河南省 2020 届高三年级线上第二次模拟考试
数学（文科）试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合的交、并、补运算得解.
【详解】由题意得 ，所以
所以
故选 D.
【点睛】本题考查集合的交、并、补运算，属于基础题.
2. 为虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对等式 进行复数四则运算得 ，其共轭复数 ．
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，故选 B.
【点睛】本题考查复数四则运算、共轭复数概念，考查基本运算能力，注意题目求的是复数 的共轭复数，
而不是求复数 ．
3.中国铁路总公司相关负责人表示，到 2018 年底，全国铁路营业里程达到 13.1 万公里，其中高铁营业里程
2.9 万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是 2014 年到 2018 年铁路和高铁运营里程（单位：万公
里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）
{0,1,2,3,4,5}U = {1,2}A = { }2| 3 0x xB x= ∈ −N ( )U BA =
{0,1,2,3} {0,4,5} {1,2,4} {4,5}
{ }0,1,2,3B = { }0,1,2,3A B∪ =
( ) { }4,5U A B∪ =
i 5
1 2z ii
+ =− z =
1 i− 1 i− + 1 i− − 1 i+
5
1 2z ii
+ =− 1 iz = − − 1z i= − +
5
1 2z ii
+ =−
5 5( )
5
1 2 11 2
iz i i ii
+= − = − = − −−
1z i= − +
z
zA. 每相邻两年相比较，2014 年到 2015 年铁路运营里程增加最显著
B. 从 2014 年到 2018 年这 5 年，高铁运营里程与年价正相关
C. 2018 年高铁运营里程比 2014 年高铁运营里程增长 80%以上
D. 从 2014 年到 2018 年这 5 年，高铁运营里程数依次成等差数列
【答案】D
【解析】
【分析】
由折线图逐项分析即可求解
【详解】选项 ， 显然正确；
对于 ， ，选项 正确；
1.6,1.9,2.2,2.5,2.9 不是等差数列，故 错.
故选 D
【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题
4.已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
对 两边平方，转化成关于 的二次方程，根据 ，得到 ．
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，解得： 或 ，由 ，所以 ，故选 A.
A B
C 2.9 1.6 0.81.6
− > C
D
a b 60 2a = 2 13a b− = b a≥ b =
3 3 2 4
2 13a b− = | |b b a≥ | | 3b =
2 13a b− =
2 2 2 24 4 13 4 | | 4 | || | cos60 | | 13a a b b a a b b− ⋅ + = ⇒ − + =
2| | 4 | | 3 0b b− + = | | 3b = 1b| |= b a≥ | | 3b =【点睛】本题考查向量数量积的运算，考查方程思想，注意等式 的灵活运用．
5.要得到函数 的图象，只需把函数 的图象（ ）
A. 向左平移 个单位 B. 向左平移 个单位
C. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换思想化简三角函数的解析式，利用图象平移规律可得出结论.
【详解】 ，
函数 ，
把函数 的图象向左平移 个单位，可得到函数 的图象.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的图象变换，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查推
理能力，属于基础题.
6.若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. -2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组对应平面区域，利用 z 的几何意义即可得到结论．
【详解】画出不等式组表示的可行域，
22| |a a=
sin 2 3cos2y x x= − 3 cos2 sin 2y x x= −
2
π 2
3
π
5
6
π
3
π
1 3sin 2 3 cos2 2 sin 2 cos2 2sin 22 2 3y x x x x x
π −
= − = = −
2sin 2 2si in 23 23 cos2 sin 2 2 32s n 3y xx xx x
π π πππ= − =
= − − = − − − −
3 cos2 sin 2y x x= −
2
π
sin 2 3cos2y x x= −
x y
1 0
3 0
2 0
x y
x y
x
+ − ≤
− + ≤
+ ≥
y
x
1
3
− 1
2
− 3
2
−表示通过可行域内的点 与坐标原点的直线的斜率，
又 解得 C ，
由图可知：
点 C 与坐标原点 的连线斜率最大，即 .
故选 B
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．
7.数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算出 ，再由 可得出 的值.
