2020 届模拟 09
文科数学
测试范围：学科内综合．共 150 分，考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．设复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A．0 B． C．2 D．
2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：
无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像
宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123 黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性
数字黑洞”等．定义：若一个 位正整数的所有数位上数字的 次方和等于这个数本身，则
称 这 个 数 是 自 恋 数 ． 已 知 所 有 一 位 正 整 数 的 自 恋 数 组 成 集 合 ， 集 合
，则 的真子集个数为 （ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
3．已知 ，则“ ”是“ ”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4 ． 用 表 示 中 的 最 大 值 ， 若 ， 则 的 最 小 值 为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图，圆 过正六边形 的两个顶点 ，记圆 与正六边形 的公共部
分 为 ， 则 往 正 六 边 形 内 投 掷 一 点 ， 该 点 不 落 在 内 的 概 率 为
（ ）
A． B． C． D．
6 ． 已 知 正 项 等 比 数 列 的 前 项 和 为 ， 且 ， 若 ，
z 2(1 i) (1 i)z− = + i z =
2 2±
n n
A
{ }3 4B x x= ∈ − < 2 2 2 2 2( ) ( )( )xy yz x y y z+ = + + z y
y x
=
max{ , }a b ,a b 2( ) max{| |,2 }f x x x= − ( )f x
A ABCDEF ,B F A ABCDEF
Ω ABCDEF Ω
4 3
27
π 4 3
54
π 4 31 27
π− 2 31 27
π−
{ }na n nS 4
3
2
1 10,9 9
Sa S
= = ( )7
2M a=，则 的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，根据图中三视图，求得该几何体的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
8 ． 已 知 单 位 向 量 的 夹 角 为 ， 若 向 量 ， 且 ， 则
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9 ． 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 出 的 的 值 是 35 ， 则 判 断 框 内 应 补 充 的 条 件 为
（ ）
A． B． C． D．
10．过椭圆 一个焦点且垂直于 轴的直线与椭圆交于 两点， 是原
点，若 是等边三角形，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 （ ）
( )e
4 9 6, logN a P a= = , ,M N P
M P N> > M N P> > N M P> > N P M> >
16π 18π 20π 24π
,a b 3
4 π 2 , 4 λ= = −m a n a b ⊥m n =n
S
9i≤ 10i≤ 11i≤ 12i≤
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > x ,A B O
ABO△
3
2
17 1
4
− 26 2
5
− 39 3
6
−
( )f x ( )f xA． B．
C． D．
12．设定义在 上的函数 满足对任意 都有 ，且
时 ， ， 则 的 大 小 关 系 是
（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上．）
13．已知函数 ，则函数 图象的对称轴为 .
14．已知直线 与直线 相互垂直，点 到圆
的最短距离为 3，则 .
15．已知点 满足 ，求 的取值范围为 .
16 ． 已 知 数 列 的 前 项 和 ， 数 列 对 ， 有
，求 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12 分）在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 .
| cos3 |x
x
1 cos2
2
x
x
+
2 2 2 2
5
(4 )(4 9 )x x
x
π π− − | sin 2 |x
x
R ( )y f x= t ∈R 1( 2) ( )f t f t
+ =
(0,4]x∈ ( )( ) f xf x x
′ > (2016),4 (2017),2 (2018)f f f
2 (2018) (2016) 4 (2017)f f f< < 2 (2018) (2016) 4 (2017)f f f> >
4 (2017) 2 (2018) (2016)f f f< < 4 (2017) 2 (2018) (2016)f f f> >
( ) sin(2 )cos(2 )4 4f x x x
π π= − + ( )f x
1 : 2 5 0l x y+ − = ( )2 : 5 0l mx ny n− + = ∈Z ( )2,5
( ) ( )2 2: 1C x m y n− + − = mn =
( , )x y
2 8 0
2 6 0
3 7 0
x y
x y
x y
+ −
− −
− +
≥
≤
≥
1
1
xz y
+= −
{ }na n ( 1)nS n n= + { }nb *n∈N
1 1 2 2 n n nS b S b S b a+ + + = 1 2 2017b b b+ + + =
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2sin (sin sin ) 6sinA A B B+ =
a
b
3cos 4C = sin( )A B−18 ．（ 12 分 ） 如 图 ， 正 三 棱 柱 中 ， 为 中 点 ， 为 上 的 一 点 ，
.
