武汉市 2020 届高中毕业生学习质量检测
文科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.已知复数 z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若 z∈R，则实数 a＝（ ）
A. B. C. 2 D. ﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】
化简 z＝（1+2i）（1+ai）= ，再根据 z∈R 求解.
【详解】因为 z＝（1+2i）（1+ai）= ，
又因为 z∈R，
所以 ，
解得 a＝-2.
故选：D
【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2.已知集合 M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则 M∩N＝（ ）
A. [﹣3，2） B. （﹣3，2） C. （﹣1，0] D. （﹣1，0）
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简 N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据 M＝{x|﹣1＜x＜2}，求两集合的交集.
【详解】因为 N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，
又因为 M＝{x|﹣1＜x＜2}，
所以 M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.
故选：C
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于 5 的概率为（ ）
1
2
1
2
−
( ) ( )1 2 2a a i− + +
( ) ( )1 2 2a a i− + +
2 0a + =A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先列举算出抛掷两个质地均匀的骰子共有基本事件的总数，再找出向上的点数之和小于 5 的事件的基本事
件的个数，然后通过古典概型的概率公式求解.
【详解】抛掷两个质地均匀的骰子，共有 种可能，
向上的点数之和小于 5 的有 有 6 种，
所以向上的点数之和小于 5 的概率为 .
故选：B
【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4.执行如图所示的程序框图，输出的 s 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据循环结构依次进行，直至不符合 ，终止循环，输出 .
【详解】第一次循环， ，
第二次循环， ，
1
9
1
6
1
18
5
12
6 6 36× =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 2 13 21 2 2 , 3,1，，， ，， ， ，， ，
1
6
5
3
8
5
13
8
21
13
4i ≤ s
2, 1s i= =
3 , 22s i= =第三次循环， ，
第四次循环， ，
第四次循环， ，
此时不满足 ，输出 .
故选：C
【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.
5.已知数列{an}的前 n 项之和 Sn＝n2+1，则 a1+a3＝（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数列{an}的前 n 项之和 Sn＝n2+1，求出 ，再求解.
【详解】已知数列{an}的前 n 项之和 Sn＝n2+1，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 a1+a3＝7.
故选：B
【点睛】本题主要考查数列的前 n 项和与项的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6.圆 C1：x2+y2＝4 与圆 C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0 的公共弦的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解.
【详解】因为圆 C1：x2+y2＝4 与圆 C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0，
两式相减得 ，即公共弦所在的直线方程.
5 , 33s i= =
8 , 45s i= =
13, 58s i= =
4i ≤ 13
8s =
1 2 3, ,a a a
1 1 2S a= =
2 1 2 25, 3S a a a= + = ∴ =
3 1 2 3 310, 5S a a a a= + + = ∴ =
2 3 2 2 3 2
2 0x y− − =圆 C1：x2+y2＝4，圆心到公共弦的距离为 ，
所以公共弦长为： .
故选：C
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7.已知 tan（ ）＝7，且 ，则 sinα＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先 利 用 两 角 和 的 正 切 转 化 tan （ ） ＝ 求 得 ， 再 结 合 平 方 关 系
求解.
【详解】因为 tan（ ）＝
所以 ，
即 ，
又因为 且 ，
所以 sinα＝ .
故选：B
【点睛】本题主要考查两角和的正切及同角三角函数基本关系式化简求值，还考查了运算求解的能力，属
于基础题.
8.若 ， 是夹角为 60°的两个单位向量，而 2 ， 3 2 ，则向量 和 夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据 ， 是夹角为 60°的两个单位向量，且 2 ， 3 2 ，求得 ， ， ，再
2
2
d =
2 22 2 2l r d= − =
4
πα + 3
2
ππ α＜ ＜
3
5
3
5
− 4
5
4
5
−
4
πα + 1 tan 7,1 tan
α
β
+ =−
3tan 4
α =
2 2sin cos 1α α+ =
4
πα + 1 tan 7,1 tan
α
α
+ =−
3tan 4
α =
sin 3
cos 4
α
α =
2 2sin cos 1α α+ = 3
2
ππ α＜ ＜
3
5-
1e
2e a = 1 2e e+ b = −
1e +
2e a b
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
1e
2e a = 1 2e e+ b = −
1e +
2e a b⋅ a b代入夹角公式 求解.
