2020届高三年级3月线上自我检测（六） 数学试题（解析版）

2017-20020 届高三年级自主学习自我检测（六） 一、选择题（本大题共 9 个小题，每小题 5 分，满分 45 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1.记全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求得集合 或 ， ，求得 ，再结合集合的交集运算， 即可求解. 【详解】由题意，全集 ，集合 或 ， 集合 ， 所以 ，所以 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合 ，再结合集合的补集和交集的运 算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.若 ，则“ ”是 “ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取 的值，推出矛盾， 确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当 时， ，则当 时，有 ，解得 ，充分 性成立；当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述，“ ”是 “ ”的充分不必要条件. U = R { }2| 16A x x= ≥ { }| 2 2xB x= ≥ ( )U A B = [ )4,+∞ ( ]1,4 [ )1,4 ( )1,4 { | 4A x x= ≤ − 4}x ≥ { | 1}B x x= ≥ { | 4 4}U A x x= − < 4a b+ ≤ 4ab ≤ ,a b 0, 0a > b > 2a b ab+ ≥ 4a b+ ≤ 2 4ab a b≤ + ≤ 4ab ≤ =1, =4a b 4ab ≤ =5>4a+b 4a b+ ≤ 4ab ≤【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通 过特取 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 3.已知各项均为正数的等比数列 的前 4 项和为 15，且 ，则 （ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用方程思想列出关于 的方程组，求出 ，再利用通项公式即可求得 的值． 【详解】设正数的等比数列{an}的公比为 ，则 ， 解得 ， ，故选 C． 【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键． 4.函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。 【详解】解：函数的定义域为 ， ， 则函数 为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 B， 当 时， ，排除 A， ,a b { }na 5 3 13 4a a a= + 3a = 1 ,a q 1 ,a q 3a q 2 3 1 1 1 1 4 2 1 1 1 15, 3 4 a a q a q a q a q a q a  + + + =  = + 1 1, 2 a q =  = 2 3 1 4a a q∴ = = ( ) ( )3 3 lgx xf x x−= + ⋅ { }0x x ≠ ( ) ( ) ( )3 3 lgx xf x x f x−− = + ⋅ = ( )f x 1x > ( ) 0f x >当 时， ，排除 C， 故选：D. 【点睛】本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。 5.已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用 等中间值区分各个数值的大小． 【详解】 ， ， ，故 ， 所以 ． 故选 A． 【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较． 6.已知圆 与直线 交于 、 两点，过 、 分别作 轴的垂线，且与 轴分 别交于 、 两点，若 ，则 （ ）． A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 将直线方程与圆的方程联立，消去 ，设出点 、 两点的坐标，利用根与系数的关系，结合 进行求解即可. 【详解】直线方程与圆的方程联立得： ，设 ， ，所以有 ， . 0 1x< < ( ) 0f x < 5log 2a = 0.5log 0.2b = 0.20.5c = , ,a b c a c b< < a b c< < b c a< < c a b< < 10, ,12 5 5 1log 2 log 5 2a = < < 0.5 0.5log 0.2 log 0.25 2b = > = 1 0.2 00.5 0.5 0.5< < 1 12 c< < a c b< < 2 2( 3) 9x y− + = ( 0)y x m m= + > A B A B x x C D | | 2CD = m = 2 y A B | | 2CD = 2 2 2 2( 3) 9 2 2( 3) 0x y x m x m y x m  − + = ⇒ + − + = = + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 2 2[2( 3)] 8 0 6 9 0( )m m m m− − > ⇒ + − < ∗因此有 ， 因为 ，所以 或 不符合不等式（*） 舍去. 