中考数学复习专题讲与练垂直于弦的直径

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 垂直于弦的直径 知识梳理　 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 例 1. 如 图 ， 台 风 中 心 位 于 点 P， 并 沿 东 北 方 向 PQ 移 动 ， 已 知 台 风 移 动 的 速 度 为 40 千 米 /时 ，受影 响 区 域 的 半 径 为 260 千 米 ，B 市 位 于 点 P 的 北 偏 东 75° 方 向 上 ， 距 离 P 点 480 千 米 ． （ 1） 说 明 本 次 台 风 是 否 会 影 响 B 市 ； （ 2） 若 这 次 台 风 会 影 响 B 市 ， 求 B 市 受 台 风 影 响 的 时 间 例 2. 银 川 市 某 居 民 区 一 处 圆 形 下 水 管 道 破 裂 ，修理 人 员 准 备 更 换 一 段 新 管 道 ．如 图 所 示 ， 污 水 水 面 宽 度 为 60cm， 水 面 至 管 道 顶 差 距 离 为 10cm， 问 修 理 人 员 应 准 备 内 径 多 大 的 管 道 ？天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 3. （ 1）已知：如 图 1， △ ABC 和 △ ECD 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ∠ ACB=∠ DCE=90 ° ， D 为 AB 边 上 一 点 ． 求 证 ： △ ACE≌ △ BCD （ 2） 某 居 民 小 区 一 处 圆 柱 形 的 输 水 管 道 破 裂 ， 维 修 人 员 为 更 换 管 道 ， 需 确 定 管 道 圆 形 截 面 的 半 径 ，图 2 是 水 平 放 置 的 破 裂 管 道 有 水 部 分 的 截 面 ．若这 个 输 水 管 道 有 水 部 分 的 水 面 宽 AB=16cm， 水 面 最 深 地 方 的 高 度 为 4cm， 求 这 个 圆 形 截 面 的 半 径 ． 例 4. 如 图 ， 铁 路 MN 和 公 路 PQ 在 点 O 处 交 汇 ， ∠ QON=30° ， 在 点 A 处 有 一 栋 居 民 楼 ，AO=200m，如 果 火 车 行 驶 时 ，周 围 200m 以 内 会 受 到 噪 音 的 影 响 ，那 么 火 车 在 铁 路 MN 上 沿 ON 方 向 行 驶 时 ，居民 楼 是 否 会 受 到 噪 音 的 影 响 ？ 如 果 行 驶 的 速 度 为 72km/h， 居 民 楼 受 噪 音 影 响 的 时 间 为 多 少 秒 ？ （ 结 果 保 留 根 号 ） 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．（2013•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 P．若 CD=8，OP=3，则⊙ O 的半径为（　　） 　A．10 B．8 C．5 D．3 　 2．（2013•泸州）已知⊙O 的直径 CD=10cm，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M，且 AB=8cm，则 AC 的长为（　　） 　A． cm B． cm C． cm 或 cm D． cm 或 cm 　 3．（2012•绍兴）如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形 ABC，甲、乙两人的作 法分别是： 甲：1、作 OD 的中垂线，交⊙O 于 B，C 两点， 2、连接 AB，AC，△ABC 即为所求的三角形 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 乙：1、以 D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交⊙O 于 B，C 两点． 2、连接 AB，BC，CA．△ABC 即为所求的三角形． 对于甲、乙两人的作法，可判断（　　） 　A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确 　 4．（2011•呼伦贝尔）如图，⊙O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则线 段 OM 长的最小值为（　　） 　A．2 B．3 C．4 D．5 　 5．（2010•绍兴）如图，已知⊙O 的直径 AB⊥弦 CD 于点 E，下列结论中一定正确的是（　　） 　A．AE=OE B．CE=DE C．OE=CE D．∠AOC=60° 　 6．（2010•陕西）如图，点 A、B 是在⊙O 上的定点、P 是在⊙O 上的动点，要使△ABP 为等 腰三角形，则所有符合条件的点 P 有（　　） 　A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 　 7．