广东省 2020 届高三第 6 次月考理科数学试题卷
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求
1.已知集合 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.若复数 的对应点在直线 上，则 （ ）
A. B. C. D. 1
3.设等比数列 的前 6 项和 ，且 为 的等差中项，则 （ ）
A. B. 8 C. 10 D. 14
4.2021 年广东新高考将实行 模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四
选二，共有 12 种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他
们选课相同的概率( )
A. B. C. D.
5.椭圆 C： 1（ ）的左、右焦点分别为 ，左右顶点分别为 ，且 ，
，点 ， ，则 的面积为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
6.点 是 所在平面上一点，若 ，则 与 的面积之比是（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
7.函数 （其中 ， ）的部分图象如图所示，将函数 的图象向左平移
个单位长度，得到 的图象，则下列说法不正确的是（ ）
{ } { },2 2 ,aA B a b= =， ， 1
2A B = A B∪ ＝
11 22
− ，， 11 ,2 b − ， 11 2,2 b − ，， 12 2
，
( )
2
a iz a Ri
+= ∈ y x= a =
1
2
− 1
2 1−
{ }na 6 6S = 21 2
a− 1 3,a a 7 8 9a a a+ + =
2−
3 1 2+ +
1
36
1
16
1
8
1
6
2 2
2 2
x y
a b
+ = 0a b> > 1 2,F F ,A B AB 4=
2 2 3AF = + P C∈ 1 2 2PF PF = 1 2PF F∆
1
3
1
2
P ABC∆ 2 1
3 3AP AB AC= + ABP∆ ACP∆
1
3
1
2
( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ 0A > 0>ω ( )f x
6
π ( )y g x=A. 函数 为奇函数 B. 函数 的最大值为
C. 函数 的最小正周期为 D. 函数 在 上单调递增
8.设函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
9.点 是直角 斜边 上一动点， ，将直角 沿着 翻折，使 与
构成直二面角，则翻折后 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
10.设 为双曲线 上且在第一象限内的点， ， 分别是双曲的左、右焦点，
， 轴上有一点 且 ， 是 的中点，线段 与 交于点 .若
，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数 ，方程 有 4 个不同的实数根，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
12.已知数列 满足： ， ，其中 为 的前 项和．若对任
意的 均有 恒成立，则 的最大整数值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上．
13. 展开式中的常数项为_____．（用数字作答）
14.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻亮一次红灯与亮一次绿灯
的时间之和为 90 秒，其中亮红灯的时间不超过 60 秒，亮绿灯的时间不超过 50 秒，则亮绿灯的时间不小于
的
( )g x ( )g x 3
( )g x π ( )g x 0, 3
π
( ) 2
1ln 1f x x x
= − +
( ) ( )2 1f x f x> −
1 13
， 1 1 1 13 2 2
∪ ， ，
10 2
， ( ),1−∞
D ABC∆ AB 3, 4AC BC= = ABC∆ CD 'B DC∆
ADC∆ 'AB
21 13 2 2 7
P :C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F 2F
1 1 2PF F F⊥ x A 1AP PF⊥ E AP 1EF 2PF M
22PM MF=
1 2+ 2 2+ 3 2+ 4 2+
( )
2 4 , 0
, 0
x
x x x
f x e xx
+ ≤= >
( ) 0f x ax− = a
2
,44
e
,44
e
,4
e +∞
2
,4
e +∞
{ }na 1 2a = ( ) ( )2
1 1 0, *n n na S S n N+ − ∈=+ nS { }na n
n ( )( ) ( )1 21 1 1nS S S kn+ + … + ≥ k
( )3 621 ( )x x x
− +亮红灯的时间的概率为_____．
15.在三棱锥 中， ， ， ， ．则三棱锥
的外接球的表面积为_____．
16.已知平面四边形 ABCD 中， ， ， ， 的面积
为 ，则 _____．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知数列 的前 和为 ，且满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，求 的最小值．
18.（2017 新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，
∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC；
（2）过 AC 平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D–AE–C
的余弦值.
19.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心在坐标原点 O，其右焦点为 ，且点 在椭圆 C
上．
求椭圆 C 的方程；
的
A BCD− 60ABC ABD∠ = ∠ = ° 2 2BC BD= = 4CD = 2AB =
A BCD−
2
3ABC
π∠ = 2 19AC = 2 3 , 2AB BC AD BD= = BCD∆
2 3 CD =
{ }na n nS ( )*2 3 1n nS a n N= − ∈
{ }na
3 2log n
n
n
ab a
+=
nT { }nb n nT
( )1,0F 31, 2
( )1设椭圆的左、右顶点分别为 A、B，M 是椭圆上异于 A，B 的任意一点，直线 MF 交椭圆 C 于另一点 N，
直线 MB 交直线 于 Q 点，求证：A，N，Q 三点在同一条直线上．
20.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数 y 和平均温度 x 有
关，现收集了以往某地的 7 组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中 ）
平均温度
21 23 25 27 29 32 35
平均产卵
数 /个
7 11 21 24 66 115 325
27.429 81.286 3 612 40.182 147.714
（1）根据散点图判断， 与 （其中 自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均
产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求
出 y 关于 x 的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到 28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况
均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到 28℃以上的概率为 .
①记该地今后 5 年中，恰好需要 3 次人工防治的概率为 ，求 的最大值，并求出相应的概率 p.
②当 取最大值时，记该地今后 5 年中，需要人工防治的次数为 X，求 X 的数学期望和方差.
.
( )2
4x =
7
1
1ln , 7i i
i
z y z z
=
= = ∑
/x C°
y
x y z ( )( )
1
n
i i
i
x x z z
=
− −∑ ( )2
1
n
i
i
x x
=
−∑
y a bx= + dxy ce= e 2.718=
( )0 1p p< <
( )f p ( )f p
( )f p附：线性回归方程系数公式 .
21.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ，若函数 两个极值点 恰为函数 的两个零点，且
的范围是 ，求实数 a 的取值范围.
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号
22.以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为
（ ,a 为常数）），过点 、倾斜角为 的直线 的参数方程满足 ，（ 为参数）．
（1）求曲线 C 普通方程和直线 的参数方程；
（2）若直线 与曲线 C 相交于 A、B 两点（点 P 在 A、B 之间），且 ，求 和 的
值．
23.设函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于 x 的不等式 有解，求 的取值范围．
的
的
( ) ( )
( )
1
2
1
ˆ ˆˆ,
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b a y bx
x x
=
=
− ⋅ −
= = −
−
∑
∑
( ) 1 2 lnf x x a xx
= − + ⋅
( )f x
( ) 2lng x x bx cx= − − ( )f x ( )1 2 1 2,x x x x< ( )g x
( ) 1 2
1 2 2
x xy x x g
+ ′= − ⋅
2ln 2 ,3
− +∞
2 2cos2 aρ θ =
a R∈ ( )2,1P 30° l 32 2x t= + t
l
l 2PA PB⋅ = a PA PB−
( ) 1 , ( ) 2f x x g x x a= − = +
1a = (( 1) )gf xx − >
22 ( ) ( ) ( 1)f x g x a+ ≤ + a
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