2019 年全国普通高中高三五月大联考
理数试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知集合 ， ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数 的定义域，表示出集合 ，得出 .
【详解】 或 ， .
故选：C
【点睛】本题主要考查了集合的表示，集合的运算，属于基础题.解此题要理解集合 表示函数
的定义域.
2.已知 为虚数单位，且复数 满足： ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过运算得出 ，从而判定出的 z 的虚部.
【详解】 ，故 的虚部为 .
故选：A
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.对复数的实部，虚部的正确理解是判断答案的关键.
3.已知抛物线 （ ）的焦点 在直线 上，则点 到 的准线的距离为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
{ }| 1M x x= ≥ ( )1
2 2| 2N x y x x
= = −
M N =
φ (2, )+∞ [2, )+∞ [1,2]
( )1
2 22y x x= − N M N∩
{ 0N x x= ≤ }2x ≥ [ )2,M N∴ = +∞I
N
( )1
2 22y x x= −
i z (1 ) 2 3i z i− = − z
1
2
−
2
i− 1
2
5
2
5 1
2 2z i= −
2 3 (2 3 )(1 )
1 2
i i iz i
− − += =−
5 1
2 2 i= − z 1
2
−
2: 2C x py= 0p > F : 4l x y+ = F C【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的方程判断出焦点在 轴上，所以由直线方程求出焦点坐标 ，得到 ，进而求出点 到
的准线的距离.
【详解】在方程 中，令 ，得 ，即 ， ，则点 到 准线的距离是
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题.
4.如图是我国 2018 年 1 月至 12 月石油进口量统计图（其中同比是今年第 个月与去年第 个月之比），则
下列说法错误的是（ ）
A. 2018 年下半年我国原油进口总量高于 2018 年上半年
B. 2018 年 12 个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高 1152 万吨
C. 2018 年我国原油进口总量高于 2017 年我国原油进口总量
D. 2018 年 1 月—5 月各月与 2017 年同期相比较，我国原油进口量有增有减
【答案】D
【解析】
【分析】
的
y ( )0,4 8p = F
C
4x y+ = 0x = 4y = 42
p = 8p∴ = F C
8p =
n n结合统计图表，对答案选项逐一判断即可.
【详解】由图易知 A，B 正确；由数量同比折线图可知，除 6 月及 10 月同比减少外，其他月份同比都递增，
且 1 月，4 月，11 月，12 月同比增长较多，故 2018 年我国原油进口总量高于 2017 年我国原油进口总量，C
正确；2018 年 1 月至 5 月的同比数据均为正数，故 2018 年 1 月—5 月各月与 2017 年同期相比较，我国原
油进口量只增不减，D 错误.
故选：D
【点睛】本题主要考查统计图表的识别和判断，考查学生抽象概括能力和推理论证能力，属于基础题.
5.已知 ， ， ，若 ，则 ( )
A. 6 B. C. 16 D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】
代入坐标可求出 ，利用模的坐标运算列方程可得 ，进而
可求出 的坐标，则 可求.
【详解】解： ， ，
，
又 ，
，
解得 ，
，
.
故选：D.
【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据
向量坐标求向量长度的方法，是基础题.
6.已知函数 ，若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方
程为（ ）
A. B. C. D.
( )1,2A ( )2,3B ( )1,C m− BA BC BA BC+ = − 2
AC =
2 5
( 4, 4), (2,2 )BA BC m BA BC m+ = − − − = − 6m =
AC 2
AC
( 1, 1), ( 3, 3)BA BC m= − − = − − (2,2 )CA m= −
( 4, 4), (2,2 )BA BC m BA BC CA m∴ + = − − − = = −
BA BC BA BC+ = −
2 216 ( 4) 4 (2 )m m∴ + − = + −
6m =
( 2,4)AC∴ = −
2
4 16 20AC∴ = + =
( ) ( )3 2 1 2x x af x f ′= − + − ( )f x ( )y f x= ( )( ),a f a
2 0x y− = 0y = 10 16 0x y− − = 2 0x y− + =【答案】C
【解析】
【分析】
先求出 ，代入 算出 ，再由奇函数的性质得出 ，从而求得 的值；然后利用导数
的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线的方程.
【 详 解 】 ， ， 即 ， 即 . 又
为奇函数， . ， . ， .由点斜式得曲
线 在点 处的切线方程为 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数的计算，函数的奇偶性，属于中档题.
