河北衡水市2020年3月高三年级第五次调研考试理科数学试题（含解析）

2019～2020 学年高三年级第五次调研考试 数学试题（理科） 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的.） 1． 表示集合 中整数元素的个数，设集合 ， ， 则 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知复数 满足 ，则 的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁） 乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是 直径为 的圆，钱中间的正方形孔的边长为 ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进 入孔中的概率是（ ） A． B． C． D． 5．命题 ， ，命题 ， ，则 是 的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．必要充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知数列 中， ， ，若利用如图所示的 程序框图计算该数列的第 项，则判断框内的条件是（ ） A． B． C． D． 7．函数 的大致图象为（ ） A． B． ( )Z M M { }1 8A x x= − < < { }5 2 17B x x= < < ( )Z A B = z (1 2i) 4 3iz+ = + z 2 i− 2 i+ 1 2i+ 1 2i− ( )f x R ( )0,+∞ ( ) ( ) ( )0.6 33 log 13 2f f f− < − < ( ) ( ) ( )0.6 33 2 log 13f f f− < < − ( ) ( ) ( )0.6 32 log 13 3f f f< − < − ( ) ( ) ( )0.6 32 3 log 13f f f< − < 5cm 2cm 2 5 4 25 25 π 16 25π :p ,x y∈R 2 2 2x y+ < :q ,x y∈R | | | | 2x y+ < p q { }na 1 1a = 1n na a n+ = + 2020 2018?n 2019?n2020?n 2021?n 2sin( ) 2xf x x xx = + − 否 是 输出S S=S+n n=n+1 n=1,S=1 结束 开始C ． D． 8．若函数 (其中 ， )图象的一个对称中心为 ，其相 邻一条对称轴方程为 ，该对称轴处所对应的函数值为 ，为了得到 的图象，则只要将 的图象（ ） A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 9．已知 是圆 的直径，点 为直线 上任意一点，则 的最小值是（ ） A．1 B．0 C． D． 10．圆锥 （其中 为顶点， 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 ，则圆锥 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A． B． C． D． 11．已知直线 与双曲线 交于 ， 两点，以 为 直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 ，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为 （ ） A． B． C．2 D． 12．若对于任意的 ，都有 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 二.填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.） 13．在 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 ，则常数项等 ( ) ( )sinf x A xω ϕ= + 0A > π 2 ϕ < π ,03      7π 12x = 1− ( ) cos2g x x= ( )f x π 6 π 12 π 6 π 12 AB ( )2 2: 1 1C x y− + = P 1 0x y− + = PA PB⋅  2 2 1− SD S D 2:1 SD 9:32 8: 27 9: 22 9: 28 ( )0y kx k= ≠ ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b − = > > A B AB F ABF△ 24a 2 3 5 1 20 x x a< < < 2 1 1 2 1 2 ln ln 1x x x x x x − >− a 2e e 1 2 1 n xx      − 23 256于 ． 14．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ， 则 的值为 ． 15．正四棱锥 底面边长为 ，高为 ， 是边 的中点，动点 在四棱锥 表面上运动，并且总保持 ，则动点 的轨迹的周长为 ． 16 ． 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ， 的 导 函 数 ， 且 对 恒 成 立 ， 则 的 取 值 范 围 是 ． 三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题 12 分）在公差为 的等差数列 中， ． （1）求 的取值范围； （2）已知 ，试问：是否存在等差数列 ，使得数列 的前 项和为 ？