（2009•黔南州）如图，将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为（　　）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　A．2cm B． cm C． D． 　 8．（2008•梅州）如图所示，圆 O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，则四边形 OACB（　　） 　A．是正方形 B．是长方形 C．是菱形 D．以上答案都不对 　 9．（2005•四川）如图，在⊙O 中，AB、AC 是互相垂直的两条弦，OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，且 AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O 的半径 OA 长为（　　） 　A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 　 10．（2003•甘肃）下面四个判断中正确的是（　　） 　A．过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦 　B．过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦 　C．过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短 的弦 　D．过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦 　 B 档（提升精练） 11．（2002•河北）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦．若 AB=10cm，CD=8cm，那么 A、B 两点到直线 CD 的距离之和为（　　） 　A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 　 12．（2000•西城区）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 垂足为 E，下列结论中，错误的 是（　　）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　A．CE=DE B． C．∠BAC=∠BAD D．AC＞AD 　 13．（2013•扬州）如图，已知⊙O 的直径 AB=6，E、F 为 AB 的三等分点，M、N 为 上两 点，且∠MEB=∠NFB=60°，则 EM+FN=　_________　． 　 14．（2012•锦州）如图，∠PAC=30°，在射线 AC 上顺次截取 AD=3cm，DB=10cm，以 DB 为直径作⊙O 交射线 AP 于 E、F 两点，则线段 EF 的长是　_________　cm． 　 15．（2012•贵港）如图，MN 为⊙O 的直径，A、B 是⊙O 上的两点，过 A 作 AC⊥MN 于点 C，过 B 作 BD⊥MN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN=20，AC=8，BD=6，则 PA+PB 的最小值是　_________　． 　 16．（2011•西宁）如图，在⊙O 中，AB、AC 是互相垂直的两条弦，OD⊥AB 于点 D，OE⊥ AC 于点 E，且 AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O 的半径 OA 长为　_________　．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 17．（2009•新疆）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点 A、B、 C，已知 A 点的坐标是（﹣3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是　_________　． 　 18．（2006•汉川市）Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 是 AC 中点，⊙O 经过 A、B、D 三点，CB 的延长线交⊙O 于 E，连接 AE、OD．根据以上条件，写出四个正确的结论．（半径相等及 勾股定理结论除外，且不得添加辅助线） ①　_________　②　_________　③　_________　④　_________　． 　 19．（2006•福州）如图，⊙O 的两条弦 AF、BE 的延长线交于 C 点，∠ACB 的平分线 CD 过点 O，请直接写出图中一对相等的线段：　_________　． 　天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 20．（2012•宁夏）在⊙O 中，直径 AB⊥CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于点 F，且 CF⊥ AD．求∠D 的度数． 　C 档（跨越导练） 21．