镇海 2020 年 3 月高考模拟测试
数学 试题卷
第 1 卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．已知公差不为零的等差数列 满足 ， 为数列 的前 项和，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数 的图象可能是
A． B． C． D．
6．某射手射击所得环数 的分布列如下：
7 8 9 10
P 0．1 0．3
已知 的数学期望 ，则 的值为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
{ }1,2,3,4A = { }3 3B x x= ∈ − ≤ ≤N | A B =I
{ }1,2,3,4 { }3, 2, 1,0,1,2,3,4− − −
{ }1,2,3 { }1,2
2
2 14
x y− =
2 0x y± = 2 0x y± = 4 0x y± = 4 0x y± =
{ }na 2
3 1 4a a a= nS { }na n 3
1
S
S
9
4
9
4
− 3
2
3
2
−
a R∈ 0a > 2 2 2a a
+ ≥
( )2ln 1 cos2y x x x= + + ⋅
ξ
ξ
x y
ξ ( ) 8.9E ξ = y
7．已知正四棱柱 中， ， ，E 为 的中点，则直线 与平面 BED
的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．对于定义域为 R 的函数 ，若存在非零实数 ，使函数 在 和 上与 轴都有
交点，则称 为函数 的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知 ， ， 是平面内三个单位向量，若 ，则 的最小值（ ）
A． B． C． D．5
10．已知数列 满足 （ ， ），则（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分）
11．设 i 为虚数单位，给定复数 ，则 z 的虚部为________， ________．
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．
1 1 1 1ABCD A B C D− 2AB = 1 2 2CC = 1CC 1AC
3 2
( )f x 0x ( )f x ( )0, x−∞ ( )0 ,x +∞ x
0x ( )f x
( ) 22xf x x= − ( ) ( )2 2f x x bx b R= + − ∈
( ) 1 2f x x= − − ( ) sinf x x x= −
r
a
r
b
r
c ⊥r r
a b 2 3 2c b c+ + + −r r r r r
a a
29 29 3 2− 19 2 3−
{ }na 1 12 n n na a a− +≤ + *n∈N 2n ≥
5 2 14 3a a a≤ − 2 7 3 6a a a a+ ≤ +
( )7 6 6 33 a a a a− ≥ − 2 3 6 7a a a a+ ≥ +
( )41 i
1 iz
+= + z =
13．已知 ， 满足条件 则 的最大值是________，原点到点 的距离的最小
值是________．
14．小明口袋中有 3 张 10 元，3 张 20 元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过 45 元的
方法有________种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出 4 张，刚好是 50 元的概率为
________．
15．在 中， ，AD 为 的平分线， ，则 ________．
16．若函数 在 上有零点，则 的最小值为________．
17．如图，椭圆 ： 的离心率为 ，F 是 的右焦点，点 P 是 上第一角限内任意
一点， ， ，若 ，则 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分）
18．（本小题满分 14 分）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）设 中的内角 A，B，C 所对的边分别 a，b，c，若 ，且 ，求 的取值
范围．
19．（本小题满分 15 分）如图，四棱锥 中， 垂直平面 ABCD， ， ，
， 为 的中点．
x y
0,
4 0,
1 0,
x y
x y
x
− ≤
+ − ≤
− ≥
2x y+ ( ),P x y
ABC∆ 120BAC∠ = ° BAC∠ 2AB AC= AB
AD
=
( ) 2 1
3f x x a x b = + + +
[ ]1,1− 2 3a b−
Γ ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > e Γ Γ
( )0OQ OPλ λ= >uuur uuur
0FQ OP⋅ =uuur uuur
eλ < e Γ
( ) sin 3sin cos2 2 2
x x xf x = +
( )f x
ABC∆ ( ) 3
2f B = 3b = 2 2a c+
P ABCD− PC AB AD⊥ AB CD∥
2 2 2PD AB AD CD= = = = E PB
（Ⅰ）证明：平面 平面
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．（本小题满分 15 分）在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有 ．
（Ⅰ）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，记数列 的前 项和为 ，若对任意的 都有 ，求实数 的取
值范围．
21．已知椭圆的焦点坐标为 ， ，过 垂直于长轴的直线交椭圆于 P，Q 两点，且
，
（1）求椭圆的方程；
（2）过 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M，N，则 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求
