中考数学复习专题讲与练平移，旋转

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 平移，旋转 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以 后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！” 另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻 松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例 1如图，△ABC 绕点 A 顺时针旋转 45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC= ，则 图中阴影部分的面积等于　 　．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 2． 如图，在边长为 4 的正方形ABCD 中，E 是 AB 边上的一点，且 AE=3，点 Q 为对角线 AC 上的动点，则△BEQ 周长的最小值为　 　． 例 3． 如图，在△ABC 中，AB=2，AC=4，将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到△A′B′C， 使 CB′∥AB，分别延长 AB，CA′相交于点 D，则线段 BD 的长为　 　． 例 4. 如图，把△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35°，得到△A′B′C，A′B′交 AC 于点 D．若∠A′DC=90°，则∠A=　　． 练习一 旋转 A 组 1．如图，在△ 中, . 在同一平面内, 将△ 绕点 旋 转到△ 的位置, 使得 , 则 （ ） A. B. C. D. ABC 70=∠CAB ABC A //CAB ABCC /// =∠ /BAB 3 0 3 5 4 0 5 0天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 2．如图， 是 经过某种变换后得到的图形.如果 中任意一点 的坐标 为（ ， ），那么它的对应点 的坐标为 . 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90º，∠BAC=60º，AB=6．Rt△AB´C´可以看作是由 Rt△ABC 绕 A 点逆时针方向旋转 60º 得到的，则线段 B´C 的长为____________． 4．如图， ， 可以看作是由 绕点 顺时针旋转 角度得到的．若点 在 上，则旋转角 的大小可以是（ ） A、 B、 C、 D、 5．如图，若将△ABC 绕点 C, 顺时针旋转 90°后得到 ，则 A 点的对应点 的坐标是 . 90 30AOB B∠ = ∠ =°， ° A OB′ ′△ AOB△ O α A′ AB α 30° 45° 60° 90° CBA ′′∆ A′ PQR∆ ABC∆ ABC∆ M a b N A O B A′ B′天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 6．下列图形中，中心对称图形有（ ）． 7．下列几何图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰梯形 D．正方形 B 组 8．如图，点 A，B，C 的坐标分别为（2，4），（5，2），（3，－1）．若以点 A，B，C，D 为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点 D 的坐标为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（0,1），B （-1,1），C（-1,3）。 （1）画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1，并写出点 C1 的坐标； （2）画出△ABC 绕原点 O 顺时针方向旋转 90°后得到的△A2B2C2，并写出点 C2 的坐标；， （3）将△A2B2C2 平移得到△ A3B3C3，使点 A2 的对应点是 A3，点 B2 的对应点是 B3 ， 点 C2 的对应点是 C3（4，-1），在坐标系中画出△ A3B3C3，并写出点 A3，B3 的坐标。天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 10．分别按下列要求解答： （1）在图 1 中,将△ABC 先向左平移 5 个单位,再作关于直线 AB 的轴对称图形,经两次变 换后得到△A1B1 C1.画出△A1B1C1； （2）在图 2 中,△ABC 经变换得到△A2B2C2. 描述变换过程. 11．如图，在 6×4 方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心 是（ ） A．点 M B．格点 N C．格点 P D．格点 Q 12．如图，在方格纸上△DEF 是由△ABC 绕定点 P 顺时针旋转得到的。如果用（2,1）表示方天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 格纸上 A 点的位置，（1,2）表示 B 点的位置， 那么点 P 的位置为（ ）。 A. (5，2) B. (2，5) C. (2，1) D. (1，2) 13．如图，在△ABC 和△ADE 中，点 E 在 BC 边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD. （1）求证：△ ABC≌△ADE； （2）如果∠AEC=75°，将△ADE 绕着点 A 旋转 一个锐角后与△ABC 重合，求这个旋转角的大小. C 组 14．如图，△ACB 和△EBD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=900，D 为 AB 边上一点。 求证：（1）△ABE≌△CBD； （2）CD2+AD2=DE2。 15．