安徽2020届高三数学（理）下学期模拟试卷（九）（Word版附答案）

2020 届模拟 09 理科数学 测试范围：学科内综合．共 150 分，考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 1．设复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ） A． B． C． D． 2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞： 无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像 宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123 黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性 数字黑洞”等．定义：若一个 位正整数的所有数位上数字的 次方和等于这个数本身，则 称 这 个 数 是 自 恋 数 ． 已 知 所 有 一 位 正 整 数 的 自 恋 数 组 成 集 合 ， 集 合 ，则 的真子集个数为 （ ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．已知 ，则“ ”是“ ”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4 ． 用 表 示 中 的 最 大 值 ， 若 ， 则 的 最 小 值 为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，圆 过正六边形 的两个顶点 ，记圆 与正六边形 的公共部 分 为 ， 则 往 正 六 边 形 内 投 掷 一 点 ， 该 点 不 落 在 内 的 概 率 为 （ ） A． B． C． D． 6 ． 已 知 正 项 等 比 数 列 的 前 项 和 为 ， 且 ， 若 ， z (2 3i) 1 5i 0z − + + = i 2017z = 10082 (1 i)+ 10082 (1 i)− 10082 ( 1 i)− + 10082 ( 1 i)− − n n A { }3 4B x x= ∈ − < 2 2 2 2 2( ) ( )( )xy yz x y y z+ = + + z y y x = max{ , }a b ,a b 2( ) max{| |,2 }f x x x= − ( )f x A ABCDEF ,B F A ABCDEF Ω ABCDEF Ω 4 3 27 π 4 3 54 π 4 31 27 π− 2 31 27 π− { }na n nS 4 3 2 1 10,9 9 Sa S = = ( )7 2M a=，则 的大小关系为 （ ） A． B． C． D． 7．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，根据图中三视图，求得该几何体的表面积为 （ ） A． B． C． D． 8 ． 已 知 单 位 向 量 的 夹 角 为 ， 若 向 量 ， 且 ， 则 （ ） A．2 B．4 C．8 D．16 9 ． 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 出 的 的 值 是 35 ， 则 判 断 框 内 应 补 充 的 条 件 为 （ ） A． B． C． D． 10．过椭圆 一个焦点且垂直于 轴的直线与椭圆交于 两点， 是原 点，若 是等边三角形，则椭圆的离心率为 （ ） A． B． C． D． 11．已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 （ ） ( )e 4 9 6, logN a P a= = , ,M N P M P N> > M N P> > N M P> > N P M> > 16π 18π 20π 24π ,a b 3 4 π 2 , 4 λ= = −m a n a b ⊥m n =n S 9i≤ 10i≤ 11i≤ 12i≤ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > x ,A B O ABO△ 3 2 17 1 4 − 26 2 5 − 39 3 6 − ( )f x ( )f xA． B． C． D． 12．若函数 在区间 上不单调，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上．） 13．已知函数 ，则函数 图象的对称轴为 . 14． 展开式中 的系数为 2016，则展开式中常数项为 .（用 数字作答） 15．已知点 满足 ，则 的取值范围为 . 16．