河北武邑中学 2019-2020 学年高二年级下学期第一次月考
数学试题
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2，已知等比数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．16 B．19 C．20 D．25
3．已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现
需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡
的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．某射击运动员射击一次命中目标的概率为 p，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命
中的概率 ，则 p 为（ ）
A． B． C． D．
5. 点 在焦点为 和 的椭圆上，若△ 面积的最大值为 16，则椭圆标准
方程为（ ）
A.
B. C.
D.
6.关于椭圆 和双曲线 两曲线下列说法正确的是（ ）
A.与 轴交点相同 B.有相同焦点坐标 C.有四个交点 D.离心率互为倒数
7.如图，已知 ，图中的一系列圆是圆心分别 、 的两组
同心圆，每组同心圆的半径分别是 1，2，3，…， ，利用这两组同
心圆可以画出以 、 为焦点的椭圆，设其中经过点 、 、 的
椭圆的离心率分别是 、 、 ，则（ ）
1( 4,0)F − 2 (4,0)F 1 2PF F
10|| =AB
Me Ne Pe
{ 4, 3,6,7}S = − − { }2| 4T x x x= > S T∩ =
{6,7} {-3,6,7} {-4,6,7} {-4,-3,6,7}
{ }na nS 5 4S = 10 10S = 15S =
3
10
2
9
7
8
7
9
37
64
1
4
3
4
3 3
8
37
8
P
2 2
+ =120 4
x y 2 2
+ =14 20
x y 2 2
+ =132 16
x y 1610
22
=+ yx
2
2+ =14
x y
2
2 =12
xy −
y
A B
n
A B M N PA. B. C.
D.
8.函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知定点 ，点 在圆 上运动，则线段 的中点 的轨迹方程
是（ ）
A． B． C． D．
10．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为 ，则该三棱锥的外接球的表面积（ ）
A． B． C． D．
11．若点 在椭圆 上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数 在 上有两个极值点，且 在
上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
Me = Ne = Pe Pe < Me = Ne Me < Ne < Pe
Pe < Me < Ne
( )3,0B A 2 2( 1) 4x y+ + = AB M
2 2( 1) 1x y+ + = 2 2( 2) 4x y− + = 2 2( 1) 1x y− + = 2 2( 2) 4x y+ + =
3, 2,1
24π 18π 10π 6π
( , )m n 2 29 9x y+ =
3
n
m −
2 2
3
− 2 3
3
− 3
2
− 3 2
4
−
1 ln( 1)y xx
= − +
( ) ( 3) (2ln 1)xf x x e a x x= − + − + (1, )+∞ ( )f x (1,2)
( , )e +∞ ( )2,2e e ( )22 ,e +∞二、填空题
13.计算： _________
14．若 4 个人重新站成一排，没有人站在自己原来的位置，则不同的站法共有 种.
15. 的展开式中 的系数为 .
16.已知函数 ，若 的四个根为 ，且 ，
则 ________.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
17.已知命题 ：命题 q：函数 在 R 上是增函数；若命
题命题“ ”为真，求实数 a 的取值范围.
18. 某校高二年级某班的数学课外活动小组有 6 名男生，4 名女生，从中选出 4 人参加数学竞
赛考试，用 表示其中男生的人数.
（1）请列出 的分布列；
（2）根据你所列的分布列，求选出的 4 人中至少有 3 名男生的概率．
19.在直角坐标系 xOy 中，点 在曲线 （ 为参数）上，对应参数为
.
以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 P 的极坐标为 .
（1）直接写出点 P 的直角坐标和曲线 C 的极坐标方程；
（2）设 A，B 是曲线 C 上的两个动点，且 ，求 的最小值.
