大理、丽江、怒江 2020 届高中毕业生第一次复习统一检测理科数学
一、选择题
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：集合 ，而 ，所以 ，故选 C.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
2.设复数 z 满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）
A. B.
C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出 的表达式，然后对其化简，求出复数的模即可.
【详解】由题意， ，所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的模的计算，属于基础题.
3.某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了 2018 年 1 月至 2018 年 11 月期间“跑团”
每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）
A. 月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数
B. 月跑步平均里程逐月增加
{1,2,3}A = { | ( 1)( 2) 0, }B x x x x Z= + − < ∈ A B∪ =
{1} {1 2}， {01 2 3}，，， { 1 01 2 3}− ，，，，
{ }{ | 1 2, } 0,1B x x x Z= − < < ∈ = { }1,2,3A = { }0,1,2,3A B∪ =
1
2
2
2
2
z
( )
( )( )
2i 1 i2i 1 i1 i 1 i 1 iz
−= = = ++ + − 2z =C. 月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月
D. 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】D
【解析】
【分析】
根据折线图中 11 个月的数据分布，数据从小到大排列中间的数可得中位数，根据数据的增长趋势可判断
BCD.
【详解】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；
月跑步平均里程高峰期大致在 9，l0 月份，故 A，B，C 错.本题选择 D 选项.
【点睛】本题主要考查了识别折线图进行数据分析，属于基础题.
4.已知二项式 的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2︰5，则 的系数为
（ ）
A. 14 B. C. 240 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由二项展开式的通项公式为 及展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2
︰5 可得： ，令展开式通项中 的指数为 ，即可求得 ，问题得解．
【详解】二项展开式的第 项的通项公式为
由展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2︰5，可得： .
解得： .
所以
令 ，解得： ，
所以 的系数为
故选 C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于
12 ( *)
n
x n N
x
− ∈
3x
14− 240−
( )1
12
r
n rr
r nT C x
x
−
+
= −
6n = x 3 2r =
1r + ( )1
12
r
n rr
r nT C x
x
−
+
= −
1 2: 2 : 5n nC C =
6n =
( ) ( ) 366 2
1 6
12 2 1
r
rn r rr r r
r nT C x C x
x
−− −
+
= − = −
36 32 r− = 2r =
3x ( )22 6 2
6 2 1 240C − − =中档题．
5.执行如右下所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由程序框图的功能，不断循环，直到 时结束循环即可得解.
【详解】解：由程序框图可得，当 时，进行第一次循环，得 ,
当 时，进行第二次循环，得 ,
当 时，进行第三次循环，得 ,
当 时，进行第四次循环，得 ,
当 时，满足 ，退出循环，输出 ，
即输出的 S 值为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查了程序框图的功能，重点考查了运算能力，属基础题.
6.已知等比数列 满足 ， ，则数列 前 10 项的和为（ ）
A. 1022 B. 1023 C. 2047 D. 2046
【答案】D
5
3
3
2
8
5
3k >
0k = 1 1 21S
+= =
1k = 2 1 3
2 2S
+= =
2k =
3 1 52
3 3
2
S
+
= =
3k =
5 1 83
5 5
3
S
+
= =
4k = 3k > S
8
5
{ }na 1 2 6a a+ = 4 5 48a a+ = { }na【解析】
【分析】
先由已知条件求出 ， ，再结合等比数列前 项和公式求解即可.
【详解】解：由等比数列 满足 ， ，
则等比数列 ，即 ，代入 可得 ，
则数列 前 10 项的和 ，
故选：D.
【点睛】本题考查了等比数列基本量的运算，重点考查了等比数列前 项和的求法，属基础题.
7.若函数 在点 处的切线与直线 互相垂直，则实数 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数 的导数，切线斜率为 ，根据切线与直线 互相垂直即可求
出 .
【详解】因为 ，
所以 ，
，
因为切线与直线 互相垂直，
所以 ，解得 ，
故选 A
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，直线垂直斜率之间的关系，属于中档题.
