冲刺2020年高考数学（理）全真模拟09（解析版）

冲刺 2020 年高考数学（理）全真模拟（九） 一、单选题 1．复数 z = (i 是虚数单位)在复平面上所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】 试题分析：因复数 ，所以复数在复平面内对应的点在第一象限. 考点：复数的运算及几何意义. 2．如果集合 ， ， ， 那么点 的条件是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得 ，由此求得 满足的不等式组，将 点坐标代入上述不等式组，解不等式组求得 的取值范围. 【详解】 依题意 ，所以 满足的不等式组为 ，由于 ，故 ，解得 ， . 故选:A 【点睛】 本小题主要考查交集和补集的概念及运算，考查点与线性约束条件表示的区域的位置关系，属于基础题. 3．已知 p：∃x0∈R，m ＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若 p∨q 为假命题，则实数 m 的取值范围为(　　) A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2 或 m≥2 D．－2≤m≤2 2 2 i i + − ( )2 2 2 22 3 4 2 2 5 ii iz i i ++ += = =− − { }( , ) | ,U x y x y= ∈ ∈R R 2{ | }0A x y x y m= − + >（ ， ） { | 0}B x y x y n= + − ≤（ ， ） (2,3) UP A C B∈ ∩ 1 5m n> − ， 1 5m n< − >， UC B UA C B∩ P ,m n ( ){ }, | 0UC B x y x y n= + − > UA C B∩ 2 0 0 x y m x y n − + >  + − > ( )UP A C B∈ ∩ 4 3 0 2 3 0 m n − + >  + − > 1m > − 5n < 2 0x【答案】A 【解析】 分析：先求出 p，q 是真命题的 x 的范围，由于 p 或 q 为假命题，得到 p，q 应该全假，即 p，q 的否定为真， 列出方程组，求出 m 的范围． 解答：解：若 p 真则 m＜0； 若 q 真，即 x2+mx+1＞0 恒成立， 所以△=m2-4＜0， 解得-2＜m＜2． 因为 p 或 q 为假命题，所以 p，q 全假． 所以有 ， 所以 m≥2． 故选 A 4．在等差数列 中，若 公差 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的通项公式求解即可得到结果． 【详解】 ∵等差数列 中， ，公差 ， ∴ ． 故选 B． 【点睛】 等差数列中的计算问题都可转为基本量（首项和公差）来处理，运用公式时要注意项和项数的对应关系．本 题也可求出等差数列的通项公式后再求出 的值，属于简单题． 5．已知向量 ， 满足 ，且 ， ，则向量 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． m 0{m 2 m 2 ≥ ≤ − ≥或 { }na 2 8,a = − 2d = 12a = 10 12 14 16 { }na 2 8a = − 2d = 12 2 10 8 20 12da a= + =− + = 12a a b a b a b+ = −   | | 3a = | | 1b = b a b−  3 π 2 3 π 6 π 5 6 π【答案】B 【解析】 【分析】 对 两边平方，求得 ，所以 .画出图像，根据图像确定 与 的夹角，并 根据它补角的正切值求得对应的角的大小. 【详解】 因为 ，所以 ，即 ，所以 .如图，设 ， ，则向量 与 的夹角为 ，因为 ，所以 ， .故选 B. 【点睛】 本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题. 6．函数 的最小正周期为 ，若其图象向左平移 个单位后得到的函 数为奇函数，则函数 的图象（ ） A．关于点 对称 B．关于点 对称 C．关于直线 对称 D．关于直线 对称 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数 的最小正周期为 ，求出 ，向左平移 个单位后得到的函数为奇函数，求出 ，可得出 的解析式，结合三角函数的性质可得出对称中心和对称轴，由此判断即可求得答案. 【详解】 a b a b+ = −   0a b⋅ = a b⊥  b a b−  a b a b+ = −   2 2 2 22 2a a b b a a b b+ ⋅ + = − ⋅ +       0a b⋅ = a b⊥  AB a=  AD b=  b a b−  BDE∠ tan 3BDA∠ = 3BDA π∠ = 2 3BDE π∠ = ( ) ( ) πsin 0, 2f x xω φ ω φ = + > ω 2ω = ( ) sin(2 )f x x ϕ= + ( )f x 6 π ( )g x ( ) sin 2 sin 22 6 3g x x x ϕ π πϕ    = + + = + +         ( )g x (0) 0g = 3 k πϕ π+ = k Z∈ ( ),3 k k Z πϕ π= − + ∈ | | 2 ϕ π< 3 πϕ = − ( ) sin 2 3f x x π = −   2 3x k π π− = k Z∈ 6 2 kx π π= + ( )f x ,06 2 kπ π +   k Z∈ k 7 6 2 12 kπ π π+ = k 6 2 12 kπ π π+ = − 2 3 2x k π π π− = + k Z∈ 5 12 2 kx π π= + ( )f x 5 12 2 kx π π= + k Z∈ 1k = − 12x π= − ( )f x 12x π= − k 5 7 12 2 12 kπ π π+ = 2 xC． D． 