（1）若 平面 ，求证： .
（2）平面 将棱柱 分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为 ，
下面一个几何体的体积为 ，求 .
A B C ABC′ ′ ′ − D AA′ E BC′
,AB a CC h′= =
DE ⊥ BCC B′ ′ BE EC′=
BC D′ A B C ABC′ ′ ′ − 1V
2V 1 2,V V19．（12 分）为了调查某厂工人生产某件产品的效率，随机抽查了 100 名工人某天生产该产品
的数量，所取样本数据分组区间为 ，
由此得到右图所示频率分布直方图.
（1）求 的值并估计该厂工人一天生产此产品数量的平均值；
（2）从生产产品数量在 的四组工人中，用分层抽样方法抽
取 13 人，则每层各应抽取多少人？
[40,45),[45,50) [50,55),[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)
a
[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)20．（12 分）已知 是曲线 上的动点，且点 到 的距离比它到 x 轴的距离
大 1.直线 与直线 的交点为 .
（1）求曲线 的轨迹方程；
（2）已知 是曲线 上不同的两点，线段 的垂直垂直平分线交曲线 于 两点，
若 的中点为 ，则是否存在点 ，使得 四点内接于以点 为圆心的圆上；若
存在，求出点 坐标以及圆 的方程；若不存在，说明理由.
( )( ), 0P x y y≥ Ω P ( )0,1
1 : 1 0l x y− + = 2 :3 2 0l x y− = Q
Ω
,A B Ω AB Ω ,C D
,A B Q R , , ,A B C D R
R R21．（12 分）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 在区间 上有两个零点，求 的取值范围.
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清
题号．
22．（10 分）选修 4—4 坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 .现以极点 为原点，极轴为 轴的非负
半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 ( 为参数).
2( ) 2 ln 2( 1)f x a x a x x= − + + ( 1)a≤
( )f x
( )f x 21[ , ]ee a
C 10cosρ θ= O x
l
22 2
2
2
x t
y t
= +
=
t（1）求曲线 的直角坐标系方程和直线 的普通方程；
（2）点 在曲线 上，且到直线 的距离为 ，求符合条件的 点的直角坐标.
23．（10 分）选修 4—5 不等式选讲
已知定义在 上的函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 对任意 恒成立，求 的取值范围.
C l
P C l 2 P
R 2( ) 4 || 2f x x a x a+= − −
1a = ( ) 5f x ≥
2( ) 4f x a −≥ x∈R a2020 届模拟 09 文科数学答案与解析
1．【答案】B【解析】注意到 ，则 ，故选 B.
2．【答案】C【解析】依题意， ， ，故 ，故 的
真子集个数为 7，故选 C.
3．【答案】C【解析】由 ，得 ，即 ， ，从
而 ，以上推导过程均是可逆的，故选 C.
4．【答案】B【解析】可知当 时， ，此时 .当 时，可得 ，此时
.当 时， ，此时 .综上， ，可得当 或
时 取得最小值 1，故选 B.
5．【答案】D【解析】依题意，不妨设 ，故正六边形 的面积 ；公共部
分为 的面积 ，故所求概率 ，故选 D.
6 ．【 答 案 】 B 【 解 析 】 依 题 意 ， ， 故 ， 则
，故 ，故选 B.
7．【答案】C【解析】将三视图还原，可知原几何体由半球体与圆柱体拼接而成，其中半球体的半径为 2，圆
柱体的底面半径为 2，高为 2，故所求几何体的表面积 ，故选 C.