8.函数 的图象大致为
2q = 1 2a = n
{ }na 1 2 6a a+ = 4 5 48a a+ =
3 4 5
1 2
48 86
a aq a a
+= = =+ 2q = 1 2 6a a+ = 1 2a =
{ }na
10
10
2(1 2 ) 20461 2S
−= =−
n
( ) xf x e cosx= ( )( )0, 0f 2 1 0x ay− + = a
2− 1− 1 2
( ) xf x e cosx= (0)k f ′= 2 1 0x ay− + =
a
( ) xf x e cosx=
( ) (cos sin )xf x e x x′ = −
(0) 1k f ′= =
2 1 0x ay− + =
2 1a
= − 2a = −
( ) 1 2 cos1 2
x
xf x x
−= +
( )A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
函数 f（x）=（ ）cosx，当 x= 时，是函数的一个零点，属于排除 A，B，当 x∈（0，1）时，cosx＞
0，
＜0，函数 f（x）=（ ）cosx＜0，函数的图象在 x 轴下方．
排除 D．
故答案为 C．
9.某几何体的三视图如图所示(单位相同)，记该几何体的体积为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图可知该几何体是底面边长为 9 高为 9 的四棱锥，根据体积公式求解即可.
【详解】由三视图可知，几何体为四棱锥，
且底面是边长为 9 的正方形，高为 9，
所以
故选 B
【点睛】本题主要考查了三视图，四棱锥的体积公式，考查了空间想象力，属于中档题.
1 2
1 2
x
x
−
+ 2
π
1 2
1 2
x
x
−
+
1 2
1 2
x
x
−
+
V V =
243
2 243 729
2 729
21 9 9 2433V = × × =10.设 是双曲线 的一个焦点，若 上存在点 ，使线段 的中点恰为虚轴的一个
端点，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设 , 的中点为 ，即有 ，将中点 M 的坐标代入双曲
线方程，结合离心率公式，计算即可.
【详解】不妨设 ,
的中点为 ,
即有 ，
将 代入双曲线方程可得： ，
化简得 ，
即 ，
故选 D
【点睛】本题主要考查了双曲线的方程和性质，离心率，中点坐标公式，属于中档题.
11.设函数 ， 若实数 满足 ， 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： 对 函 数 求 导 得 ， 函 数 单 调 递 增 ，
，由 知 ，同理对函数 求导，知在定义
域内单调递增， ，由 知 ，所以 .
F ( )2 2
2: 1 09
y xC bb
− = > C P PF
C
2 2 5 5
( ,0), ( , ), ( 0)F c P m n m < PF (0, )M b , 2m c n b= − =
( ,0), ( , ), ( 0)F c P m n m <
PF (0, )M b
, 2m c n b= − =
2 2
2
4 19
c b
b
− =
2
2
2 5ce a
= =
5e =
( ) 2xf x e x= + − 2( ) ln 3g x x x= + − ,a b ( ) 0f a = ( ) 0g b =
( ) 0 ( )g a f b< < ( ) 0 ( )f b g a< <
0 ( ) ( )g a f b< < ( ) ( ) 0f b g a< <
( ) 2xf x e x= + − ( )= 1xf x e′ +
( ) ( )0 1 0, 1 1 0f f e= − = + ( ) 0f a = 0 1a< < 2( ) ln 3g x x x= + −
(1) -2 0g = < ( ) 0g b = 1b > ( ) 0 ( )g a f b< f(x2)可得为增函数;③由题中关系式
用 x+2 代 x,-x 代 y,可推导 f(x+2)=f(x);④利用函数周期性将 f( )化简为 f( ).
【详解】令 ，可得 ，∴ ，函数 是奇函数，
故①不正确；
设 ，则∵当 时， ，
的
( ) 2xf x e x= + − ( )= 1 0xf x e + >′
( ) ( )0 1 0, 1 1 0f f e= − = + ( ) 2xf x e x= + − 0 1a< <
2( ) ln 3g x x x= + − (1) -2 0g = < ( ) 0g b = 2( ) ln 3g x x x= + −
1b >
( ) 0 ( )g a f b< <
R ( )f x x y ( ) ( ) ( )
cos2 22
f x f y x yx yf
π −+
+ =
( ) ( )0 1 0f f= = 1 12f =
10, 2x ∈
( ) 0f x > ( )f x
( )f x 1 1,2 2
−
( )f x 5 02f − =
2 1
1 1,2 2x x < ∈ −
5
2
− 1
2
y x= − ( ) ( ) ( )0 cos 02
f x f x f xπ+ − = = ( ) ( )f x f x− = − ( )f x
1 2
1 1
2 2x x> > > − 10, 2x ∈
( ) 0f x >∴ ，∴ ，∴函数 在 上单
调递增，故②正确；
∵ ，∴ ，
∴函数 是以 2 为周期的周期函数，故③正确；
∵ ，故④不正确；
综上所述：答案为 B.
