中考数学复习专题讲与练全等与相似

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 全等与相似 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以 后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！” 另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻 松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例 1.△ABC 中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC 绕点 A 旋转到△ADE 的位置，使得 DC ∥AB,求∠EAB 的度数。 例 2.如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等 三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分 线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 5 4 3 2 1 E D A B C天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 3.如图 1，在 中， ， 于点 ，点 是 边上一点， 连接 交 于 ， 交 边于点 ． （1）求证： ； （2）当 为 边中点， 时，如图 2，求 的值； （3）当 为 边中点， 时，请直接写出 的值． 例 4.如图，已知抛物线与 交于 A(－1，0)、E(3，0)两点，与 轴交于点 B(0，3)。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为 D，求四边形 AEDB 的面积； （3）△AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 练习一 全等三角形 B 组 1.如图，给出下列四组条件： Rt ABC△ 90BAC∠ = ° AD BC⊥ D O AC BO AD F OE OB⊥ BC E ABF COE△ ∽△ O AC 2AC AB = OF OE O AC AC nAB = OF OE x y BB A ACO E D D E CO F 图 1 图 2 F天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ① ； ② ； ③ ； ④ ． 其中，能使 的条件共有（ ） A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组 2、如图，AD 是△ABC 的中线， 。 与 相等吗？请说明理由。 3.已知：如图 , 点 A、D、C、F 在同一条直线上 , AB=DE , BC∥EF,∠B=∠E. 求证：ΔABC≌ΔDEF. 4.如图,△ 和△ 均为等腰直角三角形， , 连接 、 .求证: . 5、如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F， 添加一个条件，使 DE= DF，并说明理由． AB DE BC EF AC DF= = =， ， AB DE B E BC EF= ∠ = ∠ =， ， B E BC EF C F∠ = ∠ = ∠ = ∠， ， AB DE AC DF B E= = ∠ = ∠， ， ABC DEF△ ≌△ 21 D CB A D C O B A AB AC= 1∠ 2∠ OAB COD 90AOB COD∠ = ∠ = ° AC BD AC BD=天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 6、如图，AB 是⊙O 的直径，AC＝AD，试说明△ABC 和△ABD 全等. 7、已知，如图，点 B、F、C、E 在同一直线上，AC、DF 相交于点 G，AB⊥BE，垂足为 B，DE ⊥BE，垂足为 E，且 AB＝DE，BF＝CE。 求证： GF＝GC。 8、如图，AB 是⊙O 的直径，BC AB 于点 B，连接 OC，弦 AD//OC,作射线 CD. 求证： . 9.已知：如图， 是正方形． 是 上的一点， 于 ， 于 ． （1）求证：△ ≌△ ； （2）求证： ． C 组 10. 如图，△ACD≌△ECB，A、C、B 在一条直线上，且 A 和 E 是一对对应顶点，如果 ，那么将△ACD 围绕 C 点顺时针旋转多少度与△ECB 重合。 ⊥ CBCD = D A O B C ABCD G B C AGDE ⊥ E AGBF ⊥ F ABF DAE FBEFAF += 130BCE∠ = °天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 11.如图， 分别为 的 ， 边的中点，将此三角形沿 折叠，使点 落在 边上的点 处．若 ，则 等于（ ） A． B． C ． D． 