安徽2020届高三数学（理）下学期模拟试卷（八）（Word版附答案）

2020 届模拟 08 理科数学 测试范围：学科内综合．共 150 分，考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 1．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 是虚数单位，则 （ ） A． B． C． D． 3．等差数列 满足： ，若 的前 项和为 ，公差为 ，则下列结论不正确 的是 （ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆的长轴与焦距之差为 4，则该椭圆的 方程为 （ ） A． B． C． D． 5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 的值的范围是： 3.1415926＜ ＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把 3.1415926 称为“祖率”,这 是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的 7 位 数字 1,4,1,5,9,2,6 进行随机排列，整数部分 3 不变，那么可以得到大于 3.14 的不同数字有 （ ） A．2280 B．2120 C．1440 D．720 6．运行如图所示的程序，输出的结果为 （ ） 2{ | 2 3}, { | 0}A x y x x B x x= = − + + = ≥ A B = [ 1,0]− [0,1] [0,3] [1,3] i 2 33 i( ) i1 i − − =+ 3 2i− − 3 3i− − 2 4i− + 2 2i− − { }na 8 10+ >0a a { }na n nS d 0d > 9 0a > 17 0S > 6 12 0a a+ > 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = ＞ ＞ 1 2 2 2 14 2 x y+ = 2 2 18 4 x y+ = 2 2 116 4 x y+ = 2 2 116 12 x y+ = π πA．8 B．6 C．5 D．4 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ） A． B． C． D． 8．已知直线 l1: 与 l2: 之间的距离为 2，则直线 l2 被圆 截得 的弦长为 （ ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．已知实数 满足不等式组 ，且目标函数 的最小值为 ，最大值为 n，则 （ ） A． B． C． D． 10．在边长为 1 的正 中，点 在边 上，点 是 中点，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 11 ． 已 知 定 义 在 上 的 函 数 ， 满 足 ， 且 时 ， ，图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ） 6π 8π 6 6π + 8 +4π 1y x= + y x m= + 2 2:( 1) 8C x y+ + = ,x y 1 0 2 0 1 x y x y x − +  +  ≥ ≥ ≤ 3z x y= − m 3 2 5 1 dn m xx− =∫ 1 5 4 5 5 3 4 3 ABC△ D BC E AC 3= 16AD BE⋅  - BD BC = 1 4 1 2 3 4 7 8 R ( )f x ( ) ( )( )f m x f m x x+ = − ∈R 1x≥ 2( ) 2 x nf x − +=A． B． C． D． 12．已知函数 的最小正周期为 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上．） 13．在正方体 中，点 是 的中点，则 与 所成角的正切值 为 . 14．已知双曲线 的离心率为 2，过双曲线的右焦点垂直于 x 轴的直线被 双曲线截得的弦长为 ，则 . 15．已知函数 ，若 ，且 的最小值 为 ，则 . 16．