故选:B
【点睛】本题考查了函数知识的综合应用,包括:函数奇偶性、单调性、周期性的判断及应用;做题关键点在于
一定要熟练掌握这些函数性质的基础知识,难度一般,只是化简运算时需要认真对待考查了学生的运算能力.
二、填空题
13.若向量 满足 ，则 与 的夹角为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量垂直，可知 ，利用数量积运算即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
又 ，
所以 ，
故答案为：
( ) ( ) ( )1 2 1 21 2 cos 02 2 2
f x f x x xx xf
π+ − +− = >
( ) ( )1 2f x f x> ( )f x 1 1,2 2
−
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 2
f x f x f x f x+ − + + −= ( ) ( )1 cos 1 0f xπ= ⋅ + = ( ) ( )2f x f x+ =
( )f x
5 1 1 12 2 2f f f − = − = − = −
,a b ( )3, 2,a b a a b= = ⊥ − a b
6
π
( ) 0a a b⋅ − =
( )a a b⊥ −
( ) 0a a b⋅ − = 2
0a a b− ⋅ =
3, 2a b= =
3 3 2 cos 0θ− × ⋅ =
3cos 2
θ =
[0, ]θ π∈
6
πθ =
6
π【点睛】本题主要考查了数量积的运算，向量垂直，向量的夹角，属于中档题.
14.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则使得 取最小值时的 为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可求出等差数列的首项和公差，写出通项公式，判断项的符号何时改变即可求解.
【详解】由 ，
解得 ，
所以 ，
令 ，解得 ，即前 6 项为负，第 7 项起为正，
所以 最小.
故答案为 6
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的计算，通项公式，前 n 项和，属于中档题.
15.在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 6 的等边三角形， 是以
为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
在等边三角形 中，取 的中点 ，设其中心为 ，则 ，再利用勾
股定理可得 ，则 为棱锥 的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.
【详解】
如图，在等边三角形 中，取 的中点 ，
设其中心为 ，由 ，
{ }na n nS 1 5 14a a+ = − 9 27S = − nS n
6
1 5
9
14
27
a a
S
+ = −
= −
1 11
2
a
d
= −
=
2 13na n= −
0na > 6.5n >
6S
P ABC− PAB ⊥ ABC ABC PAB△ AB
48π
ABC AB F O 2 2 33AO BO CO CF= = = =
2 3OP = O P ABC−
ABC AB F
O 6AB =得 ，
是以 为斜边的等腰角三角形， ,
又因为平面 平面 ，
平面 ， ，
，
则 为棱锥 的外接球球心，
外接球半径 ，
该三棱锥外接球的表面积为 ，
故答案为 .
【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，
关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用 （ 为
三棱的长）；②若 面 （ ），则 （ 为 外接圆半径）；③可以转化为
长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
16.在平面直角坐标系 中，已知圆 ： ，若等腰直角 的斜边 为圆
的一条弦，则 的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设∠ACP=α,利用平面几何知识求出 = cosα, = = sinα,将 PC 转化为 CD+DP 然后再利
用三角函数知识点求最值.
【详解】
如图所示,连接圆心 与 ，则 且平分 ，交点为 ，设 ，则 ，
2 2 33AO BO CO CF= = = =
PAB∆ AB PF AB∴ ⊥
PAB ⊥ ABC
PF∴ ⊥ ABC PF OF∴ ⊥
2 2 2 3OP OF PF= + =
O P ABC−
2 3R OC= =
∴ ( )2
4 2 3 48π π× =
48π
2 2 2 24R a b c= + + , ,a b c
SA ⊥ ABC SA a= 2 2 24 4R r a= + r ABC∆
xOy C ( ) ( )2 21 2 16x y− + − = PAB∆ AB C
PC
4 2
CD AC DP AD AC
C P CP AB⊥ AB D ACP α∠ = cosCD AC α=，
∵ ，∴ ，
，所以 .
