高 2018 级第四学期第一次月考（线上）
数学试题（文科）
一、选择题
1．设函数 的定义域 ，函数 y=ln(1-x)的定义域为 ，则
A．（1,2） B．（1,2] C．（-2,1） D．[-2,1)
2 设 为虚数单位， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3 命题“ ，使 ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4 设 ，则“ ”是“ ” 的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5 已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程
为
A． B． C． D．
6．设点 是椭圆 上的一点， 是椭圆的两个焦点，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
7．若抛物线 y2=4x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
24y x= − A B A B∩ =
i 32 1
iz i
= + − | |z =
1 10 2 10
2
x Z∀ ∈ 2 2 1 0x x+ − <
x Z∃ ∈ 2 2 1 0x x+ − ≥ x Z∃ ∈ 2 2 1 0x x+ − >
x Z∀ ∈ 2 2 1 0x x+ + > x Z∀ ∈ 2 2 1 0x x+ − ≥
x∈R 3 8x > 2x >
2 2
2 2 13 5
x y
m n
+ =
2 2
2 2 12 3
x y
m n
− =
15
2x y= ± 15
2y x= ± 3
4x y= ± 3
4y x= ±
P
2 2
2 1( 2)4
x y aa
+ = > 1 2F F， 1 2 4 3F F =
1 2PF PF+ =
4 8 4 2 4 7
1
2
3
28．已知点 在抛物线 ： 上， 为坐标原点，点 是抛物线 准线上一动
点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9 方程(x+y-1) =0 所表示的曲线是 ( )
A． B． C． D．
10 平面内的一条直线将平面分成 部分,两条相交直线将平面分成 部分,三条两两相交且不
共点的直线将平面分成 部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分
成的部分数为( )
A． B． C． D．
11．已知 是椭圆 上两个不同点，且满足 ，
则 的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
12 己知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 ，
在椭圆 上，其中 ， ，若 ， ，则椭圆
的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13 若复数 为纯虚数（ 为虚数单位），其中 ，则 ____________.
14．圆 在点 处的切线方程为 ，类似地，可以求得椭圆
(4,4)A C 2 2y px= O P C
PA PO+
5 2 5 13 2 13
2 2 4x y+ −
2 4
7
20 21 22 23
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 24 1x y+ = 1 2 1 2
14 2x x y y+ =
1 1 2 22 1 2 1x y x y+ − + + −
6-2 6 2+ 2 6
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ − > > 1 2,F F ( )1 1,P x y
( )1, lQ x y− − C 1 > 0x 1 0y > 2| | 2PQ OF= 1
1
3| | 3
QF
PF
≥ C
6 10, 2
−
(0, 6 2]−
2( , 3 1]2
− (0, 3 1]−
( ) ( )1 2z i m i= + + − + i m R∈ z =
2 2 2x y r+ = ( )0 0,x y 2
0 0x x y y r+ =在点 处的切线方程为________.
15 设 、 为双曲线 左、右焦点，过 的直线交双曲线左、右两
支于点 、 ，连接 、 ，若 ，且 ，则双曲线的离心率
为______.
16．已知椭圆的方程为： ， ， 是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶
点），若存在锐角 ，使 ，（O 为坐标原点）则直线 ， 的
斜率乘积为___.
三、解答题
17．已知 。
（1）证明：
（2）分别求 ；
（3）试根据(1)(2)的结果归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.
18．在公差为 的等差数列 中， ， ， ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ， ， 成等比数列，求数列 的前 项和 .
