南京市、盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试
数学 2020.03
参考公式:
圆锥的侧面积公式:S=πrl,其中 r 为圆锥底面圆的半径,l 为圆锥的母线长.
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分不需写出解答过程,请把答案写在答题卡的指定位置
上)
1.已知集合 A={x|x=2k+1,k∈Z),B={x|x(x-5)≤0),则 A∩B=__
2.已知复数 z=1＋2i,其中 i 为虚数单位,则 z2 的模为__
3.如图是一个算法流程图,若输出的实数，y 的值为-1,则输入的实数 x 的值为___
4.某校初三年级共有 500 名女生,为了了解初三女生 1 分钟"仰卧起坐"项目训练情况,统计了所有女生 1
分钟"仰卧起坐"测试数据(单位:个),并绘制了如下频率分布直方图,则 1 分钟至少能做到 30 个仰卧起坐的初
三女生有____个。
5.从编号为 1,2,3,4 的 4 张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第二次抽得的卡片上的数字
能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____.
6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且周期为 2,当 x∈(0,1]时, ,则 f(a)的值为_____.
7.若将函数 的图象沿 x 轴向右平移 φ(φ≥0)个单位后所得的图象与 f(x)的图象关于
x 轴对称,则 φ 的最小值为___
8.在△ABC 中, ， ，∠BAC=90°,则△ABC 绕 BC 所在直线旋转一周所形成的几何
体的表面积为_____.
9.已知数列(a }为等差数列,数列{b,}为等比数列,满足{a ，a ，a }={b1,b ,b3)={a,b,-2},其中 a>0,b>0,
则 a+b 的值为___
10.已知点 P 是抛物线 x =4y 上动点,F 是抛物线的焦点,点 A 的坐标为(0,-1),则 的最小值为______.
11.已知 x，y 为正实数,且 xy＋2x+4y=41,则 x+y 的最小值为_____
1
( ) 3
af x x= +
( ) sin(2 )3f x x
π= +
2 5AB = 5AC =
n 2 3 2
2 PF
PA12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C: (x-m) +y2=r (m>0).已知过原点 O 且相互垂直的两条直线 l 和 l ,
其中 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，l 与圆 C 相切于点 D.若 AB=OD,则直线 l 的斜率为____.
13.在△ABC 中,BC 为定长, ，若△ABC 的面积的最大值为 2,则边 BC 的长为___.
14.函数 f(α)=ex-x-b(e 为自然对数的底数,b∈R),若函数 恰有 4 个零点,则实数 b 的
取值范围为______.
二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答
题卡的指定区域内.
15.(本小题满分 14 分)
如图,三棱锥 P-ABC 中,点 D,E 分别为 AB,BC 的中点,且平面 PDE⊥平面 ABC.
(1)求证:AC∥平面 PDE;
(2)若 PD=AC=2,PE= ,求证:平面 PBC⊥平面 ABC.
16.(本小题满分 14 分)
在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=bcosC+csinB.
(1)求 B 的值.
(2)设∠BAC 的平分线 AD 与边 BC 交于点 D,已知 ， ,求 b 的值
17.(本小题满分 14 分)
如图,湖中有一个半径为 1 千米的圆形小岛,岸边点 A 与小岛圆心 C 相距 3 千米，为方便游人到小岛观光,
从点 A 向小岛建三段栈道 AB,BD,BE,湖面上的点 B 在线段 AC 上,且 BD,BE 均与圆 C 相切,切点分别为 D,E,
2 2
1 2
1 2 1
| 2 | 3| |AB AC BC+ =
1( ) ( ( ) )2g x f f x= −
3
17
7AD = 7cos 25A = −其中栈道 AB,BD,BE 和小岛在同一个平面上.沿圆 C 的优弧(圆 C 上实线部分)上再修建栈道 记∠CBD
为 θ.
(1)用 θ 表示栈道的总长度 f(θ),并确定 sinθ 的取值范围；
(2)求当 θ 为何值时,栈道总长度最短.
18.(本小题满分 16 分)
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 的离心率为 且过点 .
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)已知△BMN 是椭圆 C 的内接三角形,
①若点 B 为椭圆 C 的上顶点,原点 O 为△BMN 的垂心,求线段 MN 的长;
②若原点 O 为△BMN 的重心,求原点 O 到直线 MN 距离的最小值.
19,(本小题满分 16 分)
.DE
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2 (0, 3)已知函数 f(x)=x -x2-(a-16)x,g(x)=a|nx,a∈R.函数
的导函数 h'(x)在 存在零点
(1)求实数 a 的取值范围;
(2)若存在实数 a,当 x∈[0,b]时,函数 f(x)在 x=0 时取得最大值,求正实数 b 的最大值;
(3)若直线 l 与曲线 y=f(x)和 y=g(x)都相切,且 l 在 y 轴上的截距为-12,求实数 a 的值.
20.(本小题满分 16 分)
已知无穷数列{an}的各项均为正整数,其前 n 项和为 Sn,记 Tn 为数列{an}的前 a 项和,即
.
(1)若数列{an}为等比数列,且 a =1,S =5S ,求 T 的值;
(2)若数列{an}为等差数列,且存在唯一的正整数 n(n≥2),使得 求数列{an}的通项公式;
(3)若数列(Tn)的通项为 ,求证:数列{an}为等差数列
南京市、盐城市 2020 届高三第二次模拟考试
数学附加题 2020.03
本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟.
21.【选做题】在 A,B,C 三小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修 4—24 矩阵与变换
已知矩阵
(1)求矩阵 N;
(2)求矩阵 N 的特征值.
B 选修 4—41 坐标系与参数方程
3
( )( ) ( )f xh x g xx
= − 5[ ,4]2
n
1 2 nanT a a a= + +…+
1 4 2 3
2n
n
T
a
<
( 1)
2n
n nT
+=
1 2 1 0,2 1 0 1MN
= = M在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ,(t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系,直线 l 极坐标方程为 .若直线 1 交曲线 C 于 A,B 两点,求线段 AB 的
长.
C 选终 4—5:不等式选讲
已知 a>0.证明
【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
22.(本小题满分 10 分)
某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满 400 元的商品即可抽奖—次.抽奖规则如下 x 抽奖者掷各面标
有 1~6 点数的正方体骰子 1 次,若挪得点数大于 4,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖.已知
抽奖箱中装有 2 个红球与 m(m≥2,m∈N*)个白球,抽奖者从箱中任意摸出 2 个球,若 2 个球均为红球,则获得一
等奖,若 2 个球为 1 个红球和 1 个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相
同).
(1)若 m=4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;
(2)若一等奖可获奖金 400 元,二等奖可获奖金 300 元,三等奖可获奖金 100 元,记顾客一次抽奖所获得的
奖金为 X,若商场希望 X 的数学期望不超过 150 元,求 m 的最小值.
23.(本小题满分 10 分)
已知集合 A ={1,2,…n},n∈N*,n≥2,将 An 的所有子集任意排列,得到一个有序集合组(M ,M ,…,Mm),其
中 m=2n.记集合 M 中元素的个数为 a ,k∈N*,k≤m,规定空集中元素的个数为 0.
(1)当 n=2 时,求 a +a +…+a 的值;
2
2 ,
1
2
x t
y t
=
=
cos( ) 24
πρ θ − =
2
2
1 12 2a aa a
+ − + −
n 1 2
k k
1 2 m(2)利用数学归纳法证明:不论 n(n≥2)为何值,总存在有序集合组(M ,M ,…,Mm),满足任意 都
有 .
1 2
*, 1, i i m∈ −N
1 1i ia a +− =
微信/支付宝扫码支付