已知数列 的前 项和为 ，若 且 ，数列 的前 项和为 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12 分）已知 的三个内角所对的边分别为 ，若 . （1）若 ，求 ； （2）若 的面积为 ，求 的值. ( ) ( )f m f n< 2 ( ) ( ) ( )f m f n f n> − + ( ) ( )f n m f n− < ( ) ( )f m n f n+ > 2( ) 3sin cos 4cosf x x x xω ω ω= − ( 0)ω > π 1( ) 2f θ = ( ) ( )2 4f f π πθ θ+ + − = 5 2 − 9 2 − 11 2 − 13 2 − 1 1 1 1ABCD A B C D− M 1 1C D 1A M AB 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > m m a = ln ( 0)( ) ln( ) ( 0) x xf x x x >= − − < 2 24a b+ m 22 log ( )m ab+ − = { }na n nS 1 1a = 11n nS n a ++ + = ( *)n∈N { }1n n a + n nT 1 9 17 3 2 1n nT m a++ − +≥ m ABC△ , ,a b c sin 3sinB A= 3B π= a c ABC△ 21 sin5 c B cos B18．（12 分）如图，三棱锥 中，平面 平面 ， ，且 . （1）求证： ； （2）若 ，求二面角 的余弦值. P ABC− PAB ⊥ ABC PA PB= AB PC⊥ CA CB= 2, 11PA PB AB PC= = = = A PC B− −19．（12 分）某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠 前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付 费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图. （1）若甲公司计划从这 10 次竞价中随机抽取 3 次竞价进行调研，其中每小时点击次数超 过 7 次的竞价抽取次数记为 ，求 的分布列与数学期望；X X（2）若把乙公司设置的每次点击价格为 x，每小时点击次数为 ，则点 近似在一条直 线附近.试根据前 5 次价格与每小时点击次数的关系，求 y 关于 x 的回归直线 .（附： 回归方程系数公式： , ）. y ( , )x y  y bx a= + 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑  a y bx= − 20．（12 分）如图，直线 与 y 轴交于点 ，与抛物线 交于 ，点 与点 关于 x 轴对称，连接 并延长分别与 x 轴交于点 . （1）若 ，求抛物线 的方程； （2）若直线 的斜率分别为 . ①求证： 为定值； ②若 ，求 . : 2 1 0l x y+ + = A 2: 2 ( 0)C x py p= > ,P Q B A ,QB BP ,M N | | 4 3PQ = C ,BN BM 1 2,k k 1 2k k+ 2 3| | 3MN = 1 2| |k k−21．（12 分）已知函数 .2( ) ln( 1) ( 1) ( )f x x a x a= + + + ∈R（1）若 在 处的切线与 轴平行，求 的极值； （2）当 或 时，试讨论方程 实数根的个数. ( )y f x= 1x = x ( )f x 0a≤ 1 8a≥ ( ) +2f x x=请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清 题号． 22．（10 分）选修 4—4 坐标系与参数方程 以 原 点 为 极 点 ， 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ，直线 l 的参数方程为 （其中 为参数）. （1）把曲线 的极坐标方程化为普通方程； （2）若直线 与曲线 有两个公共点，求实数 的取值范围. x C 2 (5 3cos2 ) 8ρ θ− = 2 2 2 2 x m t y t  = −  = t C l C m23．（10 分）选修 4—5 不等式选讲 已知函数 . （1）关于 的不等式 的解集为 ，且 ，求实数 的取值范围； （2）求 的最小值，及对应的 x 的取值范围. 2020 届模拟 08 理科数学答案与解析 1．【答案】C【解析】由 可得 ,所以 . 2．【答案】B【解析】 . 3．【答案】A【解析】由等差数列的性质可知 ， ，即 B,C,D 都正确，故错误的只有 A. 4．【答案】D【解析】设椭圆的焦距为 2c，由条件可得 ，故 ，由椭圆的长轴与焦距之差为 4 可 得 ，即 ，所以， ，故 ，故该椭圆的方程为 . 5．【答案】A【解析】由于 1,4,1,5,9,2,6 这 7 位数字中有 2 个相同的数字 1，故进行随机排列，可以得到的不 同情况有 ，而只有小数点前两位为 11 或 12 时，排列后得到的数字不大于 3.14，故小于 3.14 的不同情 况有 ，故得到的数字大于 3.14 的不同情况有 . 6．【答案】D【解析】所给程序的运行过程如下：b=1,a=3;b=2,a=7;b=3,a=15;b=4,a=31，不满足 ，输出 b 的值为 4. 