2020 届模拟 08
文科数学
测试范围：学科内综合．共 150 分，考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．已知集合 , ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 是虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆的长轴与焦距之差为 4，则该椭圆的
方程为 （ ）
A． B． C． D．
5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 的值的范围是：
3.1415926＜ ＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把 3.1415926 称为“祖率”,这
是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的 7
位数字 1,4,1,5,9,2,6 随机选取两位数字，整数部分 3 不变，那么得到的数字大于 3.14 的概率
为 （ ）
A． B． C． D．
6．运行如图所示的程序,输出的结果为 （ ）
{ | 2 , }A x x n n= = ∈Z { 1,0,2,3,6,8}B = − ( )A B =R
{1,2,6} {0,1,2} { 1,3}− { 1,6}−
i 2 33 i( ) i1 i
− − =+
3 2i− − 3 3i− − 2 4i− + 2 2i− −
2sin 3
α = 3tan( )sin( )2
ππ α α+ + =
2
3
− 2
3
5
3
− 5
3
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = ＞ ＞ 1
2
2 2
14 2
x y+ =
2 2
18 4
x y+ =
2 2
116 4
x y+ =
2 2
116 12
x y+ =
π
π
28
31
19
21
22
31
17
21A．8 B．6 C．5 D．4
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知直线 l1: 与 l2: 之间的距离为 2，则直线 l2 被圆 截得
的弦长为 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9 ． 已 知 实 数 满 足 不 等 式 组 ， 则 目 标 函 数 的 最 大 值 为
（ ）
A．1 B．5 C． D．
10．在边长为 1 的正 中，点 在边 上，点 是 中点，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
11．已知定义在 上的函数 ，满足 ，且 时， ，
图象如图所示，则满足 的实数 的取值范围
是 （ ）
6π 8π 6 6π + 8 +4π
1y x= + y x m= + 2 2:( 1) 8C x y+ + =
,x y
1 0
2 0
1
x y
x y
x
− +
+
≥
≥
≤
3z x y= −
5
3
7
3
ABC△ D BC E AC 3= 16AD BE⋅ - BD
BC
=
1
4
1
2
3
4
7
8
R ( )f x ( ) ( )( )f m x f m x x+ = − ∈R 1x≥ 2( ) 2 x nf x − +=
( ) 2
n mf x
−≥ xA． B． C． D．
12．已知函数 的最小正周期为 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上．）
13．在正方体 中，点 是 的中点，则 与 所成角的正切值
为 .
14．已知双曲线 的离心率为 2，过双曲线的右焦点垂直于 x 轴的直线被
双曲线截得的弦长为 ，则 .
15．已知函数 ，若 ，且 的最小值
为 ，则 .
16．已知 的三个内角所对的边分别为 ，且
, ，则 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12 分）已知等比数列 满足： ，且 .
（1）求 的通项公式及前 项和；
（2）若 ，求 的前 项和 .
[ 1,3]− 1 3[ , ]2 2 [0,2] 1 5[ , ]2 2
−
2( ) 3sin cos 4cosf x x x xω ω ω= − ( 0)ω > π 1( ) 2f θ =
( )2f
πθ + =
5
2
− 9
2
− 11
2
− 13
2
−
1 1 1 1ABCD A B C D− M 1 1C D 1A M AB
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
m m
a
=
ln ( 0)( ) ln( ) ( 0)
x xf x x x
>= − − < 2 24a b+
m 22 log ( )m ab+ − =
ABC△ , ,a b c
cos cos 2 cosb C c B a B+ = sin 3sinB A= a
c
=
{ }na 1
1
2a = 8 9
5 6
1
8
a a
a a
+ =+
{ }na n
n nb na= { }nb n nT18．（12 分）如图，三棱锥 中，平面 平面 ， ，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积.
P ABC− PAB ⊥ ABC PA PB= AB PC⊥
CA CB=
2, 11PA PB AB PC= = = = P ABC−19．（12 分）某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠
前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付
费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.
