八年级数学下册第16章二次根式单元测试题9（新人教版）

1 第 16 章二次根式单元测试题 9 一、选择题 1．下列的式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则（　　） A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3 3．若 有意义，则 m 能取的最小整数值是（　　） A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3 4．若 x＜0，则 的结果是（　　） A．0 B．﹣2 C．0 或﹣2 D．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6．若 ，则（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x 为一切实数 7．小明的作业本上有以下四题：做错的题是（　　） A． B． C ． D． 8．能够使二次根式 有意义的实数 x 的值有（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 9．最简二次根式 的被开方数相同，则 a 的值为（　　） A． B． C．a=1 D．a=﹣1 10．化简 得（　　） A．﹣2 B． C．2 D． 　 二、填空题 11．（4 分）① =　　；2 ② =　　． 12．二次根式 有意义的条件是　　． 13．若 m＜0，则 =　　． 14． 成立的条件是　　． 15．比较大小： 　　 ．（填“＞”、“=”、“＜”）． 16．若三角形的三边长分别为 a，b，c，其中 a 和 b 满足 ﹣6b=﹣9，则 c 的取值 范围是　　． 17．计算 =　　． 18． 与 的关系是　　． 19．若 x= ﹣3，则 的值为　　． 20．计算：（ + ）2008•（ ﹣ ）2009=　　． 　 三、解答题 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1） （2） （3） （4） ． 22．把根号外的因式移到根号内： （1） （2） ． 23．（24 分）计算： （1）（﹣ ）2 （2） ×（﹣9 ） （3）4 （4）6﹣2 ﹣3 （5）3 （6）2 ． 　 四、综合题 24．已知：a+ =1+ ，求 的值． 25．计算： ． 26．若 x，y 是实数，且 y= + + ，求 的值． 27．已知：x，y 为实数，且 ，化简： ． 28．当 x= 时，求 x2﹣x+1 的值． 　4 人教版八年级下册《第 16 章 二次根式》单元测试 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．下列的式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次根式的定义． 【专题】应用题． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可． 【解答】解：A、当 x=0 时，﹣x﹣2＜0， 无意义，故本选项错误； B、当 x=﹣1 时， 无意义；故本选项错误； C、∵x2+2≥2，∴ 符合二次根式的定义；故本选项正确； D、当 x=±1 时，x2﹣2=﹣1＜0， 无意义；故本选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如 （a≥0）的代数式叫做二次根式．当 a≥ 0 时， 表示 a 的算术平方根；当 a 小于 0 时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号 下为负数，则无实数根）． 　 2．若 ，则（　　） A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】等式左边为非负数，说明右边 3﹣b≥0，由此可得 b 的取值范围． 【解答】解：∵ ， ∴3﹣b≥0，解得 b≤3．故选 D． 【点评】本题考查了二次根式的性质： ≥0（a≥0）， =a（a≥0）． 　 3．若 有意义，则 m 能取的最小整数值是（　　） A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=35 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，即可求解． 【解答】解：由 有意义， 则满足 3m﹣1≥0，解得 m≥ ， 即 m≥ 时，二次根式有意义． 则 m 能取的最小整数值是 m=1． 故选 B． 【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式；性质： 二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 　 4．若 x＜0，则 的结果是（　　） A．0 B．﹣2 C．0 或﹣2 D．2 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】根据二次根式的意义化简． 【解答】解：若 x＜0，则 =﹣x， ∴ = = =2， 故选 D． 【点评】本题考查了根据二次根式的意义化简．二次根式 规律总结：当 a≥0 时， =a，当 a≤0 时， =﹣a． 　 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【考点】最简二次根式． 【分析】B、D 选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C 选项的被开方数中含有分母； 因此这三个选项都不是最简二次根式． 【解答】解：因为：B、 =4 ；6 C、 = ； D、 =2 ； 所以这三项都不是最简二次根式．故选 A． 【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于 2，也 不是最简二次根式． 　 6．若 ，则（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x 为一切实数 【考点】二次根式的乘除法． 【分析】本题需注意的是二次根式的被开方数为非负数，由此可求出 x 的取值范围． 