7 ．【 答 案 】 C 【 解 析 】 由 三 视 图 可 知 ， 该 几 何 体 是 一 个 圆 柱 的 ， 故 表 面 积 为 . 8．【答案】A【解析】由条件可知，直线 过圆心 ，则圆心 到直线 l2 的距离等于直线 与 l2 之间 的距离 2，故直线 l2 被圆 截得的弦长为 . 9．【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示： ( ) | 1| 2f x x x= − + x ( ) 2f x < M ( ,1 2 )m m M− ⊆ m ( ) ( ) 2 | 2|g x f x x x= − + − 2 2 3 0x x− + + ≥ [ 1,3]A = − [0,3]A B = 2 3 2 23 i (1 i)(3 i)( ) i [ ] i (1 2i) i 3 3i1 i 2 − − −− = + = − + = − −+ 8 10 9 6 122 0a a a a a+ = = + > 1 17 8 10 17 17( ) 17( ) 02 2 a a a aS + += = > 1 2 c a = 2a c= 2( ) 4a c− = 2a c− = 4, 2a c= = 2 2 2 12b a c= − = 2 2 116 12 x y+ = 7 7 2 2 A A 5 52A 7 57 52 2 2 2280A AA − = 30a＜ 3 4 23 (2 1 2 3) 2 1 3 6 64 π π π× + × + × × = + 1l : ( 1,0)C − C 1l C 2 8 4 4− =且点 ，易得目标函数 在点 处取得最大值 5，在点 A 处取得最小值 ， 故 . 10．【答案】C【解析】设 , ，则 , , 则 ，故 ，即 . 11．【答案】B【解析】由条件可知， 的图象关于直线 对称，结合 可得 ， 而 ，即 ，解之得 ，并且由图象可知，当 时， 单调递减，则 为最大值，故 ，即 B 正确. 12．【答案】D【解析】 ， 其中 ，由 可得 ，即 关于 对称，而 与 的距离为 个周期，故 ，所以， ，同理，由 与 的距离为 个周期可得 ，所以， ，所以， . 13．【答案】2【解析】 即为 与 所成角，取 中点 ，连接 ，则 ，则 . 14．【答案】6【解析】设双曲线的焦距为 ，则 ，即 ，则 ，把 代入双曲线可 得 ，故 ，所以， . 15．【答案】3【解析】由 可得 ，即 ， ，则 ，当且仅当 ，即 时， 取得最小值 2，故 . 16．【答案】 【解析】当 时，由 及 可得 ，由 ① 可 得 时 , ② ， 由 ① － ② 可 得 ， 即 ， 所 以 ， ，即 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 ， 则 ，则 ③，所以， ④ 由 可 得 ， 所 以 ， ， 由 得 ，设 ， 则 ，易得 在 时递减，在 时递增，且 ， 故 的最小值为 ，故 ，故 . 17 ．【解 析 】（ 1 ） 由 及 正 弦 定 理 可 得 ， 由 余 弦 定 理 可 得 1 2( , ), (1,2), (1, 2)3 3A B C− − 3z x y= − C 5 3 − 5 5 3 12 215 1 1 1 4d d ( ) | 5 n m x xx x x− = = − =∫ ∫ ,AB AC= = a b BD BCλ=  ( ) (1 )AD AB BD λ λ λ= + = + − = − +   a b a a b 1 2BE AE AB= − = −   b a 2 21 1 1=[(1 ) ] ( )= (1 3 ) ( 1)2 2 2AD BE λ λ λ λ λ⋅ − + ⋅ − − ⋅ + − +  a b b a a b a b 1 1 3 3= (1 3 ) ( 1) = ( 1)=4 2 4 16 λ λ λ λ− + − + − − 3= 4 λ 3= 4 BD BC ( )f x 1x = ( ) ( )( )f m x f m x x+ = − ∈R 1m = (1) 1f = 22 1n− + = 2n = 1x > ( )f x (1)f 2 ( ) ( ) ( )f m f n f n> − + 2 3 5( ) 3sin cos 4cos = sin2 2cos2 2 sin(2 ) 22 2f x x x x x x xω ω ω ω ω ω ϕ= − − − = − − 4 3sin ,cos5 5 ϕ ϕ= = 1( ) 2f θ = sin(2 ) 1ωθ ϕ− = ( )f x x θ= 2x πθ= + x θ= 1 2 sin[2 ( ) ] 12 πω θ ϕ+ − = − 5 9( ) 22 2 2f πθ + = − − = − 4x πθ= − x θ= 1 4 sin[2 ( ) ] 04 πω θ ϕ− − = ( ) 