江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题含附加题（纯word解析版）

1 江苏省南京市、盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试 数学试题 2020．3 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上．） 1．已知集合 A＝ ，B＝ ，则 A B＝ ． 答案：{1，3} 考点：集合交集运算 解析：∵集合 A＝ ，B＝ ， ∴A B＝{1，3}． 2．已知复数 z＝1＋2i，其中 i 为虚数单位，则 z2 的模为 ． 答案：5 考点：复数 解析： ，∴ ． 3．如图是一个算法流程图，若输出的实数 y 的值为﹣1，则输入的实数 x 的值为 ． 答案： 考点：算法与流程图 解析：当 时， ，解得 符合题意， 当 时， ，该等式无解．故 ． 4．某校初三年级共有 500 名女生，为了了解初三女生 1 分钟“仰卧起坐”项目训练情况， 统计了所有女生 1 分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方 图，则 1 分钟至少能做到 30 个仰卧起坐的初三女生 个． { }2 1 Zx x k k= + ∈， { }( 5) 0x x x − <  { }2 1 Zx x k k= + ∈， { }( 5) 0x x x − <  2 21 4i 4i 3 4iz = + + = − + 2 5z = 1 4 − 0x ≤ 2log (2 1) 1x + = − 1 4x = − 0x > 2 1x = − 1 4x = −2 答案：325 考点：频率分布直方图 解析： ，∴(0.035＋0.02＋0.01)×10×500＝325． 5．从编号为 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽 得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ． 答案： 考点：随机事件的概率 解析：先后取两次共有 16 种取法，其中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片 上数字整除有 8 种，故 P＝ ． 6．已知函数 是定义在 R 上的奇函数，且周期为 2，当 x (0，1]时， ， 则 的值为 ． 答案：0 考点：函数的奇偶性与周期性 解析：当 x (0，1]时， ，∴ ， ∵函数 是定义在 R 上的奇函数，∴ ， ∵函数 周期为 2，∴ ，解得 a＝﹣3，∴ ， ∴ ． 7．若将函数 的图象沿 x 轴向右平移 ( ＞0)个单位后所得的图象与 的图象关于 x 轴对称，则 的最小值为 ． 答案： 考点：三角函数的图像与性质 0.1 (0.035 0.015 0.01) 0.022x − + += = 1 2 8 1 16 2 = ( )f x ∈ ( ) 3 af x x= + ( )f a ∈ ( ) 3 af x x= + (1) 1 3 af = + ( )f x ( 1) (1) 1 3 af f− = − = − − ( )f x ( 1) (1)f f− = ( 1) (1) 0f f− = = ( ) ( 3) ( 3 2) ( 1) 0f a f f f= − = − + = − = ( ) sin(2 )3f x x π= + ϕ ϕ ( )f x ϕ 2 π3 解析：由题意知 ． 8．在△ABC 中，AB＝ ，AC＝ ，∠BAC＝90°，则△ABC 绕 BC 所在直线旋转一 周所形成的几何体的表面积为 ． 答案： 考点：圆锥的侧面积 解析：有题意可知该几何体是由底面半径为 2，母线长分别为 ， 的两个圆锥拼成的 图形，故表面积＝ ． 9．已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，满足{ ， ， }＝{ ， ， }＝ {a，b，﹣2}，其中 a＞0，b＞0，则 a＋b 的值为 ． 答案：5 考点：等差、等比中项 解析：不妨令 a＞b，则 ， ，则 b＝1，a＝4，∴a＋b＝5． 10．已知点 P 是抛物线 上动点，F 是抛物线的焦点，点 A 的坐标为(0，﹣1)，则 的最小值为 ． 