故选：D 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了已知线段长求参数问题，考查了数学运算能力. 7.已知函数 （ ， ）的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，纵坐标扩大到原来的 2 倍得到函数 的图 象，则下列关于函数 的命题中正确的是（ ） A. 函数 是奇函数 B. 的图象关于直线 对称 C. 在 上是增函数 D. 当 时，函数 的值域是 【答案】C 【解析】 【分析】 由三角函数恒等变换的公式和三角函数的图象变换，得到 ，再结合三角函数的图象与 性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数 ， 因为函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列， 可得 ，即 ，所以 ，即 ， 把函数 沿 轴向左平移 个单位，纵坐标扩大到原来的 2 倍得到函数 的图象，可得函数 ， 可得函数 为非奇非偶函数，所以 A 不正确； 由 ，所以 不是函数的对称轴，所以 B 不正确； 2 1 2 1 23 , 2 mx x m x x+ = − = | | 2CD = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 6 9 2 1x x x x x x x x m m m− = − = + − = − − + = ⇒ = 7m = − ( ) sin 3 cosf x x xω ω= − 0>ω x∈R x 2 π ( )f x x 3 π ( )g x ( )g x ( )g x ( )g x 6x π= ( )g x ,3 12 π π −   ,6 6x π π ∈ −   ( )g x [ ]0,2 ( ) 4sin(2 )3g x x π= + ( ) sin 3 cos 2sin( )3f x x x x πω ω ω= − = − ( )f x x 2 π 2 2 T π= T π= 2ω = ( ) 2sin(2 )3f x x π= − ( )f x x 3 π ( )g x ( ) 4sin[2( ) ] 4sin(2 )3 3 3g x x x π π π= + − = + ( ) 4sin(2 )3g x x π= + ( ) 4sin(2 ) 2 36 6 3g π π π= × + = 6x π=由 ，则 ，由正弦函数的性质，可得函数 在 上单调递增， 所以 C 正确； 由 ，则 ， 当 时，即 ，函数取得最小值，最小值 ， 当 时，即 ，函数取得最大值，最大值为 ， 所以函数的值域为 ，所以 D 不正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数图象与性质的综合应用，其中解答中先根据 三角恒等变换的公式和三角函数的图象变换得到函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质，逐项判定 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8.已知点 是双曲线 的左焦点，过 且平行于双曲线渐近线的直线与圆 交于点 ，且点 在抛物线 上，则该双曲线的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如图,设抛物线 的准线为 l,作 PQ⊥l 于 Q, 设双曲线的右焦点为 F′,P(x,y). 为 ,3 12x π π ∈ −   2 ,3 3 2x π π π + ∈ −   ( )g x ,3 12 π π −   ,6 6x π π ∈ −   22 0,3 3x π π + ∈   2 03x π+ = 6x π= − ( ) 06g π− = 2 3 2x π π+ = 12x π= ( ) 412g π = [ ]0,4 ( ),0 ( 0)F c c− > 2 2 2 2 1x y a b − = F 2 2 2x y c+ = P P 2 4y cx= 3 5 2 + 5 5 1 2 − 1 5 2 + 2 4y cx=由题意可知 FF′为圆 的直径， ∴PF′⊥PF,且 ， 满足 ， 将①代入②得 ， 则 ， 即 ,(负值舍去) 代入③,即 再将 y 代入①得, 即 e2= . 故选 D. 点睛：本题主要考查双曲线的渐近线、离心率及简单性质，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是 一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构造 的齐次式， 求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中， 9.已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 的对称点在 的图像上，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 可将问题转化，求直线 关于直线 的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图 像，分析临界点，进一步确定 的取值范围即可 2 2 2x y c+ = ' , ' 2btan PFF FF ca ∠ = = 2 2 2 2 4 y cx x y c y b x c a   =  + =   =+ ① ② ③ 2 24 0x cx c+ − = 2 5x c c= − ± ( )5 2x c= − ( )5 1 , bc y a − = ( )2 2 2 2 4 5 2 1 ( 5 1) b ea − = = − − 1 5 2 + ,a c e ,a