【详解】因为 ， 是夹角为 60°的两个单位向量，且 2 ， 3 2 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，，
又因为
所以向量 和 夹角为 .
故选：C
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
9.已知函数 f（x）＝sin2x+sin2（x ），则 f（x）的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为 ，再求最值.
详解】已知函数 f（x）＝sin2x+sin2（x ），
= ，
= ，
因为 ，
所以 f（x）的最小值为 .
【
cos , a ba b
a b
⋅=
1e
2e a = 1 2e e+ b = −
1e +
2e
( ) ( )1 2 1 2
72 3 2 2a b e e e e⋅⋅ − + = −= +
( )2
1 22 7a e e= + = ( )2
1 23 2 7b e e= − + =
1cos , 2
a ba b
a b
⋅= = −
[ ], 0,a b π∈
a b 2
3
π
3
π+
1
2
1
4
3
4
2
2
( ) 11 cos 22 3f x x
π = − +
3
π+
21 cos 21 cos2 3
2 2
xx
π − + − +
1 cos2 3sin 2 11 1 cos 22 2 2 2 3
x x x
π − − = − +
[ ]cos 2 1,13x
π + ∈ −
1
2故选：A
【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10.在正方形 SG1G2G3 中，E、F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现在沿 SE、SF 及 EF 把这
个正方形折成一个四面体，使 G1、G2、G3 三点重合，重合后的点记为 G，那么，在四面体 S﹣EFG 中必有
（ ）
A. SG⊥△EFG 所在平面 B. SD⊥△EFG 所在平面
C. GF⊥△SEF 所在平面 D. GD⊥△SEF 所在平面
【答案】A
【解析】
【分析】
在正方形 SG1G2G3 中，有 S G1⊥G1E，在折叠后其垂直关系不变，所以有 SG⊥EG.同理有有 SG⊥FG，再由
线面垂直的判定定理证明.
【详解】在正方形 SG1G2G3 中，
因为 S G1⊥G1E，
所以在四面体中有 SG⊥EG.
又因为 S G3⊥G3F，
所以在四面体中有 SG⊥FG，且 ，
所以 SG⊥△EFG 所在平面.
故选：A
【点睛】本题主要考查折叠问题及线面垂直的判定定理，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
11.如果关于 x 的不等式 x3﹣ax2+1≥0 在[﹣1，1]恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. a≤0 B. a≤l C. a≤2 D. a
【答案】A
【解析】
【分析】
GE GF G=
33 2
2
≤当 时，不等式成立，当 时 将不等式 x3﹣ax2+1≥0 在 恒成立，转化为
在 恒成立，最后求解即可.
【详解】当 时，不等式成立，
当 时 关于 x 的不等式 x3﹣ax2+1≥0 在 恒成立，
即 在 恒成立，
令 ， ，
当 时， ，当 时， .
所以 在 递增，在 递减
当 时，
当 时，
所以 的最小值为 0.
所以
故选：A
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题及导数求最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属
于中档题.
12.已知△ABC 的三边分别为 a，b，c，若满足 a2+b2+2c2＝8，则△ABC 面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根 据 a2+b2+2c2 ＝8， 得 到 ， 由 余 弦 定 理 得 到 ， 由 正 弦 定 理 得 到
，两式平方相加得 ，而 ，两式结合有
，再用基本不等式求解.
【详解】因为 a2+b2+2c2＝8，
0x = 0x ≠ [ ) ( ]1,0 0,1x∈ − 2
1a x x
≤ +
[ ) ( ]1,0 0,1x∈ −
0x = a R∈
0x ≠ [ ) ( ]1,0 0,1x∈ −
2
1a x x
≤ + [ ) ( ]1,0 0,1x∈ −
( ) 2
1g x x x
= + ( ) 1
3
3
21 0 2g x xx
′ = − = ⇒ =
[ )1,0x∈ − ( ) 0g x′ > ( ]0,1x∈ ( ) 0g x′ <
( )g x [ )1,0− ( ]0,1
[ )1,0x∈ − ( ) ( )min 1 0g x g= − =
( ]0,1x∈ ( ) ( )min 1 2g x g= =
( )g x
0a ≤
5
5
2 5
5
3 5
5
5
3
2 2 28 2a b c+ = − 22 cos 8 3ab C c= −
2 sin 4ab C S= ( ) ( ) ( )22 224 8 3 4ab c S= − + 2 2 28 2 2a b c ab+ = − ≥
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 24 8 2 8 3 16 5S c c c c≤ − − − = −所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ①
由正弦定理得 ，
即 ②
由①，②平方相加得 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
当且仅当 且 即 时，取等号.
