红岭中学 2019—2020 学年度第一学期
高三年级第二次统一考试
理科数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，每小题的 4 个选项中仅有一个选项是
正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
1.已知集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据集合补集和并集的知识，求得 .
【详解】依题意 ，所以 ，所以 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查集合补集和并集的概念和运算，属于基础题.
2.已知， ，则与 共线的单位向量是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
利用 求得与 共线的单位向量
【详解】 ，故与 共线的单位向量为 ，
即 或 ，故选 B.
【点睛】本小题主要考查单位向量的知识，考查共线向量的坐标表示，属于基础题.
【
{ | 2 4}M x Z x= ∈ − < < {1,3}P = {0,7}Q = ( )MQ P =
{0,1,7} { 1,0,7}− {0,1,3,7} { 1,0,2,7}−
( )MQ P
{ }1,0,1,2,3M = − { }1,0,2M P = − ( )MQ P = { 1,0,2,7}−
( ) ( )2,3 , 4,5A B − AB
3 10 10,10 10e
= −
3 10 10,10 10e
= −
3 10 10,10 10e
= −
( 6,2)e = − ( )6,2e = − ( )6,2e =
AB
AB
±
AB
( )6,2 , 36 4 2 10AB AB= − = + = AB 3 10 10,10 10
AB
AB
± = ± −
3 10 10,10 10e
= −
3 10 10,10 10e
= −
3.已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先求导，再求 ，再化简 得解.
详解：由题得 ，
∴ .
因为 = ，
∴ =1
故选 A.
点睛：本题主要考查导数的运算和导数的定义，属于基础题.
4.设等比数列 的公比为 ，则“ ”是“ 是递减”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
试题分析：∵数列 是公比为 的等比数列，则“ ”，∴当 时，“ 为递增数列”，又
∵“ ”是“ 为递减数列”的既不充分也不必要条件，故选 D.
考点：充要条件.
5.在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则此三角形（ ）
A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 解的个数不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
( ) ( )5 ln 2 13f x x x= − + ( ) ( )
0
1 1lim
x
f x f
x∆ →
+ ∆ − =∆
1 0 4
3
5
3
(1)f ′ ( ) ( )
0
1 1lim
x
f x f
x∆ →
+ ∆ −
∆
5 2) 3 2 1f x x
′ = − +（
(1) 1f ′ =
( ) ( )
0
1 1lim
x
f x f
x∆ →
+ ∆ −
∆ (1)f ′
( ) ( )
0
1 1lim
x
f x f
x∆ →
+ ∆ −
∆
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 010, 15,A 30a b= = =利用正弦定理求 ，与 比较的大小，判断 B 能否取相应的锐角或钝角.
【详解】由 及正弦定理，得 ， ，B 可取锐角；当 B
为钝角时， ，由正弦函数在 递减， ，可取.故选 C.
【点睛】本题考查正弦定理，解三角形中何时无解、一解、两解的条件判断，属于中档题.
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图还原为原图，由此求得几何体的体积.
【详解】由三视图可知，该几何体如下图所示四棱锥 ，故体积 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查有三视图还原为原图，考查四棱锥体积的计算，属于基础题.
7.已知 ，关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有 5 个整数，则所有符合条件的
的值之和是（ ）
A. 36 B. 48 C. 50 D. 87
【答案】D
【解析】
为
sin B sin A
010, 15,A 30a b= = = 10 15
sin30 sin B
=
3sin sin4B A= >
sin sin( )B Aπ> − ( , )2
π π B Aπ< −
3
2
1
3
1
2
1D EFBC− 1 11 1 13 3
× × × =
a Z∈ x 21 8 02 x x a− + ≤ a【分析】
构造一元二次不等式对应的二次函数，根据二次函数的对称轴和原不等式解集中有且仅有 个整数列不等式
组，解不等式组求得 的取值范围，由此求得所有符合条件的 的值之和.
【详解】构造函数 ，二次函数开口向上，对称轴 ，故一元二次不等式式
的解集中包括 这 个整数，所以 ，即 ，解得
，由于 ，所以 ，和为 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查根据一元二次不等式的解求参数的取值范围，属于中档题.
8.已知向量 与 的夹角为 ， ， 与 同向，则 的最小值是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件判断出当何时 取得最小值，并解直角三角形求得这个最小值.
【详解】设 ，由于 ，所以以 为邻边的平行四边形是菱形，
对角线相互垂直平分，设对角线相交与 ，则 ，画出图像如下图所示. ，而 与
同向，所以 与 同向，所以 的最小值为 ，在 中， ，所
以 .