【答案】D 【解析】 分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 上的符号，即可判断选择. 详解：令 ， 因为 ，所以 为奇函数，排除选项 A,B; 因为 时， ，所以排除选项 C，选 D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置， 由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇 偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 8．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A．240 B．264 C．274 D．282 【答案】B 【解析】 【分析】 将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】 由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长 交 于 点， 其中 ， ， ， π( ,π)2 ( ) 2 sin 2xf x x= , ( ) 2 sin 2( ) 2 sin 2 ( )x xx R f x x x f x−∈ − = − = − = − ( ) 2 sin 2xf x x= π( ,π)2x∈ ( ) 0f x < BE DF A 1 6AB AD DD= = = 3AE = 4AF =所以表面积 . 故选 B 项. 【点睛】 本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题 9．我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题，根据问题的条件绘制如图的程序框图，则输出的 ， 分别是（ ） A．12，23 B．23，12 C．13，22 D．22，13 【答案】B 【解析】 【分析】 分析程序框图功能，求当鸡、兔共 35 只头，94 条腿时，鸡和兔各有多少只.根据条件确定跳出循环的 S 值， 即可得到输出值. 【详解】 由程序框图，得 ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ；……， ， ， .输出 ， .故选 B. 【点睛】 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键. ( ) 3 436 5 3 6 2 4 6 30 2642S ×= × + × + × + × + = x y 1x = 34y = 138S = 3x = 32y = 134S = 5x = 30y = 130S = 7x = 28y = 126S = 23x = 12y = 94S = 23x = 12y =10．已知椭圆 C: 及点 B(0,a),过 B 与椭圆相切的直线交 x 轴的负半轴于点 A,F 为椭 圆的右焦点,则∠ABF 等于( ) A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意画出图形，设出过 的直线方程为 ，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 的一元二次 方程，由判别式等于 0 求得 ，进一步得到直线方程，求出 的坐标，然后可求得 ． 【详解】 解如图，设过点 的直线方程为： 由 得 由 ，得 由题意取 ，则过点 的直线方程为： 令 ，得 ，所以 在 中， ， 所以 为直角三角形，即 故选：B 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > B y kx a= + x k A ABF∠ B y kx a= + 2 2 2 2 1 y kx a x y a b = + + = ( )2 2 2 2 3 4 2 22 0a k b x a kx a a b+ + + − = ( )( )6 2 2 2 2 4 2 2=4 4 0a k a k b a a b− + − =△ ck a = ± ck a = B cy x aa = + 0y = 2ax c = − 2 0aA c  −   ， ABF 4 2 2 2| | aAB a c = + 2 2 2| |BF a c= + 22 4 2 2 2 2 2 2| | = 2 | | | |a aAF c c a AB BFc c  + = + + = +   ABF =90ABF∠ °【点睛】 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题． 