已知：如图，P 为等腰三角形△ABC 内一点，AB=AC，∠APB=∠APC 求证：BP=CP E D CB A E D CB A天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 平移，旋转 例 1如图，△ABC 绕点 A 顺时针旋转 45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC= ，则 图中阴影部分的面积等于　 　． 考点： 旋转的性质． C A P B天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 分析： 根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出 AD=BC=1，AF=FC′= AC′ =1，进而求出阴影部分的面积． 解答： 解：∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转 45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC= ， ∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°， ∴AD⊥BC，B′C′⊥AB， ∴AD=BC=1，AF=FC′= AC′=1， ∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（ ﹣1）2= ﹣1． 故答案为： ﹣1． 点评： 此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出 AD，AF，DC′的 长是解题关键． 　 例 2． 如图，在边长为 4 的正方形ABCD 中，E 是 AB 边上的一点，且 AE=3，点 Q 为对角线 AC 上的动点，则△BEQ 周长的最小值为　 　． 考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质． 分析： 连接 BD，DE，根据正方形的性质可知点 B 与点 D 关于直线 AC 对称，故 DE 的长即 为 BQ+QE 的最小值，进而可得出结论． 解答： 解：连接 BD，DE， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴点 B 与点 D 关于直线 AC 对称， ∴DE 的长即为 BQ+QE 的最小值， ∵DE=BQ+QE= = =5， ∴△BEQ 周长的最小值=DE+BE=5+1=6． 故答案为：6．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 　 例 3． 如图，在△ABC 中，AB=2，AC=4，将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到△A′B′C， 使 CB′∥AB，分别延长 AB，CA′相交于点 D，则线段 BD 的长为　 　． 考点：旋转的性质；相似三角形的判定与性质 分析：利用平行线的性质以及旋转的性质得出△CAD∽△B′A′C，再利用相似三角形的性质 得出 AD 的长，进而得出 BD 的长． 解答：解：∵将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到△A′B′C， ∴AC=CA′=4，AB=B′A′=2，∠A=∠CA′B′， ∵CB′∥AB， ∴∠B′CA′=∠D， ∴△CAD∽△B′A′C， ∴ = ， ∴= ， 解得 AD=8， ∴BD=AD﹣AB=8﹣2=6． 故答案为：6． 点评：此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△CAD∽△B′ A′C 是解题关键． 　 例 4. 如图，把△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35°，得到△A′B′C，A′B′交 AC 于点 D．若∠A′DC=90°，则∠A=　　．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ DA B E F 分析： 根据题意得出∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，即可得出∠A 的度数． 解：∵把△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35°，得到△A′B′C，A′B′交 AC 于点 D，∠A′ DC=90°，∴∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°， 则∠A=∠A′=55°．故答案为：55°． 点评：此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出∠A′的度数是解题 关键． 练习一 平移 A 了解图形的平移， 1.下列图案中，只要用其中一部分平移一次就可以得到的是 A． B． C． D． 【答案】B 2．如图 O 是正六边形 ABCDE 的中心，下列图形可由△OBC 平移得到的是（　　） A、△OCD　　　B、△OAB　　　C、△OAF　　　D、△OEF 【答案】D 3、如图所示，△DEF 是△ABC 沿水平方向向右平移后的对应图形，若∠B=31°，∠C=79°，则∠D 的度数是 度． 【答案】70 理解平移中对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等的性质 4．对于平移后，对应点所连的线段，下列说法正确的是 （ ） ①对应点所连的线段一定平行，但不一定相等；②对应点所连的线段一定相等，但不一 定平行，有可能相交；③对应点所连的线段平行且相等，也有可能在同一条直线上；④ 有可能所有对应点的连线都在同一条直线上． A．①③ B. ②③ C. ③④ D. ①② 【答案】C 5．已知：在△ABC 中，AB=5cm，∠B= 72°，若将△ABC 向下平移 7cm 得到△A′B′C′， 则 A′B′=_______cm ，AA′=_______cm，∠B′=________°． 【答案】A′B′=___5____cm ，AA′=__7_____cm，∠B′=__72______° 能按要求作出简单平面图形平移后的图形； 6．