若存在，求 的通项公式；若不存在，请说明理由． 18．（本小题 12 分）如图 1，梯形 中， ，过 ， 分别作 ， ，垂足分别为 、 ． ， ，已知 ，将梯形 沿 ， 同侧折起，得空间几何体 ，如图 2． （1）若 ，证明： 平面 ； （2）若 ， ，线段 上存在一点 ，满足 与平面 所成角的正 弦值为 ，求 的长． n ABC△ A B C a b c 2 7b = 3c = 2B C= cos2C S ABCD− 2 1 E BC P 0PE AC⋅ =  P ( )0,+∞ ( )f x ( ) 0f x > ( ) ( )f x f x′ 为 ( ) ( ) ( )2 3f x xf x f x′< < ( )0,x∈ +∞ ( ) ( ) 2 3 f f d { }na 2 2 1 2 1 2a a a a+ = + d 1d = − { }nb 2 1 n na b    +  1 n n + { }nb ABCD AB CD∥ A B AE CD⊥ BF CD⊥ E F 2AB AE= = 5CD = 1DE = ABCD AE BF ADE BCF− AF BD⊥ DE ⊥ ABFE DE CF∥ 3CD = AB P CP ACD 5 20 AP19．（本小题 12 分）《山东省高考改革试点方案》规定：从 2017 年秋季高中入学的新生 开始，不分文理科；2020 年开始，高考总成绩由语数外 3 门统考科目和物理、化学等六 门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为 、 、 、 、 、 、 、 共 8 个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为 、 、 、 、 、 、 、 ．选考科目成绩计入考生总成绩时， 将 至 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到 、 、 、 、 、 、 、 八个分数区间，得到考生的等级 成绩． 某校高一年级共 2000 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测 试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 ． （1）求物理原始成绩在区间 的人数； （2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取 3 人，记 表示这 3 人中等级成绩在区 间 的人数，求 的分布列和数学期望． （附：若随机变量 ，则 ， ， ） 20．（本小题 12 分）已知椭圆 ，点 和 都在椭圆 上，其中 为椭圆 的离心率． （1）求椭圆 的方程； （2）若过原点的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且在直线 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的直角三角形，求实数 的取值范围． A B + B C + C D + D E 3% 7% 16% 24% 24% 16% 7% 3% A E [ ]91,100 [ ]81,90 [ ]71,80 [ ]61,70 [ ]51,60 [ ]41,50 [ ]31,40 [ ]21,30 ( )60,169N ( )47,86 X [ ]61,80 X ( )2,Nξ µ σ∼ ( ) 0.682P µ σ ξ µ σ− < < + = ( )2 2 0.954P µ σ ξ µ σ− < < + = ( )3 3 0.997P µ σ ξ µ σ− < < + = ( )2 2 2 2: 1 0x yC a b a b + = > > ( )1,e 22, 2       C e C C 1 :l y kx= C A B 2 2: 2 0l kx y k− + − = P PAB△ P k21．（本小题 12 分）已知函数 ， ． （1）讨论 的单调性； （2）定义：对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为函数 的不动 点．如果函数 存在不动点，求实数 的取值范围． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的方程为 （ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求 ， 交点的直角坐标； （2）设点 的极坐标为 ，点 是曲线 上的点，求 面积的最大值． 23. （本小题 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ． （1）解不等式 ； （2）若 ，对 ， ，使 成立，求实数 的取值范围． ( ) ( )21ln 2f x x x ax a= + + ∈R ( ) 23e 2 xg x x x= + − ( )f x ( )f x 0x ( )0 0f x x= 0x ( )f x ( ) ( ) ( )F x f x g x= − a xOy 1C cos sin x y α α = =    α O x 2C 2cosρ θ= 1C 2C A 4, π 3      B 2C AOB△ ( ) 1 2 1f x x x= + + − ( ) 2f x x≤ + ( ) 3 2 3 1g x x m x= − + − 1x∀ ∈R 2x∃ ∈R ( ) ( )1 2f x g x= m2019～2020 学年高三第二学期 3 月模块诊断 数学（理科）参考答案 一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C D A B D B A A D D 1．