广东番禺区2020届高三摸底测试理科数学试题（解析版）

2020 届番禺区高三年级摸底测试 理科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1.设全集 U=R， ，则 （ ） A. [1，3) B. (1，3] C. (1，3) D. (－2，1] 【答案】A 【解析】 【分析】 首先确定集合 中的元素，然后由集合运算法则计算． 【详解】由题意 ， ， ∴ ， ． 故选：A. 【点睛】本题考查集合的运算，考查一元二次不等式的解法，掌握集合的运算定义是解题关键．本题还考 查了对数型复合函数的定义域．需要掌握对数函数的性质． 2.设 （i 为虚数单位），其中 x，y 是实数，则 等于（ ） A. 5 B. 13 C. 22 D. 2 【答案】A 【解析】 分析】【 { } ( ){ }2 6 0 , ln 1A x x x B x y x= − − < = = − ( )UA B =  ,A B 2{ | 6 0} { | 2 3}A x x x x x= − − < = − < < { |1 0} { | 1}B x x x x= − > = < { | 1}U B x x= ≥ ( ) { |1 3} [1,3)UA B x x= ≤ < =  (2 )(3 ) 3 ( 5)i xi y i+ − = + + x yi+把已知等式两边都化为复数的代数形式，然后由复数相等的定义求出 ，再根据复数模的定义求得模． 【详解】由 得 ， ∴ ，解得 ， ∴ ． 故选：A. 【点睛】本题考查复数相等的概念，考查求复数的模．掌握复数相等的概念是解题关键． 3.函数 的部分图象大致为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 确定函数的奇偶性，排除两个，再由 时， ，又排除一个，从而得正确选项． 【详解】 ， 是奇函数，排除 A.B， 时， ，排除 C，只有 D 可选． 故选：D. 【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，可用排除法，先确定函数的奇偶性，再确定函数值的变 化趋势，特别是 时，函数值的变化趋势． 4.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ） A. 向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移个 单位长度 D. 向左平移个 单位长度 【答案】C 【解析】 . ,x y (2 )(3 ) 3 ( 5)i xi y i+ − = + + 6 (3 2 ) 3 ( 5)x x i y i+ + − = + + 6 3 3 2 5 x x y + =  − = + 3 4 x y = −  = 2 2 2 2( 3) 4 5x yi x y+ = + = − + = ( ) cos xf x x = 0x → ( 0)x > ( )f x → +∞ cos( ) cos( ) ( )x xf x f xx x −− = = − = −− ( )f x 0x → ( 0)x > ( )f x → +∞ 0x → 2 sin3y x= − sin3 cos3y x x= + 3 4 π 2 π 4 π 2 π【分析】 根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论. 【详解】因为 ， 所以将其图象向左平移 个单位长度， 可得 ， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移 变换的原则，属于简单题目. 5.等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，若 ， ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根 据 题 意 ， 分 析 可 得 等 比 数 列 的 公 比 ， 进 而 由 等 比 数 列 的 通 项 公 式 可 得 ，解可得 ，又由 ，解可得 的值，即可得答 案． 【详解】根据题意，等比数列 中，若 ，则 ， 若 ，则 ，解可得 ，则 ， 又由 ，则有 ，解可得 ； 故选 B． 【点睛】本题考查等比数列的前 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前 项和的性质． 6.