华二附中高三期中数学卷
一､填空题
1.已知集合 ，则 ____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，求出集合 和集合 ，然后进行交集的运算，即可求
解．
【详解】根据一元二次不等式的解法，可得集合 ，
由指数函数的单调性，可得集合 ，
所以 ．
【点睛】本题主要考查了集合表示方法、一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，以及交集的运算，
着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2.若 ，则 __________ ；
【答案】
【解析】
【分析】
由题意， 是 的 2 倍，根据余弦二倍公式，即可求解.
【详解】由题意
故答案为：
【点睛】本题考查余弦二倍角公式，属于基础题.
3.若 为纯虚数（ 是虚数单位），其中 ，则 ________
【答案】
{ } { }2 4 3 0 , 2 1xA x x x B x= + + ≥ < A B =
( ] [ ), 3 1,0−∞ − ∪ −
A B
( ] [ ), 3 1,A = −∞ − ∪ − +∞
( ),0B = −∞
A B = ( ] [ ), 3 1,0−∞ − ∪ −
1cos 2 3
π α − = cos( 2 )π α− =
7
9
−
2π α−
2
π α−
-2 2 2
ππ α α = −
( ) 2 7cos 2 cos2 2cos 12 2 9
π ππ α α α ∴ − = − = − − = −
7
9
−
( 2)z a ai= − + i a R∈
7
1
a i
ai
+ =+
i−【解析】
【分析】
由已知求得 ，代入 ，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】 为纯虚数， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4.高为 ，体积为 的圆柱的侧面展开图的周长为___________．
【答案】
【解析】
试题分析：底面积 底面半径 ，侧面展开图周长为 .
考点：圆柱侧面展开图.
5. 个不同的球，全部放到编号分别为 的盒子中，每个盒子中的球数和编号一致，有__________ 种方
法；
【答案】
【解析】
【分析】
根据排列数计算即可求解.
【详解】由题意将 个不同的球，放到 盒子，
共有
故答案为：
【点睛】本题考查排列数计算，属于基础题.
6.若等比数列 的各项均为正数，且 ，则 等于__________．
【答案】50
【解析】
a
7
1
a i
ai
+
+
( 2)z a ai= − + 2a∴ =
∴
7 72 2 ( 2 )(1 2 ) 3
1 31 2 1 2 (1 2 )(1 2 )
a i i i i i i iai i i i i
+ + − − − −= = = = = −+ + + + −
i−
π 2π
6π
2
,S
π ππ= = 1r = 2 2 2 6π π π⋅ + ⋅ =
6 1,2,3
60
6 1,2,3
6
6
2 3
2 3
60A
A A
=⋅
60
{ }na 5
10 11 9 12 2a a a a e+ = 1 2 20ln ln lna a a+ + +由题意可得 ， = ，填
50.
7.在 展开式中， 项的系数为__________（结果用数值表示）
【答案】
【解析】
【分析】
式子表示 10 个因式 的乘积，其中有 8 个因式取 ，其余的 2 个因式取 2，可得含 项，
从而得到 项的系数．
【详解】由题意，可得含有 项为 ，
所以 项的系数为 ．
【点睛】本题主要考查了乘方的意义，以及排列组合的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属
于基础题．
8.如图，有一壁画，最高点 处离地面 6m，最低点 处离地面 3.5m.若从离地高 2m 的 处观赏它，则离墙
______m 时，视角 最大.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用解直角三角形知识，利用差角的公式和基本不等式的应用求出结果．
【详解】解：如图所示，过点 作 于 ，
5
10 11 9 12a a a a e= = 1 2 20ln ln lna a a+ +⋅⋅⋅+ 10 50
1 2 19 20 1 10ln( ) ln( ) ln 50a a a a a a e= = =
10
2019
12 x x
+ −
4x
180
2019
12 x x
+ − x 4x
4x
4x ( ) 082 2 4
10 2019
12 180C x xx
• • − =
4x 8 2
10 2 180C =
A B C
θ
6
C CD DA⊥ D设 ，则 ，
当且仅当 时，即当 ，视角最大，故答案为 ．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能
力和转换能力．属于基础题型．
9.已知 为坐标原点，过椭圆 上一点 的切线 分别交 轴于 两点，
则当 最小时， __________ ；
【答案】
【解析】
【分析】
设切点为 ，则椭圆在切点处的切线方程为 ，再求切线与 轴、 轴交
点坐标，利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意设切点为 ，则椭圆在切点外的切线方程为 ，
令 则 ，令 则 .