【 详 解 】 对 任 意 的 ，
，
，因此， .
y
x
( ),x y
3 0
2 0
x y
x
− + =
+ =
( )2,1−
( )2,1− ( )0,0
max
1 1
2 2
y
x
= = − −
{ }na cos 2n
na n
π= n nS 2020S =
1010 2020 5050 0
4 3 4 2 4 1 4 2k k k ka a a a− − −+ + + = 2020 4 505= × 2020S
k ∗∈N 4 3 4 2 4 1 4k k k ka a a a− − −+ + +
( ) ( ) ( ) ( )34 3 cos 2 4 2 cos 2 4 1 cos 2 4 cos22 2k k k k k k k k
π ππ π π π π = − − + − − + − − +
( )4 2 4 2k k= − − + =
2020 4 505= × 2020 2 505 1010S = × =故选：A.
【点睛】本题考查数列求和，计算出 是解答的关键，考查计算能力，属于中
等题.
8.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点
取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
令圆的半径为 1，则 ，故选 C．
9.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则满足 的正整数 的值为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】C
【解析】
∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴
， ，∴满足 的正整数 的值为
12，故选 C.
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
4 3 4 2 4 1 4 2k k k ka a a a− − −+ + + =
1
2
1
3
4 1π − 42 π−
( )2 2' 4 1SP S
π π
π π
− −= = = −
{ }na n nS 6 7 5S S S> > 1 0n nS S + < n
6 7 5S S S> > 1 1 1
6 5 7 6 5 46 7 52 2 2a d a d a d
× × ×+ > + > + 7 0a < 6 7 0a a+ >
( )1 13
13 7
13 13 02
a aS a
+= = < ( ) ( )1 12
12 6 7
12 6 02
a aS a a
+= = + > 1 0n nS S + < nA. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图判断出几何体的直观图，结合三视图的数据可计算出该几何体的体积.
【详解】由三视图还原原几何体如图，
该几何体可看作两个几何体的组合体，
左侧是四分之一圆锥，右侧是四棱锥，圆锥的底面半径为 ，高为 ，
棱锥的底面是边长为 的正方形，一条侧棱垂直于底面，且长度为 ．
所以，该几何体的体积为 .
故选：A.
【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
11.设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲线 上的点，且 与 轴
垂直， 的内切圆的方程为 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
4
12
π + 1
3
π +
1π + 1
4
π +
1 1
1 1
21 1 41 1 13 3 4 12V S h
π π + = ⋅ = ⋅ + ⋅ =
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1F 2F P C 1PF x
1 2PF F∆ 2 2( 1) ( 1) 1x y+ + − = CA. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设内切圆的圆心为 ，利用平几相关知识得 ，再由倍角公式得 ，从而得
到 ，利用双曲线的定义和 ，求得 ，代入渐近线方程得： ．
【详解】设内切圆 的圆心为 ，如图所示：
点 则 为 的角平分线，所以 ，
所以 ，
所以 ，在 中， ，
所以 ，
所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，故选 B.
【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，求解过程中灵活运用平面几何知识，能使运算量大大减少，使问
题的求解更简洁．
12.设奇函数 的定义域为 ，且 的图象是连续不间断， ，有
，若 ，则 的取值范围是（ ）
3
3y x= ± 3y x= ± 1
2y x= ± 2y x= ±
M 2 1
1tan 3MF F∠ = 2 1
3tan 4PF F∠ =
1| | 3PF = 2 2 2c a b= + 3, 1b a= = 3y x= ±
2 2( 1) ( 1) 1x y+ + − = M
1 2( 2,0), (2,0),F F− 2MF 2 1PF F∠ 2 1
1tan 3MF F∠ =
2 1
2 1 2 1 2
2
2tan 3tan tan 2 1 tan 4
MF FPF F MF F MF F
∠∠ = ∠ = =− ∠
1
1
1 2
| | 3 | | 3| | 4
PF PFF F
= ⇒ =
1 2Rt PF F∆ 2| | 5PF =
2 12 | | | | 2 1a PF PF a= − = ⇒ =
2, 3c b= = 3by x xa
= ± = ±
( )f x ,2 2
π π −
( )f x ,02x
π ∀ ∈ −
( ) ( )cos sin 0f x x f x x′ + < ( ) 2 cos3f m f m
π < mA. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数 ，可知该函数为奇函数，利用导数可判断出函数 在区间 上为减
函数，进而得出该函数在定义域 上为减函数，将所求不等式变形为 ，利用函数
的单调性可解出所求不等式.
【详解】令 ，定义域为 ，
因为函数 为奇函数， ，
则函数 是定义在 上 奇函数，
，
因为 ，有 ，
当 时， ，则 在 上单调递减.
