高 2018 级第四学期第一次月考（线上）
数学试题（理科）
一、选择题
1．设函数 的定义域 ，函数 y=ln(1-x)的定义域为 ,则
A．（1,2） B．（1,2] C．（-2,1） D．[-2,1)
2. 设 为虚数单位， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3. 命题“ ，使 ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4. 设 ，则“ ”是“ ” 的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程
为
A． B． C． D．
6．设点 是椭圆 上的一点， 是椭圆的两个焦点，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
7．若抛物线 y2=4x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
24y x= − A B A B∩ =
i 32 1
iz i
= + − | |z =
1 10 2 10
2
x Z∀ ∈ 2 2 1 0x x+ − <
x Z∃ ∈ 2 2 1 0x x+ − ≥ x Z∃ ∈ 2 2 1 0x x+ − >
x Z∀ ∈ 2 2 1 0x x+ + > x Z∀ ∈ 2 2 1 0x x+ − ≥
x∈R 3 8x > 2x >
2 2
2 2 13 5
x y
m n
+ =
2 2
2 2 12 3
x y
m n
− =
15
2x y= ± 15
2y x= ± 3
4x y= ± 3
4y x= ±
P
2 2
2 1( 2)4
x y aa
+ = > 1 2F F， 1 2 4 3F F =
1 2PF PF+ =
4 8 4 2 4 7
1
2
3
28．已知点 在抛物线 ： 上， 为坐标原点，点 是抛物线 准线上一动
点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知平面 ， 的法向量分别为 和 （其中 ），若 ，
则 的值为（ ）
A． B．-5 C． D．5
10．如图所示，在三棱锥 P–ABC 中，PA⊥平面 ABC，D 是棱 PB 的中点，已知 PA=BC=2，
AB=4，CB⊥AB，则异面直线 PC，AD 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
11. 正方体 的棱长为 1，点 在棱 上，且 ，点 在平面
上，且动点 到直线 的距离的平方与点 到点 的距离的平方的差为 ，在以
、 为坐标轴的平面直角坐标系中，动点 的轨迹是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线
12. 己知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 ，
在椭圆 上，其中 ， ，若 ， ，则椭圆
的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
(4,4)A C 2 2y px= O P C
PA PO+
5 2 5 13 2 13
α β ( )2,3,a λ= ( )4, , 2b µ= − , Rλ µ ∈ / /α β
λ µ+
5
2
− 5
2
30
10
− 30
5
− 30
5
30
10
1 1 1 1ABCD A B C D− M AB 1AM 3
= P
ABCD P 1 1A D P M 1
AB AD P
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ − > > 1 2,F F ( )1 1,P x y
( )1, lQ x y− − C 1 > 0x 1 0y > 2| | 2PQ OF= 1
1
3| | 3
QF
PF
≥ C
6 10, 2
−
(0, 6 2]− 2( , 3 1]2
− (0, 3 1]−13 若复数 为纯虚数（ 为虚数单位），其中 ，则 ____________.
14．圆 在点 处的切线方程为 ，类似地，可以求得椭圆
在点 处的切线方程为________.
15．设 、 为双曲线 左、右焦点，过 的直线交双曲线左、右
两支于点 、 ，连接 、 ，若 ，且 ，则双曲线的离心
率为______.
16．已知椭圆方程为： ， ， 是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），
若存在锐角 ，使 ，（O 为坐标原点）则直线 ， 的斜率乘
积为___.
三、解答题
17．已知 。
（1）证明：
（2）分别求 ；
（3）试根据(1)(2)的结果归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.
18．在公差为 的等差数列 中， ， ， ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ， ， 成等比数列，求数列 的前 项和 .