曲线 在点 处的切线方程的方法：
（1）求出 ，则切线的斜率 ；
（2）直线的点斜式写出切线方程为： .
7.函数 的图象可看作是将函数 的图象向右平移 个单位长度后，再把图象上所有点的横坐
标变为原来的 倍（纵坐标不变）而得到的，则函数 的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角函数的图象变换规律得 ，再由诱导公式得 .
【详解】将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，再把图
象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，而
( )f x′ 1x = ( )1f ′ ( )0 0f = a
( ) ( )23 2 1f x x f′ ′= − ( ) ( )1 3 2 1f f′ ′∴ = − ( )1 1f ′ = ( ) 3 2 2x x af x = − + −
( )f x 2a∴ = ( ) 3 2x xf x =∴ − ( ) 23 2f x x′ = − (2) 4f∴ = (2) 10f ′ =
( )y f x= (2,4) 10 16 0x y− − =
( )y f x= ( )( )0 0x f x，
( )0f x′ ( )0k f x′=
( ) ( ) ( )0 0 0y f x f x x x′− = ⋅ −
( )f x 2cosy x=
6
π
1
2
( )f x
( ) 2cos 2 6f x x
π = +
( ) 2cos 2 3f x x
π = +
( ) 12cos 2 6xf x
π = −
( ) 2sin 2 3f x x
π = +
( ) 2cos 2 6xf x
π = −
( ) 2sin 2 3f x x
π = +
2cosy x=
6
π 2cos 6y x
π = −
1
2
( ) 2cos 2 6xf x
π = − ，即 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，诱导公式，属于基础题.由函数 的图象通过变换得
到 的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
8.设函数 ，若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 得出 在 上单调递增，再由换底公式与对数函数，指数函数的单调性判断出
，从而得出 .
【详解】 的最小正周期 ，
与正切函数 类比可知， 在 上单调递增，
， ，
由 ，得 ，而 ，且 ，
于是得 ，
所以 ，即 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了正切函数，指数函数，对数函数的单调性以及换底公式，考查了学生推理能力与
计算能力，属于中档题.
9.十三届全国人大二次会议于 年 月 日至 日在北京召开，会议期间工作人员将其中 个代表团
人员（含 、 两市代表团）安排至 ， ， 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且
每家宾馆至少有一个代表团入住，若 、 两市代表团必须安排在 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
的
2cos 2 2sin 2 2sin 26 6 2 3x x x
π π π π − = − + = +
( ) 2sin 2 3f x x
π = +
siny x=
( )siny A ωx φ= +
( ) tan 2
xf x = ( )3log 2a f= ( )5log 2b f= ( )0.22c f=
a b c< < b c a< < c a b< < b a c< <
( ) tan 2
xf x = ( )f x ( ),π π−
0.2
5 30 log 2 log 2 2 π< < < < b a c< <
( ) tan 2
xf x = 21
2
T
π π= =
tany x= ( )f x ( ),π π−
3
2
1log 2 1log 3
= < 5
2
1log 2 1log 5
= <
2 21 log 3 log 5< < 3 51 log 2 log 2 0> > > 0.2 02 2 1> = 0.2 12 2 π< <
0.2
5 30 log 2 log 2 2< < <
( ) ( ) ( )0.2
5 3log 2 log 2 2f f f< < b a c< <
2019 3 5 15 5
A B a b c
A B a
6 12 16 18【解析】
【分析】
按入住 宾馆的代表团的个数分类讨论.
【详解】如果仅有 、 入住 宾馆，则余下三个代表团必有 2 个入住同一个宾馆，此时共有 安
排种数，
如果有 、 及其余一个代表团入住 宾馆，则余下两个代表团分别入住 ，此时共有 安排种
数，
综上，共有不同的安排种数为 ，故选 B.
【点睛】本题考查排列、组合计数，注意要先分组再分配，否则容易出现重复计数的错误.
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图知，该几何体是一个正方体截去一角所得的几何体（如图），再由正方体的性质，计算出它的外接
球的表面积.
【详解】由三视图可知，该几何体是一棱长为 1 的正方体截去一角所得的几何体 （如图所
示），故其外接球即为该正方体的外接球，球的一条直径为 ，所以所求外接球的表面积
.
故选：A.
a
A B a 2 2
3 2 6C A =
A B a ,b c 1 2
3 2 6C A =
12
3π 3
2
π 6π 12π
1 1 1 1ABD A B C D−
1 3B D =
2
34 32S π π = = 【点睛】本题主要考查几何体的三视图与球的表面积计算，属于基础题.