【解答】∵ ， ，∴ ，∴ ．故选 C． 2．【解答】由 ，得 ，所以 ．故选 B． 3 ．【解 答 】 根 据 题 意 ， 函 数 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 则 ， ，有 ， 又由 在 上单调递增，则有 ，故选 C． 4．【解答】由题 ， ，所以 ．故选 D． 5．【解答】在平面直角坐标系中作出满足 的区域，如图所示，则 是 的充分不必 要条件．故选 A． 6．【解答】 由递推式 ， 可得 ， ， … ， . 将以上 个式子相加，可得 ， 则 .① 由程序框图可知，当判断框内的条件是 时， 则输出的 ，②. 综合①②可知，若要想输出①式的结果，则 ．故选 B． 7．【解答】 ，排除 B，C， ( )1,8A = − 5 17,2 2B  =    5 ,82A B  =    ( ) 5Z A B = ( )1 2i 4 3iz+ = + 4 3i 2 i1 2iz += = −+ 2 iz = + ( )f x R ( ) ( )3 3f f− = ( ) ( )3 3log 13 log 13f f− = 0.6 3 32 2 log 13 log 27 3< < < = ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( ) ( )0.6 32 log 13 3f f f< − < − 25 25=π = π2 4S  ⋅  圆 =4S正方形 16 25π SP S = =正方形 圆 ,p q p q 1n na a n+ = + 1 1n na a n−= + − 1 2 2n na a n− −= + − 3 2 2a a= + 2 1 1a a= + ( )1n − 1 1 2 3 1na n= + + + + + − 2020 1 1 2 3 2019a = + + + + + ( )*?n k k ∈N 1 1 2 3S k= + + + + + 2019k = ( )1 sin1 1 2 sin1 1 0f = + − = − < 22O y x当 时， ，则 时， ， ，排除 A，故选 D． 8．【解答】根据已知函数 (其中 ， )的图象过点 ， ， 可 得 ， ， 解 得 ． 再 根 据 五 点 法 作 图 可 得 ，可得 ， 可得函数解析式为 ，故把 的图象向左平移 个单 位长度，可得 的图象，故选 B． 9 ． 【 解 答 】 如 图 所 示 ， ， 所 以 取 最 小 值 时 ， 即 取 最 小 值 ， 即 与 直 线 垂 直 ， 此 时 ， 则 ．故选A． 10．【解答】设圆锥底面圆的半径为 ，圆锥母线长为 ， 则侧面积为 ，侧面积与底面积的比为 ， 则母线 ，圆锥的高为 ， 则圆锥的体积为 ， 设外接球的球心为 ，半径为 ，截面图如图， 则 ， ， ， 在直角三角形 中，由勾股定理得 ， 即 ，展开整理得 ， ∴外接球的体积为 ， 故所求体积比为 ．故选 A． 11．【解答】由题意可得图像如右图所示： 为双曲线的左焦点， ∵ 为圆的直径，∴ ， 0x = sin 0x x= = 0x → sin 1x x → ( ) 1 0 1f x → + = ( ) ( )sinf x A xω ϕ= + 0A > π 2 ϕ < π ,03      7π , 112  −   1A = 1 2π 7π 4 1 π 2 3ω⋅ = − 2ω = 2 ππ 3 ϕ⋅ + = π 3 ϕ = ( ) sin 2 π 3f x x = +   ( ) sin 2 π 3f x x = +   π 12 sin 2 cos23 6 π πy x x = + + =   ( ) ( ) 2 21 4PA PB PC CB PC CA PC AB⋅ = + ⋅ + = −      PA PB⋅  PC PC 1 0x y− + = 1 0 1= 2 2 PC − + = ( ) min 12 4 14PA PB⋅ = − × =  r l πrl 2 π 2 π rl l rr = = 2l r= 2 2 3h l r r= − = 2 31 3π π3 3r h r= O R OB OS R= = 3OD h R r R= − = − BD r= BOD 2 2 2OB OD BD= + ( )22 2 3R r r R= + − 2 3 R r= 3 3 34 4 8 32ππ π3 3 3 3 9 3 rR r= × = 3 3 3 π 93 3232π 9 3 r r = F′ AB 90AFB∠ = ° P B A CO y x D O S B C x y B A F' FO根据双曲线、圆的对称性可知：四边形 为矩形， ∴ ， 又 ，可得 ，∴ ．故选 D． 12．【解答】由 ，得 ， 化为 ，即 ， 即函数 在 上单调递增， ， 令 ，得 ，故 的最大值为 1．故选 D． 二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13． 14． 15． 16． 13．【解答】该二项式的二项式系数之和为 ，得 ．该二项式的展开式通项 为 ， 令 ， 得 ， 则 常 数 项 为 ． 14．【解答】由正弦定理可得： ， 即 ， ∴ ． 15．【解答】如图所示，取 ， 的中点 ， ，则 ， ，所以平 面 平面 ，而 平面 ，所以 平面 ，则动点 在四棱锥 表 面 上 运 动 的 轨 迹 为 △ ， 则 动 点 的 轨 迹 的 周 长 为 ． 16．