平顶山许昌济源 2020 年高三第一次质量检测
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题；本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．复数 等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 ．据此函数知，这
段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
3． 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分 ，若 ， ， ， 则 （ ）
A． B． C． D．
4．干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就
有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，
周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、
辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数
的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4(1 )
1 3
i
i
+
−
1 3i+ 1 3i− + 1 3i− 1 3i− −
3sin( )6y x k
π ϕ= + +
ABC ACB∠ CB a= CA b= | | 1a = | | 2b = CD =
2 1
3 3a b+ 1 2
3 3a b+ 3 4
5 5a b+ 4 3
5 5a b+
2( ) sin cos33
xf x x= +
15π 12π 6π 3π5．下图是计算某年级 500 名学生期末考试（满分为 100 分）及格率 q 的程序框图，则图中空白框内应填入
（ ）
A． B． C． D．
6．设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．若直线 过点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点，P
为 C 上一点，且 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E．若直线 BM 经过
OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
Nq M
= Mq N
= Nq M N
= +
Mq M N
= +
2
2
2
1
2
1log , 02( ) 1log , 02
x x x
f x
x x x
+ + > = − + − a
1 3 3 1,0 ,2 2
− −∪ +∞
1 3 3 1, ,2 2
− −−∞ ∪ +∞
1 3 3 1,0 0,2 2
− −∪
1 3 3 1, 0,2 2
− −−∞ ∪
1( 0, 0)x y a ba b
+ = > > (2,1) 2a b+
10 9 8 6
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
PF x⊥
2
3
3
4
1
3
1
29．对于复数 a，b，c，d，若集合 具有性质“对任意 ，必有 ”，则当 ，
， 时， 等于（ ）
A．1 B．–1 C．0 D．i
10．在直角梯形 ABCD 中， ， ， ， ．沿 BD 将 ABCD 折成
的二面角 ，则折后直线 AC 与平面 BCD 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．现安排甲、乙、丙、丁，戌 5 名同学参加上海中国进口博览会志愿者服务活动，每人从事翻译，导游，
礼仪，司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、
丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A．54 B．90 C．126 D．152
12．已知函数 对 有 成立，则 k 的最小值为
A．1 B． C．e D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．在区域 内任取一点 ，能满足 的概率为______．
14．在 中， ，其中 a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，
则角 A 的大小为______．
15．平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的渐近线与抛物线
交于点 O，A，B，且 的垂心为 的焦点，则 的离心率为______；如果 与 在第一象限内
有且只有一个公共点，且 ，那么 的方程为____________．
16．设圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为 1，那么该圆锥体积的最小值为