11.已知坐标平面 中，点 ， 分别为双曲线 （ ）的左、右焦点，点 在双曲
线 的左支上， 与双曲线 的一条渐近线交于点 ，且 为 的中点，点 为 的外心，若 、
、 三点共线，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由 题 意 得 ： 直 线 垂 直 平 分 ， 设 点 ， ， 则 ， 可 得 方 程 组 ：
，求得 ，将 代入双曲线方程得 ，
化简可得： .
【详解】不妨设点 在第二象限，设 ， ，
由 为 的中点， 、 、 三点共线知直线 垂直平分 ，则 ，
故有 ，且 ，解得 ， ，
将 ，即 ，代入双曲线 方程可得 ，化简可得
，即 ，当点 在第三象限时，同理可得 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出
的
xOy 1F 2F
2
2
2: 1xC ya
− = 0a > M
C 2MF C D D 2MF I 2OMF△ O
I D C
2 5
OD 2MF ( ),M m n ( )2 ,0F c ,2 2
m c nD
+
1
2 2
n am c
n m c
a
= − − + = ⋅
2 1 2,a aM c c
−
2 22 2,a c aM c c
−
( )22 2 2
2 2 2
2 4 1
a c a
a c c
−
− =
5e =
M ( , )M m n 2 ( ,0)F c
D 2MF O I D OD 2MF : 1OD y xa
=
n am c
= −−
1 1
2 2
m cn a
+⋅ = ⋅ 2 1am c
−= 2n a
c
=
2 1 2,a aM c c
−
2 22 2,a c a
c c
−
( )22 2 2
2 2 2
2 4 1
a c a
a c c
−
− =
2 25c a= 5e = M 5e =直线 垂直平分 ，并用 表示出点 的坐标是解决此题的难点，属于中档题.
12.当 为实数时， 表示不超过 的最大整数，如 .已知函数 （其
中 ），函数 满足 ， ，且 时 ，则
方程 的实根的个数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意分析得到： 的图象关于直线 及直线 对称，且 是周期为 4 的周期函数，正确作
出 的图象，将方程 的实根的个数问题转化为函数 的图象交点个数
问题，观察图象即得结果.
【详解】由 ， ，得函数 的图象关于直线 及直线 对称，
且 ，
令 ，则 ，即 为周期函数，且最小正周期为 4.
对于 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当
时， ；当 时， ；…；
当 时， ；当 时， ；当 时， ；当
时， ；当 时， ；….
结合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数 及 的图象，
由图可知，函数 与函数 共有 6 个交点，即方程 的根的个数为 6.
故选：C.
OD 2MF a c， M
x trunc( )x x trunc(3.1) 3= ( ) trunc( )f x x=
x∈R ( )g x ( ) ( )6g x g x= − ( ) ( )1 1g x g x+ = − [0,3]x∈ ( ) 2 2g x x x= −
( ) ( )f x g x=
( )g x 1x = 3x = ( )g x
( ) ( )f x g x， ( ) ( )f x g x= ( ) ( )f x g x，
( ) (6 )g x g x= − (1 ) (1 )g x g x+ = − ( )g x 1x = 3x =
( ) (6 ) (2 )g x g x g x= − = −
2t x= − ( ) ( 4)g t g t= + ( )g x
( )f x [0,1)x∈ ( ) 0f x = [1,2)x∈ ( ) 1f x = [2,3)x∈ ( ) 2f x =
[3,4)x∈ ( ) 3f x = [4,5)x∈ ( ) 4f x =
[ 1,0)x∈ − ( ) 1f x = [ 2, 1)x∈ − − ( ) 2f x = [ 3, 2)x ∈ − − ( ) 3f x =
[ 4, 3)x∈ − − ( ) 4f x = [ 5, 4)x∈ − − ( ) 5f x =
( )f x ( )g x
( )f x ( )g x ( ) ( )g x f x=【点睛】本题主要考查了函数的图象应用，函数的性质，属于中档题.方程的根的个数问题转化为两个函数
的图象交点个数问题，利用数形结合求解是常用方法.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.
13.若 的展开式中第 项为常数项，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用二项展开式的通项公式，求得 ，从而得到 的值.
【详解】解： 的展开式中第 项为
，再根据它为常数项，
可得 ，求得 ，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.
2
1
2
n
xx
− 1r + r
n
=
2
3
3 2 0r n− = r
n
2
1
2
n
xx
− 1r +
.