CD x= 4, 1.5AD BD= =
4 1.5
2.5tan tan( ) 4 1.5 61
x xACD BCD
xx x x
θ
−
∴ = ∠ − ∠ = =
+ ⋅ +
6x x
= 6x = 6
O
2
2 14
x y+ = 0 0( , )P x y 0
0 14
x x y y+ = x y、 A B、
AB =OP
3
( )2cos ,sinθ θ cos sin 12
x y
θ θ⋅ + ⋅ = x y
( )2cos ,sinθ θ cos sin 12
x y
θ θ⋅ + ⋅ =
0x = 1
siny θ= 0y = 2
cosx θ=
2 2 2
2 2
1 4
sin cosAB x y θ θ∴ = + = +
( )2 2
2 2
1 4 sin cossin cos
θ θθ θ
= + +
2 2
2 2
cos 4sin1 4 5 2 4 9sin cos
θ θ
θ θ= + + + ≥ + =当且仅当 ，即 ，此时
，
此时
故答案 ：
【点睛】本题考查参数方程解决椭圆最值问题，考查基本不等式的应用，综合性较强，有一定难度.
10.已知实数 满足 ， ，则 的最大值是
__________ ；
【答案】
【解析】
【分析】
由题意 的几何意义为动圆， 上一点到坐标原点的距离的平
方，设动圆圆心 坐标为 ，求圆心到坐标原点的最大值即可求解.
【详解】 的几何意义是动圆 上一点到坐标原点的距离的平
方.
设动圆圆心为
为动点，在圆 上运动
则
故答案为：
【点睛】本题考查圆的参数方程最值问题，综合性较强，有一定难度.
11.已知函数 ， 上有两个不同 零点，则 的取值范围__________ ；
【答案】
【解析】
【分析】
为
的
2 22sin cosθ θ= 2tan 2
θ =
2
2
2 2 2
cos 1 2cos sin cos tan 1 3
θθ θ θ θ= = =+ +
2
min 9AB∴ = min 3AB∴ =
23cos 1OP θ= + 3=
3
x y、 2 2( 2cos 3) ( 2sin 4) 1x yα α− − + − − = α ∈R 2 2x y+
64
2 2x y+ ( ) ( )2 22cos 3 2sin 4 1x x y x− − + − − =
P ( )2cos 3,2sin 4x x+ −
2 2x y+ ( ) ( )2 22cos 3 2sin 4 1x x y x− − + − − =
P
P∴ ( )2cos 3,2sin 4x x+ −
P ( ) ( )2 23 4 4x y− + − =
2 2
max 3 4 2 7OP = + + =
( ) ( )22 2
max
7 1 64x y∴ + = + =
64
2( ) 1 1f x x x a x= + − + + x∈R a
( )3 2 3,3 2 3− − −函数 在 上有两个不同的零点可化为 与 在 上有
两个不同的交点，作函数图象求解.
【详解】函数 在 上有两个不同的零点可化为 与
在 上有两个不同的交点，
作函数 与 的图象如下，
结合图象可知，函数 的右半部分与函数相交于两个不同交点，而左半部
分不能与函数相交；
当直线 与 相切时为一个临界值，
设切点为 ，此时 ，则 ；
解得 ；
故斜率 ；故
当直线 与 相切时为另一个临界值，
设切点为 ，此时 ，则 ；
解得 ；
故斜率
故
故答案为：
【点睛】本题考查分段函数相切问题，考查转化与化归思想，将函数零点问题转化成交点问题，考查数形
2( ) 1 1f x x x a x= + − + + R 2 1y x x= + − 1y a x= − + R
2( ) 1 1f x x x a x= + − + + R 2 1y x x= + − 1y a x= − +
R
2
2
2
11 =
1
x xy x x
x x
+ −= + − − +
1
1
x
x
≥
<
( 1)1 = ( 1)
a xy a x a x
− += − + +
1
1
x
x
≥ −
< −
( 1)1 = ( 1)
a xy a x a x
− += − + +
1
1
x
x
≥ −
< −
( )1y a x= − + 2 1y x x= − +
( )2, 1x x x− + 1x > −
2 1k = ( ) 2 11
x x f x xx
− + ′= = −+切
3 1x = −
2 3 3a− > − 3 2 3a < −
( )1y a x= + 2 1y x x= − +
( )2, 1x x x− + 1x < −
2 1k = ( ) 2 11
x x f x xx
− + ′= = −+切
3 1x = − −
3 2 3a > − −
3 2 3 3 2 3a− − < < −
( )3 2 3,3 2 3− − −结合思想，综合性较强，属于难题.