8．【答案】B【解析】依题意， ，故 ，故 ，故 ，解得
，故 ，故 ，故
9．【答案】C【解析】当 ，可得 ；
当 ，可得 ；
当 ，可得 ；
当 ，可得 ；
当 ，可得 ；
当 ，可得 ；
当 ，可得 ；
当 ，可得 ；
当 ，可得 ；
当 ，可得 .
故判断框内应补充的条件为 ，故选 C.
10．【答案】D【解析】不妨设题中的焦点为椭圆的右焦点，将焦点坐标 代入椭圆方程中，得两交点坐标
分别为 ，由于 是等边三角形，则可得 ，从而 ，即
2 3(1 i) (1 i) 2i(1 i) 1 i1 i (1 i)(1 i) 2z
+ + += = = = − +− − +
2 2( 1) ( 1) 2z = − + − =
{ }1,2,3,4,5,6,7,8,9A = { }2, 1,0,1,2,3B = − − { }1,2,3A B = A B
2 2 2 2 2( ) ( )( )xy yz x y y z+ = + + 2 2 2 42xy z x z y= + 2 2( ) 0xz y− = 2xz y=
z y
y x
=
1x < − 2| | 2x x> − ( )f x x= − 1 1x− ≤ ≤ 2| | 2x x−≤
2( ) 2f x x= − 1x > 2| | 2x x> − ( )f x x= 2
, 1
( ) 2 , 1 1
, 1
x x
f x x x
x x
− < −
= − −
>
≤ ≤ 1x = − 1x =
( )f x
2AB = ABCDEF 2
1
3 2 6 6 34S = × × =
Ω 2
2
1 42 3 3
πS π= × × =
46 3 2 33 1 276 3
π
πP
−
= = −
24
2
10 10 119 9 3
S q qS
= ⇒ + = ⇒ = 2 4 6
1 1 1, ,3 27 243a a a= = =
97 e 3e
1 1 1 1, , log 03 27 3 243M N P= = = = < M N P> >
2 22 2 2 2 2 2 20S π π π π= × + × × + × =
⊥m n ( )2 4 0λ⋅ − =a a b 28 2 0λ− ⋅ =a a b 24 02λ
− ⋅ − =
4 2λ = − 4 4 2= +n a b ( )22 4 4 2 16= + =n a b 4=n
2i = 2, 2T a S a= + = +
3i = 1, 3T a S= − + =
4i = 5, 8T a S a= − + = − +
5i = , 8T a S= =
6i = 6, 14T a S a= + = +
7i = 1, 15T a S= − + =
8i = 9, 24T a S a= − + = − +
9i = , 24T a S= =
10i = 10, 34T a S a= + = +
11i = 1, 35T a S= − + =
11?i≤
( ,0)c
2 2
( , ),( , )b bc ca a
− ABO△
2 3tan30 3
b
ac
= ° =
2 2 3
3
a c
ac
− =，解之得 或 （舍去），故选 D.
11 ．【答 案 】 B 【 解 析 】 由 图 象 可 得 当 ， ， 故 可 排 除 C ， 因 为 当 时 ，
.当 ，可得 ，而当 时， ，故可排除 D 选项，
当 时， ，故可排除 A 选项，故选 B.
12．【答案】C【解析】由于 ，故对任意 有 ，则
为周期函数，周期为 4.当 时， ，可得 ，构造函数 ，
，故 在区间 上单调递增，则 ，
即 .注意到 ，
， ，故由
可得 ，故选 C.
13．【答案】 【解析】依题意， ，
由 得 ，故 关于直线 对称.
14．【答案】2【解析】依题意， ①； ②；联立两式，解得
，故 .
15．【答案】 【解析】不等式组 所表示的平面区域如图所示阴影部分
（包括边界），其中 为直线的交点， 表示阴影部分区域内的点与点 连线的斜率，
计算可得 三点坐标分别为 ，由图象可得 的最大值为 ，
的最小值为 ，故 ，从而 .
16．【 答 案 】 【 解 析 】 由 条 件 可 得 ， 当 ，
，从而数列 的通项公式 .
