2020届湖北华中科技大学第二附中高三上学期期中数学试题（原卷版

华二附中高三期中数学卷 一､填空题 1.已知集合 ，则 ____________ 2.若 ，则 __________ ； 3.若 为纯虚数（ 虚数单位），其中 ，则 ________ 4.高为 ，体积为 的圆柱的侧面展开图的周长为___________． 5. 个不同的球，全部放到编号分别为 的盒子中，每个盒子中的球数和编号一致，有__________ 种方 法； 6.若等比数列 的各项均为正数，且 ，则 等于__________． 7.在 展开式中， 项的系数为__________（结果用数值表示） 8.如图，有一壁画，最高点 处离地面 6m，最低点 处离地面 3.5m.若从离地高 2m 的 处观赏它，则离墙 ______m 时，视角 最大. 9.已知 为坐标原点，过椭圆 上一点 的切线 分别交 轴于 两点， 则当 最小时， __________ ； 10.已知实数 满足 ， ，则 的最大值是 __________ ； 11.已知函数 ， 上有两个不同的零点，则 的取值范围__________ ； 12.已知数列 满足:， ，其中 表示不超过实数 的最大整数，设 为 是 { } { }2 4 3 0 , 2 1xA x x x B x= + + ≥ < A B = 1cos 2 3 π α − =   cos( 2 )π α− = ( 2)z a ai= − + i a R∈ 7 1 a i ai + =+ π 2π 6 1,2,3 { }na 5 10 11 9 12 2a a a a e+ = 1 2 20ln ln lna a a+ + + 10 2019 12 x x  + −   4x A B C θ O 2 2 14 x y+ = 0 0( , )P x y 0 0 14 x x y y+ = x y、 A B、 AB =OP x y、 2 2( 2cos 3) ( 2sin 4) 1x yα α− − + − − = α ∈R 2 2x y+ 2( ) 1 1f x x x a x= + − + + x∈R a { }na 1(2 5) 2 n n na  = + +   ( )n ∗∈N [ ]x x A实数，且对任意的正整数 ，都有 (其中符号 为连加号，如 )，则 的最小值是__________ ； 二､选择题 13.若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A B. 1 C. 10 D. 12 14.设点 A，B，C 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15.已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若 ， 则 （ ） A. B. C. -2 D. 2 16.已知 半径为 圆 上的一条动弦, . 为圆 内接正三角形边上一动点,则 的 最大值为( ) A. B. C. D. 三､解答题 17.如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， . . . 的 n 1 2 1n i i i Aa a= + ≤∑ ∑ 1 1 2 n i i n = = + + +∑  A ,x y 3 4 0 3 4 0 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  + ≥ 3 2z x y= + 1− AB AC AB AC BC+ >   ( )( )sin 0, 0,f A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < ( )f x π ( )y f x= ( )g x 24g π  =   3 8f π  =   2 2− EF 2 2 C 4EF = D C ED DF⋅  3 2 3 4 2 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD E 1AA 1BE EC⊥（1）证明： 平面 ； （2）若 ，求二面角 的正弦值. 18.在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 . （1）求角 B 的大小； （2）设 a=2，c=3，求 b 和 值. 19.华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得 万元到 万元的投资收益，讨论了一个对课题组 的奖励方案:奖金 (单位:万元)随投资收益 (单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过 万元，同时奖金不 超过投资收益的 . （1）请分析函数 是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因； （2）若华为公司采用模型函数 作为奖励函数模型，试确定正整数 的取值 集合. 20.已知椭圆 经过点 , ,过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ､ . （1）求椭圆 的方程; （2）求 的取值范围; （3）设直线 和直线 的斜率分别为 和 ,求证: 为定值. 21.已知定义在 上的函数 和数列 满足下列条件: ，当 且 时， 的 BE⊥ 1 1EB C 1AE A E= 1B EC C− − ABC sin cos 6b A a B π = −   ( )sin 2A B− 10 1000 y x 9 20% 1 100 5 xy = − 1 10 100100 5 10 100 100010 x x y x a xx  − ≤ ≤=  − < ≤ + a 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > ( )2,1A 2 2 2 2 a b a − = ( )3,0B l C M N C BM BN⋅  AM AN AMk ANk AM ANk k+ R ( )f x { }na 1 2 1,a a a a= ≠ n ∗∈N 2n ≥且 ，其中 均为非零常数. （1）数列 是等差数列，求 的值； （2）令 ，若 ，求数列 的通项公式； （3）证明: 数列是等比数列的充要条件是 . 1( )n na f a −= 1 1( ) ( ) ( )n n n nf a f a k a a− −− = − a k、 { }na k 1 ( )n n nb a a n N ∗ += − ∈ 1 1b = { }nb { }na ( ) ( 1)f x kx k= ≠