12.已知数列 满足:， ，其中 表示不超过实数 的最大整数，设 为
实数，且对任意的正整数 ，都有 (其中符号 为连加号，如 )，则
的最小值是__________ ；
【答案】
【解析】
【分析】
由 题 意 ， 化 简 通 项 公 式 ， 根 据 取 整 函 数 定 义 ， 且
， 可得 ， 构造 递 推关 系 ， ， 可得
，再根据裂项相消法，即可求解.
【详解】由题意，
，且 ，
则 ， ， ，则有
即 ，
则有 ，裂项相消法求和，
{ }na 1(2 5) 2
n
n na = + + ( )n ∗∈N [ ]x x A
n
1 2
1n
i i i
Aa a= +
≤∑ ∑
1
1 2
n
i
i n
=
= + + +∑ A
1
288
( ) ( ) ( )12 5 2 5 2 52
nn n n
na
= + + − + − −
( )10 2 5 12
n n < − − | | | + |>| - |
| + |2>| - |2 • >0 与
的夹角为锐角.故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条件,故选 C.
【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
15.已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若 ，
则 （ ）
A. B. C. -2 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据所给的条件求出参数 的值，然后令 代入到 即可．
【详解】由 为奇函数，可知 由 可得 由 的最小正周期为
可得 所以 则 将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍
（ 纵 坐 标 不 变 ），得 的 图 象 ， 结 合 已 知 条 件 可 得 可 得 A=2,则
所以
【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及图象的变换．
AB AC BC ⇔ AB AC AB AC
⇔ AB AC AB AC AB⇔ AC AB⇔ AC
AB AC AB AC BC
( )( )sin 0, 0,f A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < ( )f x π ( )y f x=
( )g x 24g
π =
3
8f
π =
2 2−
, ,A ω ϕ 3 ,8x π= ( )f x
( )f x (0) sin 0,f A ϕ= = ϕ π< 0.ϕ = ( )f x π
2 ,T
π πω= = 2.ω = ( ) sin 2 .f x A x= ( )y f x=
( ) sin .g x A x= sin 2,4 4g A
π π = =
( ) 2sin 2 .f x x=
3 32sin 2.8 4f
π π = = 16.已知 半径为 的圆 上的一条动弦, . 为圆 内接正三角形边上一动点,则 的
最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 的长度以及圆的半径，计算出 之间的夹角，选定 为基底，表示出 ， 向量，
用问题转化为基向量之间的计算；根据得到的结果，结合 的取值范围，利用线性规划的思想对问题进
行求解.
详解】根据题意，作图如下：
在 中，因为 ，
满足 ，
故可得 的夹角为 .
因为 为圆的内接正三角形边上的一个动点，
故 的最大值为如图所示的 ，
的最小值为如图所示的 垂直于三角形的一边 ，
故 的最小值为 .
不妨设 ，
因为 ，又因为
【
EF 2 2 C 4EF = D C ED DF⋅
3 2 3 4 2
EF ,CE CF ,CE CF ED DF
CD
CEF 4, 2 2EF CE CF= = =
2 2 2CE CF EF+ =
,CE CF 90°
D
CD 2 2MC =
CD (CH CH )
CD 30 2 2 2sin °× =
CD CE CFλ µ= +
2,2 2CD ∈
2 2, 0CE CF CE CF= = ⋅ = 即 ，
解得 ；
又因为
其中， 可以理解为点 到点 距离的平方，
若求 的最大值，即是求点 到点 距离的最小值.