故答案为:
【点睛】本题考查了动点到圆心距离的最值问题,属于中档题;本题的意图在于着重培养学生一种数学解题思
想,就是利用数形结合由平面几何知识进行等价转化,然后借助于三角函数求最值.
三、解答题
17.为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了 2018 年下半年该市 名农民工
(其中技术工、非技术工各 名)的月工资，得到这 名农民工的月工资均在 (百元)内，且月工资
收入在 (百元)内的人数为 ，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:
(1)求 的值；
(2)已知这 名农民工中月工资高于平均数的技术工有 名，非技术工有 名.
①完成如下所示 列联表
技术工 非技术工 总计
月工资不高于平均数
月工资高于平均数
总计
②则能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
sinAD AC α=
AD DP= 4cos 4sinPC CD DP α α= + = + 4 2 sin 4
πα = +
4 2 4
π π πα α+ = ⇒ =
max 4 2PC =
4 2
100
50 100 [ ]25,55
[ )45,50 15
n
100 31 19
2 2×
50
50
50 50 100
0.001参考公式及数据: ，其中 .
【答案】（1） （2）①列联表见解析②不能在犯错误的概率不超过 的前提下，认为是不是技
术工与月工资是否高于平均数有关
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图可得（2）①根据题目数据即可列出 列联表②计算 ，得出结论.
【详解】(1) 月工资收入在 (百元)内的人数为
月工资收入在 (百元)内的频率为: ；
由频率分布直方图得:
(2)①根据题意得到列联表:
技术工 非技术工 总计
月工资不高于平均数
月工资高于平均数
总计
不能在犯错误的概率不超过 的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图， 列联表，相关性检验，属于中档题.
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k≥ 0.05 0.01 0.005 0.001
0k 3.841 6.635 7.879 10.828
0.05n = 0.001
2 2× 2K
[ )45,50 15
∴ [ )45,50 15 0.15100
=
( )0.02 0.04 2 0.01 5 0.15 1n+ + + × + =
0.05n∴ =
19 31 50
31 19 50
50 50 100
( )2 100 19 19 31 31 5.76 10.82850 50 50 50K
× × − ×= = 2 4b c∴ < + ≤
ABC ( ]4,6
1 1 1ABC A B C− 2AC BC= = D 1CC 1 1AB A B O∩ =
1 / /C O ABD
D AB C− − 2
2
AC BC⊥ 1 2A E EB=
1C O CE
2 .3
AB F 1 / /C O DF
AB F OF DF
1 1ABB A O 1AB
1
1/ / 2OF BB 1 1
1/ / 2C D BB 1/ /OF C D∴四边形 为平行四边形，则 .
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
（2）解：过 作 于 ，连接 ，
则 即为二面角 的平面角.
∵ ， ，∴ .
以 为原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示，则 ， ， ，
，
则 ， ， .
∵ ，∴ ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 .
20.已知函数 在 上为增函数，且 ， ，（其
中 ）.
（1）求 的值；
（2）设 ，若存在 ，使得 成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
1OFDC 1 / /C O DF
1C O ⊄ ABD DF ⊂ ABD 1 / /C O ABD
C CH AB⊥ H DH
DHC∠ D AB C− −
2CH = 2tan 2
CDDHC CH
∠ = = 1CD =
C C xyz− ( )1 0,0,2C ( )0,2,0B ( )0,0,1D
( )1 2,0,2A
( )1,1,1O 1
1 2 2 2, ,3 3 3 3BE BA = = −
2 4 2, ,3 3 3CE BE BC = − =
( )1 1,1, 1C O = − 1
1
1
4
23cos , 32 63 3
C O CEC O CE
C O CE
⋅= = =
⋅ ×
1C O CE 2
3
( ) 1 lnsing x xxθ= +⋅
[ )1,+∞ ( )0,θ π∈ ( ) 1 lnmf x mx xx
−= − −
m R∈
θ
( ) 2eh x x
= [ ]0 1,x e∈ ( ) ( ) ( )0 0 0f x g x h x− > m
2
π
2
4 ,1
e
e
+∞ − 【解析】
【分析】
(1)由函数在指定区间上为增函数,则对函数求导利用函数导函数恒大于等于 0,再结合题意求取参数即可;
(2)构造函数 = 然后分情况讨论:当 ≤0 时,判断 ∈[1,e]
上 >0 的情况;当 >0 时,对函数 求导判断函数的单调性,若满足题意只需 即可求出
参数的取值范围.
