中考数学复习专题讲与练三大变换—旋转作图（二）

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 三大变换之--旋转作图（二） 知识梳理　 1、 中心对称:把一个图形绕着某个定点旋转 180°，如果它能和另一个图形重合，那么这 两个图形关于这个定点对称或中心对称。这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫 做关于对称中心的对称点。 2、中心对称的性质： （1）对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，即对称中心是两个对称点 所连线段的中点。 （2）对应线段平行或共线。 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 1．如图，在直角坐标平面内，已知点 A 的坐标（﹣5，0）， （1）图中 B 点的坐标是 ； （2）点 B 关于原点对称的点 C 的坐标是 ；点 A 关于 y 轴对称的点 D 的坐标 是 ； （3）△ABC 的面积是 ； （4）在直角坐标平面上找一点 E，能满足 S△ADE=S△ABC 的点 E 有 个； （5）在 y 轴上找一点 F，使 S△ADF=S△ABC，那么点 F 的所有可能位置是 ；（用 坐标表示，并在图中画出）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 2．如图，在直角坐标系中，矩形纸片 ABCD 的点 B 坐标为（9，3），若把图形按要求折叠， 使 B、D 两点重合，折痕为 EF． （1）△DEF 是否为等腰三角形？（不要说明理由） （2）图形中是否存在成中心对称的两个图形？如果存在请说明理由；如果不存在，也请说 明理由．（图中实线、虚线一样看待） （3）求折痕 EF 的长及所在直线的解析式． 　 3．我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那 么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕 着它的对角线的交点旋转 90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转 角为 90°． （1）判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”） ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为 144°． ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为 180°． （2）填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为 120°的是 ．（写 出所有正确结论的序号） ①正三角形 ②正方形 ③正六边形 ④正八边形 （3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为 72°，其中一个是轴对 称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 　天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 4．某校园内有一人行道上镶嵌着如图①所示的水泥方砖，砖面上的小沟槽（如图②）EA、HD、 GC、FB 分别是方砖 TPQR 四边的中垂线，四边形 HEFG 是正方形，现请你根据上述信息解答 下列问题． （1）方砖 TPQR 面上的图案　_________　 A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 （2）若要使方砖 TPQR 的面积是正方形 HEFG 面积的 9 倍，求当方砖边长为 24 厘米时，小沟 槽 EA 的长是多少． 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．设点 M（1，2）关于原点的对称点为 M′，则 M′的坐标为　_________　． 　 2．在平面直角坐标系中，O 是原点，A 是 x 轴上的点，将射线 OA 绕点 O 旋转，使点 A 与双 曲线 y= 上的点 B 重合，若点 B 的纵坐标是 1，则点 A 的横坐标是　_________　． 　 3．如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系第一象限内，先将它向下平移 4 个单位后，再 将它绕原点 O 旋转 180°，则小花顶点 A 的对应点 A′的坐标为　_________　． 　 4．在平面直角坐标系中，点 P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是　_________　． 　 5．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC 绕点 P 旋转 180°得到△DEF，则点 P 的坐标为　 _________　．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 6．