【解答】由 ，得 ， 令 ， AFBF′ 1 2ABF AFBF FAFS S S′ ′= =△ △ 2 2 24tan45FAF bS b a′ = = =°△ 2 25c a= 2 5 5e e= ⇒ = 1 20 x x< < 1 2 0x x− < 2 1 1 2 1 2 ln ln 1x x x x x x − >− 2 1 1 2 1 2ln lnx x x x x x− < − 1 2 1 2 ln 1 ln 1x x x x + +< ( ) ln 1xf x x += ( )0,a ( ) ( ) 2 2 1 ln 1 lnx x xxf x x x ⋅ − + ′ = = − ( ) 0f x′ > 0 1x< < a 112 5 9 2 3+ 8 4,27 9      2 256n = 8n = ( ) ( ) 8 483 3 8 8 2C 2 C r rr rr rx xx −−  − = −   8 4 03 r− = 2r = ( )2 2 82 C 112− = sin sin b c B C = sin sin 2 2sin cos 2 7 72cos cossin sin sin 3 3 b B C C C C Cc C C C = = = = = ⇒ = 2 7 5cos2 2cos 1 2 19 9C C= − = × − = SC DC M F //EF BD //ME SB //SBD MEF AC ⊥ SBD AC ⊥ MEF P MEF P ( )1 1 2 2 3 32 2MFE SDBl l= = + + =△ △ 2 3+ ( ) ( )2 f x xf x′< ( ) ( ) ( ) 2 22 2 0f x x xf x x ′ − > ( ) ( ) 2 f xg x x = F M S E D C BA则 ，所以 在 上单调递增， 得 ，即 ，得 . 由 ，得 ，令 ， 则 ，所以函数 在 上单调递减， 得 ，即 ，得 . 综上所述， ．故填 ． 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.) 17．（本小题满分 12 分） 【解答】（1）∵ ，∴ ， 整理得 ，…………2 分 则 ， 解得 ，则 的取值范围为 ．…………5 分 （2）∵ ，∴ ，即 ，则 ．…………6 分 假设存在等差数列 ，则 ，即 ，解得 ， 从而 ，…………8 分 此时 ，…………9 分 ，………… 11 分 故 存 在 等 差 数 列 ， 且 ， 使 得 数 列 的 前 项 和 为 2 2 1 2 1 2a a a a+ = + ( )22 1 1 12a a d a d+ + = + ( )2 2 1 12 2 1 0a d a d d+ − + − = ( ) ( )2 24 1 8 0d d d∆ = − − − ≥ 1 1d− ≤ ≤ d [ ]1,1− 1d = − 2 1 12 4 2 0a a− + = 1 1a = 2na n= − { }nb 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 3 a b a b a b  = +  + = + + 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 3 b b  = +  + = 1 2 1 6 b b =  = 5 4nb n= − 2 2 1 1 1 1 1n n n na b n n = = − ++ + 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1 1n n n n n n na b a b a b + + ⋅⋅⋅ + = − + − + ⋅⋅⋅ + − = − =+ + ++ + + { }nb 5 4nb n= − 2 1 n na b    +   n ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 0f x x xf xg x x ′ −′ = > ( )g x ( )0,+∞ ( ) ( )3 2g g> ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 f f< ( ) ( ) 2 4 3 9 f f < ( ) ( )3xf x f x′ < ( ) ( ) ( ) 3 2 23 3 0f x x x f x x ′ − < ( ) ( ) 3 f xh x x = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 23 3 0f x x x f xh x x ′ −′ = < ( )h x ( )0,+∞ ( ) ( )3 2h h< ( ) ( ) 3 3 2 3 2 3 f f> ( ) ( ) 2 8 3 27 f f > ( ) ( ) 28 4 27 3 9 f f < < 8 4,27 9     ．…………12 分 18．（本小题满分 12 分） 【 解 答 】（ 1 ） 由 已 知 得 四 边 形 是 正 方 形 ， 且 边 长 为 2 ， 在 图 2 中 ， ， ……1 分 由已知得 ， ，∴ 平面 ，…………2 分 又 平面 ，∴ ， …………3 分 又 ， ， ∴ 平面 ．…………5 分 （2）在图 2 中， ， ， ，即 面 ， 在梯形 中，过点 作 交 于点 ，连接 ， 由题意得 ， ，由勾股定理可得 ，则 ， ， 过 作 交 于点 ，可知 ， ， 两两垂直， 以 为坐标原点，以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐 标系， ……… …7 分 则 ， ， ， ， ， ． 