c e ( ) 2 ln 2 , 0 3 , 02 x x x x f x x x x − >=  + ≤ 1y = − 1y kx= − k 1 ,12      1 3,2 4      1 ,13      1 ,22      1y kx= − 1y = − k【详解】可求得直线 关于直线 的对称直线为 ， 当 时， ， ，当 时， ，则当 时， ， 单减，当 时， ， 单增； 当 时， ， ，当 ， ,当 时， 单减，当 时， 单增； 根据题意画出函数大致图像，如图： 当 与 （ ）相切时，得 ，解得 ； 当 与 （ ）相切时，满足 ， 解得 ，结合图像可知 ，即 ， 故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于 中档题 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 10.已知复数 ，则复数 虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算，化简得 ，进而求得复数的虚部，得到答案. 的 1y kx= − 1y = − 1y mx= − ( )m k= − 0x > ( ) ln 2f x x x x= − ( )' ln 1f x x= − x e= ( )' 0f x = ( )0,x e∈ ( )' 0f x < ( )f x ( ),x e∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x 0x ≤ ( ) 2 3 2f x x x= + ( ) 3' 2 2f x x= + 3 4x = − ( )' 0f x = 3 4x < − ( )f x 3 04 x− < < ( )f x 1y mx= − ( ) 2 3 2f x x x= + 0x ≤ 0∆ = 1 2m = − 1y mx= − ( ) ln 2f x x x x= − 0x > ln 2 1 ln 1 y x x x y mx m x = −  = −  = − 1, 1x m= = − 11, 2m  ∈ − −   11, 2k  − ∈ − −   1 ,12k  ∈   2 1 iz i += − z 3 2 1 3 2 2z i= +【详解】由题意，复数 ，所以复数 的虚部为 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的概念，熟练应用复 数的除法运算法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 11.二项式 ，则该展开式中的常数项是______. 【答案】180 【解析】 【分析】 求得二项展开式的通项 ，令 ，即可求解展开式的常数项，得到答案. 【详解】由题意，二项式 的展开式的通项为 ， 令 ，可得 ，即展开式的常数项是 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键， 着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，若一个 月以 天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于 个的天数为________. 【答案】 【解析】 【分析】 ( )( ) ( )( ) 2 12 1 3 1 1 1 2 2 i iiz ii i i + ++= = = +− − + z 3 2 3 2 10 2 2x x  +   10 5 2 1 102 r r r rT C x − + = ⋅ 2r = 10 2 2x x  +   10 5 10 2 1 10 102 2( ) ( ) 2 r r r r r r rT C x C xx − − + = = ⋅ 2r = 2 2 3 102 180T C= = 180 180 30 150 9根据频率分布直方图计算出日销售量不少于 个的频率，然后乘以 即可. 【详解】根据频率分布直方图可知，一个月内日销售量不少于 个的频率为 ， 因此，这家面包店一个月内日销售量不少于 个的天数为 . 故答案为 . 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，解题时要明确频数、频率和样本容量三者之间的关系，考查计 算能力，属于基础题. 13.在三棱锥 中, 平面 ， ， ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】 以 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥 的外接球，由此能求出三棱锥 的外接球的表面积. 【详解】由题意，在三棱锥 中， 平面 ， 以 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥 的外接球， 所以三棱锥 的外接球的半径为 ， 所以三棱锥 的外接球的表面积为 . 【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以 为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥 的外接球是解答的关键，着重 考查了数形结合思想，以及推理与运算能力. 14.已知 均为正数，且 ，则当 _____时，代数式 的最小值为________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 根据 ，结合分式运算的性质，对式子 进行恒等变形，最后利用基本不等式进行求解即可. 