当 时，由 得 ，将此二式相减，可得 ，
.当 时，得 ，
符合表达式 ，故数列 的通项公式为 ，
1 3
3ee
− = 39 3
6e = − 39 3
6e = − +
0x > ( ) 0f x ≥ 3
2 2x
π π< <
2 2 2 2
5
(4 )(4 9 ) 0x x
x
π π− − < 3
2 2x
π π< < ( ) 0f x > x π= | sin 2 | 0x
x
=
5
6x π= | cos3 | 0x
x
=
1( 2) ( )f t f t
+ = t ∈R 1 1( 4) ( )1( 2)
( )
f t f tf t
f t
+ = = =+ ( )y f x=
(0,4]x∈ ( )( ) f xf x x
′ > ( ) ( ) 0xf x f x′ − > ( )( ) ( (0,4])f xF x xx
= ∈
2
( ) ( )( ) 0xf x f xF x x
′ −′ = > ( )F x (0,4] (1) (2) (4)
1 2 4
f f f< <
4 (1) 2 (2) (4)f f f< < (2017) (4 504 1) (1)f f f= × + =
(2018) (4 504 2) (2)f f f= × + = (2016) (4 503 4) (4)f f f= × + =
4 (1) 2 (2) (4)f f f< < 4 (2017) 2 (2018) (2016)f f f< <
( )8 4
kx k
π π= + ∈Z 2
1 cos(4 ) 1 12( ) sin (2 ) sin44 2 2 2
x
f x x x
π
π − −
=− − =− = −
4 ,2x k k
π π= + ∈ Z 8 4
kx
π π= + 1 1( ) sin 42 2f x x= − ( )
8 4
kx k
π π= + ∈Z
2 0m n− = ( ) ( )2 22 5 3 1m n− + − = +
2, 1m n= = 2mn =
3[ ,5]2
2 8 0
2 6 0
3 7 0
x y
x y
x y
+ −
− −
− +
≥
≤
≥
, ,A B C 1 1
( 1)
y
z x
−= − − ( 1,1)P −
, ,A B C (2,3),(4,2),(5,4) 1
( 1)
y
x
−
− −
3 1 2
2 ( 1) 3APk
−= =− −
1
( 1)
y
x
−
− −
2 1 1
4 ( 1) 5BPk
−= =− −
1 1 2[ , ]5 3z
∈ 3[ ,5]2z ∈
2017
1009
( 1)nS n n= + 1 1 2a S= = 2n≥
1 ( 1) ( 1) 2n n na S S n n n n n−= − = + − − = { }na 2 ( )na n n ∗= ∈N
2n≥ 1 1 2 2 n n nS b S b S b a+ + + = 1 1 2 2 1 1 1n n nS b S b S b a− − −+ + + = 1n n n nS b a a −= −
1 2 2 2
( 1) 1
n n
n
n
a ab S n n n n
−−= = = −+ + 1n = 1 1 1 1, 1S b a b= =
2 2
1nb n n
= − + { }nb 2 2 ( )1nb nn n
∗= − ∈+ N从而 .
17．【解析】
（ 1 ） 由 得 ， 即 ， 解 得
或 （舍去），由正弦定理得 .（6 分）
（2）由余弦定理得 ，将 代入，得 ，
解得 ，由余弦定理得 ，
则 , ，
从而 .（12 分）
18．【解析】
（1）如图，取 中点 ，连接 .
棱柱 为正三棱柱，
为正三角形，侧棱 两两平行且都垂直于平面 .
，
平面 ， ， 平面 ，
平面 ， ， 四点在同一个平面上.
平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
， ， ， 为 中点，即 .（6 分）
（2）正三棱柱 的底面积 ，则体积 .