3 21 ( 1)2
n r
rr r n
nC x⋅
−
− ⋅ −
3 2 0r n− = 2
3
r
n
=
2
314.已知实数 满足 ，则 的最大值是________.
【答案】2
【解析】
【分析】
首先作出可行域， 表示可行域内的点 与定点 连线斜率 的值，故结合图形可求
出结果.
【详解】作出可行域，如图所示：
表示可行域内的点 与定点 连线斜率 的值，由图可知 均为正数，故要求 的
最大值，只需求 的最大值，
显然当直线 过点 时， 最大，且 ，所以 的最大值为 2.
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查的是非线性目标函数的最值的求解.解决这类问题的关键是利
用数形结合的思想方法，确定目标函数的几何意义.
常见的三类目标函数：
（1）截距型：形如 ；
（2）距离型：形如 ；
（3）斜率型：形如 .
15.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.
原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的
,x y
4 0
4 1 0
1 0
x y
x y
y
+ − ≤
− − ≥
− ≥
1
1
yz x
+= +
1
1
yz x
+= + ( , )M x y ( 1, 1)− −P k
1
1
yz x
+= + ( , )M x y ( 1, 1)− −P k k z
k
PM ( )1,3A k max
3 1 21 1k
+= =+ z
z ax by= +
( ) ( )2 2z x a y b= − + −
y bz x a
−= −两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数 的图
象与 x 轴围成一个封闭区域 A（阴影部分），将区域 A（阴影部分）沿 z 轴的正方向上移 6 个单位，得到一
几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域 A（阴影部分）的面积相等，
则此柱体的体积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
阴影区域在 上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数 在 上的积分，有了底
面积，又知道高为 6，即可得到柱体的体积.
【详解】解：由题意得，阴影区域在 上为半个圆，
底面积 圆 ，
所以该柱体的 体积为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力.
16.在 中，角 的对边分别是 ， ， ，点
在线段 上，且 ，则 的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
( ) [ )
( ) ( ]2
sin , 2,02
1 1 , 0,2
x x
f x
x x
π ∈ −=
− − ∈
243π π+
(0,2] ( )f x [ 2,0)−
(0,2]
1
2S S= 0 0
22
1 2 4sin cos |2 2 2 2
x xdx
π π ππ π π−−
− = + = +∫
4 246 32
π ππ π
+ × = +
243π π+
ABC , ,A B C , ,a b c sin sin sin sinb C a A b B c C+ = + 2 4c b+ = D
BC 2BD DC= AD
2 3
3由正弦定理化边得： ，再由余弦定理求出角 ,由条件 得：
，两边平方得到 ，结合条件 ，利用基本不
等式求解即可.
【详解】由正弦定理得 ， .
又 ， ，
由 ，得 ，
，两边平方得
，当且仅当 时取等号.即 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式求解最值，属于中档题.将 转化为
是解决此题的一个关键技巧.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列 中， ，且 .
（1）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（2）当 时，求数列 的前 2020 项和 .
【答案】（1）① 时，不是等比数列；② 时，是等比数列；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将递推公式 变形为 ，则当 时，首项为零， 不是
等比数列；当 时，数列 是等比数列.
2 2 2bc a b c+ = + A 2BD DC=
1 2
3 3AD AB AC= + 2 2 21 4 4 cos9 9 9AD c b bc A= + +uuur
2 4c b+ =
2 2 2bc a b c+ = +
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −∴ = =
(0, )A π∈
3A
π∴ =
2BD DC= 2BD DC=
1 2
3 3AD AB AC∴ = +
2 2 21 4 4 cos9 9 9AD c b bc A= + +uuur 2 21 4 2
9 9 9c b bc= + + 21 2( 2 )9 9c b bc= + −
( ) 2
21 1 2 429 9 2 3
b cc b
+ ≥ + − = 2 2c b= = min
2 3
3AD =
2 3
3
2BD DC=
1 2
3 3AD AB AC= +
{ }na 1a m= ( )*
1 3 2 1,n n n na a n b a n n N+ = + − = + ∈
{ }nb
2m = { }( 1)n
na− 2020S
1m = − 1m ≠ −
20213 4043
4
−
1 3 2 1n na a n+ = + − ( )1 1 3n na n a n+ + + = + 1m = − { }nb
1m ≠ − { }nb（2）先求出 的通项，然后利用分组求和法、并项求和法以及公式法即可求出 .