故选：B
【点睛】
本小题主要考查平面向量 线性运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.的
5
a a
( ) 21 82f x x x a= − + 8x =
21 8 02 x x a− + ≤ 6,7,8,9,10 5
( )
( )
5 0
6 0
f
f
> ≤
12.5 40 0
18 48 0
a
a
− + >
− + ≤
27.5 30a< ≤ a Z∈ 28,29,30a = 28 29 30 87+ + =
a b 120° | | 1a b= = c a b− | |a c−
1
2
1
3
1
4
| |a c−
, , 120OA a OB b AOB= = ∠ = | | 1a b= = ,OA OB
C OC AB⊥ a b BA− = c a b−
c− AB ( )| | | |a c a c− = + − OC Rt OAC∆ 30OAC∠ =
1 1
2 2OC OA= = 9.已知函数 的一根对称轴为 ，则函数 图象恒过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据辅助角公式和三角函数对称轴求得 ，由此求得函数 图象恒过定点.
【 详 解 】 由 于 ， 其 中 . 由 于 是 的 对 称 轴 ， 所 以
， 所 以 ， 所 以 .所 以 对 于 函 数
，当 时， ，即定点为 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查三角函数辅助角公式和对称轴，考查指数型函数过定点问题的求解，属于中档题.
10.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；
乙预测说：我不会获奖，丙获奖
丙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丁预测说：乙的猜测是对的
成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，
则获奖的是（）
A. 甲和丁
B. 乙和丁
C. 乙和丙
D. 甲和丙
【答案】B
【解析】
【分析】
从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断
【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的
( ) sin cosf x a x b x= +
4x
π= 13ax by + +=
(1,3) ( 1,3)− ( 1,1)− (1,1)
a b= 13ax by + +=
( ) ( )2 2 sinf x a b x ϕ= + + tan b
a
ϕ =
4x
π= ( )f x
,4 2 4k k
π π πϕ π ϕ π+ = + = + tan tan tan 14 4
bk a
π πϕ π = + = = = a b=
13ax by + += 1x = − 1 13 3 3a by − + += = = ( )1,3−是乙和丁
答案选 B
【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证
11.已知数列 满足 ， ， ，则该数列的前 18 项和为（ ）
A. 147 B. 589 C. 1046 D. 1067
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数列的递推关系式找到数列的规律，由此求得该数列的前 18 项和.
【 详 解 】 由 于 数 列 满 足 ， ， ， 所 以 当 为 奇 数 时
；当 为偶数是 .所以数列 的奇数项是首项为 ，公差为 的等差数列；偶数项
是首项为 ，公比为 的等比数列.所以 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列前 项和，考查分组求和法，属于中档题.
12.设函数 ，若关于 的方程 有四个不同的解 ， ， ， ，且
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作函数 的图象，从而可得 ， ， ，从而解得结果.
【详解】作出函数 的图象如下图所示：
{ }na 1 1a = 2 2a = 2 2
2 1 cos sin2 2n n
n na a
π π
+
+
+
=
{ }na 1 1a = 2 2a = 2 2
2 1 cos sin2 2n n
n na a
π π
+
+
+
= n
2 1n na a+ = + n 2 2n na a+ = { }na 1 1
2 2
( )9
18
2 1 29 89 1 12 1 2S
× −×= × + × + − 1067=
n
( )
2
2 , 0
log , 0
x xf x x x
+ ≤= >
x ( )f x a= 1x 2x 3x 4x
1 2 3 4x x x x< < < ( )3 1 2 2
3 4
1x x x x x
+ +
( )3,− +∞ ( ]3,3− [ )3,3− ( ),3−∞
2
2 , 0( ) log , 0
x xf x x x
+ ≤= > 1 2 4x x+ = − 3 4 1x x = 3
1 14 x≤ <
2
2 , 0( ) log , 0
x xf x x x
+ ≤= >可得： ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 的范围是 ，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关求范围的问题，考查利用数形结合求有关函数的零点所满足的条件，属于中档
题.
二、填空题（共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.利用数学归纳法证明不等式 （ ， ）的过程中，由 到
时，左边增加了________项；
【答案】
【解析】
【分析】
根据数学归纳法的知识，判断出增加的项数.