故选：B
【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档
题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.函数 f（x）＝xlnx+1 在点（e，e+l）处的切线方程为___．
【答案】2x﹣y﹣e+1＝0．
【解析】
【分析】
根据函数 f（x）＝xlnx+1，求导得 ，再分别求得 ， ，用点斜式写出切线方程.
【详解】因为函数 f（x）＝xlnx+1，
所以 ，
所以 ， ，
所以切线方程为： ，
即 .
故答案为：
2 2 28 2a b c+ = −
2 2 2 28 3cos 2 2
a b c cC ab ab
+ − −= =
22 cos 8 3ab C c= −
in1
2 sS ab C=
2 sin 4ab C S=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 22 2 2 24 8 3 4 8 2ab c S a b c= − + ≤ + = −
( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 22 2 2 2 2 1 16 5 5 644 8 2 8 3 16 5 5 2 5
c cS c c c c
− +≤ − − − = − ≤ =
2 4
5S ≤ 2 5
5S ≤
2 2a b= 2 216 5 5c c− = 2 2 212 8,5 5a b c= = =
( ) 1 lnf x x′ = + ( )f e′ ( )f e
( ) 1 lnf x x′ = +
( ) 1 ln 2f e e′ = + = ( ) ln 1 1f e e e e= + = +
( ) ( )1 2y e x e− + = −
2 1 0x y e− − + =
2 1 0x y e− − + =【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14.若函数 f（x） 在（0， ）上单调递减，则实数 a 的取值范围为___．
【答案】a≥﹣1．
【解析】
【分析】
将函数 f（x） 在（0， ）上单调递减，转化 在（0， ）上恒成立
即 在（0， ）上恒成立 再求 最大值即可.
【详解】因为函数 f（x） 在（0， ）上单调递减，
所以 在（0， ）上恒成立 ，
即 在（0， ）上恒成立 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15.已知 ，则 M 的最大值为___．
【答案】1.
【解析】
分析】
利用柯西不等式求解.
【详解】由柯西不等式得： ，
当且仅当 ，即 取等号.
故 M 的最大值为 1
故答案为：1
【
cosx a
sinx
+=
2
π
cosx a
sinx
+=
2
π ( ) 2
1 cos 0sin
a xf x x
− −′ = ≤
2
π
1
cosa x
≥ −
2
π 1
cos x
−
cosx a
sinx
+=
2
π
( ) 2
1 cos 0sin
a xf x x
− −′ = ≤
2
π
1
cosa x
≥ −
2
π
0, 2x
π ∈
( )cos 0,1x∈
1 ( , 1]cos x
− ∈ −∞ −
1a ≥ −
1a ≥ −
2 21 1M x y y x= − + −
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 21 1 1 1 1x y y x x x y y − + − ≤ + − − + =
2
2
1
1
y y
x x
− =
−
2 2 1x y+ =【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16.根据气象部门预报，在距离某个码头 A 南偏东 45°方向的 600km 处的热带风暴中心 B 正以 30km/h 的速度
向正北方向移动，距离风暴中心 450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头 A 将受到
热带风暴的影响（精确到 0.01）．
【答案】9.14h.
【解析】
【分析】
先建立坐标系，设风暴中心最初在 B 处，经 th 后到达 C 处．自 B 向 x 轴作垂线，垂足为 D．若在点 C 处受
到热带风暴的影响，则 AC＝450，则有 450，即
450；两边平方并化简、整理求解.
【详解】建立如图所示直角坐标系：
设风暴中心最初在 B 处，经 th 后到达 C 处．自 B 向 x 轴作垂线，垂足为 D．
若在点 C 处受到热带风暴的影响，则 OC＝450，
即 450，
即 450；
两边平方并化简、整理得 t2﹣20 t+175＝0
∴t 或 ，
所以 时后码头将受到热带风暴的影响．
【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60
分．
2 2AD DC+ = 2 2(600 45 ) (600 45 30 )cos sin t° + °− =
2 2AD DC+ =
2 2(600 45 ) (600 45 30 )cos sin t° + °− =
2
10 2 5= + 10 2 5−
10 2 41 5 9.≈−
9.1417.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 a4﹣a1＝S3，a5﹣a1＝15．
（1）求数列{an}的首项 a1 和公比 q；
（2）若 an＞n+100，求 n 的取值范围．
【答案】（1）q＝2，a1＝1；（2）n≥7.