【详解】（1） ，
，
∴①当 时， ，故数列 不是等比数列；
②当 时，数列 是等比数列，其首项为 ，公比为 3.
（2）由(1)且当 时有： ，即 ，
，
.
【点睛】本题主要考查了等比数列证明、数列前 项和的求解，属于中档题. 对于等比数列的证明主要有两
种方法：（1）定义法，证得 即可，其中 为常数；（2）等比中项法：证得
即可.
18.如图，多面体 是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱） 沿平面 切除
一部分所得，其中平面 为原正三棱柱的底面， ，点 D 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】
【分析】
{ }na 2020S
1 3 2 1n na a n+ = + −
( )1 1 1 3 2 1 1 3 3n n n n nb a n a n n a n b+ +∴ = + + = + − + + = + =
1m = − 1 0b = { }nb
1m ≠ − { }nb 1 1 0b m= + ≠
1m ≠ − 13 3 3n n
n nb a n −= + = × = 3n
na n= −
( 1) ( 3) ( 1)n n n
na n∴ − = − − −
2020
2020
3 1 ( 3)
S [( 1 2) ( 3 4) ( 2019 2020)]1 ( 3)
− × − − ∴ = − − + + − + +…+ − +− −
2021 20213 3 3 404310104 4
− + −= − =
n
*
1
, 0)( 2,n
n
a q qn n Na −
≠= ≥ ∈ q
2
1 1n n na a a+ −=
1 1ABC DB C− 1 1 1ABC A B C− 1 1DB C
ABC 1 2BC CC= = 1AA
1BC ⊥ 1B CD
1C BD C− −
6
4（1）设 与 交于点 E，连接 、 ，由题意可得四边形 是正方形，且 ，再
由点 D 为 的中点， 平行且等于 ，求得 CD，同理求得 ，得 ，可得 ，
由线面垂直的判定可得；
（2）取 BC 的中点 O，连接 AO，可得 AO⊥BC，由正棱柱的性质可得 AO⊥平面 ，以 O 为坐标原
点，向量 、 、 分别为 x、y，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 CBD 与平面 的一个
法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 的平面角的余弦值.
【详解】(1)设 与 交于点 E，连接 、 .
∵多面体 是正三棱柱沿平面 切除部分所得， ，
∴四边形 是正方形，且 .
∵点 D 为 的中点， 平行且等于 ，
∴ .
同理 ，
∴
∵E 为 的中点，
∴ .
又∵ ， ，
∴ 平面 ；
(2)取 的中点 O，连接 .
∵ 为正三角形， .
.
1BC 1B C DC DE 1 1BB C C AC AD⊥
1AA 1AA 1CC 1DB 1DB CD= 1B C DE⊥
1 1BCC B
OB OE OA
1BC D
1C BD C− −
1BC 1B C DC DE
1 1ABC DB C− 1 1DB C 1 2BC CC= =
1 1BB C C AC AD⊥
1AA 1AA 1CC
2 2 5CD CA AD= + =
( )2 2
1 1 5DB BB AD AB= − + =
1DB CD=
1B C
1B C DE⊥
1 1B C BC⊥ 1BC DE E=
1B C ⊥ 1BC D
BC AO
ABC AO BC∴ ⊥由正棱柱的性质可得，平面 平面 ，
且平面 平面 ，
∴ 平面 .
以点 O 为原点，向量 、 、 分别为 x、y，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 .
则 ， ， ， ，
， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ， ，即 .
由（1）可知，平面 的一个法向量为 .
，
又∵二面角 的平面角为锐角，
∴二面角 的平面角的余弦值为 .
【点睛】本题考查直线与平面垂直 判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面
角的大小，是中档题.
19.某大型超市抽查了 100 天该超市的日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组（单位：万元）： ，
， ， ， ， ，统计结果如下表所示：
组别
频数 5 20 30 30 10 5
以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题：
（1）从该大型超市近几年的销售记录中抽出 5 天，求其中日纯利润在区间 内的天数不少于 2 的概率；
的
ABC ⊥ 1 1BCC B
ABC 1 1BCC B BC=
AO ⊥ 1 1BCC B
OB OE OA Oxyz
( )1,0,0B ( )1 1,2,0B ( )1,0,0C − ( )0,1, 3D
( )1,1, 3CD∴ = ( )1,1, 3BD = − ( )1 2, 2,0B C = − −
CBD ( ), ,n x y z=
3 0
3 0
n BD x y z
n CD x y z
⋅ = − + + =
⋅ = + + =
1z = 0x = 3y = − ( )0, 3,1n = −
1BC D ( )1 2, 2,0B C = − −
( ) ( ) ( )
1
0 2 3 2 1 0 6cos , 41 3 4 4
n B C
× − + − × − + ×
∴ = =
+ × +
1C BD C− −
1C BD C− − 6
4
[4,5)
[5,6) [6,7) [7,8) [8,9) [9,10]
[4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) [9,10]
[5,7)（2）该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润 服从正态分布 ，其中，
近似为样本平均数 （每组数据取区间的中点值）.