则函数 是 上的奇函数并且单调递减，
又 等价于 ，即 ， ，
又 ，因此， .
故选：D.
【点睛】本题主要考查利用构造函数求解函数不等式，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，
的
,2 3
π π − 0, 3
π
,2 3
π π − − ,3 2
π π
( ) ( )
cos
f xg x x
= ( )y g x= ,02
π −
,2 2
π π −
( )
3g m g
π <
( )y g x=
( ) ( )
cos
f xg x x
= ,2 2
π π −
( )y f x= ( ) ( )
( )
( ) ( )
cos cos
f x f xg x g xx x
−∴ − = = − = −−
( ) ( )
cos
f xg x x
= ,2 2
π π −
( ) ( ) ( )
2
cos sin
cos
f x x f x xg x x
+′′ =
,02x
π ∀ ∈ −
( ) ( )cos sin 0f x x f x x′ + <
∴ ,02x
π ∈ −
( ) 0g x′ < ( ) ( )
cos
f xg x x
= ,02
π −
( ) ( )
cos
f xg x x
= ,2 2
π π −
( ) 2 cos3f m f m
π <
( ) 3
cos cos 3
ff m
m
π
π
<
( )
3g m g
π < 3m
π∴ >
2 2m
π π− < <
3 2m
π π< [ ]( ) 1y f f x= +
[ ]( ) 1 0y f f x= + = [ ]( ) 1f f x = − ( ) 2f x = − 1( ) 2f x =
( ) 2f x = − 3x = − 1
4x = 1( ) 2f x = 1
2x = − 2x =
l lna xy x
+= (1, )a l 1
2
a
0 3
4
(1, )a 0x = y 0y = x
a 0 3
4
2
' 1 lna xy x
− −= ' (1) 1y a= −
(1 )( 1)y a a x− = − −
0x = 2 1y a= − 0y = 1 2
1
ax a
−= −
21 1 | 2 1| 1| | | |2 2 |1 | 2
aS x y a
−= ⋅ ⋅ = ⋅ =− a = 0 3
4 0 3
417.在 中，三边 ， ， 的对角分别为 ， ， ，已知 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 边上的中线长为 ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理把等式 中的边化成角，利用三角恒等变换得到 ，再
利用正弦定理 ，求得 ；
（2）设 边上的中线为 ，利用向量加法法则得 ，对式子两边平方转化成代数运算，
求得 ，再利用三角形的面积公式 求面积的值．
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理，得 ，
所以 .
所以 .又因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以 .
（2）设 边上的中线为 ，则 ，
所以 ，
即 ， .
ABC∆ a b c A B C 3a = cos cos cos 3
sin cos
B A C a
B C b
+ =
2 3c = sin A
AB 37
2
ABC∆
3
4 3 3
cos cos cos 3
sin cos
B A C a
B C b
+ =
3C
π=
sin sin
a c
A C
= 3sin 4A =
AB CD 2CD CA CB= +
4b = 1 sin2ABCS ab C∆ =
cos cos cos 3
sin cos
B A C a
B C b
+ =
cos cos cos 3sin
sin cos sin
B A C A
B C B
+ =
cos( ) cos cos 3sin
sin cos sin
A C A C A
B C B
− + + =
sin sin 3sin cosA C A C= sin 0A ≠ tan 3C =
(0, )C π∈
3C
π=
sin sin
a c
A C
=
3 2 3
sin 3
2
A
= 3sin 4A =
AB CD 2CD CA CB= +
2 2 2 24 ( ) 2 cosCD CA CB b a ab C= + = + +
237 9 3b b= + + 2 3 28 0b b+ − =解得 或 （舍去）.
所以 .
【点睛】本题考查正弦定理、面积公式在解三角形中的运用，解题过程中向量关系 的两边
平方后，本质是余弦定理．
18.如图，在矩形 中， ， ，点 是边 上的一点，且 ，点 是 的
中点，将 沿着 折起，使点 运动到点 处，且有 .
（1）证明： .
（2）求四棱锥 的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（ 1 ） 取 的 中 点 ， 连 接 ， ， 推 导 出 ， ， 由 此 能 证 明
，可得 ，结合 证得 .
（2））由（1）结合垂直关系可计算四棱锥的高及底面的面积，能求出 的体积．
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， ，
由已知得 ，∴ ，又点 是 的中点，∴ .