又因为 ，
故当且仅当 时，点 到点 距离取得最小值 ，
故 得最小大值为 .
故选：C.
【点睛】本题考查用基底表示平面向量，涉及向量的数量积的坐标运算，属综合性困难题.
三､解答题
17.如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， .
( )2 2 28 8 2,2 2CE CFλ µ λ µ + = + ∈
2 21 14
λ µ≤ + ≤
( ) ( )ED DF CD CE CF CD⋅ = − ⋅ −
( ) ( )1 1CE CF CF CEλ µ µ λ = − + ⋅ − −
( ) ( )2 2
1 1CE CFλ λ µ µ= − + −
( ) ( )8 1 8 1λ λ µ µ= − + −
2 21 18 42 2
λ µ
= − − + − +
2 21 1
2 2
λ µ − + −
( ),λ µ 1 1, 2 2
ED DF⋅ ( ),λ µ 1 1, 2 2
2 21 14
λ µ≤ + ≤
1 1,2 2
λ µ= = ( ),λ µ 1 1, 2 2
0
ED DF⋅ 4
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD E 1AA 1BE EC⊥（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据长方体性质可知 平面 ，从而 ，由题意 ，即可由线面垂直的
判定定理证明 平面 ；
（2）由题意 ，设 ，建立空间直角坐标系，即可写出各个点的坐标，求得平面 和平
面 的法向量，即可由两个平面的法向量求得二面角 夹角的余弦值，再由同角三角函数关
系式即可求得二面角 的正弦值.
【详解】（1）由已知得， 平面 ， 平面 ，
故 .
又 ，且 ，
所以 平面 .
（2）由（1）知 .由题设知 ，所以 ，
故 ， . 设 ，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如
图所示的空间直角坐标系 ：
则 ， ， ， ， ， ， .
BE⊥ 1 1EB C
1AE A E= 1B EC C− −
3
2
1 1B C ⊥ 1 1ABB A 1 1B C BE⊥ 1BE EC⊥
BE⊥ 1 1EB C
1=2AA AB 1AB = EBC
1ECC 1B EC C− −
1B EC C− −
1 1B C ⊥ 1 1ABB A BE ⊂ 1 1ABB A
1 1B C BE⊥
1BE EC⊥ 1 1 1 1B C EC C∩ =
BE⊥ 1 1EB C
1 90BEB∠ =
1 1Rt RtABE A B E∆ ∆≌ 45AEB∠ =
AE AB= 1=2AA AB 1AB = D DA x DA
D xyz−
( )0,1,0C ( )1,1,0B ( )1 0,1,2C ( )1,0,1E ( )1,0,0CB = ( )1, 1,1CE = − ( )1 0,0,2CC =设平面 的法向量为 ，则 即 .
所以可取 .
设平面 法向量为 ，则 即
所以可取 .
于是 .
由同角三角函数关系式可得二面角 的正弦值为 .
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理，由空间向量法求二面角夹角大小，注意本题求解的是二
面角夹角的正弦值，属于中档题.
18.在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 .
（1）求角 B 的大小；
（2）设 a=2，c=3，求 b 和 的值.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ， .
【解析】
分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得 ，则 B= ．
（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得 b= ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理 ，可得 ，
又由 ，得 ，
即 ，可得 ．
的
EBC ( )1 1 1, ,n x y z= 0,
0
CB n
CE n
⋅ =
⋅ =
，
1
1 1 1
0,
0,
x
x y z
=
− + =
( )0, 1, 1n = − −
1ECC ( )2 2 2, ,m x y z= 1 0,
0
CC m
CE m
⋅ =
⋅ =
，
2
2 2 2
2 0,
0,
z
x y z
=
− + =
( )1,1,0m =
1cos , 2
n mn m
n m
⋅< >= = −
1B EC C− −
21 31 2 2
− − =
ABC sin cos 6b A a B
π = −
( )sin 2A B−
3
π
7b = 3 3
14
3tanB = π
3
7
( ) 3 32 14sin A B− = ．
a b
sinA sinB
= bsinA asinB=
π
6bsinA acos B = −
π
6asinB acos B = −
π
6sinB cos B = − 3tanB =又因为 ，可得 B= ．
（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= ，
有 ，故 b= ．
由 ，可得 ．因为 a ( ) 9f x ≤
1 10 100100 5
10 100 100010
x x
y x a xx
− ≤ ≤= − < ≤ +
10 100x≤ ≤ ( )f x [10,100]
( ) 9f x ≤ 100 1000x< ≤ 10 100( ) 1010 10
x a af x x x
− − −= = ++ +
100 0
4 1000
5 110
a
a
− − ( )2,1A
2 2 2
2
a b
a
− = ( )3,0B l C
M N
C
BM BN⋅
AM AN AMk ANk AM ANk k+【答案】（1） ;（2） .（3）证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆经过点的坐标满足椭圆方程，结合已知条件，联立方程组即可求得；
（2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，将 转化为关于斜率 的函数，根
据 的取值范围，求函数的值域即可；
（2）由（2）中所求韦达定理，将 和 表示出来，整理化简即可求证.
