北京市第十三中学2020届高三下学期开学测试数学试题（原卷版）

北京市第十三中学 2019～2020 学年度 高三年级数学开学测试 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷从第 1 页至第 2 页；第Ⅱ 卷从第 3 页至第 5 页；答题纸从第 1 页至第 4 页.共 150 分，考试时间 120 分钟.请在答题纸规 定处书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸一并交回. 第Ⅰ卷（选择题共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.） 1.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.抛物线 上的点到其焦点的最短距离为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3.过双曲线 右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 A. B. C. D. 4.已知等比数列 满足 ，且 成等差数列，则 ( ) A. B. C. D. 5.已知向量 ，若 ，则实数 λ=（ ） A. -3 B. C. 1 D. 3 6.已知 , ，直线 和 是函数 图像的两条相邻的对称轴，则 （ ） A. B. C. D. 7.已知 ， ， ，则（ ）． A. B. C. D. 的 { }1A x R x= ∈ 2{ | 4}B x R x= ∈ ≤ A B∪ = [ 2, )− +∞ (1, )+∞ (1,2] ( , )−∞ +∞ 2 =4x y 1 2 2 2 19 16 x y− = 3 4 15 0x y+ − = 3 4 15 0x y− − = 4 3 20 0x y− + = 4 3 20 0x y− − = { }na 1 2a = 1 2, ,6a a 4a = 6 8 16 32 ( ) ( ) ( )1 2 , 0 2 , 1,a b c λ= = − = −  , , ( )2 //a b c−   1 3 0w > 0 φ π< < 4x π= 5 4 =x π ( ) sin( )f x wx φ= + φ = π 4 π 3 π 2 3π 4 1 32a −= 2 1log 3b = 1 2 1log 3c = a b c> > a c b> > c a b> > c b a> >8.已知函数 ，则“ ”是“函数 在区间 上存在零点”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.某购物网站在 2017 年 11 月开展“全部 6 折”促销活动，在 11 日当天购物还可以再享受“每张订单金额 (6 折后)满 300 元时可减免 100 元”．某人在 11 日当天欲购入原价 48 元(单价)的商品共 42 件，为使花钱总 数最少，他最少需要下的订单张数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.如图，已知直线 与曲线 相切于两点，函数 ，则函数 （ ） A. 有极小值，没有极大值 B. 有极大值，没有极小值 C. 至少有两个极小值和一个极大值 D. 至少有一个极小值和两个极大值 第Ⅱ卷（共 110 分） 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 11.已知 ，其中 是虚数单位，那么实数 = ． 12.若 ，则 = . 13.对于 ，以点 为中点的弦所在的直线方程是_____． 14.已知 是等差数列，那么 =______； 最大值为______． 15.已知函数 ,则 ；下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数 是偶函数； ② 任取一个不为零的有理数 ， 对 恒成立； 的 ( ) af x x x = + 0a < ( )f x (0, )+∞ y kx= ( )y f x= ( )g x kx m= + ( 0)m > ( ) ( ) ( )F x g x f x= − i 11 i a i= − +− i a tan 2α = sin 2α 2 2: 2 0A x y x+ − = 1 1( , )2 2 ,4,m n ( 2) ( 2)m n⋅ mn ( )( ) ______f f x = ( )f x T ( ) ( )f x T f x+ = x R∈③ 存在三个点 使得 为等边三角形. 三、解答题（共 85 分） 16.如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， . （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求二面角 的正弦值. 17.已知 同时满足下列四个条件中的三个： ① ；② ；③ ；④ ． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求 的面积． 18.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公 司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据，制表如下： 甲公司某员工 A 乙公司某员工 B 3 9 6 5 8 3 3 2 3 4 6 6 6 7 7 0 1 4 4 2 2 2 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： 甲公司规定每件 4.5 元；乙公司规定每天 35 件以内（含 35 件）的部分每件 4 元，超出 35 件的部分每件 7 1 1 2 2 3 3( , ( )), ( , ( )), ( , ( )),A x f x B x f x C x f x ABC∆ 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD E 1AA 1BE EC⊥ BE⊥ 1 1EB C 1AE A E= 1B EC C− − ABC π 3A = 2cos 3B = − 7a = 3b = ABC元. （1）根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数； （2）为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得的劳务费记为 （单位：元），求 的分布列和数学期望； （3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 19.已知函数 . （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求 单调区间； （3）若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围. 20.已知椭圆 C： 的离心率为 ，左、右顶点分别为 A，B，点 M 是椭圆 C 上异于 A， B 的一点，直线 AM 与 y 轴交于点 P． （Ⅰ）若点 P 在椭圆 C 的内部，求直线 AM 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设椭圆 C 右焦点为 F，点 Q 在 y 轴上，且∠PFQ=90°，求证：AQ∥BM． 21.对于数列 ，定义“ 变换”： 将数列 变换成数列 ， 其中 ，且 ，这种“ 变换”记作 .继续对数列 进行 “ 变换”，得到数列 ，依此类推，当得到的数列各项均为 时变换结束． （1）试问 和 经过不断的“ 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“ 变换”得到的 各数列；若不能，说明理由； （2）求 经过有限次“ 变换”后能够结束的充要条件； （3）证明： 一定能经过有限次“ 变换”后结束． 的 的 X X ( ) lnf x x x= ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )f x 1 ,x ee  ∈   ( ) 1f x ax≤ − a ( )2 2 2 1 22 x y aa + = ＞ 2 2 ( )1 2: , ,... , 1,2,...n n iA a a a a N i n∈ = T T nA 1 2: , ,...n nB b b b ( )1 1,2,... 1i i ib a a i n+= − = − 1n nb a a= − T ( )n nB T A= nB T ,...nC 0 3 : 4,2,8A 4 :1,4,2,9A T T 3 1 2 3: , ,A a a a T 4 1 2 3 4: , , ,A a a a a T