19.在新冠肺炎疫情的影响下，响应“停课不停教，停课不停学”的号召进行线上教学，
高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学测试成绩选出某班的 5 名学生参加数学竞赛决
2 2
18 2
x y+ = (2,1)
1F 2F ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 2F
M N 1MF 1NF 1 1 0MF NF⋅ =
1 1MF NF=
2 2
2 2 1,
2
x y
b b
+ = A B M
θ cos sinOM OA OBθ θ= ⋅ + ⋅ OA OB
1( )
3 3xf x =
+
3(0) (1) 3f f+ =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 , 2 3f f f f− + − +
d { }na 1 6a d = 1a N∈ d N∈ 1a d>
{ }na
1a 4a 13a
1
1
n na a +
n nS赛，已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班 5 名学生成绩的平均分是 83，
乙班 5 名学生成绩的中位数是 86．
（1）求出 x，y 的值，且分别求甲、乙两个班中 5 名学生成绩的方差 、 ，并根据结
果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？
（2）从成绩在 85 分及以上的学生中随机抽取 2 名．求至少有 1 名来自甲班的概率．
20. 如图，四棱锥 中，四边形 为矩形， 为等腰三角形，
，平面 平面 ，且 、 分别为 和 的中
点．
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ；
（3）求四棱锥 的体积．
21. 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为 x 轴，其准线过点 .
(1) 求抛物线 C 的方程；
(2) 过抛物线焦点 F 作直线 l，使得抛物线 C 上恰有三个点到直线 l 的距离都为 ，求直线
l 的方程.
P ABCD− ABCD
90APD∠ = PAD ⊥ ABCD 1, 2,AB AD E= = F PC BD
/ /EF PAD
PDC ⊥ PAD
P ABCD−
( )2, 1− −
2 222. 已知椭圆 C: 的离心率为 ，且经过（-1， ）。
（1）求椭圆 C 的标准方程。
（2）过点（ ，0）做直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A,B,试问在 X 轴上是否存在点 Q,使得
直线 QA 与直线 QB 关于 X 轴对称？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。文科答案
一、 选择题（每小题 5 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D A A D B B D D C C C
11 解：已知 是椭圆 上两个不同点,
可得 ，设 ，
设 ,O 为坐标原点，可得 ， ,
可得 ，且 ，
可得 两点均在圆 的圆上，且 ，
可得 为等边三角形，且 ,
根据点到直线的距离公式可知： 为
点 两点到直线 的距离 之和，
设 的中点为 , 到直线 的距离 ，
则 ,
可得 的最大值为 ；
可得 ，可得 的最大值为
，
12 设 ，由 ，知 ，
因为 在椭圆 上， ，
所以四边形 为矩形， ；
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 24 1x y+ =
2 2 2 2
1 1 2 24 1,4 1x y x y+ = + = 2 ,2x m y n= =
1 1 2 2( , ), ( , )C m n D m n 1 1( , )OC m n=
2 2( , )OD m n=
2 2 2 2
1 1 2 21, 1m n m n+ = + = 1 2 1 2
1
2m m n n+ =
C D、 2 2 1+ =m n 60oCOD∠ =
COD∆ 1CD =
1 1 2 2 1 1 2 2
2
2 1 2 1 1 1
2 2 2
x y x y m n m n+ − + − + − + −+ = +
C D、 1 0x y+ − = 1 2d d、
CD E E 1 0x y+ − = 3d
1 2 3
1 3 22 2( ) 2( ) 2 32 22
d d d EO= ≤ + = + = ++
1 2d d+ 2 3+
1 1 2 2 1 22 1 2 1 2( )x y x y d d+ − + + − = + 1 1 2 22 1 2 1x y x y+ − + + −
2 ( 2 3) 6 2× + = +
1 2,PF n PF m= = 1 10, 0x y> > m n<
( ) ( )1 1 1 1, , ,P x y Q x y− − C 2| | 2PQ OF=
1 2PFQF 1 2
=QF PF由 ，可得 ，
由椭圆的定义可得 ①，
平方相减可得 ②，
由①②得 ；
令
令
所以
即 ，
所以
所以
所以
解得 ，
二、 填空题（每小题 5 分）
13 3 14
15 16
15 设双曲线的焦距为 ，如下图所示：
1
1
3
3
QF
PF
3 13
m
n
取 的中点 ，设 ，由于 ， ，
所以， 为等腰直角三角形，且 ，
为 的中点，所以， ，
由双曲线的定义得 ， ，
又 ， ，可得 ，
， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，则有 ，可得 ，
因此，该双曲线的离心率为 .