设 是数列 的前 项的和， ，如果 是 与 的 等差中项，则 的最小值为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12 分）在 中，角 的对边分别为 ，已知 . （1）求 ； （2）若 ，求 . | cos3 |x x 1 cos2 2 x x + 2 2 2 2 5 (4 )(4 9 )x x x π π− − | sin 2 |x x 2( ) lnf x x ax= − 2[1, ]e a 2 4(0, )e 2 4[0, ]e 2(0, )e 2[0, ]e ( ) sin(2 )cos(2 )4 4f x x x π π= − + ( )f x 2 2017( ) (1 )a x x+ − 2018x ( , )x y 2 8 0 2 6 0 3 7 0 x y x y x y + −  − −  − + ≥ ≤ ≥ 1 1 xz y += − nS { }na n 10, 1nS S> = 2 1 1 2 nS + ( 1)n nS S n+ + 1( 1) nn S ++ 8 ( )n n S na ∗+ ∈N ABC△ , ,A B C , ,a b c 2sin (sin sin ) 6sinA A B B+ = a b 3cos 4C = sin( )A B−18．（12 分）每逢节日，电商之间的价格厮杀已经不是什么新鲜事，今年的 6 月 18 日也不例 外.某电商在 6 月 18 日之后，随机抽取 100 名顾客进行回访，按顾客的年龄分成 6 组，得到 如下频数分布表： 顾客年龄 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65)频数 4 24 32 20 16 4 （1）在下表中作出这些数据的频率分布直方图； （2）用分层抽样的方法从这 100 名顾客中抽取 25 人，再从抽取的 25 人中随机抽取 2 人， 求年龄在 内的顾客人数 的分布列、数学期望．[ )25,35 X19．（12 分）如图 1，平面五边形 是由边长为 2 的正方形 与上底为 1，高为 的直角梯形 组合而成，将五边形 沿着 折叠，得到图 2 所示的空间几何体， 其中 . （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 图 1 图 2 ABCFE ABCD 3 CDFE ABCFE CD AF CF⊥ BD ⊥ AFC A FB C− −20．（12 分）已知抛物线 ，不与坐标轴垂直的直线 与抛物线交于 两点，当 且 时， . （1）求抛物线的标准方程； （2）若 过定点 ，点 关于 轴的对称点为 ，证明：直线 过定点，并求出定点 坐标. 2 2 ( 0)y px p= > :l y kx m= + ,P Q 2k = 1m = | | 15PQ = l ( ,0)s Q x Q′ Q P′21．（12 分）已知 . （1）讨论函数 的单调性； （2）证明： . (1 )( ) ln(1 ) 1 ax xf x ax ax += + − + ( 0)a > ( )f x 2 2 2 2 1 1 1 1(1 )(1 )(1 ) (1 )2 3 4 en + + + + − ( )f x x= − 1 1x− ≤ ≤ 2| | 2x x−≤ 2( ) 2f x x= − 1x > 2| | 2x x> − ( )f x x= 2 , 1 ( ) 2 , 1 1 , 1 x x f x x x x x − < − = − −  > ≤ ≤ 1x = − 1x = ( )f x 2AB = ABCDEF 2 1 3 2 6 6 34S = × × = Ω 2 2 1 42 3 3 πS π= × × = 46 3 2 33 1 276 3 π πP − = = − 24 2 10 10 119 9 3 S q qS = ⇒ + = ⇒ = 2 4 6 1 1 1, ,3 27 243a a a= = = 97 e 3e 1 1 1 1, , log 03 27 3 243M N P= = = = < M N P> > 2 22 2 2 2 2 2 20S π π π π= × + × × + × = ⊥m n ( )2 4 0λ⋅ − =a a b 28 2 0λ− ⋅ =a a b 24 02λ  − ⋅ − =    4 2λ = − 4 4 2= +n a b ( )22 4 4 2 16= + =n a b 4=n 2i = 2, 2T a S a= + = + 3i = 1, 3T a S= − + = 4i = 5, 8T a S a= − + = − + 5i = , 8T a S= = 6i = 6, 14T a S a= + = + 7i = 1, 15T a S= − + = 8i = 9, 24T a S a= − + = − + 9i = , 24T a S= = 10i = 10, 34T a S a= + = +当 ，可得 . 故判断框内应补充的条件为 ，故选 C. 10．【答案】D【解析】不妨设题中的焦点为椭圆的右焦点，将焦点坐标 代入椭圆方程中，得两交点坐标 分别为 ，由于 是等边三角形，则可得 ，从而 ，即 ，解之得 或 （舍去），故选 D. 11 ．【答 案 】 B 【 解 析 】 由 图 象 可 得 当 ， ， 故 可 排 除 C ， 因 为 当 时 ， .当 ，可得 ，而当 时， ，故可排除 D 选项， 当 时， ，故可排除 A 选项，故选 B. 12．【答案】C【解析】 ，若 在区间 上单调递增，可得 ，记 ，要使得对 恒有 ，只需 .若 在区间 上单 调递减，可得 ，要使得对 恒有 ，只需 .由于 ， 令 可得 ，令 可得 ，则 在 单调递增，在 单调递减，由于 ，则 ， ，由此可得当 时， 在区 间 上单调递增，当 ， 在区间 上单调递减，所以 的取值范围为 ，故 选 C. 13．