【解答】解：若 成立，则 ，解之得 x≥6； 故选：A． 【点评】本题需要注意二次根式的双重非负性： ≥0，a≥0． 　 7．小明的作业本上有以下四题：做错的题是（　　） A． B． C ． D． 【考点】二次根式的混合运算． 【分析】利用二次根式的运算方法，逐一计算对比答案得出结论即可． 【解答】解：A、 =4a2，计算正确； B、 × =5 a，计算正确； C、a = = ，计算正确； D、 ﹣ =（ ﹣ ） ，此选项错误． 故选：D． 【点评】此题考查二次根式的混合运算，注意运算结果的化简和运算过程中的化简． 　7 8．能够使二次根式 有意义的实数 x 的值有（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数，可得出 x 的值． 【解答】解：∵二次根式 有意义， ∴﹣（x﹣4）2≥0， 解得：x=4，即符合题意的只有一个值． 故选 B． 【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义：被开方数为非负数是解 答本题的关键． 　 9．最简二次根式 的被开方数相同，则 a 的值为（　　） A． B． C．a=1 D．a=﹣1 【考点】最简二次根式． 【分析】最简二次根式是被开方数中不含开得尽方的因数或因式，被开方数相同，令被开方 数相等，列方程求 a． 【解答】解：∵最简二次根式 的被开方数相同， ∴1+a=4﹣2a， 解得 a=1， 故选 C． 【点评】本题主要考查最简二次根式的知识点，关键是理解概念，比较简单． 　 10．化简 得（　　） A．﹣2 B． C．2 D． 【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】首先利用根式的乘法法则打开括号，然后把所有根式化为最简二次根式，最后合并 即可求解． 【解答】解：8 =2 ﹣2+2 =4 ﹣2． 故选 D． 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，其中熟练化简二次根式后，在加减的过程中， 有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较 大的也可先化简，再相乘，灵活对待． 　 二、填空题 11．① =　0.3　； ② =　 　． 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】①先对根式下的数进行变形，（﹣0.3）2=（0.3）2，直接开方即得； ，所以开方后| |= ． 【解答】解：①原式=0.3； ②原式=| |= ． 【点评】本题考查的是对二次根式的化简和求值． 　 12．二次根式 有意义的条件是　x≥0，且 x≠9　． 【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件． 【专题】计算题． 【分析】二次根式的被开方数 x 是非负数，同时分式的分母 ﹣3≠0，据此求得 x 的取值 范围并填空． 【解答】解：根据题意，得 ， 解得，x≥0，且 x≠9； 故答案是：x≥0，且 x≠9． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．在求二次根式的被开方数 是非负数时，不要漏掉分式的分母不为零这一条件．9 　 13．若 m＜0，则 =　﹣m　． 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】当 m＜0 时，去绝对值和二次根式开方的结果都是正数﹣m，而 =m． 【解答】解：∵m＜0， ∴ =﹣m﹣m+m=﹣m． 【点评】本题考查了去绝对值，二次根式，三次根式的化简方法，应明确去绝对值，开方结 果的符号． 　 14． 成立的条件是　x≥1　． 【考点】二次根式的乘除法． 【分析】根据二次根式的乘法法则： • = （a≥0，b≥0）的条件，列不等式组求 解． 【解答】解：若 成立， 那么 ， 解之得，x≥﹣1，x≥1，所以 x≥1． 【点评】此题的隐含条件是：被开方数是非负数． 　 15．比较大小： 　＜　 ．（填“＞”、“=”、“＜”）． 【考点】实数大小比较． 【分析】本题需先把 进行整理，再与 进行比较，即可得出结果． 【解答】解：∵ = ∴ ∴ 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了实数大小关系，在解题时要化成同一形式是解题的关键． 　10 16．若三角形的三边长分别为 a，b，c，其中 a 和 b 满足 ﹣6b=﹣9，则 c 的取值 范围是　1＜c＜5　． 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方；因式分解﹣运用公式法；三 角形三边关系． 【分析】利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质列式求出 a、b，然后根据三角形的 任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求解即可． 【解答】解：原方程可化为 +（b﹣3）2=0， 所以，a﹣2=0，b﹣3=0， 解得 a=2，b=3， ∵3﹣2=1，3+2=5， ∴1＜c＜5． 故答案为：1＜c＜5． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0，三角形 的三边关系． 　 17．计算 =　 　． 【考点】二次根式的加减法． 【分析】根据二次根式的加减法运算法则，先将各个二次根式化简为最简二次根式，然后将 被开方数相同的二次根式合并． 【解答】解：原式= =3 ． 【点评】二次根式的加减法运算一般可以分三步进行：①将每一个二次根式化成最简二次根 式；②找出其中的同类二次根式；③合并同类二次根式． 　 18． 与 的关系是　相等　． 【考点】分母有理化． 【分析】把 分母有理化，即分子、分母都乘以 ，化简再比较与 的关 系． 【解答】解：∵ = ，11 ∴ 的关系是相等． 【点评】正确理解分母有理化的概念是解决本题的关键． 　 19．若 x= ﹣3，则 的值为　1　． 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】先将被开方数分解因式，再把 x 代入二次根式，运用平方差公式进行计算． 