广东番禺区2020届高三摸底测试理科数学试题（原卷版）

2020 届番禺区高三年级摸底测试 理科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1.设全集 U=R， ，则 （ ） A. [1，3) B. (1，3] C. (1，3) D. (－2，1] 2.设 （i 为虚数单位），其中 x，y 是实数，则 等于（ ） A. 5 B. 13 C. 22 D. 2 3.函数 的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ） A. 向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移个 单位长度 D. 向左平移个 单位长度 5.等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，若 ， ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 3 { } ( ){ }2 6 0 , ln 1A x x x B x y x= − − < = = − ( )UA B =  (2 )(3 ) 3 ( 5)i xi y i+ − = + + x yi+ ( ) cos xf x x = 2 sin3y x= − sin3 cos3y x x= + 3 4 π 2 π 4 π 2 π { }na n nS q 6 39S S= 5 62S = 1a = 2 56.射线测厚技术原理公式为 ，其中 分别为射线穿过被测物前后 强度， 是自然对数的底数， 为被测物厚度， 为被测物的密度， 是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅 241（ ）低能 射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为（ ） （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度， ，结果精确到 0.001） A. 0.110 B. 0.112 C. D. 7.平面 α∥平面 β 的一个充分条件是（　　） A. 存在一条直线 a，a∥α，a∥β B. 存在一条直线 a，a⊂α，a∥β C. 存在两条平行直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D. 存 两条异面直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 8.设函数 的导函数为 ，且 ，则曲线 在点(4，f(4))处切线的倾斜 角为（ ） A. B. C. D. 9.已知函数 的图象关于直线 对称，若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 10.中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、 火生土、土生金”.从五种不同属性 物质中随机抽取 2 种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ） A. B. C. D. 11.已知 是抛物线 的焦点， 是 轴上一点，线段 与抛物线 相交于点 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 1 12.已知正方体 ，过对角线 作平面 交棱 于点 E，交棱 于点 F，则： ①平面 分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形 一定是平行四边形； 的 在 的 0 tI I e ρµ−= 0I I， e t ρ µ 241 Am γ ln 2 0.6931≈ 0.114 0.116 ( )f x ( )'f x ( ) ( )3 ' 2 2lnf x xf x= − ( )f x 6 π 4 π 3 4 π 5 6 π ( ) sin 2 3 cos2f x a x x= − 12x π= − ( ) ( )1 2 4f x f x = − 1 2x x− 3 π 2 3 π 4 π 2 π 1 5 1 4 1 3 1 2 F 2: 2C y x= N x FN C M 2FM MN=  | |FN = 5 8 1 2 3 8 1 1 1 1ABCD A B C D− 1BD α 1AA 1CC α 1BFD E③平面 与平面 不可能垂直； ④四边形 的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 的展开式中 项的系数是____________ 14.已知实数 满足 则 取得最大值的最优解为_________. 15.设数列 的前 n 项和为 ，且 ，则数列 的前 10 项的 和是__________ 16.已知函数 ， ，若 与 的图象上存在关于直线 对称的点，则实数 的取值范围是_____________. 三．解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.在△ABC 中，角 A，B，C 对边分別为 a，b，c，若 ． （1）求 a； （2）已知点 M 在边 BC 上，且 AM 平分∠BAC，求△ABM 的面积． 18.如图，已知三棱柱 中，平面 平面 ， ， . 的 α 1DBB 1BFD E 8 1 2 2 yx + −   2 2x y x y， 2 6 0 x y x y x y ≥  ≤  + − ≤ ， ， ， 2z x y= + { }na nS ( )( )* 1 1, 2 1n n Sa a n n Nn = = + − ∈ 1 3nS n    +  ( ) 212ln x xf x ee  = ≤ ≤   ( ) 1g x mx= + ( )f x ( )g x 1y = m 3cos , 2 , 34A B A b= = = 1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C ⊥ ABC 1AA AC= AC BC⊥（1）证明： ； （2）设 ， ，求二面角 的余弦值. 19.已知长度为 4 的线段的两个端点 分别在 轴和 轴上运动，动点 满足 ，记动点 的轨 迹为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）设不经过点 直线 与曲线 相交于两点 .若直线 与 的斜率之和为 1, 求实数 的值. 20.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维 修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修费 2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费 1000 元. 某医院准备一次性购买 2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率，记 X 表示这 2 台机器超过质保期后延保 的两年内共需维修的次数． （1）求 X 的分布列； （2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 21.已知函数 （1）若 在[1，+∞)上恒成立，求 a 的取值范围． 的 1AC ⊥ 1AB 2AC CB= 1 60A AC∠ =  1 1C AB B− − ,A B x y P 3BP PA=  P C C ( )0,1H 2y x t= + C ,M N HM HN t ( ) ( )0af x ax ax = − > ( ) lnf x x≥（2）证明： 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是 （k 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）曲线 C 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线 C 上的点到直线 的距离的取值范围. 23.设函数 ， ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）对任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围． ( ) ( ) ( )* 1 1 ln 1 1,2 1 n k nn n n Nk n= > + + ≥ ∈+∑ ( ) 2 2 2 8 1 3 1 1 kx k k y k  = + − = + l cos 2 24 πρ θ + =   l l ( ) 2 1 2f x x x a= − + − x∈R 4a = ( ) 9f x > x∈R ( ) 5f x a≥ − a