答案： 考点：抛物线的性质 解析：令直线 l 为：y＝﹣1，作 PG⊥l 于点 G，则 ， 当直线 AP 且抛物线与点 P 时，∠PAF 最大，此时 cos∠PAF 最小，即 最小， 令直线 AP：y＝kx﹣1，与抛物线联立： ， ， 当 ，解得 k＝±1，从而有∠PAF＝45°，即 ＝ ． 11．已知 x，y 为正实数，且 xy＋2x＋4y＝41，则 x＋y 的最小值为 ． 答案：8 考点：基本不等式 解析：∵xy＋2x＋4y＝41，∴ ， ∴ ，当且仅当 x＝3，y＝5 取“＝”， ∴x＋y≥8，即 x＋y 的最小值为 8． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C： (m＞0)．已知过原点 O 且相互垂 2 2 T π πϕ ω= = = 2 5 5 6 5π 2 5 5 2(2 5 5) 6 5π π+ = { }na { }nb 1a 2a 3a 1b 2b 3b 4ab = 2 2b a= − 2 4x y= PF PA 2 2 PF PG cos APG cos PAFPA PA = = ∠ = ∠ PF PA 2 4 1 x y y kx  =  = − 2 4 4 0x kx− + = 2( 4 ) 4 4 0k− − × = cos PAF∠ 2 2 ( 4)( 2) 49x y+ + = ( 4) ( 2) 2 ( 4)( 2) 14x y x y+ + + ≥ + + = 2 2 2( )x m y r− + =4 直的两条直线 l1 和 l2，其中 l1 与圆 C 相交于 A，B 两点，l2 与圆 C 相切于点 D．若 AB＝ OD，则直线 l1 的斜率为 ． 答案： 考点：直线与圆综合 解析：作 CE⊥AB 于点 E，则 ， 由 OECD 是矩形，知 CE2＝OD2，∴ ，化简得 ， 即 cos∠OCD＝ ＝ ，tan∠COB＝tan∠OCD＝ ， ∴直线 l1 的斜率为 ． 13．在△ABC 中，BC 为定长， ＝ ．若△ABC 的面积的最大值为 2，则 边 BC 的长为 ． 答案：2 考点：平面向量与解三角形 解析：方法一： 根据题意作图如下，且令在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 其中 C 是 AD 中点，E 是 BD 中点，则 ， ∴ ＝ 可转化为 ， 根据三角形中线公式得， ， ， 即 ， ，消 BD2 得， ，作 AF⊥BC 于点 F，设 CF＝x，则 BF＝ ，AF＝h， 2 5 5 ± 2 2 2 2 2 2 21 1CE BC BE BC AB BC OD4 4 = − = − = − 2 2 2 2 21 5( )4 4 r mr m r −= − − = 2 2 2 25 4 r m m r − = − 5 3 r m = CD OC 5 3 r m = 2 5 5 2 5 5 ± AB 2AC+  3 BC AB 2AC 2AE+ =   AB 2AC+  3 BC 3 3AE BC2 2 a= =  2 2 21AE 2(AD AB ) BD2 = + − 2 2 21BC 2(AB BD ) AD2 = + − 2 2 23 1 2(4 ) BD2 2a b c= + − 2 2 21 2( BD ) 42a c b= + − 2 2 211 6 3a b c= + a x−5 可转化为 ， 化简得 ，当 时， 取最大值 ，即 h 的最大值为 a， ∴ ，解得 a＝2，即 BC 的长为 2． 方法二： 14．函数 (e 为自然对数的底数，b R)，若函数 恰有 4 个零点，则实数 b 的取值范围为 ． 