20. 如 图 ， 四 棱 锥 中 侧 面 PAB 为 等 边 三 角 形 且 垂 直 于 底 面 ABCD ，
，E 是 PD 的中点．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
P ABCD−
1
2AB BC AD= =
CE∥ PAB
B PC D− −
( ) ( )2 2,2 2 ,e e e∪ +∞
( ) ( )
2
3
2 3
1log 9 log 2 8
⋅ ⋅ =
41( 1)( 1)x xx
+ − − 3x
2( ) log 1f x x= − ( ) 2f x = 1 2 3 4, , ,x x x x 1 2 3 4k x x x x= + + +
( 1)f k + =
:( 2)(6 ) 0p a a− − > 3 2( ) 2f x x ax x= + +
p q∧
X
X
1 , 32
cos: sin
x kC y m
ϕ
ϕ
=
=
ϕ
3
πϕ =
2, 6
π
OA OB⊥ 2 2| | | |OA OB+21. 已知椭圆 ： 的短轴长为 ，离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）求过椭圆的右焦点且倾斜角为 135°的直线，被椭圆截得的弦长；
（3）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（ 不是左右顶点），且以 为
直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
22. 已知函数 ．
（I）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的单调区间；
（Ⅲ）若对任意的 ，都有 成立，求 a 的取值范围．
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2 3 1
2
:l y kx m= + C A B A B， AB
C l
( ) ( )21 1ln , 02 2f x x a x a R a= − − ∈ ≠
2a = ( )y f x= ( )( )1, 1f
( )f x
[ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥数学答案
1-5 DBDAC 6-10 ADACD 11-12 DC
13. 1 14. 9 ； 15. 11 ； 16. 2
17.解：若命题 p 为真，则
若命题 q 为真，则： 在 R 上恒成立，
，∴
由已知： 为真，则命题 p，q 均为真，∴ ，即
故实数 a 的取值范围为
18：解：（1）依题意得，随机变量 服从超几何分布，随机变量 表示其中男生的人数.
可能取的值为：0，1，2，3，4，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
（2）由分布列可知至少选 3 名男生，
即 .
19.解：（1）点 P 的直角坐标为 ，
曲线 C 的极坐标方程为 .
（2）由（1）知曲线 C：
由 是曲线 C 上的两个动点，且 ，
不妨设 ， ，且 ，
2 6a< <
2( ) 3 2 2 0f x x ax′ = + + ≥
24 24 0a∆ = − ≤ 6 6a− ≤ ≤
p q∧ 2 6
6 6
a
a
< > 1
2
C
2 2
14 3
x y+ =
24
7
2( ,0)7
1 0x y+ − =
0a < ( ),a +∞ 0a > ( ),a +∞ ( )0, a
( ) ( ],0 0,1−∞
2a = ( ) 21 12ln2 2f x x x= − − ( )1 0f =，
曲线 在点 处的切线方程
（Ⅱ）
①当 时， 恒成立，函数 的递增区间为
②当 时，令 ，解得 或
x
减 增
所以函数 的递增区间为 ，递减区间为
（Ⅲ）对任意的 ，使 成立，只需任意的 ，
①当 时， 在 上是增函数，
所以只需
而
所以 满足题意；
②当 时， ， 在 上是增函数，
所以只需
而
所以 满足题意；
③当 时， ， 在 上是减函数， 上是增函数，
( ) 2f x x x
′ = − ( )1 1f ′ = −
( )y f x= ( )( )1, 1f 1 0x y+ − =
( ) ( )2
0a x af x x xx x
−′ = − = >
0a < ( ) 2
0x af x x
−′ = > ( )f x ( )0,+∞
0a > ( ) 0f x′ = x a= x a= −
( )0, a a ( )( ), ,1a +∞
( )f x′
− +
( )f x
( )f x ( ),a +∞ ( )0, a
[ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ [ )1,x∈ +∞ ( )min 0f x ≥
0a < ( )f x [ )1,+∞
( )1 0f ≥
( ) 1 11 ln1 02 2f a= − − =
0a <
0 1a< ≤ 0 1a< ≤ ( )f x [ )1,+∞
( )1 0f ≥
( ) 1 11 ln1 02 2f a= − − =
0 1a< ≤
1a > 1a > ( )f x 1, a ),a +∞所以只需 即可
而
从而 不满足题意；
综合①②③实数 a 的取值范围为 ．
( ) 0f a ≥
( ) ( )1 0f a f< =
1a >
( ) ( ],0 0,1−∞
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