射线测厚技术原理公式为 ，其中 分别为射线穿过被测物前后的强度， 是自然对数的底数， 为被测物厚度， 为被测物的密度， 是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅 241（ ）低能 sin3 cos3 2sin 3 4y x x x π = + = +   4 π ( )2sin 3 2sin 3 2sin34 4y x x x π π π  = + + = + = −     { }na n nS q 6 39S S= 5 62S = 1a = 2 5 { }na 1q ≠ ± ( ) ( )6 3 1 11 1 91 1 a q a q q q − − = ×− − 2q = ( )5 1 5 1 1 31 621 a q S aq − = = =− 1a { }na 6 39S S= 1q ≠ ± 6 39S S= ( ) ( )6 3 1 11 1 91 1 a q a q q q − − = ×− − 3 8q = 2q = 5 62S = ( )5 1 5 1 1 31 621 a q S aq − = = =− 1 2a = n n 0 tI I e ρµ−= 0I I， e t ρ µ 241 Am γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为（ ） （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度， ，结果精确到 0.001） A 0.110 B. 0.112 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意知, ，代入公式 ,求出 即可. 【详解】由题意可得, 因为 , 所以 ,即 . 所以这种射线的吸收系数为 . 故选:C 【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相 关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题. 7.平面 α∥平面 β 的一个充分条件是（　　） A. 存在一条直线 a，a∥α，a∥β B. 存在一条直线 a，a⊂α，a∥β C. 存在两条平行直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D. 存在两条异面直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 【答案】D 【解析】 【详解】对于 A，一条直线与两个平面都平行，两个平面相交或平行．故 A 不对； 对于 B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面相交或平行，故 B 不对； 对于 C，两个平面中的两条直线若平行，不能保证两个平面平行，故 C 不对； 对于 D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故 D 正确． 8.设函数 的导函数为 ，且 ，则曲线 在点(4，f(4))处切线的倾斜 角为（ ） A. B. C. D. . ln 2 0.6931≈ 0.114 0.116 0 10.8, 7.6, 2 It I ρ= = = 0 tI I e ρµ−= µ 0 10.8, 7.6, 2 It I ρ= = = 0 tI I e ρµ−= 7.6 0.81 2 e µ− × ×= ln 2 0.6931 0.1147.6 0.8 6.08 µ = = ≈× 0.114 ( )f x ( )'f x ( ) ( )3 ' 2 2lnf x xf x= − ( )f x 6 π 4 π 3 4 π 5 6 π【答案】B 【解析】 【分析】 求出导函数，从而先求出 得函数解析式，得导函数，然后可求得切线斜率． 【详解】由 得 ，∴ ， ， ∴ ， ， ，斜率为 1，倾斜角为 ． 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义 ，解题关键求出导函数，求出 ． 9.已知函数 的图象关于直线 对称，若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用 是函数的最值求得参数 ，然后再确定 的性质． 【详解】由题意 ，解得 ， ∴ ， ． ， ， ∵ ，∴ 中一个取值 1 一个取值 ， ∴ ． 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的性质，考查三角函数的最值、周期、对称性等．正弦函数的性质：过正弦函 数图象的最高点或者最低点与 边垂直的直线是其对称轴．即对称轴对应的函数值是最值． 10.中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、 (2)f ′ ( ) 3 (2) 2lnf x xf x′= − 2( ) 3 (2)f x f x ′ ′= − (2) 3 (2) 1f f′ ′= − 1(2) 2f ′ = 3( ) 2ln2f x x x= − 3 2( ) 2f x x ′ = − 3 2(4) 12 4k f ′= = − = 4 π (2)f ′ ( ) sin 2 3 cos2f x a x x= − 12x π= − ( ) ( )1 2 4f x f x = − 1 2x x− 3 π 2 3 π 4 π 2 π ( )12f π− a 1 2,x x 21 3( ) sin( ) 3 cos( ) 312 6 6 2 2f a a a π π π− = − − − = − − = + 1a = 1 3( ) sin 2 3 cos2 2( sin 2 cos2 ) 2sin(2 )2 2 3f x x x x x x π= − = − = − 2 2T π π= = 1 2 1 2( ) ( ) 4sin(2 )sin(2 ) 43 3f x f x x x π π= − − = − 1 2sin(2 )sin(2 ) 13 3x x π π− − = − 1 sin(2 ) 13x π− ≤ − ≤ 1 2sin(2 ) sin(2 )3 3x x π π− −， 1− 1 2 min 2 2 Tx x π− = = x火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 总共有 10 种结果，其中相生的有 5 种，由古典概型的计算公式计算出概率即可 【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，共 种， 而相生的有 5 种，则抽到的两种物质不相生的概率 故选：D 【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单. 11.已知 是抛物线 的焦点， 是 轴上一点，线段 与抛物线 相交于点 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 设 的坐标 ，点 的坐标 ，根据向量关系解方程即可得解. 【详解】由题意得点 的坐标为 ，设点 的坐标 ，点 的坐标 ， 所以向量： ， ， 由向量线性关系可得： ， ，解得： ， 代入抛物线方程可得： ，则 ， 由两点之间的距离公式可得： . 故选：A. 【点睛】此题考查根据直线与抛物线的交点构造向量关系求解参数，考查基本运算. 1 5 1 4 1 3 1 2 2 5 10C = 5 11 10 2P = − = F 2: 2C y x= N x FN C M 2FM MN=  | |FN = 5 8 1 2 3 8 M ( )0 0,x y N ( ,0)a F 10, 8      M ( )0 0,x y N ( ,0)a 0 0 1, 8FM x y = −    ( )0 0,MN a x y= − − 03x a= 0 0 12 4y y− = − 0 1 12y = 0 6 12x = ± 6 4a = ± 5| | 8FN =12.已知正方体 ，过对角线 作平面 交棱 于点 E，交棱 于点 F，则： ①平面 分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形 一定是平行四边形； ③平面 与平面 不可能垂直； ④四边形 的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正方体的性质对每个命题进行判断．结合排除法可选正确结论． 【详解】截面上方几何体分割成四棱锥四棱锥 ，四棱锥 ，三棱锥 ，截 面下方几何体对称的也是三个棱锥，对应体积相等（特殊位置截面更容易得此结论），①正确，排除 B； 由正方体相对两个面平行，根据面面平行的性质定理知四边形 的两组对边平行，从而是平行四边形， ②正确，排除 A； 当 是 中点， 是 中点，这时可证 平面 （先证 ），从而平面 与平面 垂直，③错误，排除 D， 只有 C 可选了． 事实上，四边形 即有最大值也有最小值． 与 （或 ）重合时面积最大， 是 中点时，面 积最小． 设 ，正方体棱长为 1， ， ， ， ， 在 中， ， 所以 ， 1 1 1 1ABCD A B C D− 1BD α 1AA 1CC α 1BFD E α 1DBB 1BFD E 1 1 1D A EFC− 1 1B A EFC− 1 1 1B A BC− 1BFD E E 1AA F 1CC EF ⊥ 1 1BB D D //EF AC α 1DBB 1BFD E E A 1A E 1AA AE x= 0 1x≤ ≤ 21BE x= + 2 2 1 1 (1 ) 2 2D E x x x= + − = − + 1 3BD = 1BED∆ 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 cos 2 1 2 2 D E BE BD x xBED D E BE x x x + − −∠ = =⋅ + ⋅ − + 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) 2 2 2sin 1 cos 1 ( 1)( 2 2) ( 1)( 2 2) x x x xBED BED x x x x x x − − +∠ = − ∠ = − =+ − + + − +所以 ， 所以 或 1 时， 取得最大值 ．④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查正方体的截面的性质．解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系．如果空间想象 能力丰富，结论易得，由正方体对称性，①正确，从运动角度考虑，当 从 运动到 时，截面面积发生 变化，这是一个有限的连续过程，其中必有最大值和最小值．④正确，②③易于从面线面关系说明． 