11．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F 为 6 个开关，其闭合的概率为 ，且是相互独立的，则灯亮 的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设 与 中至少有一个不闭合的事件为 与 至少有一个不闭合的事件为 ，则 ，所以灯亮的概率为 ， 故选 B. 【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要 把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复 杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事 件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 12．定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且 ，则（ ） A． B． C． D． 1 2 1 64 55 64 1 8 1 16 A B ,T E F R ( ) ( ) 1 1 31 2 2 4P T P R= = − × = ( ) ( )1P P T P R= − ⋅ ⋅ ( ) ( ) 3 3 1 1 551 4 4 2 2 64P C P D⋅ = − × × × =  R ( )f x '( )f x ( ) 0f x < ( ) '( )21 12 f x f x+  >   ( ) ( )2 2 2 13 ff e < ( ) ( )2 1f fe < ( ) ( )2 21 2f fe < ( ) ( )23 1f e f< ⋅【答案】C 【解析】 【分析】 由 得 ，构造函数： ，求导判单调性得 ， 进而得 则可求 【详解】 因为 ，所以 .构造函数： ，所以 .所以函数 在 上单调递增，所 以 ，即 ，即 故选：C 【点睛】 本题考查导数与函数的单调性，考查构造函数的思想，考查逻辑推理能力，是中档题 二、填空题 13．已知函数 的图象在点 处的切线恰好与直线 平行，若 在区间 上单调递减，则实数 t 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 , ,又 ,两方程联立解方程组得 ,所以 所以 f(x)的减区间为 ，故 14．二项式 展开式中，含 的项的系数为_____． 【答案】60 【解析】 【分析】 ( ) '( )21 12 f x f x+  >   ( ) 2 '( ) 0f x f x+ < 2( ) ( )xg x e f x= ⋅ ( 2) (1)g g> 2 2(2) (1)e f f⋅ > ( ) '( ) 021 112 2 f x f x+   > =       ( ) 2 '( ) 0f x f x+ < 2( ) ( )xg x e f x= ⋅ 2'( ) ( ) 2 ( ) '( )x xg x e f x e f x f x= ⋅ + ⋅ ⋅ ( ) [ ( ) 2 '( )] 0xe f x f x f x= ⋅ ⋅ + > ( )g x R ( 2) (1)g g> 2 2 2(2) (1)e f e f⋅ > ⋅ ( ) ( )2 21 2f fe < 62( )x x − 3x根据二项式展开式的通项公式，令 的指数等于 3，从而求得展开式中含 项的系数． 【详解】 展开式的通项公式为 ， 令 ，解得 ； ∴展开式中含 项的系数为 ． 故答案为：60． 【点睛】 本题考查二项式展开式的通项公式计算问题，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力运算求解能力，属 于基础题. 15．过抛物线 的焦点作直线 交 于 、 两点， 是线段 的三等分点， 过 作 的准线的垂线，垂足是 ，则 ________； 的最小值等于________. 【答案】 【解析】 【分析】 由抛物线方程，求出焦点坐标 ，设直线方程 ，联立方程组，通过韦达定理求得 和 ，进而得出 ；由抛物线的定义和性质，利用基本不等式求 最小值，即可得出结果. 【详解】 解：由题可知，抛物线 的焦点坐标为 ， 设直线 的方程为： ， 设 ， ， 联立方程 ，得 ， x 3x 62( )x x − 366 2 1 6 6 2( ) ( 2) rr r r r r rT C x C x x −− + = − = −    36 32 r− = 2r = 3x 2 2 6( 2) 4 15 60C− = × = 2: 6E y x= l E ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y M AB M E M ′ 1 2x x = MM′ 9 4 3 32 + 3 ,02      3 2x my= + 1 2y y+ 1 2y y 1 2x x Mx 2: 6E y x= 3 ,02      l 3 2x my= + ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , ,M MA x y B x y M x y 1 20, 0x x> > 2 3 2 6 x my y x  = +  = 2 6 9 0y my− − =则 ， ， 又因为 ，则 ， 解得： . 