（1）试根据所给数据计算每小时点击次数的均值方差并分析两组数据的特征；（2）若把乙公司设置的每次点击价格为 x，每小时点击次数为 ，则点 近似在一条直
线附近.试根据前 5 次价格与每小时点击次数的关系，求 y 关于 x 的回归直线 .（附：
回归方程系数公式： , ）.
y ( , )x y
y bx a= +
1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
=
=
−
=
−
∑
∑
a y bx= − 20．（12 分）如图，直线 与 y 轴交于点 ，与抛物线 交于
，点 与点 关于 x 轴对称，连接 并延长分别与 x 轴交于点 .
（1）若 ，求抛物线 的方程；
（2）若 ，求 外接圆的方程.
: 2 1 0l x y+ + = A 2: 2 ( 0)C x py p= >
,P Q B A ,QB BP ,M N
| | 4 3PQ = C
4 3| | 3MN = BMN△21．（12 分）已知函数 .
（1）若 在 处的切线与 轴平行，求 的极值；
（2）若函数 在 上单调递增，求实数 a 的取值范围.
2( ) ln ( )f x x ax a= + ∈R
( )y f x= 2x = x ( )f x
( ) ( ) 1g x f x x= − − (0, )+∞请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清
题号．
22．（10 分）选修 4—4 坐标系与参数方程
以 原 点 为 极 点 ， 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为
，直线 l 的参数方程为 （其中 为参数）.
（1）把曲线 的极坐标方程化为普通方程；
（2）若直线 与曲线 有两个公共点，求实数 的取值范围.
x C
2 (5 3cos2 ) 8ρ θ− =
2
2
2
2
x m t
y t
= −
=
t
C
l C m23．（10 分）选修 4—5 不等式选讲
已知函数 .
（1）关于 的不等式 的解集为 ，且 ，求实数 的取值范围；
（2）求 的最小值，及对应的 x 的取值范围.
2020 届模拟 08 文科数学答案与解析
1．【答案】C【解析】由条件可知 为偶数集，故 .
2．【答案】B【解析】 .
3．【答案】A【解析】 .
( ) | 1| 2f x x x= − +
x ( ) 2f x < M ( ,1 2 )m m M− ⊆ m
( ) ( ) 2 | 2|g x f x x x= − + −
A ( ) { 1,3}A B = −R
2 3 2 23 i (1 i)(3 i)( ) i [ ] i (1 2i) i 3 3i1 i 2
− − −− = + = − + = − −+
3 2tan( )sin( ) tan ( cos ) sin2 3
ππ α α α α α+ + = − = − = −4．【答案】D【解析】设椭圆的焦距为 2c，由条件可得 ，故 ，由椭圆的长轴与焦距之差为 4 可
得 ，即 ，所以， ，故 ，故该椭圆的方程为 .
5．【答案】A【解析】从 1,4,1,5,9,2,6 这 7 位数字中任选两位数字的不同情况有：
14,11,15,19,12,16,41,45,49,42,46,59,52,56,92,96,26,51,91,21,61,54,94,24,64,95,25,65,29,69,
62，共 31 种不同情况，其中使得到的数字不大于 3.14 的情况有 3 种不同情况，故所求概率为 .
6．【答案】D【解析】所给程序的运行过程如下：b=1,a=3;b=2,a=7;b=3,a=15;b=4,a=31，不满足 ，输出 b
的值为 4.
7 ．【 答 案 】 C 【 解 析 】 由 三 视 图 可 知 ， 该 几 何 体 是 一 个 圆 柱 的 ， 故 表 面 积 为
.
8．【答案】A【解析】由条件可知，直线 过圆心 ，则圆心 到直线 l2 的距离等于直线 与 l2 之间
的距离 2，故直线 l2 被圆 截得的弦长为 .
9．【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：
且点 ，易得目标函数 在点 处取得最大值 5.
10．【答案】C【解析】设 , ，则
, ,
则
，故 ，即 .
11．【答案】B【解析】由条件可知， 的图象关于直线 对称，结合 可得
，而 ，即 ，解之得 ，由 可得 ，当 时，由 ，
解之得 ，所以， ，再结合对称性可得 的取值范围是 .