二．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 的展开式中 项的系数是____________ 【答案】420 【解析】 【分析】 利用多项式乘法法则确定项的系数， 【详解】由题意展开式中 项的系数是 ． 故答案为：420. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，求多项式展开式中某一项系数，可能利用多项式乘法法则，结合组 合的知识求解． 14.已知实数 满足 则 取得最大值的最优解为_________. 【答案】（4，2） 【解析】 【分析】 1 2 1 1sin 2 2 2BED FS BE D E BED x x= ⋅ ∠ = − + 21 32( )2 2x= − + 0x = 1BED FS 2 E A 1A 8 1 2 2 yx + −   2 2x y 2 2x y 2 2 2 2 8 6 12 ( ) 4202C C× × × − = x y， 2 6 0 x y x y x y ≥  ≤  + − ≤ ， ， ， 2z x y= +首先作出不等式组表示的可行域,然后利用 z 的几何意义，作出直线 ,向上平移直线 到最高点, 此时目标函数 取得最大值,求出此时直线 与可行域的交点坐标即可 【详解】作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示： 作出直线 如图所示,向上平移直线 ，当经过点 A 时,目标函数 取得最大值,所以点 A 所对的坐标即为所求的最优解. 联立方程 ,解方程组得 ,即点 A 坐标为 . 故答案为: 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题;利用 z 的几何意义和数形结合的思想是求解本题的关键;属于中 档题. 15.设数列 的前 n 项和为 ，且 ，则数列 的前 10 项的 和是__________ 【答案】 【解析】 【分析】 利用 得出数列 的递推关系，变形后求出 ，然后用裂项相消法求和． 【详解】由题意 ， 时， ， 0 : 2 0l x y+ = 0l 2z x y= + ' 0l 0 : 2 0l x y+ = 0l 2z x y= + 6 0 2 0 x y x y + − =  − = 4 2 x y =  = ( )4,2 ( )4,2 { }na nS ( )( )* 1 1, 2 1n n Sa a n n Nn = = + − ∈ 1 3nS n    +  5 11 1( 2)n n na S S n−= − ≥ { }nS nS 1 1 1S a= = 2n ≥ 1 2( 1)n n n n Sa S S nn−= − = + −，即 ， ∴数列 是等差数列，公差为 2，首项为 1，∴ ， ， ， ∴数列 的前 10 项的和为 ． 故答案 ： ． 【点睛】本题考查由数列 与 的关系求通项公式，考查裂项相消法求数列的和．掌握关系式 是解题关键． 16.已知函数 ， ，若 与 的图象上存在关于直线 对称的点，则实数 的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 求出函数 关于直线 的对称函数 ，令 与 的图象有交点得出 的范围即可． 【详解】 关于直线 对称的直线为 ， ∴直线 与 在 上有交点， 作出 与 函数图象，如图所示： 为 的 1( 1) 2 ( 1)n nn S nS n n−− − = − 1 1 2n nS S n n − − =− { }nS n 1 2( 1) 2 1nS n nn = + − = − 22nS n n= − 2 1 1 1 1 1( )3 2 2 2 1nS n n n n n = = −+ + + 1 3nS n    +  10 1 1 1 1 1 1 5[(1 ) ( ) ( )]2 2 2 3 10 11 11T = − + − + + − = 5 11 na nS 1( 2)n n na S S n−= − ≥ ( ) 212ln x xf x ee  = ≤ ≤   ( ) 1g x mx= + ( )f x ( )g x 1y = m 3 22 ,3e e − −    ( )g x 1y = ( )h x ( )f x ( )h x m ( ) 1g x mx= + 1y = ( ) 1y h x mx= = − 1y mx= − 2lny x= 21[ , ]ee 1y mx= − 2lny x=若直线 经过点 ，则 ，若直线 与 相切， 设切点为 ，则 ，解得 ． ∴ ，故答案为 . 【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何 意义，属于中档题． 三．解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分別为 a，b，c，若 ． （1）求 a； （2）已知点 M 在边 BC 上，且 AM 平分∠BAC，求△ABM 的面积． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】 （1）由平方关系求出 ，由二倍角公式求得 ，由正弦定理求得 ； （2）用诱导公式求出 ，由正弦定理求出 ，用三角形内角平分线定理求出 ，由三角形面积公式 计算即得． 1y mx= − 1 2e −（ ， ） 3m e= 1y mx= − 2lny x= ( ),x y 1 2 2 y mx y lnx mx   = −  =   = −  3 2 3 2 3 2 x e y m e −  = =   = − 3 22 3e m e −− ≤ ≤ 3 22 ,3e e − −    3cos , 2 , 34A B A b= = = 75 7 176 sin A sin B a sinC c BM【详解】（1）∵ ， ∴ ， ， 由 得 ； （2） ，∴ ，∴ ， 由（1） ， ． 由正弦定理得 ． 又 平分 ，∴ ，又 ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形面积公式，考查三角函数的恒等变换．掌握正弦定理是解题关 键． 18.如图，已知三棱柱 中，平面 平面 ， ， . 3cos , 2 , 34A B A b= = = 7sin 4A = 7 3 3 7sin sin 2 2sin cos 2 4 4 8B A A A= = = × × = sin sin a b A B = 73sin 4 2sin 3 7 8 b Aa B × = = = 3 2cos 4 2A = > 45A < ° 2 90B A= < ° 23 7 1cos 1 ( )8 8B = − = 7 1 3 3 7 5 7sin sin( ) sin cos cos sin 4 8 4 8 16C A B A B A B= + = + = × + × = 5 73sin 516 sin 23 7 8 b Cc B × = = = AM BAC∠ 3 6 5 5 2 CM CA BM BA = = = 2CM BM BC+ = = 12 10,11 11CM BM= = 1 1 5 10 3 7 75 7sin2 2 2 11 8 176ABMS BA BM B∆ = ⋅ = × × × = 1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C ⊥ ABC 1AA AC= AC BC⊥（1）证明： ； （2）设 ， ，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】 （1）连结 .由菱形得对角线垂直，再由已知及面面垂直的性质定理得线面垂直 平面 ， 平面 ，从而 ，于是证得线面垂直后再得线线垂直； （2）取 的中点为 ，连结 ，证得 与 都垂直后，以 为原点， 为正方 向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，则法向量夹角得二面角，注意要判断二面角 是锐角还是钝角． 【详解】（1）连结 . ∵ ，四边形 为菱形，∴ . ∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ， ∴ 平面 . 又∵ ，∴ 平面 ，∴ . ∵ ， ∴ 平面 ，而 平面 ， ∴ 1AC ⊥ 1AB 2AC CB= 1 60A AC∠ =  1 1C AB B− − 3 4 − 1AC BC ⊥ 1 1AAC C 1 1B C ⊥ 1 1AAC C 1 1 1B C AC⊥ 1 1AC M CM CM ,CA CB C CA CB CM， ， 1AC 1AA AC= 1 1AAC C 1 1AC AC⊥ 1 1AAC C ⊥ ABC 1 1AAC C  ABC AC= BC ⊂ ABC BC ⊥ AC BC ⊥ 1 1AAC C 1 1//BC B C 1 1B C ⊥ 1 1AAC C 1 1 1B C AC⊥ 1 1 1 1AC B C C∩ = 1AC ⊥ 1 1AB C 1AB ⊂ 1 1AB C 1AC ⊥ 1AB（2）取 的中点为 ，连结 . ∵ ，四边形 为菱形， ，∴ ， . 又由（1）知 ，以 为原点， 为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设 ， ， ， ， ∴ （0，0，0）， （1，0， ）， （2，0，0）， （0，1，0）， （-1，1， ）. 由（1）知，平面 的一个法向量为 . 设平面 的法向量为 ，则 ，∴ . ∵ ， ，∴ . 令 ，得 ，即 . ∴ ， ∴二面角 的余弦值为 【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角．立体几何中证明垂 直时，线线垂直，线面垂直，面面垂直常常是相互转化，判定定理与性质定理要灵活应用．在有垂直的情 况下常常建立空间直角坐标系，用向量法求空间角． 19.已知长度为 4 的线段的两个端点 分别在 轴和 轴上运动，动点 满足 ，记动点 的轨 迹为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）设不经过点 的直线 与曲线 相交于两点 .