河南省 2020 届高三年级线上第二次模拟考试
数学（文科）试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 为虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.中国铁路总公司相关负责人表示，到 2018 年底，全国铁路营业里程达到 13.1 万公里，其中高铁营业里程
2.9 万公里，超过世界高铁总里程 三分之二，下图是 2014 年到 2018 年铁路和高铁运营里程（单位：万公
里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）
A. 每相邻两年相比较，2014 年到 2015 年铁路运营里程增加最显著
B. 从 2014 年到 2018 年这 5 年，高铁运营里程与年价正相关
C. 2018 年高铁运营里程比 2014 年高铁运营里程增长 80%以上
D. 从 2014 年到 2018 年这 5 年，高铁运营里程数依次成等差数列
4.已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.要得到函数 图象，只需把函数 的图象（ ）
A. 向左平移 个单位 B. 向左平移 个单位
C. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位
的
的
{0,1,2,3,4,5}U = {1,2}A = { }2| 3 0x xB x= ∈ −N ( )U BA =
{0,1,2,3} {0,4,5} {1,2,4} {4,5}
i 5
1 2z ii
+ =− z =
1 i− 1 i− + 1 i− − 1 i+
a b 60 2a = 2 13a b− = b a≥ b =
3 3 2 4
sin 2 3cos2y x x= − 3 cos2 sin 2y x x= −
2
π 2
3
π
5
6
π
3
π6.若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. -2 D.
7.数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点
取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则满足 的正整数 的值为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
11.设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲线 上的点，且 与 轴
垂直， 的内切圆的方程为 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
x y
1 0
3 0
2 0
x y
x y
x
+ − ≤
− + ≤
+ ≥
y
x
1
3
− 1
2
− 3
2
−
{ }na cos 2n
na n
π= n nS 2020S =
1010 2020 5050 0
1
2
1
3
4 1π − 42 π−
{ }na n nS 6 7 5S S S> > 1 0n nS S + < n
4
12
π + 1
3
π +
1π + 1
4
π +
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1F 2F P C 1PF x
1 2PF F∆ 2 2( 1) ( 1) 1x y+ + − = CA. B. C. D.
12.设奇函数 的定义域为 ，且 的图象是连续不间断， ，有
，若 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.已知 2a=5b=m,且 =1,则 m=____.
14.椭圆 上的点到直线 的最大距离是_______
15.已知函数 在函数 的零点个数__________．
16.已知 为曲线 在 处的切线，当直线 与坐标轴围成的三角形面积为 时，实数 的值为
______.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在 中，三边 ， ， 的对角分别为 ， ， ，已知 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 边上的中线长为 ，求 的面积.
18.如图，在矩形 中， ， ，点 是边 上的一点，且 ，点 是 的
中点，将 沿着 折起，使点 运动到点 处，且有 .
（1）证明： .
（2）求四棱锥 体积.
19.某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动
的
3
3y x= ± 3y x= ± 1
2y x= ± 2y x= ±
( )f x ,2 2
π π −
( )f x ,02x
π ∀ ∈ −
( ) ( )cos sin 0f x x f x x′ + < ( ) 2 cos3f m f m
π < m
,2 3
π π − 0, 3
π
,2 3
π π − − ,3 2
π π
1 1
a b
+
2 2
116 4
x y+ = 2 2 0x y+ − =
2
1, 0,( ) {log , 0,
x xf x x x
+ ≤= > [ ]( ) 1y f f x= +
l lna xy x
+= (1, )a l 1
2
a
ABC∆ a b c A B C 3a = cos cos cos 3
sin cos
B A C a
B C b
+ =
2 3c = sin A
AB 37
2
ABC∆
ABCD 2AB = 3BC = E AD 2AE ED= H BE
ABE∆ BE A S SC SD=
SH BCDE⊥ 平面
S BCDE−车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务.现从全市已挂牌照的 电动车中随机抽取 100
辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，
并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图.
（1）采用分层抽样 方法从电池性能较好的电动车中随机抽取 9 辆，再从这 9 辆中随机抽取 2 辆，求至少
有一辆为电动汽车的概率；
（2）为进一步提高市民对电动车 使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电
动自行车每辆补助 300 元；②电动汽车每辆补助 500 元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助 400 元.
试求抽取的 100 辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算.
20.已知动点 到直线 的距离比到定点 的距离大 1.
（1）求动点 的轨迹 的方程.
（2）若 为直线 上一动点，过点 作曲线 的两条切线 ， ，切点为 ， ， 为
的中点.
①求证： 轴；
②直线 是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.
21.已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）对任意的 ， ， ，恒有 ，求实数 的取值范
围.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为
的
的
50000
P 5
4y = − 10, 4
P C
M 2y x= − M C MA MB A B N AB
MN x⊥
AB
21( ) ( 1) ln2f x x a x a x= − + +
( )f x
[3,5]a∈ 1x ( )2 1 2[1,3]x x x∈ ≠ ( ) ( )1 2 1 2f x f x x xλ− < − λ
xOy 1C cos
sin
x t
y t
α
α
=
= t 2C（ 为参数）.
（1）以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当 时，求曲线 ， 的极坐标方
程；
（2）若曲线 与曲线 交于 ， 两点（不重合），求 的取值范围.
23.己知 ，函数 .
（1）若 ，解不等式 ；
（2）若函数 ，且存在 使得 成立，求实数 的取值范围.
3 cos
1 sin
x
y
θ
θ
= + = +
θ
O x
4
πα = 1C 2C
1C 2C A B | | | |OA OB+
0a > ( )f x x a= −
2a = ( ) ( )3 5f x f x+ + ≤
( ) ( ) ( )2g x f x f x a= − + 0x R∈ ( ) 2
0 2g x a a≥ − a
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