练习二 相似三角形 B 1、已知△ABC∽△DEF，且 AB：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1 2、若△ABC∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为 1∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶ 3、如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别 是 3 和 4 及 x，那么 x 的 值（ ） A．只有 1 个 B．可以有 2 个 C．有 2 个以上但有限 D．有无数个 4、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折 痕为 EF．已知 AB＝AC＝3， BC＝4，若以点 B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么 BF 的长度 是 ． 5 、 如 图 ， 在 矩 形 中 ， 点 分 别 在 边 上 ， ， ，求 的长． D A C B E D E， ABC△ AC BC DE C AB P 48CDE∠ = ° APD∠ 42° 48° 52° 58° 2 ABCD E F、 AD DC、 ABE DEF△ ∽△ 6 9 2AB AE DE= = =， ， EF天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 6．如图所示，给出下列条件： ① ；② ；③ ；④ ． 其中单独能够判定 的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7、如图，已知 是矩形 的边 上一点， 于 . 求证： ． 8、如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接 BE，△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论． 9.如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点。 和 的顶点都在格点上。求证： ∽ 。 10、小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点 B 时，要使眼睛 O、 A B C D F DA B C E E D C B A B ACD∠ = ∠ ADC ACB∠ = ∠ AC AB CD BC = 2AC AD AB=  ABC ACD△ ∽△ E ABCD CD BF AE⊥ F AD BF AE AB = ACB△ DCE△ ACB△ DCE△天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 准星 A、目标 B 在同一条直线上，如图 4 所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A′，若 OA=0.2 米，OB=40 米，AA′=0.0015 米，则小明射击到的点 B′偏离目标点 B 的长度 BB′为 （ ） A．3 米B．0.3 米C．0.03 米D．0.2 米 11、如图，小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、 旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距 8m、与旗杆相距 22m，则 旗杆的高为（　　） A．12m B．10m C．8m D．7m 12.小红用下面的方法来测量学校教学大楼 AB 的高度：如图，在水平地面点 E 处放一面平面 镜，镜子与教学大楼的距离 米。当她与镜子的距离 米时，她刚好能从镜 子中看到教学大楼的顶端 B。已知她的眼睛距地面高度 米，请你帮助小红测量出 大楼 AB 的高度（注：入射角＝反射角）。 13、如图， 中， 、 两点在 轴的上方，点 的坐标是(-1，0)．以点 为位似 中心，在 轴的下方作 的位似图形 ，并把 的边长放大到原来的 2 倍．设点 的对应点 的横坐标是 2，求点 B 的横坐标． 20=AE 5.2=CE 6.1=DC ABC∆ A B x C C x ABC∆ A B C′ ′∆ ABC∆ B B′天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 全等与相似 例 1. 解：∵将△ABC 绕点 A 旋转到△ADE 的位置 ∴△ABC≌△AED ∴∠4+∠5=∠3+∠5 AC=AD ∴∠3=∠4 ∠1=∠2 又∵DC∥AB ∴∠1=∠CAB=70° ∴∠2=70° ∴∠3=180°- ∠1-∠2=180°-70°-70°=40° ∴∠4=40° 答：∠EAB 的度数为 40°。 例 2. 解：图略．画图正确得 1 分． （1） 与 之间的数量关系为 ． （2）答：（1）中的结论 仍然成立． 　　