若直线 与 的斜率之和为 1, 求实数 的值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】 （1）设 P,A,B 的坐标，由 坐标化可得变量间的关系，再由 ,求出曲线 的方程 ． 1 1AC M CM 1AA AC= 1 1AAC C 1 60A AC∠ =  1 1CM AC⊥ CM AC⊥ CM BC⊥ C CA CB CM， ， 1CB = 2 2AC CB= = 1AA AC= 1 60A AC∠ =  C 1A 3 A B 1B 3 1 1C AB ( )1 1 0 3CA = ， ， 1ABB ( )n x y z= ， ， 1n AB n AB⊥ ⊥   ， 1 0 0 n AB n AB  ⋅ = ⋅ =   ( )2 1 0AB = − ，， ( )1 3 1 3AB = − ，， 2 0 3 3 0 x y x y z − + =− + + = 1x = 12 3 y z= =， 11 2 3 n  =     ， ， 1 1 1 2 3cos 4162 3 CA nCA n CA n ⋅< >= = = ⋅ ×     ， 1 1C AB B− − 3 4 − ,A B x y P 3BP PA=  P C C ( )0,1H 2y x t= + C ,M N HM HN t 2 2 19 x y+ = 2BP PA=  3 2AB = C（2）设直线 的方程及 和 坐标，由直线与圆锥曲线联立，利用韦达定理、 根的判别式、直线的斜率， 结合已知条件能求出定点 的坐标以及此常数 ． 【详解】解：（1）设 . ， ，即 . . 又 ， .从而 . 曲线 的方程为 . （2）设 . 联立 ，消去 ，得 . 由 ，可得 . 又直线 不经过点 ，且直线 与 的斜率存在， . ，且 . ， . ， . 解得 . 的值为 3. 【点睛】本题考查曲线方程的求法， 考查满足条件的 轴上的定点是否存在的判断与求法， 考查椭圆、 直线方程、 根的判别式、 韦达定理等基础知识， 考查函数与方程思想， 考查运算求解能力， 是中档 题 ． l M N T ( ) ( ) ( ), , ,0 , 0,P x y A m B n 3BP PA=    ( ) ( ) ( ), , 3 3 , 3x y n m x y m x y∴ − = − − = − − 3 3 3 x m x y n y = −  − = − 4 3 4 m x n y  =∴  = 4AB = 2 2 16m n∴ + = 2 216 16 169 x y+ = ∴ C 2 2 19 x y+ = ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 2 2 2 19 y x t x y = + + = y ( )2 237 36 9 1 0x tx t+ + − = ( ) ( )2 236 4 37 9 1 0t t∆ = − × × − > 37 37t− < < 2y x t= + ( )0,1H HM HN 1t∴ ≠ ± 37 37t∴− < < 1t ≠ ± 1 2 36 37 tx x∴ + = − 2 1 2 9 9 37 tx x −= ( )( )1 2 1 21 2 1 2 1 2 4 11 1 HM HN x x t x xy yk k x x x x + − +− −+ = + = ( )( )1 2 1 2 1 2 4 1 44 11 x x t x x t x x t + − +∴ = − =+ 3t = t∴ x20.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维 修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修费 2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费 1000 元. 某医院准备一次性购买 2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率，记 X 表示这 2 台机器超过质保期后延保 的两年内共需维修的次数． （1）求 X 的分布列； （2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）选择延保方案二较合算 【解析】 【分析】 （Ⅰ） 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；（Ⅱ）求出 两种方案下所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，比较二者的大小即可选出最合算的方案． 