【答案】 【解析】依题意， ， 由 得 ，故 关于直线 对称. 14 ．【 答 案 】 【 解 析 】 ， ， 则 的 系 数 等 于 ，由此可得 ，故展开式中常数项为 . 15．【答案】 【解析】不等式组 所表示的平面区域如图所示阴影部分 (包括边界)，其中 为直线的交点， 表示阴影部分区域内的点与点 连线的斜率， 计算可得 三点坐标分别为 ，由图象可得 的最大值为 ， 11i = 1, 35T a S= − + = 11i≤ ( ,0)c 2 2 ( , ),( , )b bc ca a − ABO△ 2 3tan30 3 b ac = ° = 2 2 3 3 a c ac − = 1 3 3ee − = 39 3 6e = − 39 3 6e = − + 0x > ( ) 0f x ≥ 3 2 2x π π< < 2 2 2 2 5 (4 )(4 9 ) 0x x x π π− − < 3 2 2x π π< < ( ) 0f x > x π= | sin 2 | 0x x = 5 6x π= | cos3 | 0x x = 2ln( ) xf x ax ′ = − 2( ) lnf x x ax= − 2[1, ]e 2ln 0x ax − ≥ 2ln( ) xg x x = 2[1, ]x e∀ ∈ ( ) 0g x a− ≥ min( )a g x≤ 2( ) lnf x x ax= − 2[1, ]e 2ln 0x ax − ≤ 2[1, ]x e∀ ∈ ( ) 0g x a− ≤ max( )a g x≥ 2 2(1 ln )( ) xg x x −′ = ( ) 0g x′ > 1 x e = min( ) (1) 0g x g= = max 2( ) ( )g x g e e = = 0a≤ 2( ) lnf x x ax= − 2[1, ]e 2a e ≥ 2( ) lnf x x ax= − 2[1, ]e a 2(0, )e ( )8 4 kx k π π= + ∈Z 2 1 cos(4 ) 1 12( ) sin (2 ) sin44 2 2 2 x f x x x π π − − =− − =− = − 4 ,2x k k π π= + ∈ Z 8 4 kx π π= + 1 1( ) sin 42 2f x x= − ( ) 8 4 kx k π π= + ∈Z 1 4 22 2( 2) a aa xx x= + ++ 20 2017 17 2017 0 (1 ( )) 1k k k k x C x = = −− ∑ 2018x 2017 2017 2016 2016 2017 20172 ( 1) 1 ( 1) 2 2017 2016a C C a× − + × − = − + = 1 2a = 2 1 4a = 3[ ,5]2 2 8 0 2 6 0 3 7 0 x y x y x y + −  − −  − + ≥ ≤ ≥ , ,A B C 1 1 ( 1) y z x −= − − ( 1,1)P − , ,A B C (2,3),(4,2),(5,4) 1 ( 1) y x − − − 3 1 2 2 ( 1) 3APk −= =− −的最小值为 ，故 ，从而 . 16．【答案】 【解析】由条件得 ， 即 ， 由 于 ， 则 ， 即 ， 那 么 . 当 ， 当 ， ，故 . ，等号成立当且仅当 ， 即 . 17．【解析】 （1）由 得 ， 即 ，解得 或 （舍去），由正弦定理得 .（6 分） （2）由余弦定理得 ，将 代入，得 ， 解得 ，由余弦定理得 ， 则 , ， 从而 .（12 分） 18．【解析】 （1）频率分布直方图如下图所示 （6 分） （2）由题意，抽取 25 人中，有 8 人的年龄在 内， 的可能取值为 ， 且 ， ， ， 故随机变量 的分布列为 0 1 2 X 的数学期望为 .（12 分） 19．【解析】 （1）以 为原点，以平行于 的方向为 轴，平行于 的方向为 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系. 1 ( 1) y x − − − 2 1 1 4 ( 1) 5BPk −= =− − 1 1 2[ , ]5 3z ∈ 3[ ,5]2z ∈ 9 2 2 1 1( 1) ( 1)n n n nS S S n n S+ += + + + + 1 1( 1)( ) 0n n n nS S n S S+ +− − − + = 0nS > 1 1 0n nS S n+ − − − = 1 1n nS S n+ = + + 1 1 2 3 2 2 1 1 ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 1 2n n n n n n nS S S S S S S S S S n n− − − += − + − + + − + − + = + − + + + + =  1 11, 1n a S= = = 2n≥ 1 ( 1) ( 1) 2 2n n n n n n na S S n− + −= − = − = ( )na n n ∗= ∈N 8 1 8 1 16 1 16 1 9( 1) ( )2 2 2 2 2 n n S n n na n n n + = + + = + + × + =≥ 16n n = 4n = 2sin (sin sin ) 6sinA A B B+ = 2 2sin sin sin 6sin 0A A B B+ − = 2sin sin( ) 6 0sin sin A A B B + − = sin 2sin A B = 3− sin 2sin a A b B = = 2 2 2 3cos 2 4 a b cC ab + −= = 2a b= 2 2 25 3b c b− = 2c b= 2 2 2 2 2 2(2 ) ( 2 ) 5 2cos 2 82 2 2 a c b b b bB ac b b + − + −= = = × × 2 14 14sin 1 cos ,sin 2sin8 4B B A B= − = = = 2 2 2 2 2 2( 2 ) (2 ) 2cos 2 42 2 b c a b b bA bc b b + − + −= = = − × 14 5 2 2 14 3 7sin( ) sin cos cos sin ( )4 8 4 8 8A B A B A B− = − = × − − × = [ )25,35 X 0,1,2 2 17 2 25 34( 0) 75 CP X C = = = 1 1 17 8 2 25 34( 1) 75 C CP X C = = = 2 8 2 25 7( 2) 75 CP X C = = = X X P 34 75 34 75 7 75 34 34 7 16( ) 0 1 275 75 75 25E X = × + × + × = D DA x DC y过 点作 的高，交 于点 .由于 ， 所以 平面 ，所以 ，又因为 ， 所以 平面 .设 ，由题设条件可得下列坐标： . ，由于 ， 所以 ，解得 ， 故 . 可 求 ， 且 ， ，从而 ， . 因为 平面 ，且 ，故 平面 .（6 分） （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 . 设 平 面 的 法 向 量 ，由 及 得 令 ，由此可得 .设平面 的法向量 ，由 及 得 令 ，由此可得 . 则 ，因为二面角 大于 ，则二面角 的余弦值为 . （12 分） 另解：取 中点 ，连接 ，可证 是二面角 的平面角．易求 ， 由余弦定理得 ．（12 分） 20．【解析】 （1）将抛物线方程和直线方程联立，得 ， 消去 得 ，由根与系数关系可得 ， 则 ， 则 ，化简得 ，解之得 或 （舍去）， 故抛物线的标准方程为 .（6 分） （2）直线 方程为 ，设 坐标分别为 ．因为点 与点 关于 轴对称,所以 E EAD△ AD G , ,CD AD CD DE AD DE D⊥ ⊥ = CD ⊥ ADE EG CD⊥ ,EG AD AD CD D⊥ = EG ⊥ ABCD EG h= 2 2(2,0,0), (0,2,0), (0,0,0), ( 3 ,0, ), ( 3 ,1, )A C D E h h F h h− − 2 2( 3 2,1, ), ( 3 , 1, )AF h h CF h h= − − = − −  AF CF⊥ 2 2 2( 3 2) 3 1 0AF CF h h h⋅ = − − − − + =  2h = ( 1,1, 2), (1, 1, 2)AF CF= − = −  (2,2,0)DB = (2,2,0) ( 1,1, 2) 0DB AF⋅ = ⋅ − =  (2,2,0) (1, 1, 2) 0DB CF⋅ = ⋅ − =  DB AF⊥  DB CF⊥  ,AF CF ⊂ AFC AF CF F= BD ⊥ AFC ( 1,1, 2), (0,2,0), (1, 1, 2), ( 2,0,0)AF AB CF BC= − = = − = −    ABF 1 1 1( , , )a b c=u 0AF⋅ =u 0AB⋅ =u 1 1 1 1 2 0 2 0 a b c b − + + = = 1 2a = ( 2,0,1)=u BCF 2 2 2( , , )a b c=v 0CF⋅ =v 0BC⋅ =v 2 2 2 2 2 0 2 0 a b c a  − + =− = 2 2b = (0, 2,1)=v · 1 1cos , 33 3 = = = × u vu v u v A FB C− − 90° A FB C− − 1 3 − BF H ,AH CH AHC∠ A FB C− − 3AH CH= = 1cos 3AHC∠ = − 2 2 2 1 y px y x  = = + y 24 (2 4) 1 0x p x− − + = 2 1,2 4P Q P Q px x x x −+ = = 21 P QPQ k x x= + − 2 22 15 ( ) 4 5 ( ) 4 152 4P Q P Q px x x x −= + − = − × = 2 34 p p− = 2 4 12 0p p− − = 6p = 2p = − 2 12y x= l ( )y k x s= − ,P Q 1 1 2 2( , ),( , )x y x y Q Q′ x Q′坐标为 ，显然点 也在抛物线上.设直线 与 轴交点 的坐标为 .由 消去 得 . 所以 .由于 三点共线，则 ， 从而 ，化简得 ， 又 ， ，则 ， 故 过定点 .（12 分） 21．【解析】 （1） 的定义域为 ， . 令 ，可得 或 . 