2020届河南高三下学期开学检测（线上）文数试题（原卷版）

平顶山市 2020 届高三开学检测(线上) 一､选择题､在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.若复数 z 满足 ,则复数 z 在复平面内对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线 的方程不可能为（ ） A. B. C. D. 4.设向量 满足 ,现有如下命题:命题 的值可能为 9；命题 “ ” 的充要条件为“ ，则下列命题中,真命题为( ) A. p B. C. D. 5.已知 ，且 ，则 （ ） A. B. 7 C. 或－7 D. 或 7 6.函数 在 上 图象大致为（ ） A. B. C. D. 的 { }1,2,3,6A = { }| 2 4xB x= > A B = { }6 { }3,6 { }1,2 { }2,3,6 1(1 2 0)z i− = C 60° C 2 2 13 x y− = 2 2 13 9 x y− = 2 2 13 12 y x− = 2 2 121 7 y x− = ,m n  2, 3m n= =  : 2p m n−  :q ( 2 )m n m− ⊥   1, 3cos m n< >=  p q∧ ( )p q∧﹁ ( )p q∨ ﹁ ( )0,α π∈ 3sin 5 α = tan 4 πα + =   1 7 − 1 7 − 1 7 ( ) 3sin 2 x x xf e x = + [ ]2 ,2π π−7.德国数学家莱布尼兹(1646 年-1716 年)于 1674 年得到了第一个关于 π 的级数展开式,该公式于明朝初年 传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692 年-1765 年)为提高我国的 数学研究水平,从乾隆初年(1736 年)开始,历时近 30 年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了 展开三角函数和反三角函数的 6 个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算 π 开创了先 河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于 π 的级数展开式”计算 π 的近似值(其中 P 表示 π 的近似值), 若输入 ,则输出的结果是( ) A. B. C. D. 8.已知等差数列 的前 n 项和为 ,且 , ,若 ( ,且 ),则 i 的 取值集合是( ) A. B. C. D. 9.若 , , ,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 10.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三 棱锥 的每个顶点都在球 的球面上， 底面 ， ，且 ， ，利用张衡的结论可得球 的表面积为（ ） A. 30 B. C. 33 D. 11.一个圆锥的母线长为 ，且母线与底面所成角为 ，则该圆锥内切球的表面积为（ ） 10n＝ 1 1 1 14(1 )3 5 7 17P = − + − +⋅⋅⋅+ 1 1 1 14(1 )3 5 7 19P = − + − +⋅⋅⋅− 1 1 1 14(1 )3 5 7 21P = − + − +⋅⋅⋅+ 1 1 1 14(1 )3 5 7 21P = − + − +⋅⋅⋅− { }na nS 3 3S = − 12 24S = 0+ =i ja a *,i j N∈ 1 i j≤ < {1,2,3} {6,7,8} {1,2,3,4,5} 6 7 8 }10{ 9, , , , 0.60.5a＝ 0.50.6b＝ 0.52c＝ b c a> > c a b> > a b c> > c b a> > A BCD− O AB ⊥ BCD BC CD⊥ 3AB CD= = 2BC = O 10 10 12 10 2 2 2+ 4 πA. B. C. D. 12.已知 是定义在 上 函数 的导函数，若 ，且当 时， ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二､填空题 13.函数 的最小值为______. 14.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为____________. 15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的 距离大约分别是 , ,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________. 16.若一个数列的第 项等于这个数列的前 项的乘积，则称该数列为“ 积数列”若各项均为正数的等 比数列 是一个“2020 积数列”，且 ，则当其前 项的乘积取最大值时， 的最大值为______. 三､解答题:解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答.第 22､23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分 17. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . （1）求角 ； （2）若 ，且 外接圆的半径为 1，求 的面积. 18.某农科所为改良玉米品种,对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获得茎叶图(单位:厘米),设茎高大于或 等于 180 厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米. 抗倒伏 易倒伏 总计 矮茎 高茎 的 2π 8π 8 2 3 π ( )6 2 2 π+ ( )f x′ R ( )f x ( ) ( ) 3f x f x x= − + 0x ≥ ( ) 23 2f x x′ > ( ) ( ) 22 1 2 3 3 1f x f x x x+ − < + + 1 ,02  −   1, 2  −∞ −   1 ,2  +∞   1, 2  −∞   ( ) 29 1f x x x= + − x y 2 3 3 6 x y x y x y + ≥  + ≤  − ≤ 2z x y= + 2 3 R 4R m m m { }na 1 1a > n n ABC∆ A B C a b c 52 sin cos cos2c A a B b A π + = +   A 3a b c= + ABC∆ ABC∆总计 （1）请完成以上 列联表,并判断是否可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为抗倒伏与玉米矮 茎有关? （2）为改良玉米品种,现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出 5 株,再从这 5 株玉米中选取 2 株进行 杂交试验,则选取的植株均为矮茎的概率是多少? 参考公式: (其中 ) 参考数据: 0.10 0.05 0.010 0.001 2 706 3.841 6.635 10.828 19.已知首项为 的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列. （1）求数列 的通项公式； （2）对于数列 ，若存在一个区间 ，均有 ，则称 为数列 的“容值区 间”.设 ，试求数列 的“容值区间”长度的最小值. 20.已知 ， ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 . （1）求点 的轨迹 的方程； . 2 2× 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2 0P K k 0k 3 2 { }na n ( )* nS n N∈ 22S− 3S 44S { }na { }nA M ( )1,2,3iA M i∈ = ⋅⋅⋅ M { }nA 1 n n n b S S = + { }nb ( 2,0)A − (2,0)B PA 1k PB 2k 1 2 3 4k k = − P C（2）设 ， ，连接 并延长，与轨迹 交于另一点 ，点 是 中点， 是坐标原点， 记 与 的面积之和为 ，求 的最大值. 21.已知函数 ，其中 a 为非零常数． 讨论 的极值点个数，并说明理由； 若 ， 证明： 在区间 内有且仅有 1 个零点； 设 为 的极值点， 为 的零点且 ，求证： ． (二)选考题:考生从 22､23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时 22.在直角坐标系 中，曲线 参数方程 （ 为参数）.直线 的参数方程 （ 为参数）. （Ⅰ）求曲线 在直角坐标系中 普通方程； （Ⅱ）以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线 截直线 所得线段的中点极坐标 为 时，求直线 的倾斜角. 23.已知函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）若 的最大值为 ， 、 、 为正数且 ，求证： ． 的 的 1( 1,0)F − 2 (1,0)F 1PF C Q R 2PF O 1QFO 1PF R S S ( ) ( )1 xf x alnx x e= − − ( )1 ( )f x ( )2 a e> ( )i ( )f x ( )1,+∞ ( )ii 0x ( )f x 1x ( )f x 1 1x > 0 0 12x lnx x+ > xOy C 2 3 cos 2sin x y β β  = = β l 3 cos 1 sin x t y t α α  = + = + t C O x C l 2, 6 π     l ( ) 3 2f x x x= − − ( ) 2f x ≥ ( )f x m a b c a b c m+ + = 2 2 2 3a b c+ + ≥