ef x x x = + ( )0, ∞+ ( ) 2 2 1 e x ef x x x x −′ = − = ( ) 0f x′ = x e=极小值 故当 时, 取得极小值 ; (2) ,其定义域为 , 令 ,得 , 设 ,其定义域为 .则 的零点为 与 的交点, , 极大值 x ( )0,e e ( ),e +∞ ( )f x′ − 0 + ( )f x   x e= ( )f x ( ) ln 2ef e e e = + = ( ) ( ) 3 2 2 1 3 3 3 3 3 x m x x m xg x f x x x x − −= − = − − =′ ( )0, ∞+ ( ) 0g x = 31 3m x x= − + ( ) 31 3h x x x= − + ( )0, ∞+ ( )g x ( )h x y m= ( ) ( )( )2 1 1 1h x x x x= − + = − + −′ x ( )0,1 1 ( )1,+∞ ( )h x′ + 0 − ( )h x  故当 时, 取得最大值 作出 的图象,可得 ①当 时, 无零点, ②当 或 时, 有且仅有 个零点, ③当 时, 有两个零点. 考点:导数的运用. 22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数, ),点 .以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的的极坐标方程为 . (1)求曲线 的直角坐标方程,并指出其形状; (2)曲线 与曲线 交于 , 两点,若 ,求 的值. 【答案】(1) ,曲线 是以 为圆心, 为半径的圆.(2) 【解析】 【分析】 (1)利用极坐标和直角坐标的互化公式进行转化;(2)利用参数的几何意义求解. 【详解】 (1)由 ,得 ,所以 , 即 , . 所以曲线 是以 为圆心, 为半径的圆. (2)将 代入 , 整理得 , 1x = ( )h x ( ) 21 3h = ( )h x 2 3m > ( )g x 2 3m = 0m ≤ ( )g x 1 20 3m< < ( )g x xOy 1C cos 2 sin x t a y t α =  = − + t 0 α π≤ < (0, 2)M − O x 2C 4 2cos 4p πθ = +   2C 1C 2C A B 1 1 17 | | | | 4MA MB + = sinα 2 2( 2) ( 2) 8x y− + + = 2C (2, 2)− 2 2 15sin 4 α = 4 2cos 4 πρ θ = +   4cos 4sinρ θ θ= − 2 4 cos 4 sinρ ρ θ ρ θ= − 2 2 4 4x y x y+ = − ( ) ( )2 22 2 8x y− + + = 2C ( )2, 2− 2 2 2 x tcos y tsin α α =  = − + ( ) ( )2 22 2 8x y− + + = 2 4 cos 4 0t t α− − =设点 , 所对应的参数分别为 , , 则 , . . 解得 ,则 . 【点睛】 本题主要考查参数方程和极坐标,极坐标和直角坐标的转化公式要熟记,参数几何意义的应用能简化解题 过程. 23.已知 . (1)当 时,求不等式 的解集; (2)若 , ,证明: . 【答案】(1) (2)见证明 【解析】 【分析】 (1) 利用零点分段法讨论去掉绝对值求解; (2) 利用绝对值不等式的性质进行证明. 【详解】 (1)解:当 时,不等式 可化为 . 当 时, , ,所以 ; 当 时, , . 所以不等式 的解集是 . (2)证明:由 , ,得 , , , 又 , 所以 ,即 . A B 1t 2t 1 2 4cost t α+ = 1 2 4t t = − 1 2 1 2 1 1 MA MB t t MA MB MA MB t t + ++ = = ( )2 1 2 1 21 2 4 4 4 t t t tt t + −−= = 216cos 16 17 4 4 α += = 2 1cos 16 α = 15sin 4 α = ( )=| +2|f x ax 2a = ( )>3f x x (1)f M (2)f M 2 3M ( ,2)−∞ 2a = ( )f x x< 2 2 3x x+ > 1x ≤ − 2 2 3x x− − > 2 5x < − 1x ≤ − 1x > − 2 2 3x x+ > 1 2x− < < ( ) 3f x x> ( ),2−∞ ( )1f M≤ ( )2f M≤ 2M a≥ + 2 2M a≥ + 3 2 2 2 2 2M M M a a= + ≥ + + + 2 2 2 2 4 2 2a a+ + + ≥ − = 3 2M ≥ 2 3M ≥【点睛】 本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解,含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.

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