（2008•济南）（1）已知：如图 1，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF．求证：AB=DE； （2）已知：如图 2，∠PAC=30°，在射线 AC 上顺次截取 AD=3cm，DB=10cm，以 DB 为 直径作⊙O 交射线 AP 与 E，F 两点，求圆心 O 到 AP 的距离及 EF 的长． 　 22．（2007•佛山）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且 AB=AC=13，BC=24，求⊙O 的半 径． 　 23．（2005•三明）如图，在半径是 4 的⊙O 中，点 Q 为优弧 的中点，圆心角∠ MON=60°，点 P 在 （M 点除外）上运动，设点 P 到弦 MN 的距离为 x，△OMN 的面积是 S． （1）求弦 MN 的长； （2）试求阴影部分面积 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）试分析比较，当自变量 x 为何值时，阴影部分面积 y 与 S 的大小关系．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 24．（2003•大连）如图，在△ABC 中，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于 D，交 AC 于 E， BD=CE． 求证：AB=AC． 　 25．（2002•武汉）已知：如图，在⊙O 中，AB 为弦，C，D 两点在 AB 上，且 AC=BD，求 证：△OCD 为等腰三角形． 　 26．（2002•宁德）如图，AB 是半圆 O 的直径，BC 是弦，点 P 从点 A 开始，沿 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，若 AB 长为 10cm，点 O 到 BC 的距离为 4cm． （1）求弦 BC 的长； （2）问经过几秒后△BPC 是等腰三角形？ 　 27．（2012•历下区一模）（1）已知：如图 1，把△ABC 绕边 BC 的中点 O 旋转 180°得到 △DCB．求证：四边形 ABDC 是平行四边形． （2）如图 2，在平面直角坐标系中，以点 A（ ，0）为圆心作⊙A，⊙A 与 x 轴相交于点 B，C，与 y 轴相交于点 D，E，且 C 点坐标为（ ，0）．求线段 DE 的长．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 28．（2011•武汉模拟）小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，⊙O 中，OM ⊥弦 AB 于点 M，ON⊥弦 CD 于点 N，若 OM=ON，则 AB=CD． （1）请帮小雅证明这个结论； （2）运用以上结论解决问题：在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，O 为△ABC 的内心，以 O 为圆 心，OB 为半径的 O D 与△ABC 三边分别相交于点 D、E、F、G．若 AD=9，CF=2，求△ABC 的周长． 　天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 29．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，⊙O1 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴正半轴交于 C 点，已知 A（﹣1，0），O1（1，0） （1）求出 C 点的坐标； （2）过点 C 作 CD∥AB 交⊙O1 于 D，若过点 C 的直线恰好平分四边形 ABCD 的面积，求 出该直线的解析式； （3）如图，已知 M（1， ），经过 A、M 两点有一动圆⊙O2，过 O2 作 O2E⊥O1M 于 E，若经过点 A 有一条直线 y=kx+b（k＞0）交⊙O2 于 F，使 AF=2O2E，求出 k、b 的 值． 　 30．已知：如图，∠PAC=30°，在射线 AC 上顺次截取 AD=2cm，DB=6cm，以 DB 为直径 作⊙O 交射线 AP 于 E、F 两点，又 OM⊥AP 于 M．求 OM 及 EF 的长． 　 成长足迹 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 垂直于弦的直径答案 典题探究 例 1. 例 2. 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 3. 例 4. 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 演练方阵 A 档（巩固专练） 1． 解：连接 OC， ∵CD⊥AB，CD=8， ∴PC=CD=×8=4， 在 Rt△OCP 中， ∵PC=4，OP=3， ∴OC= = =5． 故选 C． 　 2． 