下面一个几何体为四棱锥 ，底面积 ，因为平面 平面 ，
过点 作 边 上的高线，由平面与平面垂直的性质可得此高线垂直于平面 ，故四棱锥
的高 ，则 ，从而 .（12
分）
19．【解析】
（1）由于小矩形的面积之和为 1，
则 ，由此可得 .（3 分）
该厂工人一天生产此产品数量的平均值
.（6 分）
（ 2 ） 生 产 产 品 数 量 在 的 工 人 有 人 ， 生 产 产 品 数 量 在 的 工 人 有
人，生产产品数量在 的工人有 人，生产产品数量在
1 2 2017
2 2 2 2 2 2 2 2017( ) ( ) ( ) 21 2 2 3 2017 2018 2018 1009b b b+ + + = − + − + + − = − =
2sin (sin sin ) 6sinA A B B+ = 2 2sin sin sin 6sin 0A A B B+ − = 2sin sin( ) 6 0sin sin
A A
B B
+ − =
sin 2sin
A
B
= 3− sin 2sin
a A
b B
= =
2 2 2 3cos 2 4
a b cC ab
+ −= = 2a b= 2 2 25 3b c b− =
2c b=
2 2 2 2 2 2(2 ) ( 2 ) 5 2cos 2 82 2 2
a c b b b bB ac b b
+ − + −= = =
× ×
2 14 14sin 1 cos ,sin 2sin8 4B B A B= − = = =
2 2 2 2 2 2( 2 ) (2 ) 2cos 2 42 2
b c a b b bA bc b b
+ − + −= = = −
×
14 5 2 2 14 3 7sin( ) sin cos cos sin ( )4 8 4 8 8A B A B A B− = − = × − − × =
BC F ,AF EF
A B C ABC′ ′ ′ −
∴ ABC△ , ,AA BB CC′ ′ ′ ABC
∴ AF BC⊥ AF BB′⊥
,BC BB′ ⊂ BCC B′ ′ BC BB B′ = ∴ AF ⊥ BCC B′ ′
DE ⊥ BCC B′ ′ ∴ //DE AF , , ,A F E D∴
//AA′ BCC B′ ′ AA′ ⊂ AFED BCC B′ ′ AFED EF=
∴ //AA EF′ //AA CC′ ′ ∴ //EF CC′ E∴ BC′ BE EC′=
A B C ABC′ ′ ′ − 21 3 3
2 2 4S a a a= × × = 23
4V a h=
B ACC D′− 1 3= ( )2 2 4ACC D
hS h a ah′ × + × =梯形 ABC ⊥ ACC A′ ′
B ABC△ AC ACC A′ ′
B ACC D′− 3
2 a= 2
2
1 3 3 3
3 4 2 8V ah a a h= × × = 2 2 2
1 2
3 3 3
4 8 8V V V a h a h a h= − = − =
( 0.03 4 0.06 5 0.02 0.01) 5 1a a a+ + + + + + × = 0.008a =
(42.5 0.008 47.5 0.03 52.5 0.032= × + × + × +
)57.5 0.06 62.5 0.04 67.5 0.02 72.5 0.01 5 57.35× + × + × + × × =
[55,60) 0.06 5 100 30× × = [60,65)
0.008 5 5 100 20× × × = [65,70) 0.02 5 100 10× × = [70,75]的工人有 人，故用分层抽样法从生产产品数量在 的四组工人
中抽样，抽取人数分别为 人， 人， 人，
人.（12 分）
20．【解析】
（1）因为点 到 的距离比它到 轴的距离大 1，
则点 到 的距离与点 到直线 的距离相等；
故点 的轨迹为抛物线 ，即曲线 的轨迹方程为 ；（5 分）
（2）联立 解得 故 ；
设 ，则 ，根据点差法，两式相减，
整理得 ，
所以直线 的方程是 ，直线 的方程是 ，
联立 ，得 ，
从而有 .
联立 ，得 ，有 ；
设 的中点为 ，则 ，从而有 ，
故 四点共圆且 为圆心，故圆 的方程是 .（12 分）
21．【解析】
（1） 的定义域为 ， ，
令 可得 或 .下面分三种情况.