12．【答案】B【解析】 ，
其中 ，由 可得 ，即 关于 对称，而 与
的距离为 个周期，故 ，所以， .
13．【答案】2【解析】 即为 与 所成角，取 中点 ，连接 ，则 ，则
.
14．【答案】6【解析】设双曲线的焦距为 ，则 ，即 ，则 把 代入双曲线可得
，故 ，所以， .
15．【答案】3【解析】由 可得 ，即 ,
，则 ，当且仅当 ，即 时， 取得最小值
1
2
c
a
= 2a c=
2( ) 4a c− = 2a c− = 4, 2a c= = 2 2 2 12b a c= − =
2 2
116 12
x y+ =
3 281 =31 31
−
30a＜
3
4
23 (2 1 2 3) 2 1 3 6 64
π π π× + × + × × = +
1l : ( 1,0)C − C 1l
C 2 8 4 4− =
1 2( , ), (1,2), (1, 2)3 3A B C− − 3z x y= − C
,AB AC= = a b BD BCλ=
( ) (1 )AD AB BD λ λ λ= + = + − = − + a b a a b 1
2BE AE AB= − = − b a
2 21 1 1=[(1 ) ] ( )= (1 3 ) ( 1)2 2 2AD BE λ λ λ λ λ⋅ − + ⋅ − − ⋅ + − + a b b a a b a b
1 1 3 3= (1 3 ) ( 1) = ( 1)=4 2 4 16
λ λ λ λ− + − + − − 3= 4
λ 3= 4
BD
BC
( )f x 1x = ( ) ( )( )f m x f m x x+ = − ∈R
1m = (1) 1f = 22 1n− + = 2n = ( ) 2
n mf x
−≥ 1( ) 2f x ≥ 1x≥ 2 2 12 2
x− + ≥
3
2x≤ 31 2x≤ ≤ x 1 3[ , ]2 2
2 3 5( ) 3sin cos 4cos = sin2 2cos2 2 sin(2 ) 22 2f x x x x x x xω ω ω ω ω ω ϕ= − − − = − −
4 3sin ,cos5 5
ϕ ϕ= = 1( ) 2f θ = sin(2 ) 1ωθ ϕ− = ( )f x x θ=
2x
πθ= + x θ=
1
2
sin[2 ( ) ] 12
πω θ ϕ+ − = − 5 9( ) 22 2 2f
πθ + = − − = −
1 1MA B∠ 1A M AB 1 1A B N MN 1 1MN A B⊥
1 1
1
tan 2MNMA B A N
∠ = =
2c 2c
a
= 2c a= 3b a= 2x c a= =
2by a
= ±
22bm a
=
2
2
2 6m b
a a
= =
( ) (2 )f a f b= ( 0, 0)a b> < ln ln( 2 )a b= − − 2 1ab− =
∴ 1
2ab = − 2 24 2 | 2 | 4 | | 2a b a b ab+ ⋅ = =≥
1
2
2
ab
a b
= −
= −
1
1
2
a
b
= = −
2 24a b+2，故 .
16．【答案】 【解析】由 及正弦定理
可得 ，即 ，
而 , .
由 可得 ，由余弦定理可得 ，
即 ，解之得 (舍去负值).
17．【解析】（1）设 的公比为 q，由 可得 ，
, . .（5 分）
（2）由（1）可得 .则 ①
所以， ②
由①－②可得 ，
所以， .（12 分）
18．【解析】（1）取 的中点 ，连接 . , ，
平面 ，
平面 ，又 OC 平面 , ，
而 是 的中点, .（6 分）
（2） 平面 平面 , 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，由条件可得 , .