证法一：如图 4，在 上截取 ，连结 ． FE FD FE FD= FE FD= AC AG AE= FG 5 4 3 2 1 E D A B C天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 证法二：如图，过点 分别作 于点 ， 于点 ． 可得 ， 是 的内心． 可证 ．所以 ． 例 3 解：（1） ， ． ． ， ， ． ； （2）解法一：作 ，交 的延长线于 ． ， 是 边的中点， ． 由（1）有 ， ， ． ， ， 又 ， ． ， ． ， ， ， ， ． 解法二： 于 ， ． ． 设 ，则 ， ． ， ． AD BC ⊥ 90DAC C∴∠ + ∠ = ° 90BAC BAF C∠ = ∴∠ = ∠ °， 90OE OB BOA COE∴∠ + ∠ = ⊥ ， ° 90BOA ABF∠ + ∠ = ° ABF COE∴∠ = ∠ ABF COE∴△ ∽△ OG AC⊥ AD G 2AC AB= O AC AB OC OA∴ = = ABF COE△ ∽△ ABF COE∴△ ≌△ BF OE∴ = 90BAD DAC∠ + ∠ = ° 90DAB ABD DAC ABD∠ + ∠ = ∴∠ = ∠°， 90BAC AOG∠ = ∠ = ° AB OA= ABC OAG∴△ ≌△ 2OG AC AB∴ = = OG OA ⊥ AB OG∴ ∥ ABF GOF∴△ ∽△ OF OG BF AB ∴ = 2OF OF OG OE BF AB = = = 90 2BAC AC AB AD BC∠ = = °， ， ⊥ D Rt RtBAD BCA∴ △ ∽ △ 2AD AC BD AB ∴ = = 1AB = 2 5 2AC BC BO= = =， ， 2 1 15 55 2 5AD BD AD∴ = = =， 90BDF BOE BDF BOE∠ = ∠ = ∴ °，△ ∽△ BD BO DF OE ∴ = F FG AB⊥ G FH BC⊥ H 2 3 60∠ + ∠ =  F ABC△ EGF DHF△ ≌△ FE FD= B A D E CO F B A D E CO F G天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 由（1）知 ，设 ， ， ． 在 中 ， ． ． ． （3） ． 例 4 解：（1）∵抛物线与 轴交于点（0，3）， ∴设抛物线解析式为 根据题意，得 ，解得 ∴抛物线的解析式为 (5′) (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） 设对称轴与 x 轴的交点为 F ∴四边形 ABDE 的面积= = = =9 （3）相似 如图，BD= ；∴BE= DE= ∴ , 即： ,所以 是直角三角形 ∴ ,且 , ∴ ∽ 练习一 1.B； 2、解： 与 相等 证明：∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD=CD ∴在ΔABD 和ΔACD 中 BF OE= OE BF x= = 1 5 25 DF x ∴ = 10x DF∴ = DFB△ 2 21 1 5 10x x= + 2 3x∴ = 2 42 2 23 3OF OB BF∴ = − = − = 4 23 22 23 OF OE ∴ = = OF nOE = y )0(32 ≠++= abxaxy    =++ =+− 0339 03 ba ba    = −= 2 1 b a 322 ++−= xxy ABO DFEBOFDS S S∆ ∆+ +梯形 1 1 1( )2 2 2AO BO BO DF OF EF DF⋅ + + ⋅ + ⋅ 1 1 11 3 (3 4) 1 2 42 2 2 × × + + × + × × 2 2 2 21 1 2BG DG+ = + = 2 2 2 23 3 3 2BO OE+ = + = 2 2 2 22 4 2 5DF EF+ = + = 2 2 20BD BE+ = 2 20DE = 2 2 2BD BE DE+ = BDE∆ 90AOB DBE∠ = ∠ = ° 2 2 AO BO BD BE = = AOB∆ DBE∆ 1∠ 2∠天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ AB=AC BD=CD AD=AD ∴ΔABD≌ΔACD（SSS） ∴ = 3.证明： ∵BC∥EF ∴∠F=∠ACB ∴在ΔABC 和ΔDEF 中 ∴ΔABC≌ΔDEF（AAS） 4. ∵ ∴ ∵ △ 与△ 均为等腰三角形， ∴ 在△ 和△ 中， ∴ △ ≌△ (SAS) ∴ 5、解： 需添加条件是 BD=CD，或 BE=CF. 证明:如图，∵ AB=AC，∴∠B=∠C． 　　 又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BDE=∠CDF． 在△BDE 和△CDF 中， ∠BDE=∠CDF BD=CD ∠B=∠C ∴ △BDE≌△CDF (ASA)． ∴ DE= DF． 法二:添加 BE=CF 证明:如图，∵ AB=AC， ∴ ∠B=∠C． ∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD． 