出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．
22．（本题 15 分）已知函数 ．
（Ⅰ）若 ，求证： ；
EAC ⊥
PD AEC
{ }na 1 1a = 2 3a = *n∈N 2 13 2n n na a a+ += −
{ }1n na a+ − { }na
1
2n
n
n n
b a a +
= { }nb n nS *n∈N 1
n
n
S ma
≥ + m
( )1 1,0F − ( )2 1,0F 2F
3PQ =
2F 1F MNV
( ) 2 3e xf x x=
0x < ( ) 1
9f x ( ) ( )3 2ln 1f x k x x≥ + + + k
( ),x y=r
c ( )1,0a =r ( )0,1b =r 2 2 1x y+ =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 3 2 2 1 2 3 2x y x y+ + + − = + + + − + −r r r r r
a c a b c
( ) ( ) ( )2 22 2 2 23 4 1 3 2x y x y x x y= + + + + + + − + −
( ) ( ) ( )2 2 22 2 22 3 2 5 2 29x y x y= + + + − + − ≥ + =
2 2 144 12π− 168 6π+
2 1
5
1
3
− 20, 2
OF c= ( ),P x y FOQ θ∠ = ( )2cos , cos sinQ c cθ θ θ
( )0OQ OPλ λ= >uuur uuur 2cos cos sin,c cP
θ θ θ
λ λ
2 4 2 2 2 2
2
2 2 2
cos cos sinc c c
a b a
θ θ θ λ+ = < ( )2 2
2 2
cos 0 901 cos
b
a
θ θθ> ° < < °+
2
2
1
2
b
a
≥ 2 22a c≥ 20, 2e
∈
( ) ( )2 3 13sin sin cos 1 cos sin2 2 2 2 2
x x xf x x x= + = − +
π 3sin 3 2x = − +
所以 ，解得 ， ．
所以函数 的单调递增区间为 ， ………………7 分
（Ⅱ）因为 ，所以 ．
所以 ．………………9 分
又因为 ，所以 ，即 ．
而 ，所以 ，即 ．………………12 分
又因为 ，即 ．………………14 分
19．（Ⅰ）证明： 平面 ABCD，故 ．
又 ， ， ，所以 ．
故 ，即 ．
所以 平面 PBC，所以平面 平面 PBC．………………6 分
（Ⅱ）解： 平面 ABCD，故 ．又 ，所以 ．………………8 分
在平面 ACE 内，过点 P 作 PF 垂直 CE，垂足为 F．
由（Ⅰ）知平面 平面 PBC，所以 PF 垂直平面 ACE．………………10 分
由面积法得：即 ．
又点 E 为 AB 的中点， ．
所以 ．………………12 分
又点 E 为 AB 的中点，所以点 P 到平面 ACE 的距离与点 B 到平面 ACE 的距离相等．
连结 BD 交 AC 于点 G，则 GB=2DG．
所以点 D 到平面 ACE 的距离是点 B 到平面 ACE 的距离的一半，即 ．
所以直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值为 ．………………15 分
另解：如图，取 AB 的中点 F，如图建立坐标系．
π π π2 π 2 π2 3 2k x k− + < − < + π 5π2 π 2 π6 6k x k− + < < + k Z∈
( )f x π 5π2 π, 2 π6 6k k − + + Zk ∈
( ) π 3 3sin 3 2 2f B B = − + =
πsin 03B − =
π
3B =
3b = 2 23 a c ac= + − 2 2 3a c ac+ = +
2 2 2a c ac+ ≥ 3ac ≤ 2 2 6a c+ ≤
2 2 3 3a c ac+ = + > 2 2 6a c+ ≤
PC ⊥ PC AC⊥
2AB = 1CD = AD AB⊥ 2AC BC= =
2 2 2AC BC AB+ = AC BC⊥
AC ⊥ ACE ⊥
PC ⊥ PC CD⊥ 2PD = 3PC =
ACE ⊥
1
2CE PF PC BC⋅ = ⋅
1 5
2 2CE PB= =
30
5PF =
1
2 PF
1
302
20
PF
PD
=
因为 ，所以 ，所以有：
， ， ， ， ， ．………………9 分
， ，
设平面 ACE 的一个法量为 ，则
取 ，得 ， ．
即 ．………………13 分
设直线 与平面 所成角为 ，则
．………………15 分
20．解：（Ⅰ）由 可得 ．………………2 分
又 ， ，所以 ．
所以 是首项为 2，公比为 2 的等比数列．………………3 分
所以 ．………………4 分
所以 ．………………7 分
2PD = 3CP =
( )0,0,0C ( )0,1,0D ( )0,0, 3P ( )1,1,0A ( )1, 1,0B − 1 1 3, ,2 2 2E
−
( )0,1, 3PD = −uuur ( )1,1,0CA =uuur 1 1 3, ,2 2 2CE
= −
uuur
( ), ,n x y z=
0,
3 02 2 2
x y
x y z
+ = − + =
1x = 1y = − 2 3
3z = −
31, 1, 3n
= − −
PD AEC θ
1 30sin cos , 2042 2 3
n PDθ = < > = =
+
uuur
2 13 2n n na a a+ += − ( )2 1 12n n n na a a a+ + +− = −
1 1a = 2 3a = 2 1 2a a− =
{ }1n na a+ −
1 2n
n na a+ − =
( ) ( ) 2
1 2 1 1 1 2 2 2 2 1n n
n n na a a a a a −= + − + + − = + + + + = −L L
（Ⅱ）因为 ．………………9 分
所以
．………………12 分
又因为对任意的 都有 ，所以 恒成立，
即 ，即当 时， ．………………15 分
21．（1）设椭圆方程为 ，由焦点坐标可得 ，由 ，可得 ，
解得 ， ，故椭圆方程为
（2）设 ， ，不妨 ， ，设 的内切圆的径 R，
