中考数学复习专题讲与练命题、推理与证明

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 命题、推理与证明 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以 后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！” 另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻 松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例 1 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）. A.平行线间的距离相等 B.两点之间，线段最短 C.垂线段最短 D.两点确定一条直线 例 2 下列语句错误的是( ) A.连接两点的线段的长度叫做两点间的距离 B.两条直线平行,同旁内角互补 C.若两个角有公共顶点且有一条公共边,和等于平角,则这两个角为邻补角 D.平移变换中,各组对应点连成两线段平行且相等 例 3 下列语句:①三条直线只有两个交点,则其中两条直线互相平行; ②如果两条平行线被第 三条截,同旁内角相等,那么这两条平行线都与第三条直线垂直; ③过一点有且只有一条直 线与已知直线平行,其中( ) A.①、②是正确的命题 B.②、③是正确命题 C.①、③是正确命题 D.以上结论皆错天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 4 下列关于垂直与相交的说法:①平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ②一条 直线如果它与两条平行线中的一条垂直,那么它与另一条也垂直;③平面内, 一条直线不可 能与两条相交直线都垂直,其中说法错误个数有( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 练习一 命题 A 组 1、下列说法中，错误的是（ ） A 所有的定义都是命题 B 所有的定理都是命题 C 所有的公理都是命题 D 所有的命题都是定理 2、下列语句是命题的是（ ） A．作直线 AB 的垂线 B．在线段 AB 上取点 C C．同旁内角互补 D．垂线段最短吗？ 3、命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设 是（ ） A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 4、命题“等角的补角相等”中的“补角”是（ ） A 题设 B 结论 C 同属于题设和结论 D 既不属于题设也不属于结论 5、命题“有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等”的题设是 ，结论是 ， 它是 命题。 6、对于同一平面内的三条直线 a,b,c,给出下列五个论断：（1）a∥b；（2）b∥c；（3）a ⊥b；（4）a∥c；（5）a⊥c；以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为 正确的命题 。 7、下列四个命题，是真命题的是（ ） A 互补的两角必有一条公共边 B 内错角相等 C 同位角不相等，两直线不平行 D 一个角的补角大于这个角 8、下列命题中，属于假命题的是（ ） A．若 a-b=0，则 a=b=0 B．若 a-b＞0，则 a＞b C．若 a-b＜0，则 a＜b D．若 a-b≠0，则 a≠b 9、对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ） A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50° C．∠1=∠2=45° D．∠1=40°，∠2=40° 10、假设“a＜0”不成立，那么 a 与 0 的大小关系只能是（ ） A．a≠0 B．a＞0 C．a＝0 D．a≥0　　　　　 11、在下列各数中可以用来证明命题“质数一定是奇数”是假命题的反例是（ ） A． 2　　　 B．3　　　 C．　4　　　 D．　5 12、写出下列命题的逆命题，并判断真假。天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （1）对顶角相等 （2）内错角相等，两直线平行 （3）若 x(x－2)＝0，则 x=2 （4）等腰三角形两腰上的高相等 (5)关于某个点中心对称的两个三角形全等 （6）若∣x∣=∣y∣,则 x=y. 练习二 推理与证明 A 组 1、下列问题用到推理的是( ) A.根据 x=1,y=1 得 x=y; B. 老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘; C. 观察得到四边形有四个内角; D.由公理知道过两点有且只有一条直线 2、若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是（ ） A 相等 B 互补 C 相等或互补 D 不能确定 3、如图所示，正方形 中，点 是 边上一点，连接 ，交对角线 于点 ， 连接 ，则图中全等三角形共有（ ） A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 4、用反证法证明“是无理数”时，最恰当的证法是先假设（ ） A．是分数 B．是整数 C．是有理数 D．是实数 5、用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 45°”，应先假设（ ） A．两个锐角都小于 45°　B．两个锐角都大于 45°　　　 C．有一个锐角都小于 45° D．有一个锐角都大于或等于 45° B 组 6、在括号内填写理由。 已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC。 求证：∠B=∠C，∠A=∠ADC。 