答案：(1， ) 考点：函数与方程 解析：∵ ，∴ ， 当 x＜0， ＜0，则 在( ，0)上单调递减， 当 x＞0， ＞0，则 在(0， )上单调递增， ∴ 的最小值为 ， 容易知道当 ，函数 没有零点； 当 ，函数 有且仅有两个零点； 要使函数 恰有 4 个零点，必须 ，即 b＞1 此时 恰有 2 个零点，令这两个零点为 ， ，规定 ＜0＜ ， 则 ＝ 或 ， ＝ 或 ，易知 ＝ 有两个不相等的 实根，则 ＝ 必须满足有且仅有两个不相等的实根，故 ， 即 ，因为函数 在( ， )上单调递减， ∴ ，即 ，解得 ， 2 2 211 6 3a b c= + 22 2 2 211 6( ) 3[ ]a x h h a x= + + + − 2 2 2 9 6 8 9 x ax ah − + += 3 ax = 2h 2a max 1 22S a a= ⋅ ⋅ = ( ) xf x e x b= − − ∈ 1( ) ( ( ) )2g x f f x= − 1 ln 22 + ( ) xf x e x b= − − ( ) 1xf x e′ = − ( )f x′ ( )f x −∞ ( )f x′ ( )f x +∞ ( )f x (0) 1f b= − 1 0b− > 1( ) ( ( ) )2g x f f x= − 1 0b− = 1( ) ( ( ) )2g x f f x= − 1( ) ( ( ) )2g x f f x= − 1 0b− < ( )f x 1t 2t 1t 2t 1( ) 2f x − 1t 2t ( )f x 1 1 2 t+ 2 1 2 t+ ( )f x 2 1 2 t+ ( )f x 1 1 2 t+ 1 1 12 t b+ > − 1 1 2t b> − ( )f x 1 2 b− 1t 1 1( ) ( ) 02f b f t− > = 1 2 1( ) 02 b e b b − − − − > 1 ln 22b < +6 综上所述， ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分 14 分） 如图，三棱锥 P—ABC 中，点 D，E 分别为 AB，BC 的中点，且平面 PDE⊥平面 ABC． （1）求证：AC∥平面 PDE； （3）若 PD＝AC＝2，PE＝ ，求证：平面 PBC⊥平面 ABC． 解：（1）∵D，E 分别为 AB，BC 的中点， ∴DE∥AC， ∵AC 平面 PDE，DE 平面 PDE， ∴AC∥平面 PDE （2）∵D，E 分别为 AB，BC 的中点， ∴ 在△PDE 中， ， ∴PE⊥DE ∵平面 PDE⊥平面 ABC，平面 PDE 平面 ABC＝DE，PE 平面 PDE ∴PE⊥平面 ABC ∵PE 平面 PBC ∴平面 PBC⊥平面 ABC 16．（本题满分 14 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＝bcosC＋csinB． （1）求 B 的值； （2）设∠BAC 的平分线 AD 与边 BC 交于点 D，已知 AD＝ ，cosA＝ ，求 b 的值． 解：（1）由正弦定理得 11 ln 22b< < + 3 ⊄ ⊂ 1 12DE AC= = 2 2 2 4DE PE PD+ = =  ⊂ ⊂ 17 7 7 25 −7 sinA＝sinBcosC＋sinCsinB Sin[π﹣(B＋C)]＝sinBcosC＋sinCsinB sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB sinBcosC＋sinCcosB＝sinBcosC＋sinCsinB sinCcosB＝sinCsinB ∵B、C (0， )， sinB＞0，sinC＞0， ∴cosB＝sinB，tanB＝1， 由 B (0， )， 得 B＝ ． （2）记 A＝2 ∵AD 是∠BAC 的角平分线 ∴∠BAD＝∠CAD＝ ∵cosA＝ ，A (0， )， ∴sinA＝ ＝ sinC＝sin(A＋B)＝ ∵cosA＝ ， (0， )， ∴sin ＝ ，cos ＝ ∴sin∠ADC＝sin(B＋ )＝ 在△ADC 中， 由正弦定理得： ， ∴ 17．（本题满分 14 分） 如图，湖中有一个半径为 1 千米的圆形小岛，岸边点 A 与小岛圆心 C 相距 3 千米．为 方便游人到小岛观光，从点 A 向小岛建三段栈道 AB，BD，BE．湖面上的点 B 在线段 AC 上，且 BD，BE 均与圆 C 相切，切点分别为 D，E，其中栈道 AB，BD，BE 和小岛在同一 个平面上．沿圆 C 的优弧（圆 C 上实线部分）上再修建栈道 ．