江苏南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题含附加题（word版）

1 江苏省南京市、盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试 数学试题 2020．3 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上．） 1．已知集合 A＝ ，B＝ ，则 A B＝ ． 2．已知复数 z＝1＋2i，其中 i 为虚数单位，则 z2 的模为 ． 3．如图是一个算法流程图，若输出的实数 y 的值为﹣1，则输入的实数 x 的值为 ． 4．某校初三年级共有 500 名女生，为了了解初三女生 1 分钟“仰卧起坐”项目训练情况， 统计了所有女生 1 分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方 图，则 1 分钟至少能做到 30 个仰卧起坐的初三女生 个． 5．从编号为 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽 得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ． 6．已知函数 是定义在 R 上的奇函数，且周期为 2，当 x (0，1]时， ， 则 的值为 ． 7．若将函数 的图象沿 x 轴向右平移 ( ＞0)个单位后所得的图象与 的图象关于 x 轴对称，则 的最小值为 ． 8．在△ABC 中，AB＝ ，AC＝ ，∠BAC＝90°，则△ABC 绕 BC 所在直线旋转一 周所形成的几何体的表面积为 ． 9．已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，满足{ ， ， }＝{ ， ， }＝ {a，b，﹣2}，其中 a＞0，b＞0，则 a＋b 的值为 ． 10．已知点 P 是抛物线 上动点，F 是抛物线的焦点，点 A 的坐标为(0，﹣1)，则 { }2 1 Zx x k k= + ∈， { }( 5) 0x x x − <  ( )f x ∈ ( ) 3 af x x= + ( )f a ( ) sin(2 )3f x x π= + ϕ ϕ ( )f x ϕ 2 5 5 { }na { }nb 1a 2a 3a 1b 2b 3b 2 4x y= PF PA2 的最小值为 ． 11．已知 x，y 为正实数，且 xy＋2x＋4y＝41，则 x＋y 的最小值为 ． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C： (m＞0)．已知过原点 O 且相互垂 直的两条直线 l1 和 l2，其中 l1 与圆 C 相交于 A，B 两点，l2 与圆 C 相切于点 D．若 AB＝ OD，则直线 l1 的斜率为 ． 13．在△ABC 中，BC 为定长， ＝ ．若△ABC 的面积的最大值为 2，则 边 BC 的长为 ． 14．函数 (e 为自然对数的底数，b R)，若函数 恰有 4 个零点，则实数 b 的取值范围为 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分 14 分） 如图，三棱锥 P—ABC 中，点 D，E 分别为 AB，BC 的中点，且平面 PDE⊥平面 ABC． （1）求证：AC∥平面 PDE； （3）若 PD＝AC＝2，PE＝ ，求证：平面 PBC⊥平面 ABC． 16．（本题满分 14 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＝bcosC＋csinB． （1）求 B 的值； （2）设∠BAC 的平分线 AD 与边 BC 交于点 D，已知 AD＝ ，cosA＝ ，求 b 的值． 2 2 2( )x m y r− + = AB 2AC+  3 BC ( ) xf x e x b= − − ∈ 1( ) ( ( ) )2g x f f x= − 3 17 7 7 25 −3 17．（本题满分 14 分） 如图，湖中有一个半径为 1 千米的圆形小岛，岸边点 A 与小岛圆心 C 相距 3 千米．为 方便游人到小岛观光，从点 A 向小岛建三段栈道 AB，BD，BE．湖面上的点 B 在线段 AC 上，且 BD，BE 均与圆 C 相切，切点分别为 D，E，其中栈道 AB，BD，BE 和小岛在同一 个平面上．沿圆 C 的优弧（圆 C 上实线部分）上再修建栈道 ．记∠CBD 为 ． （1）用 表示栈道的总长度 ，并确定 sin 的取值范围； （2）求当 为何值时，栈道总长度最短． 18．（本题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： (a＞b＞0)的离心率为 ，且过 点(0， )． （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知△BMN 是椭圆 C 的内接三角形，①若点 B 为椭圆 C 的上顶点，原点 O 为△ BMN 的垂心，求线段 MN 的长；②若原点 O 为△BMN 的重心，求原点 O 到直线 MN 距离 的最小值． DE θ θ ( )f θ θ θ 2 2 2 2 1x y a b + = 1 2 34 19．（本题满分 16 分） 已知函数 ， ，a R．函数 的导函数 在[ ，4]上存在零点． （1）求实数 a 的取值范围； （2）若存在实数 a，当 x [0，b]时，函数 在 x＝0 时取得最大值，求正实数 b 的 最大值； （3）若直线 l 与曲线 和 都相切，且 l 在 y 轴上的截距为﹣12，求实 数 a 的值． 20．（本题满分 16 分） 已知无穷数列 的各项均为正整数，其前 n 项和为 ，记 为数列 的前 项 和，即 ． （1）若数列 为等比数列，且 ， ，求 的值； （2）若数列 为等差数列，且存在唯一的正整数 n(n≥2)，使得 ，求数列 的通项公式； （3）若数列 的通项为 ，求证：数列 为等差数列． 3 2( ) ( 16)f x x x a x= − − − ( ) lng x a x= ∈ ( )( ) ( )f xh x g xx = − ( )h x′ 5 2 ∈ ( )f x ( )y f x= ( )y g x= { }na nS nT { }na na 1 2 nn aT a a a= + + + { }na 1 1a = 4 25S S= 3T { }na 2n n T a < { }na { }nT ( 1) 2n n nT += { }na5 江苏省南京市、盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试 数学附加题 本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟． 21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换 已知矩阵 ， ． （1）求矩阵 N； （2）求矩阵 N 的特征值． B．选修 4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 (t 为参数)，以原点 O 为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 极坐标方程为 ．若直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，求线段 AB 的长． C．选修 4—5：不等式选讲 已知 a＞0，证明 ． 1 2 2 1  =   M 1 0MN 0 1  =    2 2 1 2 x t y t = = cos( ) 24 πρ θ − = 2 2 1 12 2a aa a + − + −6 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满 400 元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下： 抽奖者掷各面标有 1~6 点数的正方体骰子 1 次，若挪得点数大于 4，则可继续在抽奖箱中抽 奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有 2 个红球与 m(m≥2，m∈N *)个白球， 抽奖者从箱中任意摸出 2 个球，若 2 个球均为红球，则获得一等奖，若 2 个球为 1 个红球和 1 个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)． （1）若 m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率； （2）若一等奖可获奖金 400 元，二等奖可获奖金 300 元，三等奖可获奖金 100 元，记 顾客一次抽奖所获得的奖金为 X，若商场希望 X 的数学期望不超过 150 元，求 m 的最小值． 23．（本小题满分 10 分） 已知集合 A ＝{1，2，…，n}，n∈N *，n≥2，将 An 的所有子集任意排列，得到一个 有序集合组(M ，M ，…，Mm)，其中 m＝2n．记集合 M 中元素的个数为 a ，k∈N*，k≤ m，规定空集中元素的个数为 0． （1）当 n＝2 时，求 a ＋a ＋…＋a 的值； （2）利用数学归纳法证明：不论 n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M ，M ，…， Mm)，满足任意 ，都有 ． n 1 2 k k 1 2 m 1 2 * 1 i i m∈ −N ，  1 1i ia a +− =7