则 ，
三棱锥 的体积为： .（12 分）
19．【解析】（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，
乙公司每小时点击次数为 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
甲公司每小时点击次数的平均数为： ，
乙公司每小时点击次数的平均数为：
2
2 2
12 log ( ) 2 log 32
m ab+ = + =
33 1
16
−
cos cos 2 cosb C c B a B+ =
sin cos sin cos 2sin cosB C C B A B+ = sin( ) 2sin cosB C A B+ =
sin sin( ) 0A B C= + > ∴ 1cos 2B =
sin 3sinB A= 3b a= 2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
2 2 29a a c ac= + − 33 1
16
a
c
−=
{ }na 8 9
5 6
1
8
a a
a a
+ =+
3 1
8q =
∴ 1
2q = ∴ 1
2n na = ∴
1 1(1 ) 12 2 11 21 2
n
n nS
−
= = −
−
2n n
nb =
2 3
1 2 3
2 2 2 2n n
nT = + + + +
2 3 4 1
1 1 2 3
2 2 2 2 2n n
nT += + + + +
2 3 1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2n n n
nT += + + + + − 1 1
1 1(1 ) 22 2 11 2 21 2
n
n n
n n
+ +
− += − = −
−
22 2n n
nT
+= −
AB O ,PO PC PA PB= ∴ PO AB⊥
, , ,AB PC PC PO P PC PO⊥ = ⊂ POC
∴ AB ⊥ POC ⊂ POC ∴ AB OC⊥
O AB ∴ CA CB=
PAB ⊥ ABC PO ⊂ PAB PAB ABC AB=
∴ PO ⊥ ABC 3PO = 2 2 2 2OC PC PO= − =
1 1 2 2 2 2 22 2ABCS AB OC= ⋅ = × × =△
∴ P ABC− 1 1 2 62 2 33 3 3ABCV S PO= ⋅ = ⋅ ⋅ =△
9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 710x
+ + + + + + + + += =甲
2 4 6 8 7 7 8 9 9 10 710x
+ + + + + + + + += =乙甲公司每小时点击次数的方差为： ;
乙公司每小时点击次数的方差为：
，
由计算已知，甲、乙公司每小时点击次数的均值相同，但是甲的方差较小，
所以，甲公司每小时点击次数更加稳定.（6 分）
（2）根据折线图可得数据如下：
点击次数 y 2 4 6 8 7
点击价格 x 1 2 3 4 5
则 ，则 ,
所求回归直线方程为： .（12 分）
20．【解析】（1）由 可得 ，
设点 ，则 ，即 .
，
故 .
由 可得 （舍去负值），
抛物线 的方程为 .（5 分）
（2）设直线 的斜率分别为 ，
.
，
直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
则 ，则 ，
由 可得 , ，
, ，且 ，故 ，
即△BMN 是等腰三角形，且 ，则△BMN 的外接圆的圆心一定在 y 轴上，设为 ，
2 2 2 2 2 21 [2 ( 2) 2 1 2 ( 1) 4 0 ] 1.210S = + − + × + × − + × =甲
2 2 2 2 2 2 2 21 [( 5) ( 3) ( 1) 2 1 2 2 3 2 0 ] 5.410S = − + − + − + × + × + + × =乙
3, 5.4x y= =
5
1
5 22
1
5
ˆ1.4, 1.2
i i
i
i
i
x y xy
b a
x nx
=
=
−
= = =
−
∑
∑
∴ 1.4 1.2y x= +
2
2 1 0
2
x y
x py
+ + = =
2 2 2 2 0x px p+ + =
1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 2=(2 2 ) 8 0p p∆ − > 1p >
1 2 1 22 2 , 2x x p x x p+ = − =
2
1 2 1 2 1 2| | 1 2 | | 3 ( ) 4PQ x x x x x x= + − = + − 2 2= 3 8 8 2 6( )p p p p− = −
22 6( )=4 3p p− 2p =
∴ C 2 4x y=
,BN BM 1 2,k k
2
1
2 2
1 1 1 1 2 1 2
1
1 1 1 1
11 22= =2 2 2
x
y x p x x x x xpk x x px px p
−− − − −= = =
2
2
2 2
2 2 2 1 2 2 1
2
2 2 2 2
11 22= =2 2 2
x
y x p x x x x xpk x x px px p
−− − − −= = =
∴
1 2 0k k+ =
BN 1 1y k x= + BM 2 1y k x= +
1 2
1 1( ,0), ( ,0)N Mk k
− − 1 2
2 1 1 2
1 1 | | 4 3| | | | =| | 3
k kMN k k k k
−= − =
1 2 0k k+ = 1 2k k= − ∴ 1
2
1
| 2 | 4 3=| | 3
k
k
∴
1
3| | 2k = ∴
2
3| | 2k = 1 2 0k k < 3tan tan 2BNM BMN∠ = ∠ =
1OB = (0, )t由圆心到点 的距离相等可得 ，解之得 ，
外接圆方程为 .（12 分）
21．【解析】（1） , ，
由条件可得 ，解之得 ，
, ，
令 可得 或 （舍去）.