【详解】解：（Ⅰ） 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6， ， ， ， ， ， ， ， ∴ 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 （Ⅱ）选择延保一，所需费用 元的分布列为： X X ( ) 1 1 10 10 10 100P X = = × = ( ) 1 1 11 210 5 25P X = = × × = ( ) 1 1 2 1 32 25 5 5 10 25P X = = × + × × = ( ) 1 3 1 2 113 2 210 10 5 5 50P X = = × × + × × = ( ) 2 2 3 1 74 25 5 10 5 25P X = = × + × × = ( ) 2 3 65 25 10 25P X = = × × = ( ) 3 3 96 10 10 100P X = = × = X X P 1 100 1 25 3 25 11 50 7 25 6 25 9 100 1Y 7000 9000 11000 13000 15000 （元）. 选择延保二，所需费用 元的分布列为： 10000 11000 12000 （元）. ∵ ，∴该医院选择延保方案二较合算. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了概率的计算，考查了期望的求法，属于中档题． 21.已知函数 （1）若 在[1，+∞)上恒成立，求 a 的取值范围． （2）证明： 【答案】（1） ；（2）见解析． 【解析】 【分析】 （1）构造函数 ，要求 在 上的最小值 即得； （2）由（1） 时有 ，且当 时， ， 令 ， ，得 个不等式，相加后即证． 1Y P 17 100 11 50 7 25 6 25 9 100 1 17 11 7 6 97000 9000 11000 13000 15000100 50 25 25 100EY = × + × + × + × + × 10720= 2Y 2Y P 67 100 6 25 9 100 2 67 6 910000 11000 12000 10420100 25 100EY = × + × + × = 1 2EY EY> ( ) ( )0af x ax ax = − > ( ) lnf x x≥ ( ) ( ) ( )* 1 1 ln 1 1,2 1 n k nn n n Nk n= > + + ≥ ∈+∑ 1[ , )2 +∞ ( ) ( ) lng x f x x= − ( )g x [1, )+∞ 0≥ 1 2a = 1 1( ) ( ) ln ( 1)2f x x x xx = − ≥ ≥ 1x > 1 1( ) ln2 x xx − > 1kx k += 1,2,3, ,k n=  n【详解】（1）设 ， ， ，即 时， 恒成立， 在 上是增函数， ∴ ，∴ 满足题意， 时， 有两个不等实根 ， ， ， 不妨设 ，则 ， 当 时， ， 递减， 时， ， 递增， ∴在 时， ， ，又 ， ， ∴ ， 令 ， ， ∴ 在 上递减， ∴ ， 在 上不恒成立， 综上， ．即 的取值范围是 ． （2）由（1） 时， ，且当 时， ， 令 ，则有 ， ∴ ， ， 这 个不等式相加得 ， 整理得 ．证毕． 【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题，用导数证明不等式，不等式恒成立问题常常转化为研究 ( ) ( ) ln lnag x f x x ax xx = − = − − 2 2 2 1( ) a ax x ag x a x x x − +′ = + − = 21 4 0a∆ = − ≤ 1 2a ≥ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x [1, )+∞ ( ) (1) 0g x g≥ = 1 2a ≥ 10 2a< < 2 0ax x a− + = 1 2,x x 1 2 1x x a + = 1 2 1=x x 1 2x x< 1 20 1x x< < < 21 x x< < ( ) 0g x′ < ( )g x 2x x> ( ) 0g x′ > ( )g x 1x ≥ min 2( ) ( )g x g x= 2 2 2 2 ( ) lnag x ax xx = − − 2 2 2 0ax x a− + = 2 2 2 1 xa x = + 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ( 1) 1 2( ) ln ln 1 ln1 1 a x xg x x x xx x x − −= − = − = − −+ + 2 2( ) 1 ln ( 1)1h x x xx = − − ≥+ 2 2 2 2 2 2 4 1 ( 1)( ) 0( 1) ( 1) x xh x x x x x − −′ = − = ≤+ + ( )h x [1, )+∞ 2( ) (1) 0g x g< = ( ) 0g x ≥ [1, )+∞ 1 2a ≥ a 1[ , )2 +∞ 1 2a = 1 1( ) ( ) ln ( 1)2f x x x xx = − ≥ ≥ 1x > 1 1( ) ln2 x xx − > 1kx k += 1 1 1 1 1 1ln ( ) [(1 ) (1 )]2 1 2 1 k k k k k k k k + +< − = + − −+ + 1 1 1ln( 1) ln ( )2 1k k k k + − < + + 1,2,3, ,k n=  n 1 1 1 1 1ln( 1) ( )2 2 3 2( 1)k n n + < + + + + + + 1 1 1 11 ln( 1)2 2( 1) n k nnk n n= = + + + > + + +∑ 函数的最值，为了研究导函数的正负，可能对导函数（或其中一部分构成的新函数）再求导，确定正负， 确定单调性． 