①试利用该正态分布，估计该大型超市 1000 天内日纯利润在区间 内的天数（精确到个位）；
②该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案：
方案一：直接发放奖金，日纯利润低于 时每名员工发放奖金 70 元，日纯利润不低于 时每名员工发放奖
金 90 元；
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于 时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于
时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为
金额 50 元 100 元
概率
小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？
参考数据：若 ，则 ， .
【答案】（1） ；（2）① ；②奖励方案二.
【解析】
【分析】
（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间 内的频率为 ，基于“用样本频率估计总体分布的概率”的
思想，可知日纯利润在区间 内的频率为 ，记其中日纯利润不低于 5 万元且低于 7 万元的天数为 ，
则 ，基于二项分布的性质即可求解；
（2）①基于正态分布的 原则及其性质即可求解；
②首先计算方案一的数学期望，其次针对方案二，列出随机变量 的分布列，计算出方案二的数学期望，
比较两方案的结果，判断出选择方案二更有利.
【详解】（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间 内的频率为 ，
记其中日纯利润不低于 5 万元且低于 7 万元的天数为 ，则 .
Z ( )2,1.44N µ
µ x
(3.97,8.29)
µ µ
µ µ
2
3
1
3
( )2~ ,Z N µ σ ( ) 0.6827P Zµ σ µ σ− < < + = ( 2 2 ) 0.9545P Zµ σ µ σ− < < + =
13
16 819
[ )5,7 1
2
[ )5,7 1
2 X
1~ 5, 2X B
3σ
Q
[ )5,7 20 30 1
100 2
+ =
X 1~ 5, 2X B
所求的概率 .
（2）① ， .又
，
.
故该大型超市 1000 天内日纯利润在区间 的天数为 .
②易知 .
对于奖励方案一：设小张每日奖金金额为 ，则 的可能取值为 70，90，其对应的概率均为 ，故
.
对于奖励方案二：设小张每日奖金金额为 ，则 的所有可能取值为 50，100，150，200.
；
；
；
.
的分布列为
50 100 150 200
. ，
从数学期望的角度看，小张选择奖励方案二更有利.
【点睛】本题主要考查了事件的概率，正态分布以及分布列计算的相关相识，考查了学生的数据分析能力
和应用数学解决实际问题的能力，属于中档题.
20.已知椭圆 （ ）的离心率为 ，过椭圆 的左焦点和上顶点的直线与圆
相切.
∴ ( 2) 1 ( 0) ( 1)P X P X P X≥ = − = − = 0 1
5 55 5
1 1 131 C C2 2 16
= − − =
1 (4.5 5 5.5 20 6.5 30 7.5100x = × + × + × + × 30 8.5 10 9.5 5) 6.85+ × + × = 6.85µ∴ =
1.44σ =
(3.97 8.29) (6.85 2.88 6.85 1. 44)P Z P Z∴ < < = − < < + ( 2 )P Zµ σ µ σ= − < < +
1( ) [ ( 2 2 )2P Z P Zµ σ µ σ µ σ µ σ= − < < + + − < < + ( )]P Zµ σ µ σ− − < < + 0.8186=
(3.97,8.29) 1000 0.8186 819× ≈
1( ) ( ) 2P Z P Zµ µ< = ≥ =
Y Y 1
2
1( ) (70 90) 802E Y = × + =
Q Q
1 2 1( 50) 2 3 3P Q = = × =
1 1 1 2 2 7( 100) 2 3 2 3 3 18P Q = = × + × × =
1
2
1 1 2 2( 150) C2 3 3 9P Q = = × × × =
1 1 1 1( 200) 2 3 3 18P Q = = × × =
Q∴
Q
P 1
3
7
18
2
9
1
18
1 7( ) 50 1003 18E Q∴ = × + × 2 1150 200 1009 18
+ × + × = ( ) ( )E Q E Y>Q
∴
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = 0a b> > 3
2
C
2 2 3: 4O x y+ =（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 与原点 关于直线 对称，试求四边形
的面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）2
【解析】
【分析】
（1）由题得：过椭圆 的左焦点和上顶点的直线方程为 ，又由该直线与圆相切得到：
，联立 ，解方程组即得；
（2）由题得直线 的斜率 一定存在，可设直线 ，代入椭圆方程，消元化简得：
，由弦长公式求得 ，再求出点 到直线 的距离
，算出 ，最后求出四边形 的面积的最大值.