【详解】（1）由题意， 在 上恒成立，即 .
∵ ，∴ .故 在 上恒成立，
∴ ，又 ，只有 .结合 ，得 .
（2）构造 ， .
当 时， ， ， ，所以在 上不存在一个 ，使得
成立.
当 时， .
因为 ，所以 ， ，所以 在 恒成立，
故 在 上单调递增.
所以 ，因 ，故只需 ，
解得 .
故 的取值范围是 .
【点睛】本题着重考查了已知函数在给定区间上的单调性求参数的问题,这种类型的题只要熟练掌握求导公
式即可解决;同时本题还考查了在给定区间上,利用多个函数间的不等关系求参数的问题,解决此类问题的关
键在于构造函数,转化为给新构造的函数求导利用其单调性求取参数,必要时对函数进行参数分离然后对参
数进行范围的讨论再解决问题.
21.已知 ，椭圆 ： 的离心率为 ，直线 与 交于 ， 两点， 长
( ) ( ) ( ) ( )F x f x g x h x= − − 22m emx lnxx x
− − − m x
( )F x m ( )F x ( )F 0maxx >
( ) 2
1 1' 0sing x x xθ= − + ≥⋅
[ )1,+∞
2
sin 1 0sin
x
x
θ
θ
⋅ − ≥⋅
( )0,θ π∈ sin 0θ > sin 1 0xθ ⋅ − ≥ [ )1,+∞
max
1sin 1x
θ ≥ = sin 1θ ≤ sin 1θ = ( )0,θ π∈
2
πθ =
( ) ( ) ( ) ( )F x f x g x h x= − − ( ) 22lnm emx xxF x x
− − −=
0m ≤ [ ]1,x e∈ 0mmx x
− ≤ 22ln 0ex x
− − < [ ]1,e 0x
( ) ( ) ( )0 0 0f x g x h x− >
0m > ( )( ) 2 2
2
2
22 22' m eF x m x x x
mx x m e
x
− += += + − +
[ ]1,x e∈ 2 2 0e x− ≥ 2 0mx m+ > ( )( )' 0F x > [ ]1,x e∈
( )F x [ ]1,e
( ) ( )max 4mF x F e me e
= = − − ( )1 2 0F e= − < 4 0mme e
− − >
2
4
1
em e
> −
m 2
4 ,1
e
e
+∞ −
( )3,0P − C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1
2 l C A B AB度的最大值为 4.
（1）求 的方程；
（2）直线 与 轴的交点为 ，当直线 变化（ 不与 轴重合）时，若 ，求点
的坐标.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
(1)由椭圆中弦长最长的位置在长轴位置可得 的值,再由离心率并结合 求得 的值，从而求得椭
圆的标准方程;
(2)如图所示:
由题中关系式 利用平面几何知识结合正弦定理可得:∠MPA=∠MPB,进而可得
kPA=-kPB,设 A 点坐标 ,B 点坐标 ,M 点坐标( ,0)和直线 l 的方程 ,和椭圆方程
联立化简得 ,然后利用根的判别式、韦达定理和斜率公式综合运算可得
的值.
【详解】（1）由题意弦长 AB 长度的最大值为 4,可得 2a=4 即得 a=2,由离心率 ,
且 联立解得 =4, =3,所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ， 的方程为 ，代入椭圆方程并整理得
，
由 ，
解得 ，
.
C
l x M l l x MA PB MB PA= M
2 2
14 3
x y+ = 4 ,03
−
a 2 2 2a b c= + b
MA PB MB PA=
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y m x ky m= +
( ) 2 22 6 33 1 04 2y kmk y m+ + −+ =
m
1
2
c
a
=
2 2 2a b c= + 2a 2b C
2 2
14 3
x y+ =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l x ky m= +
( ) 2 22 6 33 1 04 2y kmk y m+ + −+ =
( ) ( )( )2 2 26 4 3 4 3 12 0km k m∆ = − + − >
2 23 4m k< +， .