_______．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22．23 题为选考题，考生根据要求作答．
（―）必考题：60 分．
17．（12 分）
已知数列 满足 ，且 ， ．
{ , , , }S a b c d= ,x y S∈ xy S∈ 1a =
2 1b = 2c b= b c d+ +
/ /AB CD AD CD⊥ 1AB AD= = 2CD = 60°
A BD C− −
2
4
3
4
6
4
1
4
( ) ( )– ln 1f x x x= + ,[ )0x ∈ +∞ ( ) 2f x kx≤
1
2 2
e
, 0,{( ) | [ ], [ ]}1 0,1x y x y∈ ∈ ,( )P x y 22y x x≤ −
ABC 2 sin 2 si( ) 2 s( i)n na A b c B c b C= + + +
2 2
1 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 2
2 : 2 ( 0)C x py p= >
OAB 2C 1C 1C 2C
5a = 2C
{ }na ( )*
1 13 2 2,n n na a a n n+ −= − ≥ ∈N 1 1a = 2 3a =（1）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 n 项和 ．
18．（12 分）
如图，在正三棱柱 中，E 是 的中点．
（1）求证：截面 侧面 ；
（2）若 ，求 到平面 的距离
19．（12 分）
一款手游，页面上有一系列的伪装，其中隐藏了 4 个宝藏．如果你在规定的时间内找到了这 4 个宝藏，
将会弹出下一个页面，这个页面仍隐藏了 2 个宝藏，若能在规定的时间内找到这 2 个宝藏，那么闯关成功，
否则闯关失败，结束游戏；如果你在规定的时间内找到了 3 个宝藏，仍会弹出下一个页面，但这个页面隐
藏了 4 个宝藏，若能在规定的时间内找到这 4 个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；其它情
况下，不会弹出下一个页面，闯关失败，并结束游戏．
假定你找到任何一个宝藏的概率为 ，且能否找到其它宝藏相互独立．．
（1）求闯关成功的概率；
（2）假定你付 1 个 Q 币游戏才能开始，能进入下一个页面就能获得 2 个 Q 币的奖励，闯关成功还能
获得另外 4 个 Q 币的奖励，闯关失败没有额外的奖励．求一局游戏结束，收益的 Q 币个数 X 的
数学期望（收益=收入-支出）．
20．（12 分）．
已知动圆过定点 ，且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8．
（1）求动圆圆心的轨迹 C 的方程；
（2）已知点 ，长为 的线段 PQ 的两端点在轨迹 C 上滑动．当 轴是 的角平分线
时，求直线 PQ 的方程．
21．（12 分）
{ }1n na a+ − { }na
( 1)n nb n a= + { }nb nS
1 1 1ABC A B C− 1BB
1AEC ⊥ 1AC
1 1 1 1AA A B= = 1B 1AEC
1
2
( )4,0A
( )–1,0B 4 6 x PBQ∠设函数 （ 为常数）．
（1）讨论函数 可能取得的最大值或最小值；．
（2）已知 时， 恒成立，求 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22．23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分．
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）．
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原点 О 为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）设 l 与 C 相交于 A，B 两点，定点 ，求 的值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
设函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，使得不等式 成立，求 的取值范围．．
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文科数学试题参考答案
一、选择题
1．D 2．C 3．A 4．C 5．D 6．A
7．B 8．D 9．B 10．B 11．C 12．B
二、填空题
13． 14．
15． （★第一空 3 分，第二空 2 分）
( ) 1 lnf x x xα= + + a ∈R
( )f x
0x > ( ) xf x xe≤ a
2
2
2
1
1
4
1
tx t
ty t
+= −
= −
10
2cos 4
ρ πθ
= +
( 5,0)M 1 1
| |MA MB
−