解：连接 AC，AO， ∵⊙O 的直径 CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm， ∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm， 当 C 点位置如图 1 所示时， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM= = =3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC= = =4 cm； 当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5﹣3=2cm， 在 Rt△AMC 中，AC= = =2 cm． 故选 C．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 3． 解：根据甲的思路，作出图形如下： 连接 OB， ∵BC 垂直平分 OD， ∴E 为 OD 的中点，且 OD⊥BC， ∴OE=DE=OD，又 OB=OD， 在 Rt△OBE 中，OE=OB， ∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°， ∴∠BOE=60°， ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA， 又∠BOE 为△AOB 的外角， ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°， 同理∠C=60°， ∴∠BAC=60°， ∴∠ABC=∠BAC=∠C， ∴△ABC 为等边三角形， 故甲作法正确； 根据乙的思路，作图如下： 连接 OB，BD， ∵OD=BD，OD=OB， ∴OD=BD=OB， ∴△BOD 为等边三角形， ∴∠OBD=∠BOD=60°， 又 BC 垂直平分 OD，∴OM=DM，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴BM 为∠OBD 的平分线， ∴∠OBM=∠DBM=30°， 又 OA=OB，且∠BOD 为△AOB 的外角， ∴∠BAO=∠ABO=30°， ∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°， 同理∠ACB=60°， ∴∠BAC=60°， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC， ∴△ABC 为等边三角形， 故乙作法正确， 故选 A 　 4． 解：根据垂线段最短知，当 OM⊥AB 时，OM 有最小值， 此时，由垂径定理知，点 M 是 AB 的中点， 连接 OA，AM=AB=4， 由勾股定理知，OM=3． 故选 B． 　 5． 解：∵⊙O 的直径 AB⊥弦 CD， ∴CE=DE． 故选 B． 　 6． 解：如图：①以 AB 为底边， 过点 O 作弦 AB 的垂线分别交⊙O 于点 P1、P2， ∴AP1=BP1，AP2=BP2， 故点 P1、P2 即为所求． ②以 AB 为腰， 分别以点 A、点 B 为圆心，以 AB 长为半径画弧，交⊙O 于点 P3、P4， 故点 P3、P4 即为所求． 共 4 个点． 故选 D．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 7． 解：作 OD⊥AB 于 D，连接 OA． 根据题意得 OD=OA=1cm， 再根据勾股定理得：AD= cm， 根据垂径定理得 AB=2 cm． 故选 C． 　 8． 解：由垂径定理知，OC 垂直平分 AB，即 OC 与 AB 互相垂直平分，所以四边形 OACB 是菱形． 故选 C． 　 9． 解：AB=8cm，AC=6cm， ∴AD=4，AE=3， ∵四边形 OEAD 是矩形， ∴OA=5． 故选 B． 　 10． 解：若是圆心则 C 中最长的弦与最短的弦是同一条，所以只有 C 正确． 故选 C． B 档（提升精练） 11． 解：作 OG⊥EF，连接 OD， ∴G 为 CD 中点，又 CD=8cm， 则 DG=CD=4cm． 又 AB=10cm， ∴OD=AB=5cm， 所以 OG= =3cm． 根据梯形中位线定理，得 A、B 两点到直线 CD 的距离之和为 3×2=6（cm）．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 故选 D． 　 12． 解：AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 垂足为 E，则 AB 是垂直于弦 CD 的直径，就满 足垂径定理． 因而 CE=DE， ，∠BAC=∠BAD 都是正确的． 根据条件可以得到 AB 是 CD 的垂直平分线，因而 AC=AD．所以 D 是错误的． 故选 D． 　 13． 解：如图，延长 ME 交⊙O 于 G， ∵E、F 为 AB 的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°， ∴FN=EG， 过点 O 作 OH⊥MG 于 H，连接 MO， ∵⊙O 的直径 AB=6， ∴OE=OA﹣AE=×6﹣×6=3﹣2=1， OM=×6=3， ∵∠MEB=60°， ∴OH=OE•sin60°=1× = ， 在 Rt△MOH 中，MH= = = ， 根据垂径定理，MG=2MH=2× = ， 即 EM+FN= ． 