16 由题意可设椭圆方程为 ，
又设 A（ ， ），B（ ， ），
因为 M 点在该椭圆上，
∴ ，则
MN E 1 1MF NF m= =
1 1 0MF NF⋅ =
1 2MF N
π∴∠ =
1MNF∆ 12 2MN MF m= =
E MN 1 2EF EF⊥
2 1 2 2NF NF a m a= − = −
2 1 2 2MF MF a m a= + = +
2 2 2 2MF MN NF m m a= + = + −
2 2 2m m a m a∴ + − = + 2 2m a=
2 4MN m a= =
1
1 22EF MN a= =
2 2 2 2 2 2EF EN NF a m a a= + = + − =
1 2Rt EF F∆ 2 2 2
1 2 1 2EF EF F F+ = 2 2 24 8 4a a c+ = 3c a=
3= =ce a
2 2
2 2
x y 12b b
+ =
1x 1y 2x 2y
( )1 2 1 2OM cosθ OA sinθ OB M cosθ x sinθ x cosθ y sinθ y= ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ，
( ) ( )2 2
1 2 1 2
2 2
cosθ x sinθ x cosθ y sinθ y 12b b
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅+ =
又因为 A、B 点在也该椭圆上，
∴ ，
∴ ，
即直线 OA、OB 的斜率乘积为 ，
三、解答题
17 解：(1) ∵
∴
………………………………………………………………（2 分）
(2) .…………（4 分）
.…………（6 分）
(3)由(1)(2)猜想一般结论是： .…………………………（8 分）
证明如下： .
.………………………………………………（10 分）
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2
2sinθcosθ 2sinθcosθ 102b b 2
x x y y y y
x x
⋅ ⋅+ = ⇒ = −
2 2
1 1
2 2
x y 12b b
+ =
2 2
2 2
2 2
x y 12b b
+ =
1 x 12
＜ ＜
1
2
−
1( )
3 3xf x =
+
1 1(0) (1)
1 3 3 3
f f+ = +
+ +
1 1
1 3 3( 3 1)
= +
+ +
3 1 3
33( 3 1)
+= =
+
1 1 3 1 3( 1) (2) 1 39 3 1 3 3 3(3 3 1)33
f f− + = + = + =
+ + ++
1 1 9 1 3( 2) (3) 1 327 3 1 9 3 3(9 3 1)39
f f− + = + = + =
+ + ++
3( ) (1 ) 3f x f x− + + =
1
1 1( ) (1 )
3 3 3 3x xf x f x − +
− + + = +
+ +
3 1 3
31 3 3 3(3 3 1)
x
x x
= + =
+ +18 解：（1）∵ ， ， ，且 ，
∴ 或 ……………………………………………………………………（3 分）
当 时， ；
当 时， . ………………………………………………………………（6 分）
（2）∵ ， ， 成等比数列，∴ ，
∴ ， …………………………………………………………………………（8 分）
则 ，
故 .………（12 分）
19（1）甲班的平均分为 ，易知 ．（2 分）
；又乙班的平均分为 ，∴ ；………………………………（4 分）
∵ ， ，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．………………（6 分）
（2） 分及以上甲班有 人，设为 ；乙班有 人，设为 ，………………（8 分）
从这 人中抽取 人的选法有： ，共 种，其中甲班至少
有 名学生的选法有 种，则甲班至少有 名学生被抽到的概率为 ．……（12 分）
20 （1）证明：如图，连结 ．
∵四边形 为矩形且 F 是 的中点．
∴ 也是 的中点．
又 E 是 的中点，
∵EF 由 面 面 ． ……………………………………（4 分）
（2）证明：∵面 面 ，面 面 ，
．
又 面
1 6a d = 1a N∈ d N∈ 1a d>
1 3,
2
a
d
=
=
1 6,
1,
a
d
=
=
1 3a = 2 1na n= +
1 6a = 5na n= +
1a 4a 13a 2
1 13 4a a a=
2 1na n= +
1
1 1 1 1
2 2 1 2 3n na a n n+
= − + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 6 9n
nS n n n n
= − + − + + − = − = + + + +
6y =
2
1 27.2S = 2 83x = 2
2 57.2S =
1 2x x= 2 2
1 2S S<
85 2 ,a b
5 2 , , , , , , , , ,ab ax ay az bx by bz xy xz yz 10
7 7
10P =
AC
ABCD BD
F AC
PC / /EF AP
⊄ ,PAD PA ⊂ , / /PAD EF∴ PAD
PAD ⊥ ,ABCD CD AD⊥ PAD ABCD AD=
CD PAD∴ ⊥ 面
AP ⊂ ,PAD AP CD∴ ⊥又 是相交直线， 面
又 面 面 面 ．…………………………………………（8 分）
（3）解：取 中点为 ．连结
∵面 面 及 为等腰直角三角形， 面 ，
即 为四棱锥 的高．
．又 ．
∴四棱锥 的体积 ………………………………（12 分）
21、(1)由题意得，抛物线的焦点在 轴正半轴上，设抛物线 C 的方程为 ，
因为准线过点 ，所以 ，即 .