150 30 150 ( )0.004 0.002 50 0.3+ × = 150 30 0.3 9× = 9 P ABC− PA ⊥ ABC AB BC⊥ 3AB = 4BC = 5PA = P ABC− 50π , ,AB BC PA P ABC− P ABC− P ABC− PA ⊥ , , 3, 4, 5ABC AB BC AB BC PA⊥ = = = , ,AB BC PA P ABC− P ABC− 2 2 21 5 23 4 52 2R = + + = P ABC− 2 25 24 4 ( ) 502S Rπ π π= = × = , ,AB BC PA P ABC− ,a b 1a b+ = a = 2 1 12 a ab + − 2 1− 2 1 a b= + 2 1 12 a ab + −【详解】 . 因为 均为正数，所以 （当且仅当 时取等号，即 ，因此当 时，代数式 的最小值为 . 故答案为： ； 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了分式加法的运算性质，考查了数学运算能力. 15.如图，在 中，已知 ， 为边 的中点．若 ， 垂足为 ，则 EB·EC 的值为__． 【答案】 【解析】 ， 由余弦定理，得 ， 得 ， ， ， 所以 ，所以 ． 点睛：本题考查平面向量的综合应用．本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关 系，得到 ，所以本题转化为求 长度，利用余弦定理和面积公式求解即可． 三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足 ． （Ⅰ）求角 的值； （Ⅱ）若 ， ，求 的值． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 2 21 1 11 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a b a a a b a b a b ab ab b b a b b a b a + + + + +− = − = + + − = + + − = + ,a b 2 1 1 2 22 2 2 a a b a b ab b a b a + − = + ≥ ⋅ = 2 a b b a = 2 1 2 1, 2 2b a a b a b= + = ∴ = − = − 2 1a = − 2 1 12 a ab + − 2 2 1− 2 ABC 3 2 120AB AC BAC= = ∠ = °， ， D BC CE AD⊥ E 27 7 − ( ) ( ) 2EB EC EA AB EC AB EC AD DB EC CD EC EC⋅ = + ⋅ = ⋅ = + ⋅ = ⋅ = −             9 4 2 3 2 cos120 19BC = + − × × × = 4 19 9 7cos 4 19 2 19 C + −= = 7 2AD = 3 3 4S = 3 3 7 CE = 27 7EB EC⋅ = −  2EB EC EC⋅ = −   CE ABC∆ A B C a b c sin1 sin sin b C a c A B = −+ + A 3a = 2 2b = ( )sin 2B A+ π 3A = 2 2 3 6 −【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据正弦定理将边角关系式化为边之间的关系，从而可凑得 的形式，得到 ，进而得 到 ；（Ⅱ）由正弦定理求得 ，利用同角三角函数关系得到 ；再利用二倍角公式得到 ；通过两角和差正弦公式求得结果. 【详解】（Ⅰ） 由正弦定理得： ，化简得： 又 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，又 ， 由正弦定理 得： 又 【点睛】本题考查正弦定理解三角形、同角三角函数关系、二倍角公式的应用、两角和差正弦公式的应用 问题，属于常规题型. 17.如图，三棱柱 中， 侧面 ，已知 ， ， ，点 是棱 的中点. cos A 1cos 2A = A sin B cos B sin 2 ,cos2B B sin1 sin sin b C a c A B = −+ + 1b c a c a b = −+ + 2 2 2b c a bc+ − = 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −∴ = = 0 A π< < 3A π∴ = 3A π= 3a = 2 2b = sin sin a b A B = 32 2sin 62sin 3 3 b AB a × = = = b a< B A∴ < 2 3cos 1 sin 3B B∴ = − = 6 3 2 2sin 2 2sin cos 2 3 3 3B B B∴ = = × × = 2 2 1cos2 1 2sin 1 2 3 3B B= − = − × = − ( ) 2 2 3sin 2 sin 2 sin 2 cos cos2 sin3 3 3 6B A B B B π π π − ∴ + = + = + =   1 1 1ABC A B C− AB ⊥ 1 1BB C C 1 3BCC π∠ = 1BC = 1 2AB C C= = E 1C C（1）求证： 平面 ； （2）求二面角 余弦值； （3）在棱 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2） （3）存在, 或 . 