( ) ( ) ( )2 4 2 1f x ax x x x= − − − +
1a = ( ) 0f x <
2 ),x∃ ∈ +∞（ ( ) 0f x < a
4
π
120°
3
2
2 4x y=16．
三、解答题：
（17）（本小题满分 12 分）
解：（1）由已知可得 ， ，
所以 是以 2 为公比，以 为首项的等比数列．
所以， ， ．
∴
．
当 ， 成立，
所以，数列 的通项公式为 ， ．
（2）∵ ，
∴ ．
令 ，
则 ，
相减得， ，
∴ ，
而 ．
故 ， ．
（18）（本小题满分 12 分）
解：（1）设 O， 分别为 AC， 的中点， 与 相交于 F．
∵ 是正三棱柱，∴侧面 底面 ABC．
∵O 是正三角形 ABC 边 AC 的中点，∴ ．
∴ 侧面 ．
∵ ， ，E，F 是中点，
8
3
π
1 12( )n n n na a a a+ −− = − *2,n n≥ ∈N
1{ }n na a+ − 2 1 2a a− =
1 2n
n na a+ − = *n∈N
1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a a− − −= − + − + + − +
1 22 2 2 1 2 1n n n− −= + + + + = − ( 2)n ≥
1n = 1 1a =
{ }na 2 1n
na = − *n∈N
( 1) ( 1)2 ( 1)n
n nb n a n n= + = + − +
1 22 2 3 2 ( 1) 2 (2 3 1)n
nS n n= × + × + + + × − + + + +
1 22 2 3 2 ( 1) 2nA n= × + × + + + ×
2 3 12 2 2 3 2 2 ( 1) 2n nA n n += × + × + + × + + ×
2 3 1 14 (2 2 2 ) ( 1) 2 2n n nA n n+ +− = + + + + − + × = − ×
12nA n += ×
( 3)2 3 1 2
n nn
++ + + + =
1 ( 3)2 2
n
n
n nS n + += × − *n∈N
1O 1 1AC 1AC 1AC
1 1 1ABC A B C－ 1AC ⊥
OB AC⊥
OB ⊥ 1AC
1 1/ /OO BB 1 1OO BB=∴EBOF 是平行四边形．
∴ ，∴ 侧面 ．
又 平面 ，∴截面 侧面 ．
（2）∵ ，则 ，
，所以 的面积为 ．
又因为 A 到平面 的距离为 ，
的面积为 ．
设 到平面 的距离为 d，
∵ ，
∴ ，∴ ．
即，B1 到平面 的距离为 ．
（19）（本小题满分 12 分）
解：（1）记闯关成功为事件 A，事件 A 共分二类，找到 4 个宝藏并且闯关成功为事件 B，找到 3 个宝藏并
且闯关成功为事件 C，那么 A=B+C．
∵ ，
，
∴ ．
/ /EF OB EF ⊥ 1AC
EF 1AEC 1AEC ⊥ 1AC
1 1 1 1AA A B= = 2 2
1
1 51 ( )2 2AE EC= = + =
2 2
1 1 1 2AC = + = 1AEC
1 3 622 2 4
× × =
1 1B BCC 3
2
1 1B EC
1 1 112 2 4
× × =
1B 1AEC
1 1 1 1B AEC A B ECV V− −=
1 6 1 3 1
3 4 3 2 4d× × = × × 2
4d =
1AEC 2
4
4 2
1 1 1( ) 2 2 64P B = × =
3
4 4 4
1 1 1( ) 2 2 64P C C= × =
1( ) ( ) ( ) 32P A P B P C= + =（2）记一局游戏结束能收益 X 个 Q 币，那么 ．
∵由（1）知 ，
又 ．
∴X 的概率分布为：
X
－
1
1 5
P
因此，EX= ．
（20）（本小题满分 12 分）
解:（1） ，设圆心 ，线段 MN 的中点为 E，
则由圆的性质得： ， ，
∴ ，即 ．
（2）设 ， ，
由题意可知 ， ．
（ⅰ）当 PQ 与 x 轴不垂直时， ， ，
由 x 轴平分 ，得 ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
设直线 ，
代入 C 的方程得： ．
∴ ，即 ．
由于， ，
{ 1,1,5}X ∈ −
1( 5) 32P X = =
3
44 2 4 4
1 1 1 1 9( 1) (1 ) (1 )2 2 2 2 32P X C= = × − + × − =
11
16
9
32
1
32
11 9 1 11 1 516 32 32 4
− × + × + × = −
(4,0)A ( , )C x y
2
MNME = 2 2 2 2CA CM ME EC= = +
2 2 2( 4) 4x y x− + = + 2 8y x=
1 1( , )P x y 1 1( , )Q x y
2
1 18y x= 2
2 28y x=
1 2 0y y+ ≠ 1 2 0y y⋅ <
PBQ∠ 1 2
1 21 1
y y
x x
= −+ +
1 2
2 2
1 2
08 8
y y
y y
+ =+ +