当 时， ；当 时， .
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 有极大值 ，无极小值；（5 分）
（2） ，则 .
设 .
①当 时， ，当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，不满足条件；
②当 时， 是开口向下的抛物线，
方程 有两个实根，设较大实根为 .
当 时，有 ，即 , 在 上单调递减，故不符合条件；（8 分）
③当 时，由 可得 在 上恒成立.
故只需 或 ，即 或 ，解之得 .
综上可知，实数 的取值范围是 .（12 分）
,M B 2 2 22 3(1 ) ( )3t t− = + 1
6t = −
2 21 49( + )6 36x y+ =
2( ) lnf x x ax= + ∴ 1'( ) 2f x axx
= + ( 0)x >
1'(1) 4 02f a= + = 1
8a = −
∴ 21( ) ln 8f x x x= − 1 1 ( 2)( 2)'( ) 4 4
x xf x xx x
− − += − = ( 0)x >
'( ) 0f x = 2x = 2x = −
0 2x< < '( ) 0f x > 2x > '( ) 0f x <
( )f x (0,2) (2, )+∞
( )f x 1(2) ln 2 2f = −
2( ) ln 1g x x ax x= + − −
21 2 1'( ) 2 1 ax xg x axx x
− += + − = ( 0)x >
2( ) 2 1h x ax x= − +
0a = 1'( ) xg x x
−= − 0 1x< < '( ) 0g x > 1x > '( ) 0g x <
( )g x (0,1) (1, )+∞
0a < 2( ) 2 1h x ax x= − +
22 1 0ax x− + = 0x
0x x> ( ) 0h x < '( )0a '( ) 0g x ≥ 2( ) 2 1 0h x ax x= − + ≥ (0, )+∞
(0) 0
1 04
0
0
h
a
a
−−
∆ >
>
≥
≤
0∆≤
1 0
1 04
1 8 0
0
a
a
a
− >
>
≥
≤ 1 8 0
0
a
a
−
>
≤ 1
8a≥
a 1[ ,+ )8
∞22．【解析】（1）方程 可化为 ，
即 ，把 代入可得 ，
整理可得 .（5 分）
（2）把 代入 可得 ，
由条件可得 ，解之得 ，
即实数 的取值范围是 .（10 分）
23．【解析】（1）当 时，不等式 可变为 ，解之得 , ;
当 时，不等式 可变为 ，解之得 , 不存在.
综上可知，不等式 的解集为 .
由 可得 ，解之得 ，
即实数 的取值范围是 .（5 分）
（2） ，
当且仅当 ，即 时，
取得最小值 1，此时，实数 的取值范围是[1,2].（10 分）
2 (5 3cos2 ) 8ρ θ− = 2 2[5 3(2cos 1)] 8ρ θ− − =
2 2 24 3 cos 4ρ ρ θ− =
2 2 2
cos
x y
x
ρ
ρ θ
= + =
2 2 24( ) 3 4x y x+ − =
2
2 14
x y+ =
2
2
2
2
x m t
y t
= −
=
2
2 14
x y+ = 2 25 2 2 2 8 0t mt m− + − =
2 2( 2 2 ) 20(2 8) 0m m∆ = − − − > 5 5m− < <
m ( 5, 5)−
1x≤ ( ) 2f x < ( 1) 2 2x x− − + < 1x < ∴ 1x <
1x > ( ) 2f x < ( 1) 2 2x x− + < 1x < ∴ x
( ) 2f x < ( ,1)M = −∞
( ,1 2 )m m M− ⊆ 1 2
1 2 1
m m
m
< −
− ≤
10 3m
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