【解析】 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理，即可证得 平面 . （2）以 为原点，分别以 ， 和 的方向为 ， 和 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标 系，求得平面 和平面 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）假设存在点 ，设 ，根据 ，得到 的坐标，结合平面 的法向量为 列出方程，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为 ， ， ，∴ ， 又∴ ，∴ ， ∵ 侧面 ，∴ . 又∵ ， ， 平面 ∴直线 平面 . （2）以 为原点，分别以 ， 和 的方向为 ， 和 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标 系， 的 1C B ⊥ ABC 1 1A EB A− − CA M EM 1 1A B E 2 11 11 CM CA 2 5 5 1 3 CM CA = 5 23 CM CA = 1C B ⊥ ABC B BC 1 BC BA x y z 1AB E 1 1A B E M ( ), ,M x y z CM CAλ=  EM 1 1A B E 1BC = 1 2CC = 1 3BCC π∠ = 1 3BC = 2 2 2 1 1BC BC CC+ = 1BC BC⊥ AB ⊥ 1 1BB C C 1AB BC⊥ AB BC B∩ = AB BC ⊂ ABC 1C B ⊥ ABC B BC 1 BC BA x y z则有 ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， ∵ ，∴ ，令 ，则 ，∴ 设平面 的一个法向量为 ， ， ， ∵ ，∴ ，令 ，则 ，∴ ， ， ， ，∴ . 设二面角 为 ，则 . ∴设二面角 的余弦值为 . （3）假设存在点 ，设 ，∵ ， ， ∴ ，∴ ∴ 设平面 的一个法向量为 ， ∴ ，得 . 即 ，∴ 或 ，∴ 或 . ( )0,0,2A ( )1 1, 3,0B − 1 3, ,02 2E       ( )1 1, 3,2A − 1AB E ( )1 1 1, ,n x y z= ( )1 1, 3, 2AB = − − 1 3, , 22 2AE  = −     1 0 0 n AB n AE  ⋅ =  ⋅ =   1 1 1 1 1 1 3 2 0 1 3 2 02 2 x y z x y z − + − = + − = 1 3y = 1 1x = ( )1, 3,1n = 1 1A B E ( ), ,m x y z= ( )1 1 0,0, 2A B = − 1 3 3, , 22 2A E  = − −     1 1 1 0 0 m A B m A E  ⋅ = ⋅ =   2 0 3 3 2 02 2 z x y z − = − − = 3y = 1x = ( )1, 3,0m = 2m = 5n = 4m n⋅ =  4 2 5cos , 52 5 m nm n m n ⋅= = =      1 1A EB A− − α 2 5cos cos , 5m nα = =  1 1A EB A− − 2 5 5 M ( ), ,M x y z CM CAλ=  [ ]0,1λ ∈ ( ) ( )1, , 1,0,2x y z λ− = − ( )1 ,0,2M λ λ− 1 3, ,22 2EM λ λ = − −     1 1A B E ( )1, 3,0m = 2 2 1 3 2 11 2 2 11 1 32 42 4 λ λ λ − − =  − + +   269 38 5 0λ λ− + = ( )( )3 1 23 5 0λ λ− − = 1 3 λ = 5 23 λ = 1 3 CM CA = 5 23 CM CA =【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻 辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键， 同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角 公式求解. 18.已知椭圆 的左、右焦点为 、 ， ，若圆 Q 方程 ，且圆心 Q 满足 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过点 的直线 交椭圆 于 A、B 两点，过 P 与 垂直的直线 交圆 Q 于 C、D 两点， M 为线段 CD 中点，若 的面积为 ，求 的值． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意求得 的值即可确定椭圆方程； (Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程，结合三角形的面积得到关于 k 的方程，解方程即可确定 k 的值. 【详解】（Ⅰ）由题意可知： ， ， ( )2 2 1 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1F 2F 1 2 2 2F F = ( ) ( )2 22 1 1x y− + − = 1 2 2QF QF a+ = 1C ( )0,1P 1 : 1l y kx= + 1C 1l 2l MAB△ 6 2 5 k 2 2 14 2 x y+ = 2k = ± 2 2,a b ( )1 2,0F − ( )2 2,0F ( )2,1Q， ， ， 椭圆 的方程为 （Ⅱ）设 ， ，由 消去 y，得 ， ， ， ， 为线段 CD 中点， ，又 ， ， ， 又点 Q 到 的距离 ， ． 此时 ，圆心 Q 到 的距离 ，成立． 综上： ． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三 角形的面积等问题． 19.