因为 即 ，由角平分定理或正弦定理，即可得到
，即 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
即 ，
所以 ，因为 为变量，所以 ，
所以点 的坐标为 .
【点睛】本题考查了由离心率求椭圆标准方程以及根据直线和椭圆的位置关系求参数的问题,求椭圆方程问
题是高考常考问题只要利用题中条件确定 和 一般难度不大;关键是求参数问题是综合能力的考查,解决
此类问题首先要进行合理的消元,然后利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，点到直线的距离公式等等知
识点将所求量表示出来，最后本题还考查学生的运算求解能力,属于中档题.
22.在极坐标系中，射线 ： 与圆 ： 交于点 ，椭圆 方程为： ，以极
点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角标系 .
（1）求点 的直角坐标和椭圆 的直角坐标方程；
（2）若 为椭圆 的下顶点， 为椭圆 上任意一点，求 的最大值.
【答案】（1）点 的直角坐标 ；椭圆 的直角坐标方程为 （2）
【解析】
【分析】
（1）根据直角坐标和极坐标的转化公式可求；
（2）设出点 的参数方程，结合向量数量积运算表示出 ，结合表达式的特征可求最值.
【详解】（1）射线 ： 与圆 ： 交于点 ，
的
1 2 2
6
3 4
kmy y k
+ = − +
2
1 2 2
3 12
3 4
my y k
−= +
MA PB MB PA= PA MA
PB MB
=
MPA MPB∠ = ∠ OPA OPB∠ = ∠ PA PBk k= − 0PA PBk k+ =
1 2
1 2
03 3PA PB
y yk k x x
+ = + =+ + ( ) ( )1 2 2 13 3 0y x y x+ + + =
( ) ( )2
2 2 2
6 4 33 12 62 3 03 4 3 4 3 4
k mm kmk mk k k
− +− − + = =+ + +
( )6 4 3 0k m− + = k 4
3m = −
M 4 ,03
−
2a 2b
l 6
πθ = C 2ρ = A E 2
2
3
1 2sinρ θ= +
x xOy
A E
B E M E AB AM⋅
A ( )3,1 E
2
2 13
x y+ = 13 5+
M AB AM⋅
l 6
πθ = C 2ρ = 2, 6A
π
点 的直角坐标 ；
椭圆 的方程为 ，直角坐标方程为 .
（2）由（1）椭圆 的参数方程为 （ 为参数）.
设 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， 的最大值为 .
【点睛】本题主要考查直角坐标和极坐标的转化，及利用参数方程求解最值问题，目标式的构建是求解的
关键，侧重考查数学运算的核心素养.
23.已知 ， ， ，证明：
(1) ；
(2) .
【答案】(1) 见解析(2) 见解析
【解析】
【分析】
（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由 a3+b3＝2 转化为 ab，再由均值不等式可得： ab≤ ，即可得到
（a+b）3≤2，问题得以证明．
【详解】证明：（1）由柯西不等式得： 当且仅当 ab5＝ba5，即 a＝b＝
1 时取等号；
（2）∵a3+b3＝2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，
A ( )3,1
E 2
2
3
1 2sinρ θ= +
2
2 13
x y+ =
E 3 cos
sin
x
y
θ
θ
= =
θ
( )3 cos ,sinM θ θ
( )0, 1B −
( )3, 2AB = − − ( )3 cos 3,sin 1AM θ θ= − −
( )3cos 3 2 sin 1AB AM θ θ⋅ = − + − − ( )13sin 5θ ϕ= − + +
( )sin 1θ ϕ+ = − AB AM⋅ 13 5+
0a > 0b > 3 3 2a b+ =
( )( )5 5 4a b a b+ + ≥
2a b+ ≤
( )
( )
3 2
3
a b
a b
+ − =+
( )
( )
3 2
3
a b
a b
+ − =+
2( )2
a b+
1
4
5 5 3 3 2 4a b a b a b+ + ≥ +（ ）（ ）（ ）＝ ，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，
∴ ab，
由均值不等式可得： ab≤
∴（a+b）3﹣2 ，
∴ （a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当 a＝b＝1 时等号成立．
点睛】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．【
( )
( )
3 2
3
a b
a b
+ − =+
( )
( )
3 2
3
a b
a b
+ − =+
2( )2
a b+
( )33
4
a b+≤
1
4
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