24f πθ − = − 13( ) ( )2 4 2f f π πθ θ+ + − = − 1 1MA B∠ 1A M AB 1 1A B N MN 1 1MN A B⊥ 1 1 1 tan 2MNMA B A N ∠ = = 2c 2c a = 2c a= 3b a= 2x c a= = 2by a = ± 22bm a = 2 2 2 6m b a a = = ( ) (2 )f a f b= ( 0, 0)a b> < ln ln( 2 )a b= − − 2 1ab− = ∴ 1 2ab = − 2 24 2 | 2 | 4 | | 2a b a b ab+ ⋅ = =≥ 1 2 2 ab a b  = −  = − 1 1 2 a b = = − 2 24a b+ 2 2 2 12 log ( ) 2 log 32 m ab+ = + = ( ,2]−∞ 1n = 1 22S a+ = 1 1a = 2 3a = 11n nS n a ++ + = 2n≥ 1n nS n a− + = 11n n na a a++ = − 1 2 1n na a+ = + 1 1 2( 1)n na a+ + = + { 1}na + 1 2n na + = 1 2n n n n a =+ 2 3 1 2 3 2 2 2 2n n nT = + + + + 2 3 4 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2n n nT += + + + + −③ ④ 2 3 1 1 1 1 1(1 )1 1 1 1 1 22 2 112 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n n n n n nT + + + − += + + + + − = − = − − 22 2n n nT += − 1 9 17 3 2 1n nT m a++ − +≥ 1 9 13 2 32 2 2n n m+ −+ −≥ 1 13 22 2n n nA + −= + 1 2 2 15 2n n n nA A+ + −− = { }nA 7n≤ 8n≥ 7 88 9 1 32 , 22 2A A= − = − { }nA 8 9 32 2A = − 9 9 3 32 2 2m− −≥ 2m≤ sin 3sinB A= 3b a= 2 2 2 2 cosb a c ac B= + −，解之得 （舍去负值）.（6 分） （2）由 的面积为 可得 ，由正弦定理可得 ， ，由余弦定理可得 .（12 分） 18．【解析】（1）取 的中点 ，连接 . , , 平面 , 平面 ， 又 OC 平面 , ，而 是 的中点， .（6 分） （2） 平面 平面 , 平面 ， 平面 平面 , 平面 ， 再由（1）可知 三条直线两两垂直. 以 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 由条件可得 , . 则 ， , , . 设平面 的一个法向量为 ，由 可得 ，令 ，则 . 同理可得平面 的一个法向量为 ， 则 . 由图易知，二面角 为锐角， 二面角 的余弦值为 .（12 分） 19．【解析】（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7， 由条件可知， 的取值可能为 0,1,2,3，且 ， 所以， 的分布列为 0 1 2 3 的数学期望为 .（6 分） （2）根据折线图可得数据如下： 点击次数 y 2 4 6 8 7 点击价格 x 1 2 3 4 5 2 2 29a a c ac= + − 33 1 16 a c −= ABC△ 21 sin5 c B 21 1sin sin2 5ab C c B= 21 1 2 5abc c b= ∴ 5 2c a= 2 2 2 2 2 2 25 9 74cos = 52 202 2 a a aa c bB aac a + −+ − = = − × AB O ,PO PC  PA PB= ∴ PO AB⊥  , , ,AB PC PC PO P PC PO⊥ = ⊂ POC ∴ AB ⊥ POC  ⊂ POC ∴ AB OC⊥ O AB ∴ CA CB=  PAB ⊥ ABC PO ⊂ PAB PAB  ABC AB= ∴ PO ⊥ ABC , ,PO AB CO , ,OA OC OP 3PO = 2 2 2 2OC PC PO= − = (1,0,0), (0,0, 3), (0,2 2,0), ( 1,0,0)A P C B − ∴ (0,2 2, 3)PC = − ( 1,2 2,0)AC = − (1,2 2,0)BC = PAC 1 1 1 1( , , )x y z=n 1 1 0 0 PC AC  ⋅ = ⋅ =   n n 1 1 1 1 2 2 3 0 2 2 0 y z x y  − = − + = 