因为 ，点 是线段 的中点，∴ .
又因为 ，∴ ，从而 平面 ，
∴ ，又 ， 不平行，∴ 平面 .
4b = 7b = −
1 1 3sin 4 3 3 32 2 2ABCS ab C∆ = = × × × =
2CD CA CB= +
ABCD 2AB = 3BC = E AD 2AE ED= H BE
ABE∆ BE A S SC SD=
SH BCDE⊥ 平面
S BCDE−
4 2
3
CD M HM SM SM CD⊥ HM CD⊥
CD SHM⊥ 平面 CD SH⊥ SH BE⊥ SH BCDE⊥ 平面
S BCDE−
CD M HM SM
2AE AB= = 2SE SB= = H BE SH BE⊥
SC SD= M CD SM CD⊥
/ /HM BC HM CD⊥ CD ⊥ SHM
CD SH⊥ CD BE SH ⊥ BCDE（2）由（1）知 ， ，
底面 面积为 ，
∴四棱锥 的体积 .
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查了空间思维能力，是中档题．
19.某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动
车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务.现从全市已挂牌照的 电动车中随机抽取 100
辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，
并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图.
（1）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取 9 辆，再从这 9 辆中随机抽取 2 辆，求至少
有一辆为电动汽车的概率；
（2）为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电
动自行车每辆补助 300 元；②电动汽车每辆补助 500 元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助 400 元.
试求抽取的 100 辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据频数图，利用分层抽样得电动自行车应抽取 4 辆，电动汽车应抽取 5 辆，再利用古典概型和对立
事件求得：至少有一辆为电动汽车的概率为 ；
（2）由频数图，计算样本中 100 辆电动车共补助 元，算出每辆电动车平均需补助的钱乘以 可
得估计出市政府执行此方案的预算．
的
2 sin45 2SH AH= = × ° = 1 13DE BC= =
BCDE ( )1 3 1 2 42S = × + × =
S BCDE− 1 4 24 23 3V = × × =
50000
5
6 20800000
5
6
41600 50000【详解】（1）根据分层抽样的原理，电动自行车应抽取 （辆），
电动汽车应抽取 （辆）.
从 9 辆电动车中抽取 2 辆，设电动汽车和电动自行车分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
可得抽法总数为 36 种，
其中 2 辆均为电动自行车的有 , , , , , ,共 6 种.
“设从这 9 辆中随机抽取 2 辆，至少有一辆为电动汽车”为事件 ，
则 .
（2）由条件可知，这 100 辆电动车中电动自行车 60 辆，电动汽车 40 辆，其中电池需要更换的电动自行车
8 辆，电动汽车 1 辆.根据补助方案可知，这 100 辆电动车共补助
（元）.
由样本估计总体，市政府执行此方案 预算大约需要
（元）.即为所求.
【点睛】本题考查从图中抽取数据信息、古典概型计算概率、样本估计总体思想，考查基本数据处理能
力．
20.已知动点 到直线 的距离比到定点 的距离大 1.
（1）求动点 的轨迹 的方程.
（2）若 为直线 上一动点，过点 作曲线 两条切线 ， ，切点为 ， ， 为
的中点.
①求证： 轴；
②直线 是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）①证明见解析；② .
【解析】
【分析】
（1）由题意知，动点 到直线 的距离等于到定点 的距离，符合抛物线的定义，求轨迹 的
方程为 ；
的
的
20 9 420 25
× =+
25 9 520 25
× =+
1a 2a 3a 4a 5a 1b 2b 3b 4b
1a 2a 1a 3a 1a 4a 2a 3a 2a 4a 3a 4a
A
6 5( ) 1 ( ) 1 36 6P A P A= − = − =
60 300 40 500 9 400 41600× + × + × =
41600 50000 20800000100
× =
P 5
4y = − 10, 4
P C
M 2y x= − M C MA MB A B N AB
MN x⊥
AB
2x y= 1 ,22
P 1
4y = − 10, 4
C
2x y=（2）①设动点 ， ， ，利用导数求出切线 的方程分别为：
、 ，从而有 ， 为方程 的两根，证明点
的横坐标与点 的横坐标相等，从而证得 轴；
②由①中的结论，把直线 的方程写成含有参数 的形式，即
并把方程看成关于 的一次函数，从而得到定点为 ．
【详解】（1）由动点 到直线 的距离比到定点 的距离大 1 得，
动点 到直线 的距离等于到定点 的距离，
所以点 的轨迹为顶点在原点、开口向上的抛物线，其中 ，
轨迹方程为 .