函数 的图象如图所示，关于该函数，下列结论正确的是　_________　（填序 号）． ①函数图象是轴对称图形；②函数图象是中心对称图形；③当 x＞0 时，函数有最小值；④ 点（1，4）在函数图象上；⑤当 x＜1 或 x＞3 时，y＞4． 　 7．永州市新田县的龙家大院至今已有 930 多年历史，因该村拥有保存完好的“三堂九井二 十四巷四十八栋”明清建筑，而申报为中国历史文化名村．如图是龙家大院的一个窗花图案， 它具有很好的对称美，这个图案是由：①正六边形；②正三角形；③等腰梯形；④直角梯形 等几何图形构成，在这四种几何图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　_________　 （只填序号）． 　 8．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称或中心对称变换，若原来 点 A 坐标是（a，b），则经过第 2011 次变换后所得的 A 点坐标是　_________　．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 9．在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性．如图是一个破损花窗的图形，请把它 补画成中心对称图形． 　_________　． 　 10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点． （1）点 A 关于原点 O 的对称点 A′的坐标为　_________　，点 B 关于 x 轴的对称点 B′的 坐标为　_________　，点 C 关于 y 轴的对称点 C 的坐标为　_________　． （2）求（1）中的△A′B′C′的面积． 　B 档（提升精练） 11．如图，△ABO 与△CDO 关于 O 点中心对称，点 E、F 在线段 AC 上，且 AF=CE． 求证：FD=BE． 　 12．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，每个小方格的边长为 1 个单位长度．正方 形 ABCD 顶点都在格点上，其中，点 A 的坐标为（1，1）． （1）若将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针方向旋转 90°，点 B 到达点 B1，点 C 到达点 C1，点 D 到达点 D1，求点 B1、C1、D1 的坐标． （2）若线段 AC1 的长度与点 D1 的横坐标的差恰好是一元二次方程 x2+ax+1=0 的一个根，求 a 的值．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 13．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB 的两条直角边 OA，OB 分别在 x 轴的负半轴，y 轴的负 半轴上，且 OA=2，OB=1．将 Rt△AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转 90°，再把所得的像沿 x 轴 正方向平移 1 个单位，得△CDO． （1）写出点 A，C 的坐标； （2）求点 A 和点 C 之间的距离． 　 14．如图，图形中每一小格正方形的边长为 1，已知△ABC． （1）AC 的长等于　_________　； （2）先将△ABC 向右平移 2 个单位得到△A′B′C′，则 A 点的对应点 A′的坐标是　 _________　； （3）再将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°后得到△A1B1C1，则 A 点对应点 A1 的坐标是　 _________　．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 15．如图，平面直角坐标系中，△ABC 为等边三角形，其中点 A、B、C 的坐标分别为（﹣3，﹣ 1）、（﹣3，﹣3）、（﹣3+ ，﹣2）．现以 y 轴为对称轴作△ABC 的对称图形，得△A1B1C1， 再以 x 轴为对称轴作△A1B1C1 的对称图形，得△A2B2C2． （1）直接写出点 C1、C2 的坐标； （2）能否通过一次旋转将△ABC 旋转到△A2B2C2 的位置？你若认为能，请作出肯定的回答， 并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）； （3）设当△ABC 的位置发生变化时，△A2B2C2、△A1B1C1 与△ABC 之间的对称关系始终保持 不变． ①当△ABC 向上平移多少个单位时，△A1B1C1 与△A2B2C2 完全重合并直接写出此时点 C 的坐 标； ②将△ABC 绕点 A 顺时针旋转α°（0≤α≤180），使△A1B1C1 与△A2B2C2 完全重合，此时α 的值为多少点 C 的坐标又是什么？ 　 16．如图①，在△AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB 沿 x 轴依次以点 A、B、O 为 旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为　 _________　． 　 