【详解】当 时，不等式左边为 ；
当 时，不等式坐标为 ；
1 2 4x x+ = − 3 4 1x x =
( )1 2 2
3 4
3 3
3
1 14x x x xx x x
+ + = +−
2 30 log 2x< − ≤
3
1 14 x≤ <
3
3
13 4 3xx
− < − ≤ 3 1 2 2
3 4
1( )x x x x x
+ + ( ]3,3−
1 1 11 ( )2 3 2 1n f n+ + + +
2 4
C π>
2C
π>
2 7cos 1 sin 4C C= − − = − ABC R ( )2 24 7 , 4 7R Rπ π= + = +
( )2 2 2 92 , 2 sin , 4 sin 4 7sin 4
c R c R C c R CC
= = = = +
( )2 2 2 2 29 7 74 7 24 4 2c a b ab a b ab
= + = + − ⋅ − = + +
72 1 4ab
≥ +
90 2ab< ≤
AC BC⋅ 9 7cos ,08ab C
= ∈ − AC BC⋅ 9 7 ,08
−
BC ⊥
1
2AB BC PB= = 030APB∠ =（2）求锐二面角 B-AC-M 的余弦值.
【答案】(1)证明过程详见解析;（2） .
【解析】
试题分析：
（1）连接 ，设 与 相交于点 ，连接 ，要证明线面平行，只需要在面 AMC 中找到一条直
线 OM 与 PD 平行即可，该问考虑构造三角形的中位线来证明，来证明线面平行，即 OM 为三角形 PBD 是
边 PD 的中位线，线线平行就可以得到线面平行.
（2）求二面角的关键是找到二面角的平面角，根据角 BPA 为 30 度且 AB 为 PB 的一半利用三角形正弦定
理即可证明三角形 ABP 是以角 PAB 为直角的直角三角形，即可以得到 PA 与 AB 垂直，由 BC 与面 PAB 垂
直可以得到 BC 与 PA 垂直，进而有 PA 垂直于面 ABCD 中的两条相交的线段，则有 PA 垂直与底面
ABCD.为作出得到二面角的平面角，作 ，垂足为 ，连接 ， ，则有 MF 为
三角形 PAB 的中位线，得到 MF 也垂直于底面，即 PA 与 AC 垂直，又 AC 与 GF 垂直，则有角 MGF 就是
所求二面角的平面角，利用中位线求出 MF，利用勾股定理求出 GF 长度，得到二面角的平面角 MGF 的三
角函数值，就得到求出二面角的角度.
试题解析：
（1）证明：连接 ，设 与 相交于点 ，连接 ，
∵四边形 是平行四边形，∴点 为 的中点． 2 分
∵ 为 的中点，∴ 为 的中位线，
∴ // . 4 分
∵ ，
∴ // ． 6 分
BD BD AC O OM
FG AC⊥ G MG MF FG F∩ =
BD BD AC O OM
ABCD O BD
M BD OM ABCD
OM BD
,OM AMC PD AMC⊂ ⊄平面 平面
BD AMC平面（2）不妨设 则 .
在 中, ,
得 ,
即 ,且 . 8 分
∵ 平面 ， 平面 ,故 ，
且 ,∴ .
取 的中点 ，连接 ，则 // ，且 ． 10 分
∴ ． 平面 , .
作 ，垂足为 ，连接 ， ，
∴ ，∴ ．
∴ 为二面角 的平面角． 12 分
在 中, ,得 .
中， .
∴二面角 的余弦值为 ． 14 分
考点：线面平行二面角相似三角形
20.已知椭圆 的两个焦点分别为 ,以椭圆短轴为直径的圆
经过点 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)过点 的直线 与椭圆 相交于 两点,设点 ,直线 的斜率分别为 ,问 是
否为定值?并证明你的结论.
【答案】(1) ；(2)定值为 2.
在
ABCD
AMC平面
PBD∆ PAB PBD∆ PAB AMC平面
PA ABCD⊥ 平面
PD F MF MF AB
MF ABCD⊥ 平面
FG AC⊥ G MG MF FG F∩ =
MF ABCD⊥ 平面 FG AC⊥
B AC M− −
FG AC⊥
FG AC⊥
B AC M− −
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ( ) ( )1 22,0 , 2,0F F−
( )1,0M
C
M l C ,A B ( )3,2N ,AN BN 1 2,k k 1 2k k+
2
2 13
x y+ =【解析】
试题分析：（1）由题意得到 ， ，所以 ，写出椭圆方程；（2）联立直线方程与
椭 圆 方 程 ， 得 到 韦 达 定 理 ， ，
.
试题解析：
（1）依题意， ， .
∵点 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，
∴ ，
∴ .
∴椭圆 的方程为 .