【解析】
【分析】
（1）根据 a4﹣a1＝S3，a5﹣a1＝15，利用“q，a1”法求解.
（2）由（1）建立不等式 ＞n+100，通过估值法求解.
【详解】（1）∵a4﹣a1＝S3，a5﹣a1＝15．显然公比 q≠1，
∴ ，解可得 q＝2，a1＝1，
（2）由（1）可得 an＝ ，
∵an＞n+100，即 ＞n+100，
解可得，n≥7．
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18.如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，P，Q，L 分别为棱 A1D1，C1D1，BC 的中点．
（1）求证：AC⊥QL；
（2）求四面体 DPQL 的体积．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）取 CD 的中点 H，根据正方体的几何性质，有 QH⊥AC，AC⊥HL，再利用线面垂直的判定定理证明.
12n−
( ) ( )
( )
3
13
1
4
1
1
1 1
1 15
a q
a q q
a q
−
− = −
− =
12n−
12n−
31
8 a（2）连接 PB1，B1L，四边形 LDPB1 是平行四边形，根据等体积法，则有 ，然后
通过 求解.
【详解】（1）证明：如图所示：
H 为 CD 的中点，连接 QH，HL，P，Q，L 分别为棱 A1D1，C1D1，BC 的中点．
所以 QH⊥AC，AC⊥HL，QH∩HL＝H，
所以 AC⊥平面 QHL，
∵QL⊂平面 QHL，
∴AC⊥QL；
（2）解：如图所示：
连接 PB1，B1L，四边形 LDPB1 是平行四边形，则
．
【点睛】本题主要考查了正方体的几何特征和线面垂直的判定定理，以及三棱锥的体积，还考查了空间想
象，推理论证，运算求解的能力，属于中档题.
19.一个小商店从一家食品有限公司购进 10 袋白糖，每袋白糖的标准重量是 500g，为了了解这些白糖的实
际重量，称量出各袋白糖的实际重量（单位：g）如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，
510
1 1Q PDL Q PB L L QPBV V V− − −= =
1L QPBV −
1 1Q PDL Q PB L L QPBV V V− − −= =
1 1
2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 2 2 2 2 2 2 2L QPB PQBV S AA a a a a a a a a− ∆
= × × = × − × × − × × − × × ×
31
8 a=（1）求这 10 袋白糖的平均重量 和标准差 s；
（2）从这 10 袋中任取 2 袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在（ s， s）的概率是多少？（附：
5.08， 16.06， 5.09， 16.09）
【答案】（1）501，5.08；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据提供的数据，利用平均数和方差公式求解.
（2）根据（1）的结合，算出重量在（ s， s）内的袋数和不在内的袋数，然后得出从 10 袋中选 2
袋的方法数和恰有一袋的方法数，再利用古典概型的概率公式求解.
【详解】（1）根据题意，10 袋白糖的实际重量如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，
510，
则其平均重量 （503+502+496+499+491+498+506+504+501+510）＝500
（3+2﹣4﹣1﹣9﹣2+6+4+1+10）＝501，
其方差 S2 [（503﹣501）2+（502﹣501）2+（496﹣501）2+（499﹣501）2+（491﹣501）2+（498﹣501）
2+（506﹣501）2+（504﹣501）2+（501﹣501）2+（510﹣501）2]＝25.8；
则其标准差 s 5.08；
（2）根据题意，由（1）的结论，10 袋白糖在（ s， s）之间的有 503，502，496，499，498，506，
504，501，共 8 袋，
从 10 袋白糖中任取两袋，有 C102＝45 种取法，
其中恰有一袋的重量不在（ s， s）的情况有 8×2＝16 种，
则恰有一袋的重量不在（ s， s）的概率 P ．
【点睛】本题主要考查了平均数，方差及古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20.已知抛物线 Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，P 是抛物线 Γ 上一点，且在第一象限，满足 （2，
2 ）
（1）求抛物线 Γ 的方程；
（2）已知经过点 A（3，﹣2）的直线交抛物线 Γ 于 M，N 两点，经过定点 B（3，﹣6）和 M 的直线与抛物
线 Γ 交于另一点 L，问直线 NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．
x
x − x +
25.8 ≈ 258 ≈ 25.9 ≈ 259 ≈
16
45
x − x +
1
10x = 1
10
+
1
10
=
25.8= ≈
x − x +
x − x +
x − x + 16
45
=
FP =
3【答案】（1）y2＝4x；；（2）直线 NL 恒过定点（﹣3，0），理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的方程，求得焦点 F（ ，0），利用 （2，2 ），表示点 P 的坐标，再代入抛物线
方程求解.
