中考数学复习专题讲与练锐角三角函数

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 锐角三角函数 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以 后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！” 另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻 松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例 1.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 sinA=，则 cosB 的值是（　　） 　 A． B． C． D． 例 2.如图是以△ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过 C 作 CD⊥AB 交 AB 于 D．已知 cos∠ACD=，BC=4，则 AC 的长为（ ） 　 A．1 B． C．3 D．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 3．cos60°的值等于（　　） 　 A． B． C． D． 例 4．如图，在半径为 1 的⊙O 中，∠AOB=45°，则 sinC 的值为（　　） 　 A． B． C． D． 练习一 锐角三角函数 1．已知 sinA= （∠A 为锐角），则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________． 2．在 Rt△ABC 中，∠C 为直角， ， ，则 cosA=________，tanA=_________． 3．在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，AB=5，BC=3，则 sinA=________， tanA=_________． 4．在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A=30º， ，则 =__________， =__________． 5．在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，若 sinA= ，则 cosB=_________． 6．已知 cosA= ，且∠B=90º-∠A，则 sinB=__________． 7．若∠A 是锐角，且 cosA=sinA，则∠A 的度数是（ ） A、30º B、45º C、60º D、不能确定 8．如图，电线杆 AB 的中点 C 处有一标志物，在地面 D 点处测得标志物的仰角为 45°，若 点 D 到电线杆底部点 B 的距离为 a，则电线杆 AB 的长可表示为 A．a B．2a C． D． D C B A 2 1 1a = 2b = 4b = a c 5 3 2 3 3 2 a 5 2 a天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 9.计算： 10.计算： 练习二 解直角三角形 1. 已知如图， 中 ， ， ，求 和 的长. 2.在 中， ，求 . 3. 如 图 ， 在 梯 形 中 ， ， ， ， ， ，求 的长． 4.已知：如图，在梯形 中， ， ， ， 于点 ， ， ．求： 的长． 5.已知：如图， 内接于 ，点 在 的延长线上， ， 1 0 18 2sin 45 (2 ) 3 − − + − π −    1 01 2 010 4 3 tan603 −  − + − − °   ABC∆ °=∠ 60C °=∠ 75A 33+=BC AB AC ABC∆ 4,15,45 =°=∠°=∠ ACAC ABCS∆ ABCD AD BC∥ AB AC⊥ 45B∠ =  2AD = 4 2BC = DC A B C D ABCD AD BC∥ 90ABC∠ =  45C∠ =  BE CD⊥ E 1AD = 2 2CD = BE Ａ Ｄ Ｅ ＣＢ ABC△ O D OC 1sin 2B =天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求 的长． 6. 如图，数学老师指导学生测量旗杆 AB 的高度，可以在地面上与 AB 垂直的直线上选取 C、 D 两点，在 C 处测得旗杆顶的仰角 ，沿 CB 方向向前走 6 米到达 D 处，又测得旗杆 顶的仰角 ,求出旗杆的高 AB（不取近似值，旗杆底座与测倾器高度相同）． 7. 把两块相同的含 的三角板如图放置，若 ，求三角尺各边的长度． D CB A 30CAD∠ =  AD O OD AB⊥ 5BC = AD Ｂ Ｃ ＤＡ Ｏ 45=∠C 60=∠ADB °30 66=AD天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 锐角三角函数 例 1.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 sinA=，则 cosB 的值是（　　） 　 A． B． C． D． 分析：根据互余两角的三角函数关系进行解答． 解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA，∵sinA=，∴cosB=．故选 B． 点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键． 例 2.如图是以△ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过 C 作 CD⊥AB 交 AB 于 D．已知 cos∠ACD=，BC=4，则 AC 的长为（ ） 　A．1 B． C．3 D． 考点： 圆周角定理；解直角三角形 分析： 由以△ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过 C 作 CD⊥AB 交 AB 于 D．易得∠ACD=∠B，又由 cos∠ACD=，BC=4，即 可求得答案． 解答： 解：∵AB 为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90°， ∴∠B=∠ACD， ∵cos∠ACD=， ∴cos∠B=， ∴tan∠B=， ∵BC=4， ∴tan∠B= = =，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴AC= ． 故选 D． 点评： 此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注 意掌握数形结合思想的应用． 例 3．cos60°的值等于（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 特殊角的三角函数值． 分析： 根据特殊角的三角函数值解题即可． 解答： 解：cos60°=． 故选 A． 点评： 本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键． 　 例 4．如图，在半径为 1 的⊙O 中，∠AOB=45°，则 sinC 的值为（　　） 　A． B． C． D． 考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义 专题：压轴题． 分析：首先过点 A 作 AD⊥OB 于点 D，由在 Rt△AOD 中，∠AOB=45°，可求得 AD 与 OD 的长， 继而可得 BD 的长，然后由勾股定理求得 AB 的长，继而可求得 sinC 的值． 解答：解：过点 A 作 AD⊥OB 于点 D， ∵在 Rt△AOD 中，∠AOB=45°， ∴OD=AD=OA•cos45°= ×1= ， ∴BD=OB﹣OD=1﹣ ， ∴AB= = ， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC=90°，AC=2， ∴sinC= ． 故选 B．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 点评：此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的 作法，注意数形结合思想的应用． 练习一 1、 ； ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 6、 7、B 8、B 9、 10、 练习二 1、 2、 3、 4、 5、（1）连结线段 OA 证明∠ACB=30°， ∴∠OAC=2∠ACB=60°. ∵∠CAD=30°， ∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=90° OA⊥AD 又∵OA 为圆 A 半径 ∴AD 为圆 A 切线 （2） 6、 30 3 2 3 3 2 5 5 1 2 3 5 3 4 4 3 3 8 3 3 3 5 3 2 2 2− + 2 3 3+ 3 3, 2 3AB AC= = 44 33ABCS∆ = − 10DC = 3 22BE = 5 3AD = 9 3 3AB = +天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 7、 6 3, 6, 12 AB DB BC AC = = = =