【详解】（1）因为椭圆经过点 ，故可得 ，
又因为 ，
联立方程组解得 ，
故椭圆方程为 .
（2）根据题意，直线 的斜率一定存在，
故可设直线方程为 ，
联立椭圆方程 ，
可得 ，
则 ，
解得
设 坐标为 ，
故可得 ，
2 2
16 3
x y+ = ( ]2,3
BM BN⋅ k
k
AMk ANk
( )2,1A 2 2
4 1 1a b
+ =
2 2 2
2
a b
a
− =
2 26, 3a b= =
2 2
16 3
x y+ =
l
( )3y k x= −
2 2
16 3
x y+ =
( )2 2 2 21 2 12 18 6 0k x k x k+ − + − =
( )( )4 2 2144 4 1 2 18 6 0k k k= − + − >
[ )2 0,1k ∈
,M N ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y
2 2
1 2 1 22 2
12 18 6,1 2 1 2
k kx x x xk k
−+ = =+ +
( )1 2 1 2 2
66 1 2
ky y k x x k k
−+ = + − = +
( ) 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 2
33 9 1 2
ky y k x x k x x k k
= − + + = +故
.
又因为 ，故可得 ，
故可得 .
即 的取值范围为 .
（3）因为
.
故 为定值 .即证.
【点睛】本题考查由椭圆经过一点求椭圆的方程，以及利用韦达定理，求解范围问题和定值问题，属综合
性中档题.
21.已知定义在 上 函数 和数列 满足下列条件: ，当 且 时，的
( ) ( )1 1 2 23, 3,BM BN x y x y⋅ = − ⋅ −
( )1 2 1 2 1 23 9x x x x y y= − + + +
2 2 2
2 2 2
18 6 12 33 91 2 1 2 1 2
k k k
k k k
−= − × + ++ + +
2
2
3 3
1 2
k
k
+= +
2
1
3 21 12
2k
= +
+
[ )2 0,1k ∈ 2 1 1 3,2 2 2k + ∈ 2
1
12 ,11 3
2k
∈ +
( ]
2
1
3 21 2,312
2k
+ ∈
+
BM BN⋅ ( ]2,3
1 2
1 2
1 1
2 2AM AN
y yk k x x
− −+ = +− −
( )
( )2 1 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2( ) 4
2 4
x y x y y y x x
x x x x
+ − + − + += − + +
( )( )
( )1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 3 1 2( ) 4
2 4
kx x k x x y y
x x x x
− + + − + += − + +
2
2
2
2
4 4
1 2
2 2
1 2
k
k
k
k
− +
+= −
+
2= −
AM ANk k+ 2−
R ( )f x { }na 1 2 1,a a a a= ≠ n ∗∈N 2n ≥且 ，其中 均为非零常数.
（1）数列 是等差数列，求 的值；
（2）令 ，若 ，求数列 的通项公式；
（3）证明: 数列是等比数列的充要条件是 .
【答案】（1）1（2） （3）证明见解析
【解析】
【分析】
（ 1 ） 由 题 意 知 ， ， 得
，再由等差数列，即可求解 值；
（2）由 ，可得 ，因此
，由此可知，数列 是一个公比为 的等比数列.
（3）先进行充分性证明：若 则 数列是等比数列；再进行必要性证明：若 数列是
等比数列，则 .