因为 是线段 的三等分点，则 ，即 ， 因为 ，则 ， 当且仅当 时，取等号，得 最小值为 ， 而 ，所以 的最小值为： . 故答案为： ； . 【点睛】 本题考查抛物线性质的应用，包括联立方程、韦达定理、抛物线的定义和性质，还利用基本不等式求最值， 同时考查转化能力和解题能力，属于中档题. 16．已知函数 ，当______时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 ______.（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ① ② ③ ， ④ ， 或 ⑤4 个极小值点⑥1 个极小 值点⑦6 个零点⑧4 个零点 【答案】① ⑥ 【解析】 【分析】 本题为开放题型，根据选择的条件，把绝对值打开，求导研究函数单调性，继而研究函数的极值点，零点 即可. 【详解】 . 比如：当 时， 1 2 6y y m+ = 1 2 9y y = − ( )2 1 2 1 236y y x x= 1 281 36x x= 1 2 9 4x x = M AB 1 22 3M x xx += 1 1 92 4 3M x xx + = 1 1 1 1 9 92 2 2 3 24 4x xx x + ≥ ⋅ = 3 2 23Mx ≥ = 1 3 2 4x = Mx 2 3 2MMM x′ = + MM′ 3 22 + 9 4 3 22 + ( )22 2( ) 3 1f x x a x b= − − − − 1 2a ≤ − 3 5 2 2a< < 1a = 2 0b− < < 1a = 9 24 b− < < − 0b = 1 2a ≤ −由于 ，故 在 无零点， 由于 ，故 恒成立， 有唯一零点 x=0,且 左负右正，故 f(x)有唯一的极小值. 故答案为：①，⑥（答案不唯一） 【点睛】 本题为开放题型，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 三、解答题 17．已知数列{an}为等比数列，a1=2，公比 q>0，且 a2,6,a3 成等差数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设 , ,求使 的 n 的最大值. 【答案】（1） （2）98 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由等比数列的通项公式及等差中项的定义，即可求得公比 q，进而得到等比数列通项公式． (Ⅱ)根据对数函数性质，可得数列 为等差数列，代入求得 Tn 表达式为裂项形式，进而求得前 n 项和 Tn， 进而求得使 成立的 n 的最大值． 【详解】 解：（Ⅰ）数列{an}为等比数列，a1＝2，公比 q＞0，且 a2，6，a3 成等差数列． 故：12＝2q+2q2， 解得：q＝2 或﹣3（负值舍去）， 故： ． ( ) 4 2 222 2 4 2 2 (2 3) 3 , ( , 1] [1, )( ) 3 1 (2 3) 3 , ( 1,1) x a x a b xf x x a x b x a x a b x  − + + + − ∈ −∞ − ∪ +∞= − − − − =  − − + − − ∈ − 2 2 (2 3)4 [ ], ( , 1] [1, )2'( ) (2 3)4 [ ], ( 1,1)2 ax x x f x ax x x + − ∈ −∞ − ∪ +∞=  − − ∈ − (2 3) 12 a + ≤ 2 (2 3)4 [ ]2 ay x x += − ( , 1] [1, )x∈ −∞ − ∪ +∞ (2 3) 22 a − ≤ − 2 (2 3) 02 ay x += − > 2 (2 3)4 [ ], ( 1,1)2 ay x x x −= − ∈ − 2logn nb a= 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1...n n n T b b b b b b b b + = + + + + 99 100nT < 2n na = nb 99 100nT < 12 2 2n n na −= ⋅ =（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn＝log2an＝n， 所以： ， 所以： ， ＝1 ， ， 所以：使 的 n 的最大值为： ， 解得：n＜99， 故：n 的最大值为 98． 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式，等差中项的定义和裂项求和法的应用，关键是注意计算，属于基础题． 18．如图，在长方形 中， ， ，现将 沿 折起，使 折到 的位置且 在 面 的射影 恰好在线段 上. （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）求锐二面角 的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：(1)先证明 平面 ，进而得到 平面 ，从而得证；(2) 以 为原点，建立 空间直角坐标系 .