已知数列 满足 . （1）设 ，求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ； （3）记 ，求数列 的前 项和 . 1 22 4 2a QF QF a∴ = + = ⇒ = 2c = 2 2 2 2b a c∴ = − = ∴ 1C 2 2 14 2 x y+ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 1 2 4 y kx x y = +  + = ( )2 21 2 4 2 0k x kx+ + − = ( )2 2 216 8 2 1 32 8 0k k k∆ = + + = + > 1 2 2 4 1 2k kx x+ = − + 1 2 2 2 1 2kx x = − + 2 2 2 1 2 2 32 81 1 1 2 kAB k x x k k +∴ = + − = + ⋅ + M MQ CD∴ ⊥ 1 2l l⊥ //MQ AB MAB QABS S∴ =   1l 2 2 1 k d k = + ( )2 2 2 2 4 11 6 2 2 1 2 5MAB k k S AB d k∆ + ∴ = ⋅ = =+ ( )( )4 2 2 2 228 47 18 0 2 28 9 0 2 2k k k k k k∴ − − = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = ± 2 2: 12l y x= ± + 2l 2 2 1 12 2 131 12 h ± × − + = = < + 2k = ± { }na 1 1 12, 2 2n n na a a + += = + 2 n n n ab = { }nb { }na n nS ( ) ( )2 1 1 4 2 2n n n n n n n c a a + − + + = { }nc n nT【答案】（1） （2） （3） 【解析】 试题分析：（1）对条件 两边同除以 得 ，即得数列 首项及公差均为 1 的等差数列，再根据等差数列通项公式求数列 的通项公式；（2）因为 ，所以利用错位相减 法求和得数列 的前 项和 ；（3）对 裂项处理： ，再根据 分组求和以及裂项相消法求和得数列 的前 项和 . 试题解析：（1）由 得 ，得 ； （2）易得 ， 错位相减得 所以其前 项和 ； （3） ， 或写成 . 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在 写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表 达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 20.已知函数 ， （1）当 时，求函数 的单调区间和极值； （2）若对于任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围； . nb n= ( ) 11 2 2n nS n += − + ( )( ) ( ) 1 1 4 12 3 3 1 ·2 n n n n + + + −− − + 1 1 2 2n n na a + + = + 12n+ 1 1n nb b+ = + { }nb 为 { }nb ·2n na n= { }na n nS nc ( ) ( ) ( ) 1 1 1 11 1 2 2 ·2 1 ·2 n nn n n nc n n + +  − −   = − + −   +    { }nc n nT 1 1 2 2n n na a + + = + 1 1n nb b+ = + nb n= ·2n na n= 1 2 2 3 11 2 2 2 2 ,2 1 2 2 2 2 ,n n n nS n S n += × + × + + × = × + × + + ×  1 2 1 11 22 2 2 2 2 21 2 n n n n nS n n+ +−− = + + + − × = × − ×− n ( ) 11 2 2n nS n += − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 4 2 2 1 4 2 1 2 1 ·2 · 1 2 · 1 2 · 1 2 n n nn n n n n n n n n n n n n n c n n n n n n+ + + − + + − + + − + + + + = = =+ + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 11 1 1 112 ·2 1 ·2 2 2 ·2 1 ·2 n n nn n n n n n nn n n n + + + +   − − −   = + − + = − + −      + +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 12 1 2 2 3 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 2 2 2 1·2 2·2 2·2 3·2 ·2 1 ·2 n nn n n nT n n + +         − − − − −−            = − + − + + − + − + − + + −            +                  ( ) ( ) 1 1 12 1 1 3 6 2 1 ·2 nn nn + + − = − + − −  +  ( )( ) ( ) 1 1 4 12 3 3 1 ·2 n n n n + + + −− − + nS nqS n nS qS− ( ) (ln 1)f x x x k= − − k ∈R 1x > ( )f x 2,x e e ∈  ( ) 4lnf x x< k（3）若 ，且 ，证明： . 