（2）设 M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出 MN 的方程 y 和 ML 的方程
y ，因为 A（3，﹣2），B（3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得 y1y2＝12，
然后表示直线 NL 的方程为：y﹣y1 （x ），代入化简求解.
【详解】（1）由抛物线 方程可得焦点 F（ ，0），满足 （2，2 ）的 P 的坐标为（2 ，
2 ），P 在抛物线上，
所以（2 ）2＝2p（2 ），即 p2+4p﹣12＝0，p＞0，解得 p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；
（2）设 M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），则 y12＝4x1，y22＝4x2，
直线 MN 的斜率 kMN ，
则直线 MN 的方程为：y﹣y0 （x ），
即 y ①，
同理可得直线 ML 的方程整理可得 y ②，
将 A（3，﹣2），B（3，﹣6）分别代入①，②的方程
可得 ，消 y0 可得 y1y2＝12，
的
2
p
FP = 3
0 1
0 1
4x y y
y y
+= +
0 2
0 2
4x y y
y y
+= +
1 2
4
y y
= +
2
1
4
y−
2
p
FP = 3 2
p+
3
3 2
p+
1 0 1 0
2 2
1 01 0 1 0
4
4
y y y y
y yx x y y
− −= = =−− +
1 0
4
y y
= +
2
0
4
y−
0 1
0 1
4x y y
y y
+= +
0 2
0 2
4x y y
y y
+= +
0 1
0 1
0 2
0 2
122
126
y y
y y
y y
y y
+− = + +− = +易知直线 kNL ，则直线 NL 的方程为：y﹣y1 （x ），
即 y x ，故 y x ，
所以 y （x+3），
因此直线 NL 恒过定点（﹣3，0）．
【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归
的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21.（1）研究函数 f（x） 在（0，π）上的单调性；
（2）求函数 g（x）＝x2+πcosx 的最小值．
【答案】（1）f（x）在（0，π ）递减；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据 ，求导得 ，设 m（x）＝xcos x﹣sinx，x∈（0，π），通过求导
来判断其正负，从而得到 f′（x）的正负，进而研究 f（x）的单调性.
（2）易知 g（x）是偶函数，故只需求 x∈[0，+∞）时 g（x）的最小值，求导得 g′（x）＝2x﹣πsin x，根据
sinx 的特点，分 x∈（0， ）和 时两种情况讨论 g（x）单调性，进而求其最小值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
设 m（x）＝xcos x﹣sinx，x∈（0，π），
m′（x）＝﹣xsin x＜0，
所以 m（x）在（0，π ）递减，则 m（x）＜m（0）＝0
故 f′（x）＜0，所以 f（x）在（0，π ）递减；
（2）观察知 g（x）为偶函数，故只需求 x∈[0，+∞）时 g（x）的最小值，
由 g′（x）＝2x﹣πsin x，当 x∈（0， ） 时，设 n（x）＝2x﹣π sin x，则 n′（x）＝2﹣π cos x，显然 n′
（x） 递增，
1 2
4
y y
= + 1 2
4
y y
= +
2
1
4
y−
1 2
4
y y
= +
1 2
1 2
y y
y y
+ + 1 2
4
y y
= + 1 2
12
y y
+ +
1 2
4
y y
= +
sinx
x
=
2
4
π
( ) sinxf x x
= ( ) 2' xcosx sinxf x x
−=
2
π
2x
π ∈ + ∞ ，
( ) sinxf x x
= ( ) 2' xcosx sinxf x x
−=
2
π而 n′（0）＝2﹣π＜0， ，
由零点存在定理，存在唯一的 ，使得 n′（x0）＝0
当 x∈（0，x0）时，n′（x）＜0，n（x）递减，
当 时，n′（x）＞0，n（x）递增，
而 n（0）＝0， ，故 时，n（x）＜0，
即 时，g′（x）＜0，则 g（x）递减；
又当 时，2x＞π＞π sin x，g′（x）＞0，g（x） 递增；
所以 ．
【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性及最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于
难题.