19. 在新冠肺炎疫情的影响下，响应“停课不停教，停课不停学”的号召进行线上教学，
高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学测试成绩选出某班的 5 名学生参加数学竞赛决
( ) ( )1 2z i m i= + + − + i m R∈ z =
2 2 2x y r+ = ( )0 0,x y 2
0 0x x y y r+ =
2 2
18 2
x y+ = (2,1)
1F 2F ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 2F
M N 1MF 1NF 1 1 0MF NF⋅ =
1 1MF NF=
2 2
2 2 1,
2
x y
b b
+ = A B M
θ cos sinOM OA OBθ θ= ⋅ + ⋅ OA OB
1( )
3 3xf x =
+
3(0) (1) 3f f+ =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 , 2 3f f f f− + − +
d { }na 1 6a d = 1a N∈ d N∈ 1a d>
{ }na
1a 4a 13a
1
1
n na a +
n nS赛，已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班 5 名学生成绩的平均分是 83，
乙班 5 名学生成绩的中位数是 86．
（1）求出 x，y 的值，且分别求甲、乙两个班中 5 名学生成绩的方差 、 ，并根据结
果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？
（2）从成绩在 85 分及以上的学生中随机抽取 2 名．求至少有 1 名来自甲班的概率．
20. 如图：在四棱锥 中， 平面 . ，
， .点 是 与 的交点，点 在线段 上且
.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求二面角 的正切值.
21. 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为 x 轴，其准线过点 .
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）过抛物线焦点 F 作直线 l，使得抛物线 C 上恰有三个点到直线 l 的距离都为 ，求直
线 l 的方程.
P ABCD− PA ⊥ ABCD 3PA AB BC= = =
1AD CD= = 120ADC∠ = M AC BD N PB
1
4PN PB=
MN∥ PDC
MN PAC
A PC D− −
( )2, 1− −
2 222 已知椭圆 C: 的离心率为 ，且经过（-1， ）。
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过点（ ，0）做直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A,B,试问在 X 轴上是否存在点 Q,使得
直线 QA 与直线 QB 关于 X 轴对称？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。理科答案
一、选择题（每小题 5 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D A A D B B D D D B C
12 设 ，由 ，知 ，
因为 在椭圆 上， ，
所以四边形 为矩形， ；
由 ，可得 ，
由椭圆的定义可得 ①，
平方相减可得 ②，
由①②得 ；
令
令
所以
即 ，
所以
所以
所以
1 2,PF n PF m= = 1 10, 0x y> > m n<
( ) ( )1 1 1 1, , ,P x y Q x y− − C 2| | 2PQ OF=
1 2PFQF 1 2
=QF PF
1
1
3
3
QF
PF
3 13
m
n
MN E 1 1MF NF m= =
1 1 0MF NF⋅ =
1 2MF N
π∴∠ =
1MNF∆ 12 2MN MF m= =
E MN 1 2EF EF⊥
2 1 2 2NF NF a m a= − = −
2 1 2 2MF MF a m a= + = +
2 2 2 2MF MN NF m m a= + = + −
2 2 2m m a m a∴ + − = + 2 2m a=
2 4MN m a= =
1
1 22EF MN a= =
2 2 2 2 2 2EF EN NF a m a a= + = + − =
1 2Rt EF F∆ 2 2 2
1 2 1 2EF EF F F+ = 2 2 24 8 4a a c+ = 3c a=
3= =ce a16 由题意可设椭圆方程为 ，
又设 A（ ， ），B（ ， ），
因为 M 点在该椭圆上，
∴ ，则
又因为 A、B 点在也该椭圆上，
∴ ，
∴ ，
即直线 OA、OB 的斜率乘积为 ，
三、解答题
17 解：(1) ∵
∴
………………………………………………………………………(2 分)
(2) .………………（4 分）
2 2
2 2
x y 12b b
+ =
1x 1y 2x 2y
( )1 2 1 2OM cosθ OA sinθ OB M cosθ x sinθ x cosθ y sinθ y= ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ，
( ) ( )2 2
1 2 1 2
2 2
cosθ x sinθ x cosθ y sinθ y 12b b
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅+ =
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2
2sinθcosθ 2sinθcosθ 102b b 2
x x y y y y
x x
⋅ ⋅+ = ⇒ = −
2 2
1 1
2 2
x y 12b b
+ =
2 2
2 2
2 2
x y 12b b
+ =
1 x 12
＜ ＜
1
2
−
1( )
3 3xf x =
+
1 1(0) (1)
1 3 3 3
f f+ = +
+ +
1 1
1 3 3( 3 1)
= +
+ +
3 1 3
33( 3 1)
+= =
+
1 1 3 1 3( 1) (2) 1 39 3 1 3 3 3(3 3 1)33
f f− + = + = + =
+ + ++.………………（6 分）
(3)由(1)(2)猜想一般结论是： .………………………………（8 分）
证明如下： .