当 时，可得 ，由 得 ，由 得 ，
此时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
当 时，由 得 或 ，由 得 ，
此时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
当 时， ， 在区间 上单调递增.（6 分）
（2）由（1）得，当 时， 在 处取得最小值 ，且 在区间 内先减后增，又
，
，要使得 在区间 上有两个零点，
必须有 且 ，由此可得 .
当 时， ，显然 在区间 上不存在两个零点.
0.01 5 100 5× × = [55,60),[60,65),[65,70),[70,75)
3013 630 20 10 5
× =+ + +
2013 430 20 10 5
× =+ + +
1013 230 20 10 5
× =+ + +
513 130 20 10 5
× =+ + +
P ( )0,1 x
P ( )0,1 P 1y = −
P 2 4x y= Ω 2 4x y=
1 0,
3 2 0,
x y
x y
− + =
− =
2
3
x
y
=
=
( )2,3Q
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2
1 1 2 24 , 4x y x y= =
1 2 1 2
1 2
14AB
y y x xk x x
− += = =−
AB 1 0x y− + = CD 5 0x y+ − =
2 4
5 0
x y
x y
= + − =
( 2 2 6,7 2 6), ( 2 2 6,7 2 6)C D− − + − + −
8 3CD =
2 4
1 0
x y
x y
= − + =
(2 2 2,3 2 2), (2 2 2,3 2 2)A B− − + + 8AB =
CD R ( 2,7)R − 4 3 2
CDRA RB= = =
, , ,A B C D ( 2,7)R − R 2 2( 2) ( 7) 48x y+ + − =
( )f x (0, )+∞ 2 2( 1)( )( ) 2( 1) 2a x x af x a xx x
− −′ = − + + =
( ) 0f x′ = 1x = x a=
① 0a≤ 0x a− > ( ) 0f x′ > 1x > ( ) 0f x′ < 0 1x< <
( )f x (1, )+∞ (0,1)
② 0 1a< < ( ) 0f x′ > 0 x a< < 1x > ( ) 0f x′ < 1a x< <
( )f x (0, ),(1, )a +∞ ( ,1)a
③ 1a =
22( 1)( ) 0xf x x
−′ = ≥ ( )f x (0, )+∞
0a < ( )f x 1x = 2 1a− − ( )f x 21[ , ]ee
2 2 4 2 4 2( ) 4 2( 1) (2 4) 2 0f e a a e e e a e e= − + + = − − + − >
2
1 2( 1) 1( ) 2 af ae e e
+= − − + ( )f x 21[ , ]ee
1( ) 0f e
≥ 2 1 0a− − < 1 2 1
2 2 ( 1)
ea e e
−− < − +≤
0a = 2( ) 2f x x x= − ( )f x 21[ , ]ee当 时，由（1）得 在区间 内先减后增，
又 ， ，
故此时 在区间 上不存在两个零点.
当 时，由（1）得 在区间 内先增，先减，后增.
又 , ，
故此时 在区间 上不存在两个零点.
当 时，由（1）得 在区间 上单调递增，
在区间 上不存在两个零点.
综上， 的取值范围是 .（12 分）
22．【解析】
（1）由曲线 的极坐标方程为 ，则 ，即 ，
得其标准方程为 .直线 参数方程为 ( 为参数)，
则其普通方程为 .（5 分）
（2）由（1）得曲线 为圆心为 ，半径为 5 的圆，曲线 的参数方程为
( 为参数)，由题设条件及点到直线的距离公式可得 ，
化简的 ，可得 或 .
当 时，注意到 ，联立方程组，
得 或 ， 此 时 对 应 的 点 坐 标 为 . 当 时 ， 注 意 到
，联立方程组，得 或 ，
此时对应的 点坐标为 .
综上，符合条件的 点坐标为 .（10 分）
23．【解析】
（1）当 时， .
当 时，原不等式可化为 ，解得 ，
结合 得此时 .
当 时，原不等式可化为 ，
解得 ，结合 得此时 不存在.