求出平面 与平面 的法向量，代入公式得到结果. 试题解析： （Ⅰ）由题知 平面 ，又 平面 ，∴ ； 又 且 ，∴ 平面 ； ( )1 1 1 1 1 1 1n nb b n n n n+ = = −+ + 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 n n n T b b b b b b b b + = + + + + 1 1 1 1 1 2 2 3 1n n − + − + + − + 1 n n = + 99 100nT ＜ 99 1 100 n n + ＜ ABCD 4AB = 2BC = ACD∆ AC D P P ABC E AB AP PB⊥ B PC E− − 13 13 BC ⊥ PAB AP ⊥ PBC E E xyz− EPC PBC PE ⊥ ABC BC ⊂ ABC PE BC⊥ AB BC⊥ AB PE E∩ = BC ⊥ PAB又 平面 ，∴ ； 又 且 ，∴ 平面 ； 又 平面 ，所以 . （Ⅱ）在 中， , 由射影定理知 ， . 以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系 . 则 , ， , ， ， , 设 是平面 的一个法向量， 则 ，∴ ，即 ， 即 ，取 ，所以 ； 设 是平面 的一个法向量， 则 ，∴ ，即 ， 即 ，取 ，所以 ； 设锐二面角 的大小为 ， 则 AP ⊂ PAB BC AP⊥ AP CP⊥ BC CP C∩ = AP ⊥ PBC PB ⊂ PBC AP PB⊥  Rt PAB∆ 2AP = 4AB = 1AE = 3PE = E E xyz− ( )0,0,0E ( )0,0, 3P ( )0,3,0B ( )2,3,0C − ( )2,3, 3PC = − − ( )0,0, 3EP = ( )0,3, 3PB = − ( ), ,m x y z= EPC m PC m EP  ⊥  ⊥   0 0 m PC m EP  ⋅ =  ⋅ =   ( ) ( ) ( ) ( ) , , 2,3, 3 0 , , 0,0, 3 0 x y z x y z  ⋅ − − = ⋅ = 2 3 3 0 0 x y z z − + − = = 3 2 0 x y z =  =  = ( )3,2,0m = ( ), ,n a b c= PBC n PC n PB    ⊥  ⊥ 0 0 n PC n PB    ⋅ =  ⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) , , 2,3, 3 0 , , 0,3, 3 0 a b c a b c  ⋅ − − = ⋅ − = 2 3 3 0 3 3 0 a b c b c − + − = − = 0 1 3 a b c  =  =  = ( )0,1, 3n = B PC E− − θ 2 13cos cos , 1313 4 m nm n m n θ ⋅= = =⋅ ⋅     所以锐二面角 余弦值为 . 点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写 出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列 出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19．某中学德育处为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了 40 名学生（其中男、女生人数各占一半） 进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为 5 组： ，得到如图所示的频率分布直方图. （1）写出女生组频率分布直方图中 的值； （2）求抽取的 40 名学生中月上网次数不少于 15 的学生人数； （3）在抽取的 40 名学生中从月上网次数不少于 20 的学生中随机抽取 3 人，并用 表示随机抽取的 3 人 中男生的人数，求 的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）14 （3） X 1 2 3 P 0.3 0.6 0.1 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为 1，求解 a 的值； （2）根据频率分布直方图的数据求得频率，从而得结果； （3）确定 X 的所有可能值，然后求得各个取值所对应事件的概率，然后得分布列，求数学期望. 【详解】 B PC E− − 13 13 [0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25] a X X 0.05a = 9( ) 5E X =（1） （2）在所抽取的女生中，月上网次数不少于 15 的学生的频率为 ，所以抽取的女 生中，月上网次数不少于 15 的学生有 （名）； 在所抽取的男生中，月上网次数不少于 15 的学生的频率为 ，所以抽取的女生中， 月上网次数不少于 15 的学生有 （名）； 故抽取的 40 名学生中月上网次数不少于 15 的学生人数为 7+7=14 名. （3）在抽取的女生中，月上网次数不少于 20 的学生的频率为 ，学生人数为 ,同理 在抽取的男生中，月上网次数不少于 20 的学生的频率为 ，学生人数为 , 故 的所有可能取值为 1，2，3 则： ， 所以 X 的分布列为： X 1 2 3 P 0.3 0.6 0.1 【点睛】 本题考查了统计和概率综合，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题. 20．