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是 （k 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）曲线 C 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线 C 上的点到直线 的距离的取值范围. 【答案】（Ⅰ） . .（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （ Ⅰ ） 联 想 二 倍 角 公 式 化 弦 为 切 的 结 构 特 征 ， 即 ， 结 合 ，所以将参数方程化为 ，即可化为普通方程； 展开， ， 代入，即可化为直角坐标方程； （Ⅱ）将椭圆方程化为参数方程，利用辅助角公式，结合余弦函数的有界性，即可得出结论. 【详解】解：（Ⅰ） ，平方后得 ， 又 ， 的普通方程为 . ，即 ， 将 ， 代入即可得到 . （Ⅱ）将曲线 C 化成参数方程形式为 （ 为参数）， ( ) 2 2 2 8 1 3 1 1 kx k k y k  = + − = + l cos 2 24 πρ θ + =   l l ( )2 2 1 316 9 x y y+ = ≠ − : 6l x y− = 2 11 2 2 2d≤ ≤ 2 2 2 2tan 1 tansin 2 ,cos21 tan 1 tana α αα α α −= =+ + 2 2sin 2 cos 1α α+ = 2 2 2 2 4 1 1 3 1 x k k y k k  = + − = + cos 2 24 πρ θ + =   cosx θ= cosy ρ θ= 2 2 2 2 4 1: 1 3 1 x k kC y k k  = + − = + 2 2 112 9 x y+ = ( ]2 63 3,31y k = − + ∈ −+ C ( )2 2 1 316 9 x y y+ = ≠ − cos 3 24 πρ θ + =   cos sin 6ρ θ ρ θ− = cosx θ= cosy ρ θ= : 6l x y− = 4cos 3sin x y α α =  = α则 ，其中 所以 . 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，注意消参方法，考查极坐标方程化直角坐标方程，应用参数 方程求点到直线距离的范围，属于中档题. 23.设函数 ， ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）对任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）由绝对值不等式的解法，当 ，分 三种情况讨论，求解不等式即可得解； （2）由绝对值不等式的三角不等式性质可得 ， 再转化为 恒成立，再分 和 讨论即可得解. 【详解】解：（1）当 时， ， 则 等价于 或 或 ， 解得 或 ， 所以 的解集为 ． （2）由绝对值不等式的性质有： ，由 恒 ( )5cos 64cos 3sin 6 2 2 d α ϕα α + −− −= = 3tan 4 ϕ = 2 11 2 2 2d≤ ≤ ( ) 2 1 2f x x x a= − + − x∈R 4a = ( ) 9f x > x∈R ( ) 5f x a≥ − a 71 2x x x < − >  或 [3, )+∞ 4a = 1 1, 2, 22 2x x x≤ < < ≥ 2 1 2 2 1 (2 ) 1x x a x x a a− + − ≥ − − − = − 1 5a a− ≥ − 1 0a − ≥ 1 0a − < 4a = 14 5, 2 1( ) 3, 22 4 5, 2 x x f x x x x − + ≤ = < 1 2 4 5 9 x x  ≤ − + > 1 22 3 9 x <  2 4 5 9 x x ≥  − > 1x < − 7 2x > ( ) 9f x > 71 2x x x < − >  或 ( ) 2 1 2 2 1 (2 ) 1f x x x a x x a a= − + − ≥ − − − = − ( ) 5f x a≥ −成立，有 恒成立， 当 时不等式显然恒成立， 当 时，由 得 ， 综上， 的取值范围是 ． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，主要考查了不等式恒成立问题，重点考 查了分类讨论的数学思想方法，属中档题. 1 5a a− ≥ − 5a ≥ 5a < 2 21 (5 )a a− ≥ − 3 5a≤ < a [3, )+∞