证明：过点 D 作 DE∥AB,交 BC 于点 E, 所以∠1=∠B( ) 因为 AD∥BC，DE∥AB 所以四边形 ABED 是平行四边形（ ） 所以 AB=DE( ) 因为 AB=DC( ) 所以 DE=DC 所以∠1=∠C（ ） 所以∠B=∠C 因为 AD∥BC ABCD E CD AE BD F CF天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以∠A+∠B=180 ゜， ∠ADC+∠C=180 ゜（ ） 所以∠A=∠ADC（ ） 7、如图所示，当∠BED 与∠B、∠D 满足＿＿＿条件时，可以判定 AB∥CD。 （1）在＿＿＿上填上一个条件； （2）证明你的结论的正确性。 8、如图已知：平行四边形 ABCD 中， 的平分线 交边 于 ， 的平分 线 交 于 ，交 于 ．求证： ． 9、如图，在 中， 是 边上的一点， 是 的中点，过点 作 的平行线 交 的延长线于 ，且 ，连接 ． （1）求证： 是 的中点； （2）如果 ，试猜测四边形 的形状，并证明你的结论． C 组 10、如图，菱形 的边长为 1， ；作 于点 ，以 为一边， 做第二个菱形 ，使 ；作 于点 ，以 为一边做第三个 菱形 ，使 ； 依此类推，这样做的第 个菱形 的边 的长是 ． BCD∠ CE AD E ABC∠ BG CE F AD G AE DG= ABC△ D BC E AD A BC BE F AF DC= CF D BC AB AC= ADCF 1 1 1AB C D 1 60B∠ =  2 1 1AD B C⊥ 2D 2AD 2 2 2AB C D 2 60B∠ =  3 2 2AD B C⊥ 3D 3AD 3 3 3AB C D 3 60B∠ =   n n n nAB C D nAD A B C DE F G B A F C E D天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 11、如图，在边长为 4 的正方形 中，点 在 上从 向 运动，连接 交 于点 ． （1）试证明：无论点 运动到 上何处时，都有△ ≌△ ； （2）当点 在 上运动到什么位置时，△ 的面积是正方形 面积的 ； （3）若点 从点 运动到点 ，再继续在 上运动到点 ，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，△ 恰为等腰三角形． ABCD P AB A B DP AC Q P AB ADQ ABQ P AB ADQ ABCD 6 1 P A B B C C P ADQ 1D 1 B3 3 A C2 B2 C3 D3 B1 D2 C1天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 命题、推理与证明 例 1 C 例 2 C 例 3 A 例 4 D 练习一 命题 答案：1.D 2.C 3.D 4.B 5.在两个三角形中有两条边和一个角对应相等，这两个三角形 全等。假命题。6.如：以①、②为条件，④为结论；以②、③为条件，⑤为结论. 7.C 8.A 9.C 10.D 11.A 12. ⑴ 相等的角是对顶角。假命题。 ⑵ 两直线平行，内错角相等。 真命题。 ⑶ 若 x=2，则 x(x－2)＝0。真命题。⑷ 如果一个三角形中有两条边·上的高相等， 则这个三角形是等腰三角形。真命题。⑸ 如果两个三角形全等，那么它们一定关于某个点 中心对称。假命题。⑹ 若 x=y ，则∣x∣=∣y∣。真命题。 练习二 推理与证明 答案：1.A 2.C 3.C 4.C 5.B 6.两直线平行同位角相等，两组对边分别平行的四边形 是平行四边形，平行四边形的对边相等，已知，等边对等角，两直线平行同旁内角互补，等 角的补角相等。 7.（1）、∠BED=∠B+∠D；（2）、证明：过 E 点作∠BEF=∠B，所以 AB∥EF（内错角相等， 两直线平行），又因为∠BED=∠B+∠D,所以∠FED=∠D，所以 EF∥CD（内错角相等， 两直线平行），所以 AB∥CD（平行于同一条直线的两直线互相平行）。 A B C D 8. 证明：在平行四边形 ABCD 中， AD∥BC ∴∠AGB=∠GBC 又∵BG 平分∠ABC ∴∠AGB =∠GBC ∴∠AGB=∠AGB ∴AB=AG 同理 CD=ED 在平行四边形 ABCD 中 AB=CD ∴AG=ED ∴AG-EG=ED-EG 即 AE=DG 9.(1)证明：∵AF∥BC天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴∠AFB=∠FBD 又∵E 是 AD 中点 ∴EF=EB ∴△AFE≌△DBE ∴AF=BD ∵AF=BC ∴BD=DC,D 为 BC 中点 (2)猜想：四边形 ADCF 是矩形 证明：∵AF∥DC 且 AF=DC ∴四边形 ADCF 是平行四边形 ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 又∵D 为 BC 中点 ∴AD⊥BC ∴四边形 ADCF 是矩形 10． 11.（1）证明：在正方形 中， 无论点 运动到 上何处时，都有 = ∠ =∠ = ∴△ ≌△ (2)：△ 的面积恰好是正方形 ABCD 面积的 时， 过点 Q 作 ⊥ 于 , ⊥ 于 ，则 = = = ∴ = 由△ ∽△ 得 解得 ∴ 时，△ 的面积是正方形 面积的 （3）若△ 是等腰三角形，则有 = 或 = 或 = ①当点 运动到与点 重合时，由四边形 是正方形知 = 此时△ 是等腰三角形 ②当点 与点 重合时，点 与点 也重合， 此时 = , △ 是等腰三角形 ABCD P AB AD AB DAQ BAQ A Q A Q ADQ ABQ ADQ 6 1 Q E AD E Q F AB F Q E Q F 2 1 QEAD × ABCD正方形S6 1 3 8 Q E 3 4 DEQ DAP DA DE AP QE = 2=AP 2=AP ADQ ABCD 6 1 ADQ Q D Q A DA D Q A Q AD P B ABCD Q D Q A ADQ P C Q C DA D Q ADQ天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ③如图，设点 在 边上运动到 时，有 = ∵ ∥ ∴∠ =∠ 又∵∠ =∠ ∠ =∠ ∴∠ =∠ ∴ = = ∵ = = =4 ∴ 即当 时，△ 是等腰三角形 P B C xCP = AD A Q AD B C ADQ CPQ AQD CQP ADQ AQD CQP CPQ C Q C P x AC 24 A Q AD 424 −=−== AQACCQx 424 −=CP ADQ