（2）①当直线 的斜率不存在时，由 解得 ， .
设 ， ，则 为定值.
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： .
将 代入 整理化简，得 .
依题意，直线 与椭圆 必相交于两点，设 ， ，
则 ， .
又 ， ，
所以
2c = 1b OM= = 3a =
2
1 2 2
6
3 1
kx x k
+ = +
2
1 2 2
3 3
3 1
kx x k
−= +
( ) ( )
( )
( )
( )
2
1 2 1 2 1 21 2
1 2 2
1 2 1 2 1 2
12 2 112 2 2 4 62 2 23 3 9 3 6 2 1
kx x k x x x xy yk k x x x x x x k
+ − + + − + +− − + = + = = =− − − + + +
2c = 2 2 2a b− =
( )1,0M
1b OM= =
3a =
C
2
2 13
x y+ =
l 2
2
1
13
x
x y
= + =
1x = 6
3y = ±
61, 3A
61, 3B
− 1 2
6 62 23 3 22 2k k
− +
+ = + =
l l ( )1y k x= −
( )1y k x= − 2
2 13
x y+ = ( )2 2 2 23 1 6 3 3 0k x k x k+ − + − =
l C ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
1 2 2
6
3 1
kx x k
+ = +
2
1 2 2
3 3
3 1
kx x k
−= +
( )1 1 1y k x= − ( )2 2 1y k x= −
1 2
1 2
1 2
2 2
3 3
y yk k x x
− −+ = +− −
( )( ) ( )( )
( )( )1 2 2 1
1 2
2 3 2 3
3 3
y x y x
x x
− − + − −= − −
.
综上得 为常数 2.
点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，
则 ， ，
，为定值．
21.已知函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求得 再根据 1,0,2a 的大小进行分类确定 的单调性；（Ⅱ）
借助第（Ⅰ）问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得 a 的取值范围为 .
试题解析：（Ⅰ）
（Ⅰ）设 ，则当 时， ；当 时， .
所以 f（x）在 单调递减，在 单调递增.
（Ⅱ）设 ，由 得 x=1 或 x=ln（-2a）.
①若 ，则 ，所以 在 单调递增.
②若 ，则 ln（-2a）＜1,故当 时， ；
当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调
递减.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 2 1
1 2 1 2
2 1 3 2 1 3
9 3
k x x k x x
x x x x
− − − + − − − = − + +
( ) ( )
( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
12 2 2 4 6
9 3
x x k x x x x
x x x x
− + + − + + = − + +
( ) 2 2
1 2 2 2
2 2
2 2
3 3 612 2 2 4 63 1 3 1
6 3 39 3 3 1 3 1
k kx x k k k
k k
k k
−− + + × − × + + + = −− × ++ +
( )
( )
2
2
12 2 1
2
6 2 1
k
k
+
= =
+
1 2k k+
2
1 2 2
6
3 1
kx x k
+ = +
2
1 2 2
3 3
3 1
kx x k
−= +
( ) ( )
( )
( )
( )
2
1 2 1 2 1 21 2
1 2 2
1 2 1 2 1 2
12 2 112 2 2 4 62 2 23 3 9 3 6 2 1
kx x k x x x xy yk k x x x x x x k
+ − + + − + +− − + = + = = =− − − + + +
2( ) ( 2) ( 1)xf x x e a x= − + −
( )f x
( )f x a
( )0,+∞
( ) ( )( )' 1 2 .xf x x e a= − + ( )f x
( )0,+∞
( ) ( ) ( ) ( )( )' 1 2 1 1 2 .x xf x x e a x x e a= − + − = − +
0a ≥ ( ),1x∈ −∞ ( )' 0f x < ( )1,x∈ +∞ ( )' 0f x >
( ),1−∞ ( )1,+∞
0a < ( )' 0f x =
2
ea = − ( ) ( )( )' 1 xf x x e e= − − ( )f x ( ),−∞ +∞
2
ea > − ( )( ) ( ),ln 2 1,x a∈ −∞ − ∪ +∞ ( )' 0f x >
( )( )ln 2 ,1x a∈ − ( )' 0f x < ( )f x ( )( ) ( ),ln 2 , 1,a−∞ − +∞ ( )( )ln 2 ,1a−③若 ，则 ，故当 时， ，当 时，
，所以 在 单调递增，在 单调递减.
（Ⅱ）（Ⅰ）设 ，则由（Ⅰ）知， 在 单调递减，在 单调递增.
又 ，取 b 满足 b＜0 且 ，
则 ，所以 有两个零点.