当 时， ，由 得 ，由 得 ， 由此可得 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 当 时， ，由 得 ，由 得 ， 由此可得 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 当 时， ，由 得 ，由 得 或 ，由此可 得 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 ， . 当 时， ，可得 ，故 的单调递减区间为 . 当 时， ，由 得 ， 由 得 或 ，由此可得 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 , .（6 分） （2）当 时，由（1）得 在区间 单调递减， 由此可得当 时 ，即 . 令 ，则 ，从而 ，由此得 , .（12 分） 22．【解析】 2 2( , )x y− Q′ Q P′ x T ( ,0)X 2 ( ) 12 y k x s y x = −  = y 2 2 2 2 2(2 1 ) 02k x k s x k s− + + = 2 2 1 2 1 22 2 1 ,2x x x xk s sk= ++ = , ,P T Q′ PT TQk k ′= 1 2 1 2 y y x X x X −=− − 2 1 1 2 1 2 x y x yX y y += + 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 12( ) ( ) 2 ( ) sx y x y x k x s x k x s kx x x kks x+ = ⋅ − + ⋅ − = −− + = 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( 1) 2 2y y k x s k x s k x x ks k + = − + − = + − = 2 1 1 2 1 2 x y x yX sy y += = −+ Q P′ ( ,0)s− (1 )( ) ln(1 ) 1 ax xf x ax ax += + − + 1( , )a − +∞ 2 2 2 2 ( 2 )(1 ) (1 ) 2( ) [ (1 )]1 (1 ) (1 ) a a ax ax a x x af x x xax ax ax a + + − + −′ = − = − −+ + + ( ) 0f x′ = 0x = 21x a = − 0 1a< < 2 11 0a a − < − < ( ) 0f x′ > 1 0xa − < < ( ) 0f x′ < 0x > ( )f x 1( ,0)a − (0, )+∞ 1a = 2 11 1 0a a − = − = − < ( ) 0f x′ > 1 0x− < < ( ) 0f x′ < 0x > ( )f x ( 1,0)− (0, )+∞ 1 2a< < 1 21 0a a − < − < ( ) 0f x′ > 21 0xa − < < ( ) 0f x′ < 1 21xa a − < < − 0x > ( )f x 2(1 ,0)a − 1 2( ,1 )a a − − (0, )+∞ 2a = 1 21 0a a − < − = ( ) 0f x′ ≤ ( )f x 1( , )a − +∞ 2a > 1 20 1a a − < < − ( ) 0f x′ > 20 1x a < < − ( ) 0f x′ < 1 0xa − < < 21x a > − ( )f x 2(0,1 )a − 1( ,0)a − 2(1 , )a − +∞ 1a = ( ) ln(1 )f x x x= + − (0, )+∞ (0, )x∈ +∞ ( ) (0)f x f< ln(1 )x x+ < 2 1 ( 2)x nn = ≥ 2 2 1 1 1 1 1ln(1 ) ( 1) 1n n n n n n + < < = −− − 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) 12 3 4 2 2 3 1n n n + + + + + + + + < − + − + + −−  11 1n = − < 2 2 2 2 1 1 1 1ln[(1 )(1 )(1 ) (1 )] 12 3 4 n + + + + 2 2a a> 2( ) ( ) ( 4)g x f x a= − − x 2x a≤ 2 2( ) 4 ( 42 ) 3 4 4g x a x a x a x a= − + − − − = − + + ( )g x ( ,2 ]a−∞ 22a x a< < 2 2( ) 4 ( 4) 4 42g x a x x a a x a= − + − − − = − + ( )g x 2(2 , )a a 2x a≥ 2 2 22( ) 4 ( 4) 3 2 4 4g x x a x a a x a a= − + − − − = − − + ( )g x 2[ , )a +∞ ( ) (2 ) 2 4g x g a a= − +≥ 2( ) 4f x a −≥ x∈R min( ) 0g x ≥ 2 4 0a− + ≥ 2a≤ 2a < − 2a > 2a < − a ( ,2]−∞