记∠CBD 为 ． （1）用 表示栈道的总长度 ，并确定 sin 的取值范围； ∈ π ∈ π 4 π α α 7 25 − ∈ π 21 cos A− 24 25 17 2 50 2 22cos 1 1 2sinα α− = − A 2 α = ∈ 2 π α 4 5 α 3 5 α 7 2 10 AD sin ADC sin C b =∠ AD sin ADC=5sin Cb = ⋅ ∠ DE θ θ ( )f θ θ8 （2）求当 为何值时，栈道总长度最短． 解：（1）连接 CD，在 Rt△CBD 中，CD＝1，CB＝ ，BD＝ ， 当 B 与 A 重合时，sin ，∴sin [ ，1)， （2）∵sin [ ，1)，∴cos (0， ]， 求得 ∴ 时，即 cos ， 18．（本题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： (a＞b＞0)的离心率为 ，且过 点(0， )． （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知△BMN 是椭圆 C 的内接三角形，①若点 B 为椭圆 C 的上顶点，原点 O 为△ BMN 的垂心，求线段 MN 的长；②若原点 O 为△BMN 的重心，求原点 O 到直线 MN 距离 的最小值． θ 1 sinθ 1 tanθ DE ( 2 ) 1 2π θ π θ= + ⋅ = + 1 2( ) 3 2sin tanf θ π θθ θ= − + + + 1 3 θ = θ ∈ 1 3 θ ∈ 1 3 θ ∈ 2 2 3 2 cos (2cos 1)( ) sinf θ θθ θ − −′ = 3 πθ = 1 2 θ = min 5( ) ( ) 33 3f f π πθ = = + 2 2 2 2 1x y a b + = 1 2 39 解：（1）由题意得 ， ， ，解得 a＝2， 椭圆方程为： （2）①B(0， )，O 是△ABC 的垂心，设 M( ， )( ＜0)，则 N( ，﹣ ) 满足 ，OM⊥BN，则有 ， 解得 ， 则 MN＝ ， 设 M( ， )，N( ， )，B( ， )，O 是△ABC 的重心， 则 ， ， 则有 ，则 ， I 若 MN 斜率不存在，则 M(﹣1， )，N(﹣1， )，d＝1， II 若 MN 斜率存在，则 ，联立得 ， ，则 ， ， 整理得 ， 则点 O 到 MN 的距离 ，当 k＝0 时，取 ， 1 2 c a = 3b = 2 2 2b a c= − 2 3b = 2 2 14 3 x y+ = 3 0x 0y 0y 0x 0y 2 2 0 0 14 3 x y+ = 0 0 0 0 3 1y y x x −⋅ = −− 0 2 33 7x = ± 0 4 33 7y = − 4 33 7 1x 1y 2x 2y 0x 0y 1 2 0x x x+ = − 1 2 0y y y+ = − 2 2 1 2 1 2( ) ( ) 14 3 x x y y+ ++ = 1 2 1 2 1 2 1 02 3x x y y+ + = 3 2 3 2 − 2 23 4 12 y kx m x y = +  + = 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x mkx m+ + + − = 2 248(4 3) 0k m∆ = − + > 1 2 2 8 4 3 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 4 2 4 3 mx x k −= + 2 24 3 4k m+ = 22 11 4 41 md kk = = − ++ 3 2d =10 综上，当 k＝0 时， ． 19．（本题满分 16 分） 已知函数 ， ，a R．函数 的导函数 在[ ，4]上存在零点． （1）求实数 a 的取值范围； （2）若存在实数 a，当 x [0，b]时，函数 在 x＝0 时取得最大值，求正实数 b 的 最大值； （3）若直线 l 与曲线 和 都相切，且 l 在 y 轴上的截距为﹣12，求实 数 a 的值． 