（2）①设切点 ， ， ，所以切线 的斜率为 ，
切线 .
设 ，则有 ，化简得 .
同理可得 .
所以 ， 为方程 的两根.
则有 ， ，所以 .
因此 轴.
② 因为 ，
所以 .又因为 ，
所以直线 ，即 .
即直线过定点 .
【点睛】本题考查抛物线的定义求方程、利用导数求切线方程、直线与抛物线相切、直线过定点等知识，
( , 2)M t t − ( )2
1 1,A x x ( )2
2 2,B x x ,MA MB
( )2
1 1 12y x x x x− = − ( )2 2
2
2 2y x x x x− = − 1x 2x 2 2 2 0x tx t− + − = N
M MN x⊥
AB t ( )22 2 2 ( )y t t t x t− − + = −
t 1 ,22
P 5
4y = − 10, 4
P 1
4y = − 10, 4
P 1
2p =
2x y=
( )2
1 1,A x x ( )2
2 2,B x x 2y x′ = MA 12x
( )2
1 1 1: 2MA y x x x x− = −
( , 2)M t t − ( )2
1 1 12 2t x x t x− − = − 2
1 12 2 0x tx t− + − =
2
2 22 2 0x tx t− + − =
1x 2x 2 2 2 0x tx t− + − =
1 2 2x x t+ = 1 2 2x x t= − 1 2
2N M
x xx t x
+= = =
MN x⊥
( )2 2
1 2
1
2Ny x x= + ( )2 2
1 2 1 2
1 2 22 x x x x t t= + − = − +
( )2,2 2N t t t− +
2 2
1 2
1 2
1 2
2AB
x xk x x tx x
−= = + =−
( )2: 2 2 2 ( )AB y t t t x t− − + = − 12 2 2y t x − = −
1 ,22
考查运算求解和逻辑推理能力．特别是在求证直线过定点进，也可以有另外的思路，即把直线设成
的形式，然后寻找 的关系，再把直线方程转化成只含变量 或变量 的方程．
21.已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）对任意的 ， ， ，恒有 ，求实数 的取值范
围.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导后得到 ，对 分情况进行讨论： 、 、 、
；
（2）由（1）知 在 上单调递减，不妨设 ，从而把不等式中的绝对值去掉得：
，进而构造函数 ，把问题转化为恒成立问题，求得
实数 的取值范围．
【详解】（1） ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， 或 ， ，所以 在 ， 上单调递增；
， ，所以 在 上单调递减.
当 时， 或 ， ，所以 在 ， 上单调递增；
， ，所以 在 上单调递减.
当 时， ， ，所以 在 上单调递减；
， ，所以 在 上单调递增.
（2）因为 ，由（1）得， 在 上单调递减，不妨设 ，
由 得 ，
y kx b= +
,k b k b
21( ) ( 1) ln2f x x a x a x= − + +
( )f x
[3,5]a∈ 1x ( )2 1 2[1,3]x x x∈ ≠ ( ) ( )1 2 1 2f x f x x xλ− < − λ
)6 2 5, − +∞
( )f x′ ( 1)( ) ( 0)x x a xx
− −= > a 1a > 1a = 0 1a< <
0a
( )f x [1,3] 1 2x x<
( ) ( )1 1 2 2f x x f x xλ λ+ < + ( ) ( ) (1 3)h x f x x xλ= +
λ
( ) 1 af x x a x
′ = − − + 2 ( 1)x a x a
x
− + += ( 1)( ) ( 0)x x a xx
− −= >
1a =
2( 1)( ) 0xf x x
−= ≥′ ( )f x (0, )+∞
1a > (0,1)x∈ ( , )a +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0,1) ( , )a +∞
(1, )x a∈ ( ) 0f x′ < ( )f x (1, )a
0 1a< < (0, )x a∈ (1, )+∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )a (1, )+∞
( ,1)x a∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( ,1)a
0a (0,1)x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x (0,1)
(1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (1, )+∞
[3,5]a∈ ( )f x [1,3] 1 2x x<
( ) ( )1 2 1 2f x f x x xλ− < − ( ) ( )1 2 2 1f x f x x xλ λ− < −即 .