【详解】（1）过椭圆 的左焦点和上顶点的直线方程为 ，即 ，
又该直线与圆 相切， ，又离心率 ， ，
， ，
椭圆 的方程为 .
（2）由点 与原点 关于直线 对称，得 .
当直线 的斜率不存在时， 轴，四边形 不存在，不合题意.
当直线 的斜率存在时，设斜率为 ，则直线 ，设 ， ，
将 代入 ，得 ，
当 ，即 时， ， ，
C
(0, 2)P − l C A B O′ O l OAO B′
2
2 14
x y+ =
C 1x y
c b
+ =−
2 2
3
2
bc
c b
=
+
3
2
c
a
=
l k : 2l y kx= −
( )2 21 4 16 12 0k x kx+ − + = 2 2
2
4 1 4 3| | 1 4
k kAB k
+ ⋅ −= + O AB
2
2
1
d
k
=
+
2
2
8 4 3| | 1 4OAO B
kS d AB k′
−= ⋅ = +四边形 OAO B′
C 1x y
c b
+ =− 0bx cy bc− + =
O 2 2
3
2
bc bc
ac b
∴ = =
+
3
2
ce a
= = 1b∴ =
2
2
2 2
1 31 1 4
be a a
∴ = − = − = 2 4a∴ =
∴ C
2
2 14
x y+ =
O′ O l 2 OABOAO BS S′ = △四边形
l l x⊥ OAO B′
l k : 2l y kx= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2y kx= − 2
2 14
x y+ = ( )2 21 4 16 12 0k x kx+ − + =
( )216 4 3 0k∆ = − > 2 3
4k > 1 2 2
16
1 4
kx x k
+ = + 1 2 2
12
1 4x x k
= +从而 ，
又点 到直线 的距离 ，
，
设 ，则 ， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，且满足 ，
四边形 的面积的最大值为 2.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，求椭圆的面积的最值等问题，运用了弦长公式，点到直
线的距离公式，属于难题；同时考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.
21.已知函数 f(x)＝mx-lnx-1（m 为常数）．
（1）若函数 f(x)恰有 1 个零点，求实数 m 的取值范围；
（2）若不等式 mx-ex≤f(x)+a 对正数 x 恒成立，求实数 a 的最小整数值．
【答案】（1）{m|m≤0 或 m=1}（2）实数 a 的最小整数值为-1
【解析】
【分析】
（1）首先写出 f（x）的定义域，函数 f（x）恰有 1 个零点⇔方程 f（x）=0 仅有一个正实数解，由 f（x）
=0，得 ，设 g（x） ，然后求导，找出 g（x）的最值，结合图象求出 m 的范围；
（2）mx-ex≤f（x）+a⇔lnx-ex≤a-1．设 h（x）=lnx-ex，求导判断 h（x）的单调区间，利用单调性求出 a 的最
值即可．
【详解】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
函数 f（x）恰有 1 个零点⇔方程 f（x）=0 仅有一个正实数解，
由 f（x）=0，得 ，
设 g（x） ，则 ，
令 g′（x）＞0．得 0＜x＜1，
令 g′（x）＜0，得 x＞1，
2
1 21AB k x x= + − ( ) ( )22
1 2 1 21 4k x x x x = + + −
2 2
2
4 1 4 3
1 4
k k
k
+ ⋅ −= +
O AB 2
2
1
d
k
=
+
2 OABOAO BS S′∴ = =△四边形
2
2
8 4 3| | 1 4
kd AB k
−⋅ = +
24 3k t− = 0t > 2
8 8 244OAO B
tS t t t
′ = = ≤+ +四边形
2t = 7
2k = ± > 0∆
∴ OAO B′
1lnxm x
+= 1lnx
x
+
1lnxm x
+=
1lnx
x
+= ( ) 2
lnxg x x
−=′∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）在 x=1 处取得唯一的极大值，即为最大值，
故 g（x）的最大值为 g（1）=1．
当 x 趋近于 0 时，lnx+1 趋近于-∞，
所以 g（x）为负数，
当 x 趋近于+∞时，x 的增长速度大于 lnx+1 的增长速度，
且当 x＞1 时 ，
故 g（x）趋近于 0，
由图可知，当 m≤0 或者 m=1 时，方程 m=g（x）仅有一个实数解，
∴m 的取值范围为{m|m≤0 或 m=1}；
（2）∵mx-ex≤f（x）+a，
∴lnx-ex≤a-1，
设 h（x）=lnx-ex，
∴
又∵ 在（0，+∞）上为减函数，h′（1）=1-e＜0， ，