【解答】解：∵x= ﹣3， ∴ = = = =1． 【点评】主要考查了二次根式的化简和因式分解以及平方差公式的运用． 注意最简二次根式的条件是： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数因式． 上述两个条件同时具备的二次根式叫最简二次根式． 　 20．计算：（ + ）2008•（ ﹣ ）2009=　 ﹣ 　． 【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】先根据积的乘方得到原式=[（ + ）（ ﹣ ）]2008•（ ﹣ ），然后利 用平方差公式计算． 【解答】解：原式=[（ + ）（ ﹣ ）]2008•（ ﹣ ） =（2﹣3）2008•（ ﹣ ） = ﹣ ． 故答案为 ﹣ ． 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式 的乘除运算，然后合并同类二次根式． 　 三、解答题 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围：12 （1） （2） （3） （4） ． 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】分别根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解． 【解答】解：（1）3x﹣4≥0， 解得 x≥ ； （2）2x+1≥0 且 1﹣|x|≠0， 解得 x≥﹣ 且 x≠±1， 所以，x≥﹣ 且 x≠1； （3）∵m2+4≥4， ∴m 取全体实数； （4）﹣ ＞0， 解得 x＜0． 【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数． 　 22．把根号外的因式移到根号内： （1） （2） ． 【考点】二次根式的性质与化简． 【专题】计算题． 【分析】（1）先变形得到原式=﹣5× ，然后利用二次根式的性质化简后约分即可； （2）先变形得到原式=（1﹣x）• ，然后利用二次根式的性质化简后约分即可． 【解答】解：（1）原式=﹣5×13 =﹣5× =﹣ ； （2）原式=（1﹣x）• =（1﹣x）• =﹣ ． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简： =|a|． 　 23．计算： （1）（﹣ ）2 （2） ×（﹣9 ） （3）4 （4）6﹣2 ﹣3 （5） （6）2 ． 【考点】二次根式的混合运算． 【分析】（1）利用二次根式的性质化简； （2）根据二次根式的乘法法则运算； （3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （4）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （5）利用多项式乘法展开即可； （6）根据二次根式的乘除法则运算． 【解答】解：（1）原式=1﹣ = ； （2）原式= ×（﹣9）× =﹣45 ； （3）原式=4 +3 ﹣2 +4 =7 +2 ；14 （4）原式=6﹣ ﹣ =6﹣ ； （5）原式=6﹣4 + ﹣4 ； （6）原式=2× × = ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次 根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 　 四、综合题 24．已知：a+ =1+ ，求 的值． 【考点】二次根式的化简求值． 【专题】计算题． 【分析】把 a+ =1+ 的两边分别平方，进一步整理得出 的值即可． 【解答】解：∵a+ =1+ ， ∴（a+ ）2=（1+ ）2， ∴ +2=11+2 ， ∴ =9+2 ． 【点评】此题考查二次根式的混合运算和代数式求值，注意式子特点，灵活计算． 　 25．计算： ． 【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】由于 分母有理化后变为 ﹣1，其他的也可以分母有理化，然后一起相加， 最后做乘法即可求解． 【解答】解： =（ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ ）（ +1） =（ ）（ ） =2009﹣115 =2008． 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是首先把所有的根式分母有理化 达到化简的目的，然后利用平方差公式计算即可求解． 　 26．若 x，y 是实数，且 y= + + ，求 的值． 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式求出 x，再求出 y，然后代入代数式进行计算即可得 解． 【解答】解：由题意得，x﹣1≥0 且 1﹣x≥0， 解得 x≥1 且 x≤1， 所以，x=1， y= ， 所以， = =﹣1． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 　 27．已知：x，y 为实数，且 ，化简： ． 【考点】二次根式的性质与化简；二次根式有意义的条件． 【专题】计算题． 【分析】应用二次根式的化简，注意被开方数的范围，再进行加减运算，得出结果． 【解答】解：依题意，得 ∴x﹣1=0，解得：x=1 ∴y＜3 ∴y﹣3＜0，y﹣4＜0 ∴ =3﹣y﹣ =3﹣y﹣（4﹣y）16 =﹣1． 【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0 时， =a；a＜0 时， =﹣a； a=0 时， =0． 　 28．当 x= 时，求 x2﹣x+1 的值． 【考点】二次根式的化简求值． 【分析】先根据 x= ，整理成 x= +1，再把要求的式子进行配方，然后把 x 的值代入， 即可得出答案． 【解答】解：∵x= ∴x= +1， ∴x2﹣x+1=（x﹣ ）2+ =（ +1﹣ ）2+ =3 ． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最 简二次根式的形式后再运算．