2020届高三第一次模拟数学（理）试卷（原卷版）

2020.03 师大附外高三第一次模拟考试数学（理）试卷 一.选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.设集合 ，则集合 （ ） A. B. C. D. 2.设复数 的共轭复数为 ，且 ，则复数 在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.从 年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语 门统一高考成绩和考生选考的 3 门普通高中学 业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为 、 、 、 、 ，各等级人 数所占比例依次为： 等级 ， 等级 ， 等级 ， 等级 ， 等级 ．现采用分层 抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取 人作为样本，则该样本中获得 或 等级的学生人 数为（ ） A. 55 B. 80 C. 90 D. 110 4.已知 终边与单位圆的交点 ，且 ，则 的值等于（ ） A. B. C. 3 D. 5.在 的展开式中，前 3 项的系数和为（ ） A. 16 B. 32 C. 80 D. 160 6.设 ΔABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ，则∠B=（ ） A. B. C. D. 7.已知函数 的导数为 ，且 ，则函数 图象的大 致形状是（ ） A. B. C. D. ( ){ } ( ){ }2, 1 , , 1M x y x y Q x y y x= + = = = − M Q∩ = { }0,1 ( ){ }0,1 ( ){ }1,0 ( ) ( ){ }0,1 , 1,0 ( )2z a i a R= + ∈ z 2z z+ = 2 z ai− 2020 3 A B C D E A 15% B 40% C 30% D 14% E 1% 200 A B α 3, 5P x     sinα ⋅ tan 0α < 1 sin2 2 2cos2α α− + + 1 5 1 5 − 3− ( )52 x− 2 cos cos cosc B b A a B+ = − 6 π 3 π 5 6 π 2 3 π ( ) ( )2ln 1f x x ax= + − ( )f x′ ( )1 0f ′ = ( ) ( )cosxg x f e x′=8.棱长为 2 的正方体 中， 为棱 中点，过点 ，且与平面 平行的正方体的截 面面积为（ ） A. 5 B. C. D. 6 9.执行下面的程序框图，若输入 的值分别为 1,2,输出的 值为 4,则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10.双曲线 C： 的左右焦点分别为 ，点 P 在双曲线 C 上，满足 ， 倾斜角为锐角的渐近线与线段 交于点 Q，且 ，则 的值等于（ ） A. B. C. 7 D. 8 11.已知函数 是偶函数，且函数 在区间 上是增函数，则下列大小关系中正确 的是（ ） A B. C D. 12.函数 的最大值为 ，且对任意实数 ，都有 ，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二.填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . . 1 1 1 1ABCD A B C D− E AD 1B 1A BE 2 5 2 6 ,S a n m 3 7m< ≤ 7 15m< ≤ 15 31m< ≤ 31 63m< ≤ 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2, F F 1 2F F ⋅ 2 0PF = 1PF 1 3F P QP=  1 2 PF PF 4 3 3 3 ( )1y f x= + ( )y f x= [ )1, ∞+ ( )2 1 1 log 32 3f f f   < >       ( )2 1 1 log 33 2f f f   < >       ( ) 2 1sin 6f x x ax bxπ= − + + 3 2 x ( ) ( )1f x f x− = 4 3a = − 4 3b = − 4 3a = 4 3b = 2 3a = − 2 3b = 2a = 2b =13.已知 为两个单位向量，且向量 与 垂直，则 =_________ 14.实数 满足不等式组 ，则 的最大值是_______ 15.点 P(4，4)为曲线 C： 上一点，过 P 作直线 PQ 交曲线 C 于点 Q(异于 P 点)，P 与曲线 C 的焦 点 F 的连线与 Q 点处的切线 l 垂直，直线 l 与曲线 C 的准线交于点 M，则 ____________ 16.在平面四边形 ABCD 中，ΔBCD 是边长为 2 的等边三角形，ΔBAD 为等腰三角形，且∠BAD= ，以 BD 为折痕，将四边形折成一个 的二面角 ，并且这个二面角的顶点 A，B，C，D 在同一个球 面上，则这个球的球面面积为________________ 三.解答题（本题满分 80 分，共 7 大题，其中 22-23 为选答题，解答题要有必要的计算步骤和 推理过程） 17.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm),得到如图 5 的茎叶图,整数位为茎,小 数位为叶,如 27.1mm 的茎为 27,叶为 1． (1)试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小;(只需写出估计的结论,不需说明理由) (2)将棉花按纤维长度的长短分成七个等级,分级标准如表: 试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率; ,a b a b−  b 2 3a b+  ,x y 2 1 3 x y y x y + ≥  ≥ +  ≤ 2 2x y+ 2 2x py= FM ⋅ PQ = 90° 120° A BD C− −(3)为进一步检验甲种棉花的其它质量指标,现从甲种棉花中随机抽取 4 根,记 为抽取的棉花纤维长度为 二级的根数,求 的分布列和数学期望. 18.已知数列{ }中， ，点 在直线 上， （1）证明数列 为等比数列，并求其公比； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求实数 的最小值. 19.三棱柱 的主视图和俯视图如图所示（图中一格为单位正方形），D、D1 分别为棱 AC 和 A1C1 的中点. （1）求侧（左）视图的面积，并证明平面 A1ACC1⊥平面 B1BDD1 （2）求二面角 的余弦值. 20.设函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 21.如图，已知椭圆 C： （ ）的上顶点为 ，离心率为 . ξ ξ na 1 21, 3a a= = ( )1,n na a + 2 1 0x y− + = { }1n na a+ − ( )2log 1n nb a= + { }nb n nS ( )1m mS aλ≤ + λ 1 1 1ABC A B C− 1 1A BD B− − ( ) 2 2cosf x x x= + ( )f x 0x ≥ ( ) 1f x kx≥ + k 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > (0,1)A 2 2 （1）求椭圆 C 方程； （2）若过点 A 作圆 （圆 在椭圆 C 内）的两条切线分别与椭圆 C 相交于 B，D 两 点(B，D 不同于点 A)，当 r 变化时，试问直线 BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理 由. 22.曲线 C 的参数方程为 （ 为参数， ），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，直线 与直线 交于点 P，动点 Q 在射线 OP 上，且满足|OQ||OP|=8. （1）求曲线 C 普通方程及动点 Q 的轨迹 E 的极坐标方程； （2）曲线 E 与曲线 C 的一条渐近线交于 P1，P2 两点，且|P1P2|=2，求 m 的值. 23.设 . （1）当 时，解不等式 ； （2）若对任意实数 ，使不等式 恒成立的最小正数 a，有 ，证明： . 的 的 , 2 2 2:( 1)M x y r+ + = M 1 mx mt t y t t  = +  = − t 0m > θ α= sin 2ρ θ = ( ) 2f x x a= − a R∈ 1a = ( )1 3f x< < x ( ) 1 3f x x+ + ≥ 2 3m n r a+ + ≥ ( ) ( )2 22 91 1 14m n r+ + + − ≥