【详解】（1）由已知 ， ，
得 ，
由数列 是等差数列，得 ，
所以， ， ，
得 .
（2）由 ，可得 ，
且当 时，
，
所以，当 时， ，
因此，数列 是一个公比为 的等比数列.
1( )n na f a −= 1 1( ) ( ) ( )n n n nf a f a k a a− −− = − a k、
{ }na k
1 ( )n n nb a a n N ∗
+= − ∈ 1 1b = { }nb
{ }na ( ) ( 1)f x kx k= ≠
nb ( )1
2 1 0nk a a−= − ≠
1( )n na f a −= 1 1( ) ( ) ( )n n n nf a f a k a a− −− = − ( )2n ≥
( )( )1 1 2n n n na a k a na− −= − ≥− k
1 2 1 0b a a= − ≠ ( ) ( ) ( )2 3 2 2 1 2 1 0b a a f a f a k a a= − = − = − ≠
( ) ( ) ( )1 1 1 1n n n n n n n nb a a f a f a k a a kb+ − − −= − = − = − = { }nb k
( ) ( 1)f x kx k= ≠ { }na { }na
( ) ( 1)f x kx k= ≠
( )1n na f a −= ( ) ( ) ( )( )1 1 2,3,4,n n n nf a f a k a a n− −− = − = ⋅⋅⋅
( ) ( ) ( )( )1 1 1 2,3,4,n n n n n na a f a f a k a a n+ − −− = − = − = ⋅⋅⋅
{ }na ( )1 1 2,3,4,n n n na a a na+ − =− = − ⋅⋅⋅
( )1 1n n n na a k a a− −− = − ( )2,3,4,n = ⋅⋅⋅
1k =
1 2 1 0b a a= − ≠ ( ) ( ) ( )2 3 2 2 1 2 1 0b a a f a f a k a a= − = − = − ≠
2n >
( ) ( ) ( )1 1 1n n n n n n nb a a f a f a k a a+ − −= − = − = − ( )1
2 1 0nk a a−= = − ≠
2n ≥
( ) ( ) ( )1 11
1 1 1 1
n n n nn n n
n n n n n n n
f a f a k a ab a a kb a a a a a a
− −+
− − − −
− −−= = = =− − −
{ }nb k故通项公式为
（3） 是等比数列的充要条件是 ，
充分性证明:若 ，则由已知 ，
得 ，所以， 是等比数列.
必要性证明:若 是等比数列，由（2）知， ，
，
.
当 时， .上式对 也成立，
所以，数列 的通项公式为: .
所以，当 时，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
所以， .
当 时， . 上式对 也成立，
所以， .
所以， .
即，等式 对于任意实数 均成立.
所以 .
【点睛】本题考查等差数列的定义，利用等比数列定义证明，求解等比数列通项公式及证明，考查分类讨
论思想，考查计算能力，属于难题.
( )1
2 1 0n
nb k a a−= − ≠
{ }na ( ) ( )1f x kx k= ≠
( ) ( )1f x kx k= ≠ 1 0a a= ≠ ( )( )1 2,3,4,n na f a n−= = ⋅⋅⋅
( )1 2,3,4,n n na ka − == ⋅⋅⋅ { }na
{ }na ( )( )1 *
2 1
n
nb k a a n N−= − ∈
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 1n n nb b b a a a a a a− −+ +⋅⋅⋅+ = − + − +⋅⋅⋅+ − ( )1 2na a n= − ≥
( )1 1 2 1n na a b b b −= + + +⋅⋅⋅+
1k = ( )( )( )1 2 1 1 2na a a a n n= + − − ≥ 1n =
{ }na ( )( )( )( )*1na a f a a n n N= + − − ∈
1k = { }na a ( )f a a−
1k ≠
1k ≠ ( ) ( )1
1 2 1
1 21
n
n
ka a a a nk
−−= + − ≥− 1n =
( ) 11( ) 1
n
n
ka a f a a k
−−= + − −
1( ) ( ( ) )
1 1
nf a a f a a ka k k
−− −= + −− −
( ) 0 ( )1
f a aa f a kak
−+ = ⇒ =−
( ) ( 1)f x kx k= ≠ a
( ) ( 1)f x kx k= ≠
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