如图，在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC，垂足是 E，现将△ABE 进行平移，平移方向为射 线 AD 的方向，平移的距离为线段 BC 的长，则平移后得到的图形为 ( ) DADD A CEBCEB A CEBE D CB A天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ A B C D 【答案】B 7.在平面直角坐标系中，线段 AB 的端点 A 的坐标为（-3，2），将其先向右平移 4 个单位， 再向下平移 3 个单位，得到线段 A′B′，则点 A 对应点 A′的坐标为 ▲ ． 【答案】(1，-1) 8．先将方格纸中的图形向左平移 5 格，然后再向下平移 3 格． 9．如图，试将△ABC 沿 MN 的方向平移，平移的距离是 3cm，画出平移后的△A'B'C' 能依据平移前、后的图形，指出平移的方向和距离 10．将线段 AB 向右平移 1cm，得到线段 DE，则对应点 A 与 D 的距离为 cm． 【答案】1cm 11.在 5×5 方格纸中将图（1）中的图形 N 平移后的位置如图（2）中所示，那么正确的平移 方法是（ ）. (A)先向下移动 1 格，再向左移动 1 格 (B)先向下移动 1 格，再向左移动 2 格 (C)先向下移动 2 格，再向左移动 1 格 (D)先向下移动 2 格，再向左移动 2 格 【答案】C 12.如图，△ABC 经过怎样的平移得到△DEF ( ) A B C M N 图 图 1 图 2天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ A．把△ABC 向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位 B．把△ABC 向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位 C．把△ABC 向右平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位 D．把△ABC 向左平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位 【答案】C 13．两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点 B 到点 C 的方向平移到△DEF 的 位置，AB=10，DH=4，平移距离为 6，求阴影部分的面积. 【答案】∵HE∥AB ∴△CHE∽△CAB HE/AB=CE/CB 6/10=CE/CE+6 ∴CE=9 S△CHE=27 S△DEF=75 S 阴影部分的面积=75-27=48 C 能运用平移的知识解决简单问题 14．如图，正比例函数 和反比例函数 的图象都经 过 点 ，将直线 向下平移后得直线，设直线与 反比例函数的图象的一个分支交于点 ． （1）求 的值； （2）求直线的解析式． 解:（1）∵正比例函数 和反比例函数 的图象都经过点 ， ∴ ， ∴ ∴ 正 比 例 函 数 为 ， 反 比 例 函 数 为 . …………………………………2 分 ∵点 在反比例函数 的图象上， A B C D E F 9 y kx= my x = (3 3)A ， y kx= (6 )B n， n y kx= my x = (3 3)A ， 3 3 , 3 3 mk= = 1, 9.k m= = y x= 9y x = (6 )B n， 9y x = l H FE D CB A天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴ …………………………………………3 分 即 . （2）∵直线 向下平移后得直线， ∴设直线的解析式为 .……………………………………4 分 又∵点 在直线上， ∴ . ∴ ∴直线的解析式为 . ……………………………………5 分 15.已知：如图，在 中，AE 是 BC 边上的高，将 沿 方向平移，使点 E 与点 C 重合，得 ． （1）求证： ； （2）若 ，当 AB 与 BC 满足什么数量关系时，四边形 是菱形？证明你的结 论． ， 证明：（1）∵四边形 是平行四边形， ∴ ． ∵ 是 边上的高，且 是由 沿 方向平移而成． ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 （2）当 时，四边形 是菱形． ∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形． ∵ 中， ， ABCD AB CD= AE BC CG AE BC CG AD⊥ 90AEB CGD∠ = ∠ = ° AE CG= Rt RtABE CDG△ ≌ △ BE DG= 3 2BC AB= ABFC AB GF∥ AG BF∥ ABFG Rt ABE△ 60B∠ = ° 9 3.6 2n = = (6 )B 3， 2 y kx= y x b= + (6 )B 3， 2 36 2b+ = 9 .2b = − 9 2y x= − ABCD ABE△ BC GFC△ BE DG= 60B∠ = ° ABFG A DG CB FE 第 15 题 图天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴四边形 是菱形． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 16．在平面直角坐标系 中，抛物线 经过 两 点． （1）求此抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 ，将直线 沿 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线 的对称轴交于 点，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，求到直线 距离相等的点的坐标． 17.如图，已知直线　　　　　　　交坐标轴于 两 点 ， 以 线 段 为 边 向 上 作 正 方 形 ， 过 点 的抛物线与直线另一个交点为 ． （1）请直接写出点 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒 个单位长度的速度沿射线 下 滑，直至顶点 落在 轴上时停止．