∴ 存在唯一的零点 ，
此时 h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
且 =0，
∴ ，x0=-lnx0，
由单调性知 =-（x0+ ），
又 ，故 ，
∴mx-ex≤f（x）+a 对任意正数 x 恒成立时，a-1≥-2，
∴a≥-1，
∴实数 a 的最小整数值为-1．
1 0lnx
x
+ ＞
( ) 1 xh x ex
=′ −
( ) 1 xh x ex
=′ − 1 2 02h e = −
′ ＞
( ) 1 xh x ex
=′ − 0
1 12x ∈ ，
( ) 0
0
0
1 xh x ex
−′ =
0
0
1 xex
=
( ) 0
0 0( ) x
maxh x h x lnx e= = −
0
1
x
0
1 12x ∈ ， 0
0
5 1 22 x x
− − + −
＜ ＜【点睛】本题考查了函数的求导，利用导数求单调区间，求最值，还涉及到函数的零点等知识，内容丰富，
综合性强，较难解决．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ），以平面直角坐标
系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 .
（1）若 ，求直线 被圆 所截得的弦长；
（2）设 ，且直线 与圆 交于 两点，若 ，求角 的大小.
【答案】（1）4；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）将圆的极坐标方程，直线的参数方程都化为直角坐标方程，即可求得结果；
（2）直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中，利用直线参数方程中 的几何意义进行求解.
【详解】（1）由 得 ，所以 ，
所以圆 的直角坐标方程为 .
当 时，直线 的方程为 ，恰好经过圆 的圆心，故直线 被圆 所截得的弦为圆 的直径，其
长为 4.
（2）将 代入 ，得 ， ，
设 对应的参数分别为 ，则 ， ， 异号，
，所以 ，
又 ，所以 或 .
【点睛】本题主要考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，体现了转化与化归的数学思
想，同时考查了直线参数方程中参数的几何意义，体现了参数方程解题的优势.
23.已知函数 ．
l
1 cos
sin
x t
y t
α
α
= +
= t 0 )α π≤ <
x C 4cosρ θ=
0α = l C
(1,0)P l C ,A B 1PA PB− = α
3
πα = 2
3
π
t
4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ= 2 2 4 0x y x+ − =
C 2 2( 2) 4x y− + =
0α = l 0y = C l C C
1 cos ,
sin
x t
y t
α
α
= +
=
2 2 4 0x y x+ − = 2 2 cos 3 0t t α− − = 24cos 12 0α∆ = + >
,A B 1 2,t t 1 2 2cost t α+ = 1 2 3t t⋅ = − 1 2,t t
1 2PA PB t t∴ − = − 1 2 2cos 1t t α= + = = 1cos 2
α = ±
0 α π≤ <
3
πα = 2
3
π
( ) 2 1 1f x x x= − − +（1）解不等式 ；
（2）记函数 的最小值 ，正实数 ， 满足 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段讨论方法可解不等式 .
（2）利用绝对值不等式可求 ，再利用基本不等式求出 的最小值后可证 .
【详解】（1） 等价于
或 或 ，
故 或 或 ，
综上 解集为 .
（2）
当且仅当 取等号，
， ，
，当且仅当 时等号成立，
．
【点睛】（1）绝对值不等式指： 及 ，我们常利用它们求
含绝对值符号的函数的最值.
（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等
号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，
而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．
( ) 4f x ≤
( ) 3 1y f x x= + + m a b 3
ma b+ = 3
4 1log 2a b
+ ≥
[ ]2,6−
( ) 4f x ≤
m 4 1
a b
+ 3
4 1log 2a b
+ ≥
( ) 4f x ≤
1
2 1 1 4
x
x x
≤ −
− + + + ≤
11 2
2 1 1 4
x
x x
− <
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