17．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图 1，在△ABC 中，若 AB=5，AC=3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，使得 DE=AD，再连接 BE （或将△ACD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD），把 AB、AC、2AD 集中在△ABE 中，利用 三角形的三边关系可得 2＜AE＜8，则 1＜AD＜4． [感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中 心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图 2，在△ABC 中，D 是 BC 边上 的中点，DE⊥DF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF． 求证：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索线段 BE、CF、EF 之间的等量关系，并加以证明．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点． （1）已知点 A（3，1），连接 OA，作如下探究： 探究一：平移线段 OA，使点 O 落在点 B．设点 A 落在点 C，若点 B 的坐标为（1，2），请在 图 1 中作出 BC，点 C 的坐标是　_________　； 探究二：将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 90 度，设点 A 落在点 D．则点 D 的坐标是　_________　； （2）已知四点 O（0，0），A （a，b），C，B（c，d），顺次连接 O，A，C，B． ①若所得到的四边形为平行四边形，则点 C 的坐标是　_________　； ②若所得到的四边形是正方形，请直接写出 a，b，c，d 应满足的关系式． 　 19．如图，将边长为 1 的等边△OAP 按图示方式，沿 x 轴正方向连续翻转 2007 次，点 P 依 次落在点 P1，P2，P3，P4，…，P2007 的位置．试写出 P1，P3，P100，P2007 的坐标． 　 20．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，把矩形 COAB 绕点 C 顺时针旋转α度的角，得到矩形 CFED， 设 FC 与 AB 交于点 H，且 A（0，4）、C（8，0）． （1）当α=60°时，△CBD 的形状是　_________　． （2）当 AH=HC 时，求直线 FC 的解析式．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 成长足迹 课后检测 三大变换之--旋转作图（二）参考答案 典题探究 例 1 解：（1）根据图示知，点 B 的坐标为（﹣3，4）；⊅ （2）由（1）知，B（﹣3，4）， ∴点 B 关于原点对称的点 C 的坐标是（3，﹣4）； ∵点 A 的坐标（﹣5，0）， ∴点 A 关于 y 轴对称的点 D 的坐标是（5，0）；天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （3）由勾股定理求得，AB=2 ，AC=4 ，BC=10， ∴AB2+AC2=BC2， ∴AB⊥AC， ∴S△ABC=AB•AC=×2 ×4 =20； （4）∵S△ADE=S△ABC， ∴△ADE 与△ABC 的一条边的边长，和这条边上的高都相等， ∵在该表格中，符合条件的点 E 由无数个； ∴能满足 S△ADE=S△ABC 的点 E 有无数个； （5）∵AD=10， ∴S△ADF=AD•OF=20， ∴OF=4， ∴点 F 的所有可能位置是（0，4）或（0，﹣4）； 故答案是： （1）（﹣3，4）； （2）（3，﹣4）；（5，0）； （3）20； （4）无数．（每格 1 分） （5）（0，4）或（0，﹣4）．（2 分） 例 2 解：（1）△DEF 为等腰三角形．（2 分） （2）连接 BD 交 EF 于 M， ∵B、D 关于 EF 对称， ∴BM=DM，EM⊥BD， 易证 EM=FM， ∴E、F 关于 M 成中心对称，B、D 关于 M 成中心对称，又 M 为 BD 的中点， ∴A、C 关于 M 成中心对称， ∴四边形 AEFD 与四边形 CFEB 关于 M 成中心对称．（6 分） （3）设 BE=OE=x，则 AE=9﹣x， 在直角三角形 AED 中，（9﹣x）2+32=x2，解得 x=5，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴E（4，3），F（5，0）， EF= ，（9 分） 直线 EF 的解析式为 y=﹣3x+15．