设正方形落在 轴下方部分的面积为 ，求 关于滑 30BAE∠ = ° 1 2BE AB= 3 2BE CF BC AB= =， 1 2EF AB= AB BF= ABFG xOy 2 2 3y mx mx n= + + ( 3 5) (0 2)P A，， ， B AB y C OB OC BC， ， BA， AB ABCD CD，A， E DC, 5 AB D x x S S （第 2 题） y x 12 1 +−= xy 1 2 3 1 2 3 4 1− 2− 3− 1−2−3−4− y xO天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时 停止，求抛物线上 两点间 的抛物线弧所扫过的面积． （1） ；…………………………………………………2 分 （2）设抛物线为 ，抛物线过 ， 解得 …………………………………………………2 分 ∴ ．……………………………………………………………1 分 （3）①当点 A 运动到点 F 时， 当 时，如图 1， ∵ ， ∴ ∴ ∴ ； … … 2 分 ②当点 运动到 轴上时， ， 当 时，如图 2， ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ D EC , )3,1(),2,3( DC cbxaxy ++= 2 ),1,0( )3,1(),2,3(    =++ =++ = .239 ,3 ,1 cba cba c 5 ,6 17 ,6 1. a b c  = −  =  =  16 17 6 5 2 ++−= xxy ,1=t 10 ≤< t 'OFA GFB∠ = ∠ ,2 1tan ==∠ OF OAOFA ,2 1 5 ' ' ''tan ===∠ t GB FB GBGFB ,2 5' tGB = 2 ' 4 5 2 552 1''2 1 tttGBFBS GFB =××=×=∆ C x 2=t 21 ≤< t 2 2' ' 2 1 5,A B AB= = + = ,55' −= tFA 2 55' −= tGA 2 5' tHB = ' ' 1 ' ' ) ' '2A B HGS A G B H A B= + ×梯形 （ 图 1 图 2天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ；…………（2 分） ③当点 运动到 轴上时， ， 当 时，如图 3， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∽ ∴ ， ∴ ， ∴ = ．………（2 分） （解法不同的按踩分点给分） （4）∵ , , ∴ 　………………………………………………（2 分） = = ．……………………………………………………………（1 分） 5)2 5 2 55(2 1 ×+−= tt 4 5 2 5 −= t D x 3=t 32 ≤< t 2 55' −= tGA 2 553 2 555' ttGD −=−−= 1,1212 1 ==××=∆ OAS AOF AOF∆ 'GD H∆ 2' )'( OA GD S S AOF HGD = ∆ ∆ 2 ' )2 553( tS HGD −=∆ 2 2 ' ' ' 3 5 55 )2GA B C H tS −= −五边形 （ ） （ 4 25 2 15 4 5 2 −+− tt 3=t 53'' == AABB ' ' ' 'BB C C AA D DS S S= =阴影 矩形 矩形 'AAAD × 15535 =× 图 3 图 4天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 练习二 旋转 A 组 【了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼 此相等的性质】 1．【答案】C 2．【答案】（ ， ） 3．【答案】 4．【答案】C 5．【答案】(3,0) 6．【答案】C 7．【答案】D B 组 【能按要求作出简单平面图形旋转后的图形】 8．【答案】﹙0，1﹚； 9．【答案】（1）C1(-1,-3) (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1) 10．【答案】 (1) 如图． (2) 将△ABC 先关于点 A 作中心对称图形,再向左平移 2 个单位,得到△A2B2C2．（变换过 程不唯一） 【能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角】 11．【答案】 B 12．【答案】 A 13．【答案】（1）∵∠BAC=∠DAE，AB=AD，∠B=∠D， ∴△ABD≌△ADE. （2）∵△ABC≌△ADE， ∴AC 与 AE 是一组对应边， a− b− 3 7天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴∠CAE 的旋转角， ∵AE=AC，∠AEC=75°， ∴∠ACE=∠AEC=75°， ∴∠CAE=180°—75°—75°=30°. C 组 【能运用旋转的知识解决简单问题】 14．【答案】：（1）证明：∵△ACB 和△EBD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=900 ∴∠EBA=∠DBC 在△ABE 和△CBD 中 ∴△ABE≌△CBD（SAS） （2）解：由（1）得 CD=AE,∠BAE=∠BCD=∠BAC =450。 ∴∠EAD=90°， ∴AE2+AD2=DE2 ∴CD2+AD2=DE2 15．【证明】如图，在△ABC 外侧作∠CAQ=∠BAP， 截取 AQ=AP，连结 CQ、PQ 易证△ABP≌△ACQ（SAS） ∴∠APB=∠AQC，BP=CQ ∵∠APB=∠APC ∴∠AQC=∠APC ∵AQ=AP ∴∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴PC=QC ∴BP=CP    = ∠=∠ = DBEB DBCEBA CBAB 4 3 2 1 Q C A P B天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/