1 3y = 1 (6 2,3,2 6)=n PBC 2 ( 6 2,3,2 6)= −n 1 2 1 2 1 2 72 9 24 13cos , | | | | 3572 9 24 72 9 24 ⋅ − + +< >= = = −⋅ + + ⋅ + + n nn n n n A PC B− − ∴ A PC B− − 13 35 X 3 1 2 2 1 3 7 3 7 3 7 3 3 3 3 3 10 10 10 10 7 21 7 1( 0) , ( 1) , ( 2) , ( 3)24 40 40 120 C C C C C CP X P X P X P XC C C C = = = = = = = = = = = = X X P 7 24 21 40 7 40 1 120 X 7 21 7 10 1 2 3 0.924 40 40 120EX = × + × + × + × =则 ，则 ， 所求回归直线方程为： .（12 分） 20．【解析】（1）由 可得 ， 设点 ，则 ，即 . ， 故 . 由 可得 （舍去负值）， 抛物线 的方程为 .（5 分） （2）①由条件可得 . , （定值）.（8 分） ②直线 的方程为： ，直线 的方程为： ， 则 ，则 ， 由 可得 , ， , ，且 , .（12 分） 21．【解析】（1） , ， 由条件可得 ，解之得 ， , ， 令 可得 或 （舍去）. 当 时， ；当 时， . 即 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 有极大值 ，无极小值；（4 分） （2）设 ， 则 . ①当 时， ，当 时， ，当 时， ， 故 有极大值 ，此时，方程 没有实数根； 3, 5.4x y= = 5 1 5 22 1 5 ˆ1.4, 1.2 i i i i i x y xy b a x nx = = − = = = − ∑ ∑  ∴  1.4 1.2y x= + 2 2 1 0 2 x y x py  + + = = 2 2 2 2 0x px p+ + = 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 2=(2 2 ) 8 0p p∆ − > 1p > 1 2 1 22 2 , 2x x p x x p+ = − = 2 1 2 1 2 1 2| | 1 2 | | 3 ( ) 4PQ x x x x x x= + − = + − 2 2= 3 8 8 2 6( )p p p p− = − 22 6( )=4 3p p− 2p = ∴ C 2 4x y= 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 11 22= =2 2 2 x y x p x x x x xpk x x px px p −− − − −= = = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 11 22= =2 2 2 x y x p x x x x xpk x x px px p −− − − −= = = ∴ 1 2 0k k+ = BN 1 1y k x= + BM 2 1y k x= + 1 2 1 1( ,0), ( ,0)N Mk k − − 1 2 2 1 1 2 1 1 | | 2 3| | | | =| | 3 k kMN k k k k −= − = 1 2 0k k+ = 1 2k k= − ∴ 1 2 1 | 2 | 2 3=| | 3 k k ∴ 1| | 3k = ∴ 2| | 3k = 1 2 0k k < ∴ 1 2| | 2 3k k− =  2( ) ln( 1) ( 1)f x x a x= + + + ∴ 1'( ) 2 ( 1)( 1)1f x a x xx = + + > −+ 1'(1) 4 02f a= + = 1 8a = − ∴ 21( ) ln( 1) ( 1)8f x x x= + − + 1 1 ( 1)( 3)'( ) ( 1) ( 1)1 4 4( 1) x xf x x xx x − − += − + = > −+ + '( ) 0f x = 1x = 3x = − 1 1x− < < '( ) 0f x > 1x > '( ) 0f x < ( )f x ( 1,1)− (1, )+∞ ( )f x 1(1) ln 2 2f = − 2( ) ln( 1) ( 1) 2g x x a x x= + + + − − 21 2 (4 1) 2'( ) 2 ( 1) 11 1 ax a x ag x a xx x + − += + + − =+ + ( 1)x > − 0a = '( ) 1 xg x x = − + 1 0x− < < '( ) 0g x > 0x > '( ) 0g x < ( )g x (0) 2 2x x> '( )