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．
（1）求曲线 C1 的一般方程和曲线 C2 的直角坐标方程；
（2）若点 P 在曲线 C1 上，点 Q 曲线 C2 上，求|PQ|的最小值．
【答案】（1） ，（x﹣2）2+y2＝1；（2）2
【解析】
【分析】
（1）由 C1 的参数方程为 为参数），消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线 C2：
.
' 2 02n
π = ＞
0 0 2x
π ∈ ，
0 2x x
π ∈ ，
02n
π = 0 2x
π ∈ ，
0 2x
π ∈ ，
2x
π ∈ + ∞ ，
2
( ) 2 4ming x g
π π = =
5
4
x cos
y sin
α
α
=
=
α
2 2
125 16
x y+ =
5 (4
x cos
y sin
α αα
=
=ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用 转换为直角坐标方程.
（2）设点 P（5cosθ，4sinθ），根据点 Q 在圆上，先求点 P 到圆心的距离，然后减去半径即为最小值.
【详解】（1）曲线 C1 的参数方程为 为参数），
两式平方相加整理得 ．
将 代入 ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．
得 x2+y2﹣4x+3＝0，
整理得（x﹣2）2+y2＝1．
（2）设点 P（5cosθ，4sinθ）在曲线 C1 上，圆心 O（2，0），
所以： ，
当 cosθ＝1 时，|PO|min＝3，
所以|PQ|的最小值 3﹣1＝2．
【点睛】本题主要考查了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考查了转化
化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
[选修 4-5：不等式选讲]
23.已知函数 f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．
（1）当 a＝4 时，求解不等式 f（x）≥8；
（2）已知关于 x 的不等式 f（x） 在 R 上恒成立，求参数 a 的取值范围．
【答案】（1）[5，+∞）∪（∞， ]；（2）[﹣2，1].
【解析】
【分析】
（1）根据 a＝4 时，有 f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.
（2）根据绝对值的零点有 a﹣1 和 ，分 a﹣1 ，a﹣1 和 a﹣1 时三种情况分类讨论求
解.
【详解】（1）当 a＝4 时，f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，
cos , sinx yρ θ ρ θ= =
5 (4
x cos
y sin
α αα
=
=
2 2
125 16
x y+ =
cos , sinx yρ θ ρ θ= =
2
2 2 2 10 80(5 2) (4 ) 9 20 20 9 9 9PO cos sin cos cos cosθ θ θ θ θ = − + = − + = − +
2
2
a≥
1
3
−
1
2 a 1
2 a= 1
2 a＞ 1
2 a＜（i）当 x≥3 时，原不等式可化为 3x﹣7≥8，解可得 x≥5，
此时不等式的解集[5，+∞）；
（ii）当 2＜x＜3 时，原不等式可化为 2x﹣4+3﹣x≥8，解可得 x≥9
此时不等式的解集∅；
（iii）当 x≤2 时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得 x ，
此时不等式的解集（∞， ]，
综上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞， ]，
（2）（i）当 a﹣1 即 a＝2 时，f（x）＝3|x﹣1| 2 显然不恒成立，
（ii）当 a﹣1 即 a＞2 时， ，
结合函数的单调性可知，当 x 时，函数取得最小值 f（ ） ，
若 f（x） 在 R 上恒成立，则 ，此时 a 不存在，
（iii）当 a﹣1 即 a＜2 时，f（x）
若 f（x） 在 R 上恒成立，则 1 ，
解得﹣2≤a≤1，
此时 a 的范围[﹣2，1]，
综上可得，a 范围围[﹣2，1]．
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思
想和运算求解的能力，属于中档题.
的
1
3
≤ −
1
3
−
1
3
−
1
2 a= 2
2
a≥ =
1
2 a＞ ( )
13 2 1 2
11 12
3 2 1 1
x a x a
f x x a x a
x a x a
− + − ≤
= − −
− + ≥ −
，
， ＜ ＜
，
1
2 a= 1
2 a 1 12 a= −
2
2
a≥ 21 112 2a a− ≥
1
2 a＜
3 2 1 1
11 1 2
13 2 1 2
x a x a
x a x a
x a x a
− + − ≤ −
= − + −
− + ≥
，
， ＜ ＜
，
2
2
a≥ 21 1
2 2a a− ≥
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