已知圆 : ，过定点 作斜率为 1 的直线交圆 于 、 两点， 为线段 的中点. （1）求 的值； （2）设 为圆 上异于 、 的一点，求△ 面积的最大值； （3）从圆外一点 向圆 引一条切线，切点为 ，且有 , 求 的最小值，并求 取 最小值时点 的坐标. 【答案】（1）2；（2） ；（3） ； ． 【解析】 【详解】 1 (2 0.02 0.03 0.08) 5 0.055a − × + + ×= = (0.05 0.02) 5 0.35+ × = 0.35 20 7× = (0.04 0.03) 5 0.35+ × = 0.35 20 7× = 0.02 5 0.1× = 0.1 20 2× = 0.03 5 0.15× = 0.15 20 3× = X 2 1 2 3 3 5 ( 1) 0.3C CP X C = = = 1 2 0 3 2 3 2 3 3 3 5 5 ( 2) 0.6, ( 3) 0.1C C C CP X P XC C = = = = = = 9( ) 1 0.3 2 0.6 3 0.1 5E X = × + × + × = C 2 2 4 1 0x y ax y+ + − + = ( )a R∈ (0,1)P C A B P AB a E C A B ABE M C N MN MP= MN MN M 2 2 2+ 2 2 1 1( , )2 2试题分析：（1）通过 ⊥ 求解 的值； （2）当 为与 垂直的直径，且与 较远的直径端点时，△ 面积最大； （3）通过△ 为直角三角形勾股定理列出关系式，然后通过 进行转化， 找出点 所在轨迹，然后利用点到直线的距离即可找到 的最小值，进而求出点 的坐标． 试题解析：（1）由题知圆心 ，又 为线段 的中点，∴ ⊥ ， ∴ ，即 ，∴ ． （2）由（1）知圆 的方程为 ，∴圆心 ，半径 ， 又直线 的方程是 ， ∴圆心 到直线 的距离 ， ． 当 ⊥ 时，△ 面积最大， ． （3）∵ ⊥ ，∴ ， 又 ，∴ ． 设 ，则有 ，整理得 ，即点 在 上， ∴ 的最小值即为 的最小值 ， 由 解得 ∴满足条件的 点坐标为 ． 考点：1.弦所在直线方程的求解；2.最值问题． 21．设函数 ， . （1）当 （ 为自然对数的底数）时，求 的极小值； （2）讨论函数 零点的个数. CP AB a E AB AB ABE CMN MN MP= M MN M C ( ,2)2 a− (0,1)P AB CP AB 1PCk = − 1 2 1 0 ( )2 a − = − − − 2a = C 2 2( 1) ( 2) 4x y+ + − = ( 1,2)C − 2r = AB 1 0x y− + = C AB 1 2 2 1 2 1 2 1 1 d − − += = + 2 4 2 2 2AB = − = EC AB ABE max 1 2 2 (2 2) 2 2 22S = × × + = + MN CN 2 2| | 4MN MC= − MN MP= 2 2| | 4MP MC= − ( , )M x y 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 4x y x y+ − = + + − − y x= M y x= MN MP 2 0 1 2 22 d −= = ( )22 0 11 2 x y x y − = + − = 1 ,2{ 1 .2 x y = = M 1 1( , )2 2 ( ) ln mf x x x = + m R∈ m e= e ( )f x ( ) ( ) 3 xg x f x −′=【答案】（1）极小值 ； （2）①当 时， 无零点， ②当 或 时， 有且仅有 个零点， ③当 时， 有两个零点. 【解析】 【详解】 试题分析：（1）要求 的极小值，可以通过判断其单调性从而求得其极小值，对 求导，可知 ，再通过列表即可得当 时， 取得极小值 ；（2）令 ，可得 ，因此要判断函数 的零点个数，可通过画出函数 的草图来判断，同样可以通过求导判断函数 的单调性来画出函数图象的 草图： ，通过列表可得到 的单调性，作出 的图象，进而可得 ①当 时， 无零点，②当 或 时， 有且仅有 个零点， ③当 时， 有两个零点. 试题解析：（1）当 时， ，其定义域为 ， ， 令 ， ， 极小值 ( ) ln 2ef e e e = + = 2 3m > ( )g x 2 3m = 0m ≤ ( )g x 1 20 3m< < ( )g x ( )f x ( )f x ( ) 2 2 1 e x ef x x x x −′ = − = x e= ( )f x ( ) ln 2ef e e e = + = ( ) 0g x = 31 3m x x= − + ( ) ( ) 3 xg x f x′= − 31( ) 3h x x x= − + 31( ) 3h x x x= − + ( ) ( )( )2 1 1 1h x x x x= − + = − + −′ ( )h x ( )h x 2 3m > ( )g x 2 3m = 0m ≤ ( )g x 1 20 3m< < ( )g x m e= ( ) ln ef x x x = + ( )0, ∞+ ( ) 2 2 1 e x ef x x x x −′ = − = ( ) 0f x′ = x e= x ( )0,e e ( ),e +∞ ( )f x′ − 0 + ( )f x   故当 时， 取得极小值 ； （2） ，其定义域为 ， 令 ，得 ， 设 ，其定义域为 .