设平面 的一个法向量为 ， 由 得 ，取 得 ， …………9 分 设 ，则 ， ，得 …………10 分 设 与 平 面 所 成 的 角 为 ， ． 1 n n + ABFE AF BE⊥ AF BD⊥ BE BD B= AF ⊥ BDE DE ⊂ BDE AF DE⊥ AE DE⊥ AE AF A= DE ⊥ ABFE AE DE⊥ AE EF⊥ DE EF E= AE ⊥ DEFC DEFC D DM EF∥ CF M CE 2DM = 1CM = DC CF⊥ π 6CDM∠ = 2CE = E EG EF⊥ DC G GE EA EF E EA EF EG x y z ( )2,0,0A ( )2,2,0B ( )0,1, 3C 1 30, ,2 2D  −    ( )2,1, 3AC = − 1 32, ,2 2AD  = − −     ACD ( ), ,x y z=n 0 0 AC AD  ⋅ = ⋅ =   n n 2 3 0 1 32 02 2 x y z x y z − + + = − − + = 1x = ( )1, 1, 3= −n AP m= ( )2, ,0P m ( )0 2m≤ ≤ ( )2, 1, 3CP m= − − CP ACD θ ( )2 5 2sin cos 20 37 1 , 5 mCP m m θ = = = ⇒ = ⋅ + −  n∴ ． …………12 分 19．（本小题满分 12 分） 【解答】（1）因为物理原始成绩 ， 所以 ．…………3 分 所以物理原始成绩在 的人数为 （人）．…………5 分 （2）由题意得，随机抽取 1 人，其成绩在区间 内的概率为 ． 所以随机抽取三人，则 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 ，…………7 分 所以 ； ； ； ． 所以 的分布列为 0 1 2 3 ………… 11 分 所以数学期望 ． …………12 分 20. (本小题满分 12 分) 【解答】（1）由题设知 ， ． 由点 在椭圆上，得 ，解得 ， 又点 在椭圆上， ． 即 ，解得 ， 所以椭圆的方程是 ．…………4 分 2 3AP = ( )260,13Nξ ∼ ( ) ( ) ( )47 86 47 60 60 86P P Pξ ξ ξ< < = < < + ≤ < ( ) ( )1 160 13 60 13 60 2 13 60 2 132 2P Pξ ξ= − < < + + − × ≤ < + × 0.682 0.954 2 2 = + 0.818= ( )47,86 2000 0.818 1636× = [ ]61,80 2 5 X 23, 5X B ∼    ( ) 33 270 5 125P X  = = =   ( ) 2 1 3 2 3 541 C 5 5 125P X  = = ⋅ ⋅ =   ( ) 2 2 3 2 3 362 C 5 5 125P X  = = ⋅ ⋅ =   ( ) 32 83 5 125P X  = = =   X X P 27 125 54 125 36 125 8 125 ( ) 2 63 5 5E X = × = 2 2 2a b c= + ce a = ( )1,e 2 2 2 2 1 1c a a b + = 2 1b = 22, 2       2 2 2 1 1 2a b ∴ + = 2 1 1 12a + = 2 4a = 2 2 14 x y+ =（2）【法 1】设 、 ，由 ，得 ， ， ， ， ， …………6 分 设 ，则 ， 依题意 ，得 ， ， 即 ，…………8 分 ， 有解， ， …………10 分 化简得 ， 或 ． …………12 分 【法 2】设 、 ，由 ，得 ， 不妨设 ， 则 …………7 分 设原点 到直线 的距离为 ，则 …………8 分 若存在满足条件的点 ，则以 为直径的圆与 有公共点，故 即 ， …………10 分 化简得 ， 或 ． …………12 分 21. (本小题满分 12 分) 【解答】（1） 的定义域为 ， ，…………1 分 ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 14 y kx x y = + =   2 2 4 1 4 x k = + 1 2 0x x∴ + = 1 2 2 4 1 4 x x k = − + 1 2 0y y+ = 2 1 2 2 4 1 4 ky y k = − + ( )0 0,P x y 0 02 2y kx k= + − PA PB⊥ 1PA PBk k = −⋅ 0 1 0 2 0 1 0 2 1y y y y x x x x − −∴ ⋅ = −− − ( ) ( )2 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0y y y y y y x x x x x x− + + + + + − + = 2 2 0 0 1 2 1 2 0y x y y x x∴ + + + = ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 0 0 2 4 1 1 4 4 2 2 0 1 4 k k x k k x k k + ∴ + + − + − − = + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 4 1 16 2 4 1 4 2 0 1 4 k Δ k k k k k  + = − − + − − ≥ +  23 4 0k k+ ≥ 0k∴ ≥ 4 3k ≤ − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 14 y kx x y = + =   2 2 4 1 4 x k = + 1 2 2 4 1 x k = + 2 2 2 4 1 x k = − + 2 2 1 2 2 4 11 4 1 kAB k x x k += + − = + O 2l d 2 2 4 1 kd k −= + P AB 2l 2 ABd ≤ 2 2 2 2 2 1 4 1 4 1 k k k k − +≤ + + 23 4 0k k+ ≥ 0k∴ ≥ 4 3k ≤ − ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( )2 1 0x axf x xx ′ + += >对于函数 ， ①当 时，即 时， 在 恒成立． 