10 a e
< ≤ ( )f x 21[ , ]ee
2
1 2 2 1( ) 2 ( ) 0af ae e e e
= − − − − < 2 2 4 2 2 4 2( ) (2 4) 2 (2 4) 2 0f e e a e e e e e= − − + − > − − + − >
( )f x 21[ , ]ee
1 1ae
< < ( )f x 21[ , ]ee
2 2( ) 2 ln 2( 1) 2 ln (2 ) 0f a a a a a a a a a a= − + + = − + < 2 2 4 2( ) (2 4) 2 0f e e e e> − − + − ＞
( )f x 21[ , ]ee
1a = ( )f x (0, )+∞
( )f x 21[ , ]ee
a 1 2 1( , ]2 2 ( 1)
e
e e
−− − +
C 10cosρ θ= 2 10 cosρ ρ θ= 2 2 10x y x+ =
2 2( 5) 25x y− + = l
22 2
2
2
x t
y t
= +
=
t
2 0x y− − =
C (5,0) C 5 5cos
5sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ | 5 5cos 5sin 2 | 2
2
ϕ ϕ+ − − =
| 3 5cos 5sin | 2ϕ ϕ+ − = 5cos 5sin 1ϕ ϕ− = − 5cos 5sin 5ϕ ϕ− = −
5cos 5sin 1ϕ ϕ− = − 2 2sin cos 1ϕ ϕ+ =
3cos 5
4sin 5
ϕ
ϕ
=
=
4cos 5
3sin 5
ϕ
ϕ
= −
= −
P (8,4),(1, 3)− 5cos 5sin 5ϕ ϕ− = −
2 2sin cos 1ϕ ϕ+ = cos 0
sin 1
ϕ
ϕ
=
=
cos 1
sin 0
ϕ
ϕ
= −
=
P (5,5),(0,0)
P (8,4),(1, 3),(5,5),(0,0)−
1a = ( ) 1 | 2 4 |f x x x= +− −
1x≤ 1 4 2 5x x− + − ≥ 0x≤
1x≤ 0x≤
1 2x< < 1 4 2 5x x− + − ≥
2x −≤ 1 2x< < x当 时，原不等式可化为 ，解得 ，
结合 得此时 .
综上，原不等式的解集为 .（5 分）
（2）由于 对任意 恒成立，
故当 时，不等式 对任意 恒成立，此时 .
当 ，即 或 时，由于 ，记 ，
下面对 分三种情况讨论.
当 时， ，
在区间 内单调递减.
当 时， ，
在区间 内单调递增.
当 时， ，
在区间 内单调递增.综上，可得 ，
要使得 对任意 恒成立，只需 ，即 ，得 ，
结合 或 ，得 .
综上， 的取值范围为 .（10 分）
2x≥ 1 2 4 5x x− + − ≥ 10
3x≥
2x≥ 10
3x≥
10{ | 0 }3x x x≤ 或 ≥
2 4 02 ||x a x a−+− ≥ x∈R
2 4 0a − ≤ 2( ) 4f x a −≥ x∈R 2 2a− ≤ ≤
2 4a > 2a < − 2a > 2 2a a> 2( ) ( ) ( 4)g x f x a= − −
x
2x a≤ 2 2( ) 4 ( 42 ) 3 4 4g x a x a x a x a= − + − − − = − + +
( )g x ( ,2 ]a−∞
22a x a< < 2 2( ) 4 ( 4) 4 42g x a x x a a x a= − + − − − = − +
( )g x 2(2 , )a a
2x a≥ 2 2 22( ) 4 ( 4) 3 2 4 4g x x a x a a x a a= − + − − − = − − +
( )g x 2[ , )a +∞ ( ) (2 ) 2 4g x g a a= − +≥
2( ) 4f x a −≥ x∈R min( ) 0g x ≥ 2 4 0a− + ≥ 2a≤
2a < − 2a > 2a < −
a ( ,2]−∞
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