在△BDE 和△CDF 中， ∠BED=∠CFD ∠B=∠C BE=CF ∴ △BDE≌△CDF (AAS)． 1∠ 2∠ AB=DE B E ACB F ∠ = ∠ ∠ = ∠  90 ,AOB COD∠ = ∠ = ° .AOC BOD∠ = ∠ OAB COD , .OA OB OC OD= = AOC BOD , , , AO BO AOC BOD OC OD = ∠ = ∠  = AOC BOD AC BD=天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴ DE= DF． 6、如图，AB 是⊙O 的直径，AC＝AD，试说明△ABC 和△ABD 全等. 　　解 　因为 AB 为⊙O 的直径，所以 ∠ACB＝∠ADB＝90°． 在 Rt△ABC 和 Rt△ADB 中, AC＝AD， AB＝AB， ∴Rt△ABC≌Rt△ADB (HL)． 7、求证： GF＝GC。 证明：∵BF＝CE ∴BF＋FC＝CE＋FC，即 BC＝EF 又∵AB⊥BE，DE⊥BE ∴∠B＝∠E＝900 在△ABC 和△DEF 中， AB＝DE ∠B＝∠E BC＝EF ∴ △ABC≌△DEF(SAS)． ∴∠ACB＝∠DFE ∴GF＝GC 8、证明：联结 OD. ∵AD∥OC, ∴∠A=∠COB,∠ADO=∠COD ∵OA=OD,∴∠A=∠ADO. ∴∠COB=∠COD 在△ODC 和△OBC 中， OD=OB ∠COB=∠COD OC=OC ∴△OCD≌△OCB（SAS） ∴CD=CB 9.证明:∵ 是正方形， ∴ ． ∴ ． ∵ 于 ， ∴ ． ∴ ． ∵ 于 ， 于 ， ∴ ． ∵ 在正方形 中， ， ∴ △ ≌△ ． （2）证明：∵ △ ≌△ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ABCD 090=∠BAD 090=∠+∠ DAEBAF AGDE ⊥ E 090=∠+∠ ADEDAE ADEBAF ∠=∠ AGDE ⊥ E AGBF ⊥ F 090=∠=∠ DEAAFB ABCD ADAB = ABF DAE ABF DAE AEBF = EFAEAF += EFBFAF += D A O B C D A C B E天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 10、 解：△ACD 围绕 C 点顺时针旋转 50°与△ECB 重合 ∵∠BCE=130°，A、C、B 三点共线 ∴∠ACE=50° ∴△ACD 围绕 C 点顺时针旋转 50°与△ECB 重合 11.答案：B 解：∵将此三角形沿 折叠，使点 落在 边上的点 处 ∴△CDE≌△PDE ∴∠CDP=∠PDE=48° 又∵ 分别为 的 ， 边的中点 ∴DE∥AB ∴∠APD=∠PDE=48° 练习二 1、【答案】B 2、【答案】B 3、【答案】B 4、【答案】 或 2; 5、 解：∵四边形 是矩形，AB=6 ∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6 又∵AE=9 ∴在 Rt△ABE 中，由勾股定理得：BE= ∵ ， ∴ ，即 ∴EF= 6．【答案】C 7、 证明： 四边形 是矩形， ∴ ， . ． ， ， ． DE C AB P D E， ABC△ AC BC 7 1 2 ABCD 11769 2222 =+=+ ABAE ABE DEF△ ∽△ EF BE DE AB = EF 117 2 6 = 3 1 1 7  ABCD AB CD∥ 90D∠ =  BAF AED∴∠ = ∠ BF AE⊥ 90AFB∴∠ =  AFB D∴∠ = ∠ F DA B C E天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ． ∴ 8、△ABE 与△ADC 相似．理由如下： 在△ABE 与△ADC 中 ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE=90o， ∵AD 是△ABC 的边 BC 上的高， ∴∠ADC=90o， ∴∠ABE=∠ADC． 又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA=∠DCA． ∴△ABE ～△ADC． 10、【答案】B 11、【答案】A 12. 13、解：过点 、 分别作 ⊥ 轴于 , ⊥ 轴于 ， . ∵ 的位似图形是 ， ∴点 、 、 在一条直线上， ． ．　 ． 又∵ ， . 又∵点 的横坐标是 2，点 的坐标是(-1，0) ， ， ． ．∴点 的横坐标为 ABF EAD∴△ ∽△ AD BF AE AB = B B′ BD x D B E′ x E 90BDC B EC′∴∠ = ∠ = ° ABC∆ A B C′ ′∆ B C B′ BCD B CE′∴∠ = ∠ BCD B CE′∴△ ∽△ CD BC CE B C ∴ = ′ 1 2 BC B C =′ 1 2 CD CE ∴ = B′ C 3CE∴ = 3 2CD∴ = 5 2OD∴ = B 5 2 −