1 2 1 2( )(8 ) 0y y y y+ + ⋅ = 1 28 0y y+ ⋅ =
: nQ xP my= +
2 8 8 0y my n− − =
8 8 0n− = 1n =
2 2 2
1 21 1 64 32 4 6PQ m y y m m= + − = + ⋅ + =∴ ，
因此，直线 PQ 的方程为 ．
（ⅱ）当 PQ 与 x 轴垂直时， ，
可得直线 PQ 的方程为 ．
综上，直线 PQ 的方程为 或 ．
（21）（本小题满分 12 分）
解：（1）函数 的定义域为 ， ．
（ⅰ）当 ，由 可得 是增函数，
这时函数 没有最大值也没有最小值．
（ⅱ）当 ，函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，
所以， 时， 取得最大值 ，且 无最小值．
（2）由已知可得， 对 时恒成立．
令 ，
则 ．
令 ，
则 ．
所以， 是增函数，
因此，方程 有唯一解 ．
所以，函数 在 时取得最小值．
由于， ，
所以， ．
2 1
2m =
2 1 02x y± − =
4 6PQ =
3x =
2 1 02x y± − = 3x =
( )f x (0, )+∞ 1 1( ) axf x a x x
+′ = + =
0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x
0a < ( )f x 1(0, )a
− 1( , )a
− +∞
1x a
= − ( )f x 1( ) ln( )f aa
− = − − ( )f x
1 lnex xa x
+≤ − 0x >
1 ln( ) ex xF x x
+= −
2
2 2
ln e ln( ) e
x
x x x xF x x x
+′ = + =
2( ) e lnxG x x x= +
2 1( ) ( + 2 )e 0xG x x x x
′ = + >
( )G x
2e ln 0xx x+ = 0 (0,1)x ∈
( )F x 0x x=
0 0 02
0 0 0 0 0
0 0 0
1 1 1e ln 0 e ln e lnx x xx x x x xx x x
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = −
0 0
0
0 0 0
1 1 ln ln( ) 1x xF x x x x
+= − = − =因此， ．
（22）（本小题满分 10 分）选修 4－4：极坐标与参数方程
解：（1）∵ ，∴ ，∴ 或 ．
∵ ，
∴C的直角坐标方程为 ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴直线l的直角坐标方程为 ．
（2）由（1）可设l的参数方程为 （t为参数），
代入C的方程得： ，
其两根 ， 满足 ， ．
∴ ．
（23）（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
解：（1）当 时，原不等式可化为 ．（*）
（ⅰ）当 时，（*）化为， ，
所以， ；
（ⅱ）当 时，（*）化为 ，
所以， ；
1a ≤
2
2
1
1
tx t
+= −
2 1 01
xt x
−= ≥+ 1x < − 1x ≥
2
2
2
22
2
2 21 )1 (1 )
44 4[( ] 4tx y t
t t
− = −− − =+
2
2 1( 1)4
yx x− = ≠ −
10
2cos( )4
ρ
θ
= π+
2 (cos sin ) 10ρ θ θ− = 5x y− =
5 0x y− − =
25 ,2
2
2
x t
y t
= +
=
23 4 10 16 02 t t+ + =
1t 2t 1 2
8 10
3t t+ = − 1 2
32
3t t =
2
1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 2
( ) 41 1 1 1 1
| | | | 2
t t t tt t
MA MB t t t t t t
+ −−− = − = = ± = ±− −
1a = 2| |( 4) | 2 |( 1) 0x x x x− − − + <
0x < 2( 2)( 1) 0x x x− + − >
1 5 02 x
− − < <
0 2x≤ ≤ 2( 2)( 3 1) 0x x x− + + <
0 2x≤ 2( 2)( 1) 0x x x− + − <
( ) 0f x < 1 5{ | 2}2x x
− − < <
(2, )x ∈ +∞ ( ) 0f x <
| | ( 2)( 2) ( 2)( 1) 0a x x x x x− + − − + <
1| | ( 2)
xa x x
+< +
1 1( ) 1( 2) ( 1) 1
xx x x x x
ϕ += =+ + − +
(2, )x ∈ +∞
3( ) (2) 8xϕ ϕ< =
(2, )x∃ ∈ +∞ ( ) 0f x < 3| | 8a <
3 3
8 8a− <
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