【答案】(1)答案见解析；(2) ；(3)证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）由题意 x>0， 由此根据 k≤0，k>0 利用导数性质分类讨 论，能求出函数 f（x）的单调区间和极值． （2）问题转化为 ，对于x∈[e，e2]恒成立，令 ，则 ， 令 ，由此利用导数性质能求出实数 k 的取值范围． （3）设 ，则 ，要证 ，只要证 ，即证 ，由此 利用导数性质能证明 . 试题解析： （1） ， ① 时，因为 ，所以 ， 函数 的单调递增区间是 ，无单调递减区间，无极值； ②当 时，令 ，解得 ， 当 时， ；当 ， ． 所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ， 在区间 上的极小值为 ，无极大值． （2）由题意， ， 即问题转化为 对于 恒成立， 即 对于 恒成立， 令 ，则 ， 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 2 1 2 kx x e⋅ < 2 8(1 , )e − +∞ ( ) 1 ln 1 lnf x x x k x kx = ⋅ + − − = −′ ， ( )4 ln1 x xk x −+ > ( ) ( )4 lnx xg x x −= ( ) 2 4ln 4x xg x x =′ + − ( ) 24ln 4, ,t x x x x e e = + − ∈  1 2x x< 1 1 20 k kx e x e +< < < < 2 1 2 kx x e< 2 2 1 kex x < 2 2 1 k k ee x x < < 2 1 2 kx x e< ( ) 1 ln 1 lnf x x x k x kx = ⋅ + − − = −′ 0k ≤ 1x > ( ) ln 0f x x k′ = − > ( )f x ( )1,+∞ 0k > ln 0x k− = kx e= 1 kx e< < ( ) 0f x′ < kx e> ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1, ke ( ),ke +∞ ( )1,+∞ ( ) ( )1k k kf e k k e e= − − = − ( ) 4ln 0f x x− < ( ) ( )4 ln 1 0x x k x− − + < 2,x e e ∈  ( )4 ln1 x xk x −+ > 2,x e e ∈  ( ) ( )4 lnx xg x x −= ( ) 2 4ln 4x xg x x =′ + −令 ，则 ， 所以 在区间 上单调递增，故 ，故 ， 所以 在区间 上单调递增，函数 ． 要使 对于 恒成立，只要 ， 所以 ，即实数 k 的取值范围为 ． （3）证法 1 因为 ，由（1）知，函数 在区间 上单调递减，在区间 上 单调递增，且 ． 不妨设 ，则 ， 要证 ，只要证 ，即证 ． 因为 在区间 上单调递增，所以 ， 又 ，即证 ， 构造函数 ， 即 ， ． ， 因为 ，所以 ，即 ， 所以函数 在区间 上单调递增，故 ， 而 ，故 ， 所以 ，即 ，所以 成立． ( ) 24ln 4, ,t x x x x e e = + − ∈  ( ) 4 1 0t x x +′ = > ( )t x 2,e e   ( ) ( )min 4 4 0t x t e e e= = − + = > ( ) 0g x′ > ( )g x 2,e e   ( ) ( )2 2max 82g x g e e = = − ( )4 ln1 x xk x −+ > 2,x e e ∈  ( )max1k g x+ > 2 81 2k e + > − 2 81 ,e  − +∞   ( ) ( )1 2f x f x= ( )f x ( )0, ke ( ),ke +∞ ( )1 0kf e + = 1 2x x< 1 1 20 k kx e x e +< < < < 2 1 2 kx x e< 2 2 1 kex x < 2 2 1 k k ee x x < < ( )f x ( ),ke +∞ ( ) 2 2 1 kef x f x  <     ( ) ( )1 2f x f x= ( ) 2 1 1 kef x f x  <     ( ) ( ) ( )2 2 2 ln 1 ln 1 k k ke e eh x f x f x k x kx x x    = − = − − − − −       ( ) ( ) 2 ln 1ln 1 k x kh x x x k x e x x − = − + + −   ( )0, kx e∈ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 ln 1 (ln 1 1 ln k k x k x eh x x k e x kx x x − −′ − = + − + + + = −   ） ( )0, kx e∈ 2 2ln 0, kx k x e− < < ( ) 0h x′ > ( )h x ( )0, ke ( ) ( )kh x h e< ( ) ( ) 2 0 k k k k eh e f e f e  = − =   ( ) 0h x < ( ) 2 1 1 kef x f x  <     ( ) ( ) 2 2 1 1 kef x f x f x  = <     2 1 2 kx x e− − 1 2x x< 1 2 0 1x tx < = < ln ln 2 011 1 t t t t + − >− − ( )1 ln 21 t t t + >− 1ln 2 1 tt t −< + ( )0,1t ∈ ( ) 1ln 2 (0 1)1 th t t tt −= − <