2019~2020 学年下学期高三综合模拟考试
理科数学试卷
考试时长：120 分钟试卷总分：150 分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 i 为虚数单位， ，则关于复数 z 的说法正确的是（ ）
A. B. z 对应复平面内的点在第三象限
C. z 的虚部为 D.
3.下列命题正确的是（ ）
A. “ ”是“ ”的必要不充分条件
B 对于命题 ： ，使得 ，则 ： 均有
C. 若 为假命题，则 ， 均为假命题
D. 命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
4.已知 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5.函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.设 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A. -1 B. 0 C. D. 2
7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦
法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或
.
{ 1,0,1,2,3,4}U = − { | 4},A x N x= ∈ < { | 1 2}B x Z x= ∈ − ≤ < ( )U A B =
{ 1,0,1,4}− { 1,0}− { }1− {0,1}
2 11z ii
⋅ = −−
| | 1z =
i− 2z z+ =
1x < 2 3 2 0x x− + >
p x R∃ ∈ 2 1 0x x+ − < p¬ x R∀ ∈ 2 1 0x x+ − ≥
p q∧ p q
2 3 2 0x x− + = 2x = 2 3 2 0x x− + = 2x ≠
( )2
3log 2 ,a =
2
1
2
log 3 ,b
=
2
2
1log 3c =
c a b< < a b c< < a c b< < b c a< <
2
2log ( 1)( ) xf x x
−=
,x y
2 6
3
2
x y
x y
y
− ≤
+ ≥
≤
yz x
=
1
2平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚
钱币正面向上的概率为 ，则一卦中恰有两个变爻的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.正项等比数列 中， 的等比中项为 ，令 ，则 （ ）
A. 6 B. 16 C. 32 D. 64
9.榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于
建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，
榫卯结构中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（ ）
A. 36 B. 45 C. 54 D. 63
10.已知双曲线 的离心率为 2， ， 分别是双曲线的左、右焦点，点 ，
，点 为线段 上的动点，当 取得最小值和最大值时， 的面积分别为 ，
，则 （ ）
A. 4 B. 8 C. D.
11.设函数 在定义域 上是单调函数，且 ，若不等式
对 恒成立，则 取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数 的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为 ，
则 （ ）
A. B. C. 0 D. 2
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
的
1
2
1
4
15
64
240
729
1215
4096
{ }na 3 4,a a 1
1e
e
dxx∫ 1 2 3n nT a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6T =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F 2F ( ,0)M a−
(0, )N b P MN 1 2PF PF⋅
1 2PF F△ 1S
2S 2
1
S
S
=
2 3 4 3
( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( )0, , xx f f x e x e ∀ ∈ +∞ − + =
( ) ( )'f x f x ax+ ≥ (0, )x∈ +∞ a
( ], 2e−∞ − ( ], 1e−∞ −
( ],2 3e−∞ − ( ],2 1e−∞ −
( ) ( )cos 0f x x x= ≥ θ
( )21 sin 2θ θ
θ
+
=
2− 1−13. 的展开式中 的系数为____.
14.设 ，向量 ，且 ， ，则 _____.
15.在三棱锥 中，已知 ，且平面 平面 ，则三
棱锥 外接球的表面积为______.
16.已知双曲线 ( )的左右焦点分别为 ， 为坐标原点，点 为双曲线右支
上一点，若 ， ，则双曲线 的离心率的取值范围为_____.
三、解答题（本大题共 7 小题，前 5 题每小题 12 分，后 2 题为选考题 10 分，共 70.0 分）
17. 内角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
18.某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目， 两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本
数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将 队第六位选手的成绩没有给出，
并且告知大家 队的平均分比 队的平均分多 4 分，同时规定如果某位选手的成绩不少于 21 分，则获得“晋
级”.
（1）根据茎叶图中的数据，求出 队第六位选手的成绩；
（2）主持人从 队所有选手成绩中随机抽 2 个，求至少有一个为“晋级”的概率；
（3）主持人从 两队所有选手成绩分别随机抽取 2 个，记抽取到“晋级”选手的总人数为 ，求 的分
布列及数学期望.
19.如图所示，在四面体 中， ，平面 平面 ， ，且
.
的
41( 2)x x
+ − 2x
,x y R∈ ( ,1),a x= (2, ),b y= ( 2,2)c = − a c⊥ / /b c a b+ =
A BCD− 2 2 =6BC CD BD AB AD= = = = ABD ⊥ BCD
A BCD−
2 2
2 2: 1x yC a b
− = 0, 0a b> > 1 2,F F O M
1 2 2F F OM= 2 1tan 2MF F∠ ≥ C
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 26 sin cos sin2
Aa B b A=
cos A
21, 5a b c= + = ABC∆
A B、
A
B A
A
A
A B、 ξ ξ
ABCD AD AB⊥ ABD ⊥ ABC 2
2AB BC AC= =
4AD BC+ =（1）证明： 平面 ；
（2）设 为棱 的中点，当四面体 的体积取得最大值时，求二面角 的余弦值.
20.已知顶点为原点的抛物线 C 的焦点与椭圆 的上焦点重合，且过点 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若抛物线上不同两点 A，B 作抛物线的切线，两切线的斜率 ，若记 AB 的中点的横坐标为 m，
AB 的弦长 ，并求 的取值范围.
21.已知函数
（1）当 时，求 的极值；
（2）设 ，对任意 都有 成立，求实数 的取值范
围.
选考题：请考生从给出的第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题
目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一
题计分.
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），圆 的参数方程为
（ 为参数）.
（1）求 和 的普通方程；
（2）将 向左平移 后，得到直线 ，若圆 上只有一个点到 的距离为 1，求 .
23.已知函数 ，函数 .
.
BC ⊥ ABD
E AC ABCD C BD E− −
2
2
2 1y xa
+ = (2 2,1)
1
2
1k k
= −
( )g m ( )g m
ln( ) x
x af x e
+=
1a = ( )f x
( ) xg x xe a−= − 1 2, (0, )x x ∈ +∞ ( ) ( )1
1 1 1 2
xx e f x ax g x− > a
xOy l
24
3 1
x t a
y t
= +
= −
t C
2
1 cos
2 sin
x a
y a
θ
θ
= +
= − +
θ
l C
l ( 0)m m > l′ C l′ m
( ) | 2 | 1f x x x= − − − ( ) | 3| 1g x x x m= − − − + −（1）当 时，求实数 x 取值范围；
（2）当 与 的图象有公共点，求实数 m 的取值范围.
的( ) 0f x >
( )y g x= ( )y f x=
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