.………………………………………………………（10 分）
18 解：（1）∵ ， ， ，且 ，
∴ 或 ………………………………（3 分）
当 时， ；
当 时， . ……………………………………（6 分）
（2）∵ ， ， 成等比数列，∴ ，
∴ ， …………………………………………………………………………（8 分）
则 ，
故 .……（12 分）
19（1）甲班的平均分为 ，易知 ．（2 分）
；又乙班的平均分为 ，∴ ； ……………（4 分）
∵ ， ，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．…………（6 分）
（2） 分及以上甲班有 人，设为 ；乙班有 人，设为 ， （8 分）
从这 人中抽取 人的选法有： ，共 种，其中甲班至少
有 名学生的选法有 种，则甲班至少有 名学生被抽到的概率为 ． （12 分）
1 1 9 1 3( 2) (3) 1 327 3 1 9 3 3(9 3 1)39
f f− + = + = + =
+ + ++
3( ) (1 ) 3f x f x− + + =
1
1 1( ) (1 )
3 3 3 3x xf x f x − +
− + + = +
+ +
3 1 3
31 3 3 3(3 3 1)
x
x x
= + =
+ +
1 6a d = 1a N∈ d N∈ 1a d>
1 3,
2
a
d
=
=
1 6,
1,
a
d
=
=
1 3a = 2 1na n= +
1 6a = 5na n= +
1a 4a 13a 2
1 13 4a a a=
2 1na n= +
1
1 1 1 1
2 2 1 2 3n na a n n+
= − + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 6 9n
nS n n n n
= − + − + + − = − = + + + +
6y =
2
1 27.2S = 2 83x = 2
2 57.2S =
1 2x x= 2 2
1 2S S<
85 2 ,a b
5 2 , , , , , , , , ,ab ax ay az bx by bz xy xz yz 10
7 7
10P =20 证明：（1）∵在四棱锥 中， 平面 . ，
， .点 是 与 的交点，
，
∴在正三角形 中， ，
在 中，∵ 是 中点， ，
，又 ，
，
，
∵点 在线段 上且 ，
，
平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ． ………………………………………………………… （4 分）
（2） ，
分别以 为 轴， 轴， 轴建立如图的空间直角坐标系，
，
P ABCD− PA ⊥ ABCD 3PA AB BC= = =
1AD CD= = 120ADC∠ = M AC BD
1 1 2 1 1 cos120 3AC °∴ = + − × × × =
ABC 3 33 4 2BM = − =
ACD∆ M AC DM AC⊥
AD CD∴ = 120ADC∠ =
3 11 4 2DM∴ = − =
1
12
1 3 4
2 2
DM
BD
∴ = =
+
N PB 1
4PN PB=
/ /MN PD∴
MN ⊄ PDC PD ⊂ PDC
MN∥ PDC
90 ,BAD BAC CAD AB AD°∠ = ∠ + ∠ = ∴ ⊥
, ,AB AD AP x y z
3 3 3 3 3 3 3( 3,0,0), , ,0 , (0,0,0), (0,0, 3), ,0, , , ,02 2 4 4 4 4B C A P N M
∴ ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ； …………………………（8 分）
（3）由（2）可知， 为平面 的法向量，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，解得 ，
设二面角 的平面角为 ，则 ，
故二面角 的正切值为 .…………………………………………（12 分）
( )0,1,0D
3 3(0,0, 3), , ,02 2AP AC
= =
PAC ( , , )n x y z=
3 0
3 3 02 2
n AP z
n AC x y
⋅ = =
⋅ = + =