（12 分） 例 3 解：（1）① =72°， ∴正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为 144°，说法正确； ② =90°， ∴长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为 180°，说法正确； （2）①正三角形的最小旋转角为 =120°； ②正方形的最小旋转角为 =90°； ③正六边形的最小旋转角为 =60°； ④正八边形的最小旋转角为 =45°； 则有一个旋转角为 120°的是①③． （3） =72°， 则正五边形是满足有一个旋转角为 72°，是轴对称图形，但不是中心对称图形； 正十边形有一个旋转角为 72°，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 例 4 解：（1）通过图象观察和题意 EA、HD、GC、FB 分别是方砖 TPQR 四边的中垂线，且四 边形 HEFG 是正方形就可以得出方砖 TPQR 面上的图案是轴对称图形，又是中心对称图形． （2）设小沟槽 EA 的长是 xcm，则 EG 的长度为 24﹣2x． ∵四边形 HEFG 是正方形， ∴HE=HG，∠GHE=90°， ∴HE2+HG2=EG2． ∴2HE2=（24﹣2x）2，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴HE2=2x2﹣48x+288． ∵ ， ∴ ， 解得：x1=12+4 （舍去），x2=12﹣4 ． ∴EA=12﹣4 ． 故答案为：C． 演练方阵 A 档（巩固专练） 1、解：点 M（1，2）关于原点的对称点 M′的坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，﹣2）． 2、解：如图所示： ∵点 A 与双曲线 y= 上的点 B 重合，点 B 的纵坐标是 1， ∴点 B 的横坐标是 ， ∴OB= =2， ∵A 点可能在 x 轴的正半轴也可能在负半轴， ∴A 点坐标为：（2，0），（﹣2，0）． 故答案为：2 或﹣2． 3、解：由平面直角坐标系可得 A（3，1），向下平移 4 个单位后可得对应点的坐标为（3，﹣ 3）， 再将它绕原点 O 旋转 180°可得对应点坐标为 A′（﹣3，3）， 故答案为：（﹣3，3）． 4、解：点 P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣5，3）． 故答案为：（﹣5，3）． 5、解：连接 AD， ∵将△ABC 绕点 P 旋转 180°得到△DEF， ∴点 A 旋转后与点 D 重合， ∵由题意可知 A（0， 1），D（﹣2，﹣3）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴对应点到旋转中心的距离相等， ∴线段 AD 的中点坐标即为点 P 的坐标， ∴点 P 的坐标为（ ， ），即 P（﹣1，﹣1）． 故答案为：（﹣1，﹣1）． 6、解：①②当 x 变为﹣x 时，y 变为﹣y，可见，（x，y）对应点为（﹣x，﹣y），可见，函 数图象是中心对称图形，不是轴对称图形，故②正确，①错误； ③当 x＞0 时，函数图象有最低点，故函数有最小值，故本选项正确； ④将点（1，4）代入解析式，等式成立，点（1，4）在函数图象上，故本选项正确： ⑤当 x=1 和 x=3 时，y=4，可见，0＜x＜1 或 x＞3 时，y＞4，故本选项错误； 故答案为②③④． 7、解：∵①此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； ②此图形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故此选项错误； ③此图形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故此选项错误； ④此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误． 故答案为：①． 8、解：∵2011÷3=670…1，第一次变换是各对应点关于 x 轴对称，点 A 坐标是（a，b）， ∴经过第 2011 次变换后所得的 A 点坐标是（a，﹣b）． 故答案为（a，﹣b）． 9、解： 10、解：（1）∵A（﹣1，5）， ∴点 A 关于原点 O 的对称点 A′的坐标为（1，﹣5）． ∵B（4， 2）， ∴点 B 关于 x 轴的对称点 B′的坐标为（4，﹣2）． ∵C（﹣1，0）， ∴点 C 关于 y 轴的对称点 C′的坐标为（1，0）． 故答案分别是：（1，﹣5），（4，﹣2），（1，0）．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （2）如图，∵A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）． ∴A′C′=|﹣5﹣0|=5，B′D=|4﹣1|=3， ∴S△A′B′C′=A′C′•B′D=×5×3=7.5，即（1）中的△A′B′C′的面积是 7.5． 11、证明：∵△ABO 与△CDO 关于 O 点中心对称， ∴OB=OD，OA=OC， ∵AF=CE， ∴OF=OE， ∵在△DOF 和△BOE 中 ∴△DOF≌△BOE（SAS）， ∴FD=BE． 12、解：（1）如图，B1、C1、D1 的坐标分别为： B1（2，﹣1），C1（4，0），D1（3，2）； （2）根据勾股定理，AC1= = ， ∴线段 AC1 的长度与点 D1 的横坐标的差是 ﹣3， ∴（ ﹣3）2+（ ﹣3）a+1=0， 整理，10﹣6 +9+（ ﹣3）a+1=0， ∴（ ﹣3）a=﹣20+6 ， 解得 a=﹣2 ． 