在 恒成立， 在 为增函数； ………2 分 ②当 ，即 或 时， 当 时 ， 由 ， 得 或 ， ， 在 为增函数， 减函数， 为增函数， …………4 分 当 时 ， 由 在 恒 成 立 ， 在 为 增 函 数．…………5 分 综上，当 时， 在 为增函数， 减 函数， 为增函数； 当 时， 在 为增函数． （2） ， 存在不动点， 方程 有实数根，即 有解，…………7 分 令 ， ，…………8 分 令 ，得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， …………10 分 ，…………11 分 当 时， 有不动点， 的范围为 ．…………12 分 22.（本小题满分 10 分） 【解答】（1） ， …………1 分 2 1 0y x ax= + + ≥ 2 4 0Δ a= − ≤ 2 2a− ≤ ≤ 2 1 0x ax+ + ≥ 0x > ( ) 2 1 0x axf x x + +∴ = ≥′ ( )0,+∞ ( )f x∴ ( )0,+∞ 0Δ > 2a < − 2a > 2a < − ( ) 0f x′ > 2 4 2 a ax − − −< 2 4 2 a ax − + −> 2 24 40 2 2 a a a a− − − − + −< < ( )f x∴ 2 40, 2 a a − − −    2 24 4,2 2 a a a a − − − − + −    2 4 ,2 a a − + − +∞   2a > ( ) 2 1 0x axf x x + += >′ ( )0,+∞ ( )f x∴ ( )0,+∞ 2a < − ( )f x 2 40, 2 a a − − −    2 24 4,2 2 a a a a − − − − + −    2 4 ,2 a a − + − +∞   2a ≥ − ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 3ln e ln e 02 2 x xF x f x g x x x ax x x x x ax x x= − = + + − − + = − + + − > ( )F x ∴ ( )F x x= 2lnex x xa x − += ( ) ( )2 n 0e lx x xh x xx + −= > ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 1 1 ln1 ln 1 1 ee xx x x xx x x xh x x x + + − +− + + + −=′ = ( ) 0h x′ = 1x = ( )0,1x∈ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x ( ) ( )1 e 1h x h∴ ≥ = + e 1a ≥ + ( )F x a∴ [ )e 1,+ +∞ 2 2 1 1:C x y+ =，∴ ，∴ ．…………3 分 联立方程组得 ，解得 ， ， ∴所求交点的坐标为 ， ．…………5 分 （2）设 ，则 ．…………6 分 ∴ 的面积 ，…………8 分 ∴当 时， ．…………10 分 23.（ 本题满分 10 分） 【解答】（1）不等式等价于 或 或 ，…………3 分 解得 或 或 ， 所以不等式 的解集为 ．…………5 分 （2）由 知，当 时， ；…………7 分 ，…………8 分 当且仅当 时取等号， 所以 ，解得 ．故实数 的取值范围是 ．…………10 分 2 2: cosC ρ θ= 2 2 cosρ ρ θ= 2 2 2x y x+ = 2 2 2 2 1 2 x y x y x  + = + =   1 1 1 2 3 2 x y   = =  2 2 1 2 3 2 x y   = =  −    1 3,2 2       1 3,2 2  −    ( ),B ρ θ 2cosρ θ= AOB△ 1 1sin 4 sin 4cos sin2 2 3 π 3 πS OA OB AOB ρ θ θ θ   = ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = ⋅ − = −       2cos 2 36 πθ = + +   11π 12 θ = max 2 3S = + 1 3 2 x x x ≤ − − ≤ +    11 2 2 2 x x x − ≤ +   x∈∅ 10 2x≤ ≤ 1 12 x< ≤ ( ) 2f x x≤ + { }0 1x x≤ ≤ ( ) 3 , 1 12, 1 2 13 , 2 x x f x x x x x  − ≤ − = − + − < ≤   > 1 2x = ( )min 1 3 2 2f x f  = =   ( ) ( ) ( )3 2 3 1 2 1g x x m x m≥ − − − = − ( )( )3 2 3 1 0x m x− − ≤ 32 1 2m − ≤ 1 5 4 4m− ≤ ≤ m 1 5,4 4  −  