3x = ( 3, 1,0)n = −
3 3 30, ,4 4MN
= −
MN PAC θ
3
| | 14sin 4| | | | 362 16
MN n
MN n
θ ⋅= = =
⋅
MN PAC 1
4
( )3, 1,0DB = − APC
3 3( , , 3), (0,1, 3)2 2PC PD= − = −
PCD ( , , )n x y z=
0
0
n PC
n PD
⋅ =
⋅ =
3 3 3 02 2
3 0
x y z
y z
+ − =
− =
3z = − ( 3, 3, 3)n = − −
A PC D− − θ 3cos
| ||
3 3
3 1 3 9| 3 5
n DB
n DB
θ +
⋅
= =
+ +
⋅ =
+
2 6tan ,33
θ∴ = =
A PC D− − 6
321 (1)由题意得，抛物线的焦点在 轴正半轴上，设抛物线 C 的方程为 ，
因为准线过点 ，所以 ，即 .
所以抛物线 C 的方程为 .………………………………………………（4 分）
(2)由题意可知，抛物线 C 的焦点为 .
当直线 l 的斜率不存在时，C 上仅有两个点到 l 的距离为 ，不合题意；…………（6 分）
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ，
要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点 P 到直线 l 的距离为 ，
过点 P 的直线平行直线 且与抛物线 C 相切.
设该切线方程为 ，
代入 ，可得 .
由 ，得 .
由 ，整理得 ，………………………………………………（9 分）
又 ，解得 ，即 .
因此，直线 l 方程为 .……………………………………………………（12 分）
22
x 2 2y px=
( )2,1− 22
p = 4p =
2 8y x=
( )2,0F
2 2
( )2y k x= −
2 2
( ): 2l y k x= −
y kx m= +
2 4y x= ( )2 2 22 8 0k x km x m+ − + =
( )2 2 22 8 4 0km k m∆ = − − = 2km =
2
2 2 2
1
k m
k
+ =
+
2 24m k=
2km = 2 1k = 1k = ±
2 0x y± − =分）轴对称关于与）满足直线，（轴上综上所述，存在
轴时，也满足题意。为
当直线轴对称成立，特别地，关于与时，直线即所以，当
分）即
从而可得（
分）即（
所以
又
即得所以
的斜率互为相反数，轴对称，等价于恰关于与直线直线
分）由韦达定理可得：
依题意（定点（设
（
与椭圆联立，整理得：设直线
）满足题意。（）存在定点（
分）的方程为所以，椭圆
解得
又）（
12...(03
34
)0,3
34(,3
34
11(................................................................................0)34(2
04
124
32)3
9.....(..................................................02))(3
0)3()3(
,03,03
0)()(,0
,
6.(..............................4
1,4
32
),)(0,),,),,(
0132)4
,03
0,3
342
4.(........................................14
1,4
,131,2
31
22
2121
1221
2211
1221
2
2
1
1
221221
212211
22
2
2
22
222
22
xQBQAQx
x
xQBQAQt
tm
mmm
mt
ymyyyt
tmyytmyy
myxmyx
txytxytx
y
tx
y
BQAQxQBQA
myym
myy
xtxttQyxByxA
myym
myxl
Q
yxC
ba
cbabaa
c
=
=−
=+
−⋅−+−
=−+−
=−−+−−
=−+=−+
=−+−=−+−
+
−=+=+
≠≠
=−−+
=−+
=+
==
=−=+=
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