（Ⅱ）设 a=0，则 ，所以 只有一个零点.
（iii）设 a＜0，若 ，则由（Ⅰ）知， 在 单调递增.
又当 时， ＜0，故 不存在两个零点；若 ，则由（Ⅰ）知， 在 单
调递减，在 单调递增.又当 时 ＜0，故 不存在两个零点.
综上，a 的取值范围为 .
【考点】函数单调性，导数应用
【名师点睛】本题第（Ⅰ）问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进
行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（Ⅱ）问是求参数取值范围,由于这类问题常涉
及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导
数研究函数的单调性或极值破解.
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），其中 .以原点为
极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 与 交于 ， 两点，记点 ， 相应的参数分别为 ， ，当 时，求
的值.
【答案】（1） ， ；（2）4
【解析】
2
ea < − ( )2 1ln a− > ( ) ( )( ),1 ln 2 ,x a∈ −∞ ∪ − +∞ ( )' 0f x > ( )( )1,ln 2x a∈ −
( )' 0f x < ( )f x ( ) ( )( ),1 , ln 2 ,a−∞ − +∞ ( )( )1,ln 2a−
0a > ( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞
( ) ( )1 2f e f a= − =， ln 2
ab <
( ) ( ) ( )2 2 32 1 02 2
af b b a b a b b > − + − = − >
( )f x
( ) ( )2 xf x x e= − ( )f x
2
ea ≥ − ( )f x ( )1,+∞
1x ≤ ( )f x ( )f x
2
ea < − ( )f x ( )( )1,ln 2a−
( )( )ln 2 ,a− +∞ 1x ≤ ( )f x ( )f x
( )0,+∞
xOy 1C 1 cos
2 sin
x t
y t
α
α
= +
= + t
2k
πα π≠ +
x 2C 2 4 cos 5 0ρ ρ θ− − =
1C 2C
2C 1C A B A B 1t 2t 1 2 0t t+ = AB
2 4 cos 5 0ρ ρ θ− − = 2 2( 2) 9x y− + =试题分析：（1）曲线 的参数方程为 利用平方法消去参数可得出曲线 的普通方程，由
曲线 的极坐标方程利用 即可得曲线 的直角坐标方程；（2）由
题知直线恒过定点 ，又 ，由参数方程的几何意义知 是线段 的中点，由垂径定理可
得 的值.
试题解析：（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数），
所以： 的普通方程： ，其中 ；
曲线 的极坐标方程为 ，
所以： 的直角坐标方程： .
（2）由题知直线恒过定点 ，又 ，
由参数方程的几何意义知 是线段 的中点，
曲线 是以 为圆心，半径 的圆，
且 .
由垂径定理知： .
23.已知 ， ， ，证明：
(1) ；
(2) .
【答案】(1) 见解析(2) 见解析
【解析】
【分析】
（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由 a3+b3＝2 转化为 ab，再由均值不等式可得： ab≤ ，即可得到
（a+b）3≤2，问题得以证明．
【详解】证明：（1）由柯西不等式得： 当且仅当 ab5＝ba5，即 a＝b＝
1C 1
2
x tcos
y tsin
α
α
= +
= + 1C
2C 2 2 2, cos , sinx y x yρ ρ θ ρ θ= + = = 2C
( )1,2P 1 2 0t t+ = P AB
AB
1C 1
2
x tcos
y tsin
α
α
= +
= + t
1C ( )1 tan 2y x α= − +
2k
πα π≠ +
2C 2 4 cos 5 0ρ ρ θ− − =
2C ( )2 22 9x y− + =
( )1,2P 1 2 0t t+ =
P AB
2C ( )2 2,0C 3r =
2
2 5PC =
22
22AB r PC= − 2 9 5 4= − =
0a > 0b > 3 3 2a b+ =
( )( )5 5 4a b a b+ + ≥
2a b+ ≤
( )
( )
3 2
3
a b
a b
+ − =+
( )
( )
3 2
3
a b
a b
+ − =+
2( )2
a b+
1
4
5 5 3 3 2 4a b a b a b+ + ≥ +（ ）（ ）（ ）＝ ，1 时取等号；
（2）∵a3+b3＝2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，
∴ ab，
由均值不等式可得： ab≤
∴（a+b）3﹣2 ，
∴ （a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当 a＝b＝1 时等号成立．
【点睛】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．
( )
( )
3 2
3
a b
a b
+ − =+
( )
( )
3 2
3
a b
a b
+ − =+
2( )2
a b+
( )33
4
a b+≤
1
4
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