故答案为：（1）B1（2，﹣1），C1（4，0），D1（3，2）；（2）a=﹣2 ． 13、解：（1）点 A 的坐标是（﹣2，0），点 C 的坐标是（1，2）．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （2）连接 AC，在 Rt△ACD 中，AD=OA+OD=3，CD=2， ∴AC2=CD2+AD2=22+32=13， ∴AC= ． 14、解：（1）根据图形，可得出 A 的坐标为（﹣1，2），C 的坐标为（0，﹣1），故 AC 的长 等于 = ； （2）根据图形，可得出 A 的坐标为（﹣1，2），B 的坐标为（3，1）， C 的坐标为（0，﹣1），将△ABC 向右平移 2 个单位得到△A'B'C'，则 A 点的对应点 A'的坐 标是（1，2）； （3）根据旋转的规律，把△OAB 的绕点 O 按逆时针方向旋转 90°，就是把它上面的各个点 按逆时针方向旋转 90°， 可得 A1 的坐标为（﹣3，﹣2）．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 15、 解：（1）点 C1、C2 的坐标分别为（3﹣ ，﹣2）、（3﹣ ，2）． （2）能通过一次旋转将△ABC 旋转到△A2B2C2 的位置，所旋转的度数为 180°； （3）①当△ABC 向上平移 2 个单位时，△A1B1C1 与△A2B2C2 完全重合，此时点 C 的坐标为 （﹣3+ ，0）（如图 1）； ②当α=180 时，△A1B1C1 与△A2B2C2 完全重合，此时点 C 的坐标为（﹣3﹣ ，0）（如图 2）． 16、解：∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4， ∴AB= = =5， 根据图形，每 3 个图形为一个循环组，3+5+4=12， 所以，图⑨的直角顶点在 x 轴上，横坐标为 12×3=36， 所以，图⑨的顶点坐标为（36，0）， 又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合， ∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）． 故答案为：（36，0）． 17、解：（1）延长 FD 到 G，使得 DG=DF，连接 BG、EG． （或把△CFD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△BGD）， ∴CF=BG=DF=DG， ∵DE⊥DF， ∴EF=EG． 在△BEG 中，BE+BG＞EG，即 BE+CF＞EF． （2）若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°， 由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG， ∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°， ∴在 Rt△EBG 中，BE2+BG2=EG2， ∴BE2+CF2=EF2．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 18、解：（1）探究一： ∵点 A（3，1），连接 OA，平移线段 OA，使点 O 落在点 B． 设点 A 落在点 C，若点 B 的坐标为（1，2）， 则 C 的坐标为（4，3），如图 1 所示： 探究二： ∵将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 90 度， 设点 A 落在点 D． 则点 D 的坐标是（﹣1，3），如图 2 所示； （2）∵四点 O（0，0），A （a，b），C，B（c，d），顺次连接 O，A，C，B． ①若所得到的四边形为平行四边形， 那么 OA∥CB， ∴OA 平移到 OB 的位置， 点 C 的坐标为（a+c，b+d）； ②若所得到的四边形是正方形， 那么根据正方形的性质可以得到 a=d 且 b=﹣c 或 b=c 且 a=﹣d． 19、解：P1（1，0）； ∵等边△OAP 的高为边长的 倍， ∴P3（， ）； ∵从 P1 开始，根据图形的旋转可得每三次翻转后和原来的状态一样， ∴100=3×33+1， ∴P100 的纵坐标为 0，横坐标为 100， ∴P100（100，0）； ∵2007=3×669，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴P2007 的纵坐标为 ，横坐标=2005+1.5=2006.5． ∴P2007（2006.5， ）． 20、解：（1）∵矩形 COAB 绕点 C 顺时针旋转 60 度的角，得到矩形 CFED， ∴∠BCD=60°，CB=CD， ∴△CBD 为等边三角形； （2）∵A（0，4）、C（8，0）， ∴OA=BC=4，OC=AB=8， 设 AH=HC=x，则 BH=8﹣x，CB=4， 在 Rt△CBH 中， ∵CH2=BH2+BC2， ∴x2=（8﹣x）2+42，解得 x=5， ∴H 点的坐标为（5，4）， 设直线 FC 的解析式为 y=kx+b， 把 C（8，0）、H（5，4）代入得 ，解得 ， ∴直线 FC 的解析式为 ．