2020届福建省漳州市高三3月第二次高考适应性测试数学（理）试题（原卷版）

漳州市 2020 届高中毕业班第二次高考适应性测试 理科数学试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 5 页，请考生把答案填写在答题纸上. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 ，则 在复平面上对应的点为（ ） A. B. C. D. 2.已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 3.下图是某省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图. 若该省从 1 月 21 日至 2 月 24 日 新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列 ， 的前 n 项和为 ，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列 是递增数列 B. 数列 是递增数列 C. 数列 最大项是 D. 数列 的最大项是 4.中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率 π 的近似值的方法．古代 数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图 1）做统计，现将其抽象成如图 2 所示的图形，其中圆的半径为 2cm，正方形的边长为 1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是 P，则圆周率 π 的近 似值为（　　） 的 的 1z i = z ( )0, 1− ( )1,0− ( )0,1 ( )1,0 1 2 { | log (1 2 ) 1}A x x= − > A =R 1 1, ,4 2    −∞ +∞       1 1, ,4 2    −∞ ∪ +∞      1 1,4 2      1 1,4 2      { }na { }na nS { }na { }nS { }na 11a { }nS 11SA. B. C. D. 5.已知点 在双曲线 的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6.在 中， ，AD 是 BC 边上的高，则 等于（ ） A. 0 B. C. 2 D. 1 7.已知函数 ，则下列说法错误的是（ ） A. 的定义域是 R B. 是偶函数 C. 在 单调递减 D. 的最小值为 1 8.已知 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ，角 A 的平分线交 BC 于点 D，且 ，则 的值为（ ） A B. C. D. 9.若正四棱柱 底面边长为 2，外接球的表面积为 ，四边形 ABCD 和 的外 接圆的圆心分别为 M，N，则直线 MN 与 所成的角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 10.已知函数 有三个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11.如图，已知 的三个顶点均在抛物线 上，AB 经过抛物线的焦点 F，点 D 为 AC 中点.若点 D 的纵坐标等于线段 AC 的长度减去 1，则当 最大时，线段 AB 的长度为（ ） . 的 1 4(1 )p− 1 1 p− 1 1 4p− 4 1 p− ( )1,2 2 2 2 2 1y x a b − = 3 2 5 5 2 6 2 ABC∆ 2, 30= ∠ = AB ABC AD AC⋅  1 2 ( ) ( )1 1 1 + − += + x x x e x eg x ( )g x ( )g x ( )g x ( )0, ∞+ ( )g x ABC∆ 60 , 3= =A b c 7BD = cos ADB∠ 21 7 − 21 7 2 7 7 2 7 7 ± 1 1 1 1ABCD A B C D− 40π 1 1BCC B 1CD 7 9 − 1 3 − 1 3 7 9 ( ) 3 2 ln= − + + −f x x x x a 0a < 1a ≤ 0a > 1a > ABC∆ 2 4x y= AFC∠A. 12 B. 14 C. 10 D. 16 12.已知函数 （ ， ）的图象经过点 ，若关于 x 的方程 在 上恰有一个实数解，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题. 13.若 ，则 ______. 14. 且 ，则实数 m 的值为　　 　　． 15.定义在 R 上的函数 为奇函数， ，又 也是奇函数，则 ______. 16.已知正方体 的棱长为 4，点 P 是 的中点，点 M 在侧面 内，若 ，则 面积的最小值为______. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题： 17.已知数列 的前 n 项和为 ， ， . （1）求 ； （2）若 ，数列 的前 n 项和为 ，求 . 18.在如图所示的六面体中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，四边形 ABEF 是梯形， ，平面 ( ) ( )sinf x xω ϕ= + 0>ω 2 π0,ϕ  ∈   10, 2      ( ) 1f x = − ,6 π π     ω 4 10,3 3     4 ,83      10 ,203      4 ,203      1sin 2 α = cos2 =α 6 2 6 0 1 2 6(1 )mx a a x a x a x+ = + + + + 1 2 3 4 5 6 63a a a a a a+ + + + + = ( )f x ( )1 1f = ( ) ( )2g x f x= + ( )2020f = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA 1 1AA B B 1D M CP⊥ BCM∆ { }na nS 0na > 2 *2 ,n n nS a a n N= + ∈ na 1 n n b S = { }nb nT nT //AF BE平面 ABEF，BE＝2AF=2，EF= . （1）在图中作出平面 ABCD 与平面 DEF 的交线，并写出作图步骤，但不要求证明； （2）求证： 平面 DEF； （3）求平面 ABEF 与平面 ECD 所成锐二面角的余弦值. 19.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改 善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应 届高三的全体 800 名学生中随机抽取了 100 名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图. （1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以上的人数； （2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调 查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过 0.005 的前提下认为视力与眼保健操有关 系？ （3）在（2）中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取 8 人，进一步调查他们良好的 护眼习惯，在这 8 人中任取 2 人，记坚持做眼保健操的学生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望. 附： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ABCD ⊥ 3 //AC ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2K k≥20.已知椭圆与双曲线 有相同的焦点坐标，且点 在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设 A、B 分别是椭圆的左、右顶点，动点 M 满足 ，垂足为 B，连接 AM 交椭圆于点 P（异 于 A），则是否存在定点 T，使得以线段 MP 为直径的圆恒过直线 BP 与 MT 的交点 Q，若存在，求出点 T 的 坐标；若不存在，请说明理由. 21.已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 在定义域内是增函数，且存在不相等 正实数 ，使得 ，证明： . （二）选考题：请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. 22.已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），P 是曲线 C 上的点且对应的参数为 ， .直线 l 过点 P 且倾斜角为 . （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程. （2）已知直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 ，求证： 为定值. 23.已知 ， ， . （1）求证： ； （2）若 ，求证： . 的 2 2 12 x y− = 13, 2      MB AB⊥ ( ) 21ln 2 , R2  = + − − ∈  x a x ax af x ( )f x ( )f x 1 2,x x ( ) ( )1 2 3+ = −f x f x 1 2 2x x+ > 2cos , sin , x y α α =  = α β π0 2 β< < π β− ,A B PA PB⋅ 0a > 0b > 2 2 14 3a b ab + = + 1ab ≤ b a> 3 3 1 1 1 13 − ≥ −  a b a b