故答案为： ． 　 14． 解：过 O 点作 OH⊥EF 于 H，连 OF，如图 则 EH=FH， 在 Rt△AOH 中，AO=AD+OD=3+5=8，∠A=30°， 则 OH=OA=4， 在 Rt△OHF 中，OH=4，OF=5，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 则 HF= =3， 则 EF=2HF=6cm． 故答案为 6． 　 15． 解：∵MN=20， ∴⊙O 的半径=10， 连接 OA、OB， 在 Rt△OBD 中，OB=10，BD=6， ∴OD= = =8； 同理，在 Rt△AOC 中，OA=10，AC=8， ∴OC= = =6， ∴CD=8+6=14， 作点 B 关于 MN 的对称点 B′，连接 AB′，则 AB′即为 PA+PB 的最小值，B′D=BD=6， 过点 B′作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 E， 在 Rt△AB′E 中， ∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14， ∴AB′= = =14 ． 故答案为：14 ． 　 16． 解：连接 OA， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AE=AC=×6=3（cm），AD=AB=×8=4（cm），∠OEA=∠ODA=90°， ∵AB、AC 是互相垂直的两条弦， ∴∠A=90°， ∴四边形 OEAD 是矩形， ∴OD=AE=3cm， 在 Rt△OAD 中，OA= =5cm．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 故答案为：5cm． 　 17． 解：圆弧所在圆的圆心是 AB 与 BC 的垂直平分线的交点． AB 的垂直平分线是 x=﹣1，点 B 的坐标是（1，5），C 的坐标是（4，2）， BC 的垂直平分线与 x=﹣1 的交点的纵坐标是 0， 因而该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，0）． 　 18． 解：因为∠ABE=90，故 AE 为直径，A、O、E 共线； ∵AE 是直径，∴OD 是△ACE 的中位线， ∴OD∥=CE，∴∠C=∠ODA． 又∵∠OAD=∠ODA， ∴∠C=∠OAD， ∴AE=CE． 　 19． 解：这个图形是轴对称图形，对称轴即是直线 CD，根据对称的性质，得 AF=BE 或 CF=CE 或 AC=BC． 　 20． 解：方法一：连接 BD． ∵AB 是⊙O 直径， ∴BD⊥AD． 又∵CF⊥AD， ∴BD∥CF， ∴∠BDC=∠C． 又∵∠BDC=∠BOC， ∴∠C=∠BOC．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵AB⊥CD， ∴∠C=30°， ∴∠ADC=60°． 方法二：设∠D=x， ∵CF⊥AD，AB⊥CD，∠A=∠A， ∴△AFO∽△AED， ∴∠D=∠AOF=x， ∴∠AOC=2∠ADC=2x， ∴x+2x=180， ∴x=60， ∴∠ADC=60°． C 档（跨越导练） 21． （1）证明：∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF， ∵AC∥DF， ∴∠F=∠ACB ∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC，即 BC=EF ∴△ABC≌△DEF， ∴AB=DE； （2）解：过点 O 作 OG⊥AP 于点 G，连接 OF，（4 分） ∵DB=10cm， ∴OD=5cm， ∴AO=AD+OD=3+5=8（cm）， ∵∠PAC=30°， ∴OG=AO=×8=4（cm）（5 分） ∵OG⊥EF， ∴EG=GF，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵GF= =3（cm）， ∴EF=6（cm）．（7 分） 　 22． 解：连接 OA 交 BC 于点 D，连接 OC，OB， ∵AB=AC=13， ∴ = ， ∴∠AOB=∠AOC， ∵OB=OC， ∴AO⊥BC，CD=BC=12 在 Rt△ACD 中，AC=13，CD=12 所以 AD= 设⊙O 的半径为 r 则在 Rt△OCD 中，OD=r﹣5，CD=12，OC=r 所以（r﹣5）2+122=r2 解得 r=16.9． 答：⊙O 的半径为 16.9． 　 23． 解：（1）∵OM=ON，∠MON=60° ∴△MON 是等边三角形 ∴MN=ON=4 （2）作 OH⊥MN 于 H 点，∴MH=MN=2 y=S△PMN= 4x，即 y=2x 在 Rt△OHM 中，OH2=OM2﹣MH2 ∴OH=2 ∴0＜x≤4+2 （3）△OMN 的面积 S=4天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 令 y=s，即 2x=4 ∴x=2 当 x=2 时，y=s 当 0＜x＜2 时，y＜s 当 2 时，y＞s． 　 