则 的零点为 与 的交点， ， 极大值 故当 时， 取得最大值 作出 的图象，可得 ①当 时， 无零点， ②当 或 时， 有且仅有 个零点， ③当 时， 有两个零点. 考点：导数的运用. 22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ），点 .以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的的极坐标方程为 x e= ( )f x ( ) ln 2ef e e e = + = ( ) ( ) 3 2 2 1 3 3 3 3 3 x m x x m xg x f x x x x − −= − = − − =′ ( )0, ∞+ ( ) 0g x = 31 3m x x= − + ( ) 31 3h x x x= − + ( )0, ∞+ ( )g x ( )h x y m= ( ) ( )( )2 1 1 1h x x x x= − + = − + −′ x ( )0,1 1 ( )1,+∞ ( )h x′ + 0 − ( )h x   1x = ( )h x ( ) 21 3h = ( )h x 2 3m > ( )g x 2 3m = 0m ≤ ( )g x 1 20 3m< < ( )g x xOy 1C cos 2 sin x t a y t α =  = − + t 0 α π≤ < (0, 2)M − O x 2C. （1）求曲线 的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线 与曲线 交于 ， 两点，若 ，求 的值. 【答案】(1) ，曲线 是以 为圆心， 为半径的圆.(2) 【解析】 【分析】 （1）利用极坐标和直角坐标的互化公式进行转化；（2）利用参数的几何意义求解. 【详解】 （1）由 ，得 ，所以 ， 即 ， . 所以曲线 是以 为圆心， 为半径的圆. （2）将 代入 ， 整理得 ， 设点 ， 所对应的参数分别为 ， ， 则 ， . . 解得 ，则 . 【点睛】 本题主要考查参数方程和极坐标，极坐标和直角坐标的转化公式要熟记，参数几何意义的应用能简化解题 过程. 23．已知 . 4 2cos 4p πθ = +   2C 1C 2C A B 1 1 17 | | | | 4MA MB + = sinα 2 2( 2) ( 2) 8x y− + + = 2C (2, 2)− 2 2 15sin 4 α = 4 2cos 4 πρ θ = +   4cos 4sinρ θ θ= − 2 4 cos 4 sinρ ρ θ ρ θ= − 2 2 4 4x y x y+ = − ( ) ( )2 22 2 8x y− + + = 2C ( )2, 2− 2 2 2 x tcos y tsin α α =  = − + ( ) ( )2 22 2 8x y− + + = 2 4 cos 4 0t t α− − = A B 1t 2t 1 2 4cost t α+ = 1 2 4t t = − 1 2 1 2 1 1 MA MB t t MA MB MA MB t t + ++ = = ( )2 1 2 1 21 2 4 4 4 t t t tt t + −−= = 216cos 16 17 4 4 α += = 2 1cos 16 α = 15sin 4 α = ( )=| +2|f x ax（1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 ， ，证明： . 【答案】(1) (2)见证明 【解析】 【分析】 （1） 利用零点分段法讨论去掉绝对值求解； （2） 利用绝对值不等式的性质进行证明. 【详解】 （1）解：当 时，不等式 可化为 . 当 时， ， ，所以 ； 当 时， ， . 所以不等式 的解集是 . （2）证明：由 ， ，得 ， ， ， 又 ， 所以 ，即 . 【点睛】 本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解，含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法. 2a = ( )>3f x x (1)f M (2)f M 2 3M ( ,2)−∞ 2a = ( )f x x< 2 2 3x x+ > 1x ≤ − 2 2 3x x− − > 2 5x < − 1x ≤ − 1x > − 2 2 3x x+ > 1 2x− < < ( ) 3f x x> ( ),2−∞ ( )1f M≤ ( )2f M≤ 2M a≥ + 2 2M a≥ + 3 2 2 2 2 2M M M a a= + ≥ + + + 2 2 2 2 4 2 2a a+ + + ≥ − = 3 2M ≥ 2 3M ≥