令 ，
，只需 恒成立，
即 恒成立，
即 ，
即 .因为 （当且仅当 时取等号），
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、全称量词和存在量词的综合、不等式恒成立问题等，对分
类讨论思想的要求较高，在第（2）问的求解时，去掉绝对值后，构造新函数，再利用导数研究新函数是解
决问题的难点．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为
（ 为参数）.
（1）以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当 时，求曲线 ， 的极坐标方
程；
（2）若曲线 与曲线 交于 ， 两点（不重合），求 的取值范围.
【答案】（1） , ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）把曲线 ， 先化成普通方程，再化成极坐标方程；
（2）把 （ 为参数）代人 ，利用参数的几何意义得
( ) ( )1 1 2 2f x x f x xλ λ+ < +
( ) ( ) (1 3)h x f x x xλ= +
( ) 1ah x x ax
λ′ = + − − + ( ) 1 0ah x x ax
λ′ = + − − +
11 1a xx
λ − − + ( [3,5], [1,3])a x∈ ∈
15 1 1xx
λ − − +
56 x x
λ − +
56 6 2 5x x
− + ≤ − 5x =
λ )6 2 5, − +∞
xOy 1C cos
sin
x t
y t
α
α
=
= t 2C
3 cos
1 sin
x
y
θ
θ
= + = +
θ
O x
4
πα = 1C 2C
1C 2C A B | | | |OA OB+
( )4
πθ ρ= ∈R ( )2 2sin 2 3 cos 3 0ρ ρ θ θ− + + = (2 3,4
1C 2C
cos ,
sin
x t
y t
α
α
=
=
α ( ) ( )2 23 1 1x y− + − =，再根据直线与圆相交的几何性质得 ，
从而得以式子的取值范围 ．
【详解】（1）当 时，直线 的极坐标方程为 .
由 （ 为参数），得 .
极坐标方程 .
（2）把 （ 为参数）代人 ，得
.
设 ， 对应的参数分别为 ， ，
则 （由几何性质得 ），
.
因为 ，所以 .所以 .
的取值范围为 .
【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程互化、参数的几何意义求范围，考查运算求解能力及转化与化归
思想，在利用参数和的几何意义解题时，注意直线的参数方程的定点及标准形式问题．
23.己知 ，函数 .
（1）若 ，解不等式 ；
（2）若函数 ，且存在 使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）零点分段解不等式即可（2）等价于 ，由 ，得
为
1 2OA OB t t+ = + 2sin 2 3 cos 4sin 3
πα α α = + = + 0 3
πα< <
(2 3,4
4
πα = 1C ( )4
πθ ρ= ∈R
2
3 cos ,:
1 sin
xC
y
θ
θ
= + = +
θ ( ) ( )2 23 1 1x y− + − =
( )2 2sin 2 3 cos 3 0ρ ρ θ θ− + + =
cos ,
sin
x t
y t
α
α
=
=
α ( ) ( )2 23 1 1x y− + − =
( )2 2sin 2 3 cos 3 0t t α α− + + =
A B 1t 2t
1 2 2sin 2 3 cost t α α+ = + 0 3
πα< <
1 2OA OB t t+ = + 2sin 2 3 cos 4sin 3
πα α α = + = +
0 3
πα< < 2
3 3 3
π π πα< + < 2 3 4sin 43
πα < +
OA OB+ (2 3,4
0a > ( )f x x a= −
2a = ( ) ( )3 5f x f x+ + ≤
( ) ( ) ( )2g x f x f x a= − + 0x R∈ ( ) 2
0 2g x a a≥ − a
{ }| 2 3x x− ≤ ≤ (0,4]
( ) 2
max 2g x a c≥ − 2x a x a x a x a a− − + ≤ − − − =不等式即可求解
【详解】（1）当 时， ，
当 时，由 ，解得 ；
当 时，由 ，解得 ；
当 时，由 ，解得 .
综上可知，原不等式的解集为 .
（2） .
存在 使得 成立，等价于 .
又因为 ，所以 ，即 .
解得 ，结合 ，所以实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题
2a = ( ) ( )
1 2 , 1
3 2 1 3, 1 2
2 1, 2
x x
f x f x x x x
x x
− < −
+ + = − + + = − ≤ a ( ]0,4
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