解：（1）由题意， ， 在[ ，4]上存在零 点，即 在[ ，4]上有解， ， [10，28]，所以 a 的 取值范围是[10，28]． （2） ， 令 ＝0， ， ， 当 0＜b≤ 时，显然 在 x＝0 时取最大值 当 时， 在[0， ]上单调递减，在[ ，b]上单调递增， 所以只需 ，即 ， ∵ ， ∴b 的最大值为 4， （3）设 上切点为( ， )， ，可得切线方程为 ，已知点(0，﹣12)在其上，可得 ，所以 设 上切点为( ， )， ， min 3 2d = 3 2( ) ( 16)f x x x a x= − − − ( ) lng x a x= ∈ ( )( ) ( )f xh x g xx = − ( )h x′ 5 2 ∈ ( )f x ( )y f x= ( )y g x= 2( ) ( 16) lnh x x x a a x= − − − − ( ) 2 1 ah x x x ′ = − − 5 2 22 0x x a− − = 5 2 22a x x= − 22x x− ∈ 2( ) 3 2 ( 16)f x x x a′ = − − − (0) 0 16f a′ ≤ ⇒ ≥ ( )f x′ 1 1 3 47 3 ax − −= 2 1 3 47 3 ax + −= 2x ( )f x 2b x> ( )f x 2x 2x ( ) (0) 0f b f≤ = 3 2 2( 16) 0 16b b a b b b a− − − ≤ ⇒ − ≤ − max 28a = ( )f x 1x 1( )f x 2( ) 3 2 ( 16)f x x x a′ = − − − 3 2 2 1 1 1 1 1 1( 16) [3 2 ( 16)]( )y x x a x x x a x x− + + − = − − − − 2 1 1 1( 2)(2 3 6) 0x x x− + + = 1 2x = ( )g x 2x 2( )g x ( ) ag x x ′ =11 可得切线方程为 ，已知点(0，﹣12)在其上， 可得 ， 因为公切线，所以 ，将 代入，可得 由 ，可得 ，所以 a 的值为 12． 20．（本题满分 16 分） 已知无穷数列 的各项均为正整数，其前 n 项和为 ，记 为数列 的前 项 和，即 ． （1）若数列 为等比数列，且 ， ，求 的值； （2）若数列 为等差数列，且存在唯一的正整数 n(n≥2)，使得 ，求数列 的通项公式； （3）若数列 的通项为 ，求证：数列 为等差数列． 解：（1） ； （2）因为无穷等差数列，所以 d≥0，且 ， ， I 当 d＝0 时， 和 均为常数，故不存在唯一的整数满足条件，舍去； II 当 d≥2 时， ，舍去 故 d＝1， 若 ，则没有满足条件的 n，所以 ，此时 ， 2 2 2 ln ( )ay a x x xx − = − 212 lna x a− − = − 2 1 1 2 3 2 ( 16) ax x a x − − − = 1 2x = 2 24 aa x − = 2 2 12 ln 24 a x a aa x − − = −  − = 2 1 12 x a =  = { }na nS nT { }na na 1 2 nn aT a a a= + + + { }na 1 1a = 4 25S S= 3T { }na 2n n T a < { }na { }nT ( 1) 2n n nT += { }na 1 3 4 4 2 1 2 155 a q T SS S = ⇒ = ⇒ = = = 1 Na ∗∈ d N∈ na nT 2 1 11 2( 1) 2 1 2 1 3 n i n i n n n aTa n n na a − =≥ + − = − ⇒ ≥ = − ≥ ∑ 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1)2 21 2( 1) 2( 1) a n i n i n aT n n n na aa a n a n a n + − = − −≥ = + < ⇒ < −+ − + − + − ∑ 1 2a ≥ 1 2a = ( 1) 2 22 nT n n nn −≥ < ⇒ =12 故 （3） ， ， ， ， ，又 所以 ； 若 ， 与 原 命 题矛盾， ∴ ， 为常数，所以数列 为等差数列． na n= 1 1T = 2 3T = 3 16 1T a= ⇒ = 2 2a = 3 3a = 1 1n n n nT T a a− −> ⇒ > na n≥ na n> 1 2 1 2 ( 1)1 2 2nn a n n nT a a a a a a n += + + + > + + + > + + + =   na n= 1 1n na a −− = { }na