则 周长 ，
因此 最大，R 就最大， ,
由题知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 ，
由 得 ，
得 ， ，
则 ，令 ，则 ，
则 ，令 ，令 ，当 时， 在
上 单 调 递 增 ， 有 ， ， 即 当 ， 时 ， ，
( )( )
( ) ( )
( )( )
1
11 1
2 1 2 12 1 1
2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1
n nn
n n nn n n nb
+
++ +
− − −
= = = −− −− − − −
1 2 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n nS b b b +
= + + + = − + − + + − − − − − − − L L
1
11 2 1n+= − −
*n∈N 1
n
n
S ma
≥ + 1
1 11 2 1 2 1n nm +≤ − −− −
1
min
1 11 2 1 2 1n nm +
≤ − − − − 1n = 1
3m ≤ −
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1c = 3PQ =
22 3b
a
=
2a = 3b =
2 2
14 3
x y+ =
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 0y > 2 0y < 1F MN∆
1F MN∆ 4 8a= = ( )
1 1 1
1 42F MNS MN F M F N R R∆ = + + =
1F MNS∆ ( )1 2 1 2 1 2
1
2AMNS F F y y y y= − = −
1x my= +
2 2
1
14 3
x my
x y
= + + =
( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − =
2
1 2
3 6 1
3 4
m my m
− + += +
2
2 2
3 6 1
3 4
m my m
− − += +
( ) 2
1 2 1 2 2
1 12 1
2 3 4AMN
mS AB y y y y m∆
+= − = − = +
2 1t m= + 1t ≥
2
2 2
12 1 12 12
13 4 3 1 3
AMN
m tS m t t t
∆
+= = =+ + +
( ) 13f t t t
= + ( ) 13f t t t
= + 1t ≥ ( )f t [ )1,+∞
( ) ( )l 4f t f≥ = 12 33AMNS∆ ≤ = 1t = 0m = 12 33AMNS∆ ≤ =
，∴ ，
这时所求内切圆面积的最大值为 ．
故直线 l： ， 内切圆面积的最大值为 ．
22．（本题 15 分）
已知函数 ．
（Ⅰ）若 ，求证： ；
（Ⅱ）若 ，恒有 ，求实数 的取值范围．
解析：（Ⅰ）因为 ，所以
从而 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内单调递增，
故 的极大值为 ．
所以当 时， ．
（Ⅱ）由 得，
令 ，则 ，
令 ，则可知函数 在 上递增，
且 时， ， ，从而存在 ，使得 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 在 上的最小值为
由 ，得 ，
4AMNS R∆ = max
3
4R =
9 π16
1x = AMN∆ 9 π16
( ) 2 3e xf x x=
0x < ( ) 1
9f x <
0x > ( ) ( )3 2ln 1f x k x x≥ + + + k
( ) 2 3e xf x x= ( ) ( )3 2 3 32 e 3 e 3 2 ex x xf x x x x x′ = + = +
( )f x 2, 3
−∞ −
2 ,03
−
( )0,+∞
( )f x 2
2 4
3 9ef − =
0x < ( ) 2
2 4 4 1
3 9e 9 4 9f x f ≤ − = < = ×
( )2 3e 3 2ln 1xx k x x≥ + + + ( )2 3e 3 2ln 1 0
xx x xk xx
− − −≤ >
( ) ( )2 3e 3 2ln 1 0
xx x xg x xx
− − −= > ( ) ( ) ( )2 3
2
1 3 e 2ln 1 0
xx x xg x xx
+ + −′ = >
( ) ( )2 31 3 e 2ln 1xh x x x x= + + − ( )h x ( )0,+∞
0x +→ ( )h x → −∞ ( ) 31 4e 2ln1 1 0h = + − > ( )0 0,1x ∈ ( )0 0h x =
( )00,x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x
( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
( )g x ( )0,+∞ ( ) 032
0 0 0
0
0
e 3 2ln 1xx x xg x x
− − −=
( ) ( ) 032
0 0 0 01 3 e 2ln 1 0xh x x x x= + + − = 032 0
0
0
1 2lne 1 3
x xx x
−= +
，则 ，且 ，
两式相加可得 ，
记 ，则 在 上单调递增，且 ，所以 ，
从而 ，
所以实数 的取值范围为 ．
022 0
0 0
0
1 2lne 1 3
x xx tx
−= =+ 0 0 02ln 3 lnx x t+ = ( )0 0 01 2ln 1 3x t x− = +
( )0 0 0 02ln 1 3 1 3 0t t x x+ + − − =
( ) ( )0 02ln 1 3 1 3t t t x xϕ = + + − − ( )tϕ ( )0,+∞ ( )1 0ϕ = 1t =
( ) 032
0 0 0 0 0
0
0 0
e 3 2ln 1 1 3 3 1 0
xx x x x xg x x x
− − − − + −= = =
k ( ],0−∞
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