24． 证明：连接 BE，CD， 则∠BDC=∠CEB=90°． ∵BD=CE， ∴弧 BD=弧 CE． ∴∠EBC=∠DCB． ∵BC=CB， ∴△BEC≌△CDB．（AAS） ∴∠ABC=∠ACB． ∴AB=AC． 　 25． 证明：从 O 向 AB 引垂线，交点为 E， 则根据垂径定理可知 AE=BE ∵AC=BD， ∴CE=DE． ∴OE 是 CD 的垂直平分线． 所以 OC=OD． ∴△OCD 为等腰三角形． 　 26． 解：（1）作 OD⊥BC 于 D，由垂径定理知，点 D 是 BC 的中点，BD=BC，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵OB=AB=5，OD=4， 由勾股定理得，BD= =3， ∴BC=2BD=6cm； （2）设经过 t 秒后，△BPC 是等腰三角形， ①当 PC 为底边时，有 BP=BC，10﹣t=6，解得：t=4（秒）； ②当 BC 为底边时，有 PC=PB，P 点与 O 点重合，此时 t=5（秒）； ③当 PB 为底边时，有 PC=BC，连接 AC，作 CE⊥AB 于 E， 则 BE= ，AE= ， ∵AB 是直径， ∴△ABC 是直角三角形， 根据勾股定理 AC= = =8， 由 AC2﹣AE2=BC2﹣BE2， 64﹣（ ）2=36﹣（ ）2， 解得：t=2.8（秒）． 综上，经过 4 秒或 5 秒或 2.8 秒时，△BPC 是等腰三角形． 　 27． （1）证明：∵AB=DC，AC=DB， ∴四边形 ABDC 是平行四边形； （2）解：连接 AE， ∵A（ ，0）为圆心作⊙A，⊙A 与 x 轴相交于点 B，C，与 y 轴相交于点 D，E， 且 C 点坐标为（ ，0）． ∴OA= ，OC=3 ， ∴圆的半径长是：3 ﹣ =2 ， 在直角△OAE 中，OE= = =3， ∵OA⊥DE，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴DE=2OE=6． 28． 解：（1）连 OA，OC，如图， ∵OM⊥AB，ON⊥CD， ∴AM=AB，CN=CD， 在 Rt△AOM 中，AM= ， 在 Rt△CON 中，CN= ， ∵OA=OC，OM=ON， ∴AM=CN， ∴AB=CD； （2）分别过 O 点作△ABC 三边的垂线，垂足分别为点 P、M、N，连 OA、OC，如图， ∵O 为△ABC 的内心， ∴OP=OM=ON， ∴DB=BE=GF， ∴DP=PB=BM=ME=FN=NG， ∵ ， ， ∴Rt△OAP≌Rt△OAN，Rt△OCM≌Rt△OCN， ∴AP=AN，CM=CN， ∴AD=AG=9，CE=CF=2， 设 BD=x，则 AB=9+x，BC=2+x，AC=11+x， ∵AC2=AB2+BC2， ∴（11+x）2=（9+x）2+（2+x）2， ∴x2=36， ∴x=6， ∴△ABC 的周长=9+x+2+x+11+x=3x+22=40．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 29． 解：（1）∵A（﹣1，0），O1（1，0）， ∴OA=OO1 又 O1A=O1C，（1 分） ∴易知△O1AC 为等边三角形，（2 分） ∴易求 C 点的坐标为（0， ）．（4 分） （2）解法一：连接 AD； ∵CD∥AB， ∴∠CDA=∠BAD， ∴ ， ∴AC=BD 又 AC 不平行 BD， ∴四边形 ABCD 为等腰梯形，（5 分） 过 D 作 DH⊥AB 于 H； ∴△AOC≌△BDH，四边形 COHD 为矩形，（6 分） ∴CH 必平分四边形 ABCD 的面积，（7 分） 易求 CH 的解析式： ；（8 分） 解法二：设直线 CH 平分四边形 ABCD 的面积，并设 H（x，0），连接 AD， ∵CD∥AB， ∴∠CDA=∠BAD， ∴ ， ∴AC=BD=2， ∵S△ACH=S 梯形 CDBH， ∴ ， ∴x+1=5﹣x， ∴x=2，由 C（0， ）和 H（2，0）， 易求 CH 的解析式： ． （3）证法一：分别延长 MO1，MO2 交⊙O2 于 P，N，连接 PN； ∴PN=2O2E，（9 分） 连接 MA，MF，AN；天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵A（﹣1，0），M（1， ）， ∴∠MAO1=60°，∠AMO1=30°， ∴∠NAO1=30°， ∵AF=2O2E=PN， ∴∠FMA=∠PMN， ∴∠PMN+∠PMF=∠FMA+∠PMF=∠AMO1=30°， ∴∠FMN=∠PMA=∠FAN=30°，（10 分） ∴∠FAO1=60°，（11 分） ∴易求 AF 的解析式为 ， ∴k= ，b= ．（12 分） 　 30． 解：连接 OF， ∵DB=6cm， ∴OD=3cm， ∴AO=AD+OD=2+3=5cm， ∵∠PAC=30°，OM⊥AP， ∴在 Rt△AOM 中，OM=AO=×5=cm ∵OM⊥EF， ∴EM=MF， ∵MF= = cm ∴EF= cm．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/