所以抛物线 C 的方程为 .……………………………………………………（4 分）
(2)由题意可知，抛物线 C 的焦点为 .
当直线 l 的斜率不存在时，C 上仅有两个点到 l 的距离为 ，不合题意；……（6 分）
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ，
要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点 P 到直线 l 的距离为 ，
过点 P 的直线平行直线 且与抛物线 C 相切.
设该切线方程为 ，
代入 ，可得 .
由 ，得 .
由 ，整理得 ，…………………………………………（9 分）
又 ，解得 ，即 .
因此，直线 l 方程为 .………………………………………………（12 分）
22
,AP PD PD CD⊥ 和 AP∴ ⊥ PCD
AP ⊂ ,PAD ∴ PDC ⊥ PAD
AD O PO
PAD ⊥ ABCD PO∴ ⊥ ABCD
PO P ABCD−
2, 1AD PO= ∴ = 1AB =
P ABCD− 1 2
3 3V PO AB AD= ⋅ ⋅ =
x 2 2y px=
( )2,1− 22
p = 4p =
2 8y x=
( )2,0F
2 2
( )2y k x= −
2 2
( ): 2l y k x= −
y kx m= +
2 4y x= ( )2 2 22 8 0k x km x m+ − + =
( )2 2 22 8 4 0km k m∆ = − − = 2km =
2
2 2 2
1
k m
k
+ =
+
2 24m k=
2km = 2 1k = 1k = ±
2 0x y± − =分）轴对称关于与）满足直线，（轴上综上所述，存在
轴时，也满足题意。为
当直线轴对称成立，特别地，关于与时，直线即所以，当
分）即
从而可得（
分）即（
所以
又
即得所以
的斜率互为相反数，轴对称，等价于恰关于与直线直线
分）由韦达定理可得：
依题意（定点（设
（
与椭圆联立，整理得：设直线
）满足题意。（）存在定点（
分）的方程为所以，椭圆
解得
又）（
12...(03
34
)0,3
34(,3
34
11(................................................................................0)34(2
04
124
32)3
9.....(..................................................02))(3
0)3()3(
,03,03
0)()(,0
,
6.(..............................4
1,4
32
),)(0,),,),,(
0132)4
,03
0,3
342
4.(........................................14
1,4
,131,2
31
22
2121
1221
2211
1221
2
2
1
1
221221
212211
22
2
2
22
222
22
xQBQAQx
x
xQBQAQt
tm
mmm
mt
ymyyyt
tmyytmyy
myxmyx
txytxytx
y
tx
y
BQAQxQBQA
myym
myy
xtxttQyxByxA
myym
myxl
Q
yxC
ba
cbabaa
c
=
=−
=+
−⋅−+−
=−+−
=−−+−−
=−+=−+
=−+−=−+−
+
−=+=+
≠≠
=−−+
=−+
=+
==
=−=+=
微信/支付宝扫码支付