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专题二 压轴解答题
第五关 以子数列或生成数列为背景的解答题
【名师综述】
中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远
不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考
查．明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法．
【典例解剖】
类型一 排序数列分类讨论问题
典例 1．（2020 江苏南师大附中月考）设数列 是公差不为零等差数列，满足
；数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）在 和 之间插入 1 个数 ，使 成等差数列；在 和 之间插入 2 个数 ，使
成等差数列；……；在 和 之间插入 个数 ，使 成等
差数列，
（i）求 ；
（ii）是否存在正整数 ，使 成立？若存在，求出所有的正整数对 ；若不存在，请说明
理由．
【答案】（1） （2） （i）（ii） 及 ．
【解析】
【分析】（1）设数列 的公差为 ，将已知条件用 表示，解方程组，即可求出 ；令
，得出 为等比数列，即可求出通项；（2）（i）由题意
成等差数列，求出 的通项公式，进而求出 就为数列 的前 项
{ }na ( )*n N∈
2
3 6 9 5 7 9, 6a a a a a a+ = + = { }nb ( )*n N∈ n nS 4 2 3n nS b+ =
{ }na { }nb
1b 2b 11x 1 11 2, ,b x b 2b 3b 21 22,x x
2 21 22 3, , ,b x x b nb 1nb + n 1 2, ,...,n n nmx x x 1 2 1, , ,... ,n n n nm nb x x x b +
11 21 22 1 2... ...n n n nmT x x x x x x= + + + + + + +
,m n 1
2
m
n
m
aT a
+= ( ),m n
( )1
*1 1, 2 3
n
n na n b n N
− = = ∈ 1
3 1
4 4 3 2 3n n n
nT −= − −⋅ ⋅ (9,2) (3,3)
{ }na ( )d d ≠ 0 1,a d na
1 1 11, , 2, n n nn b S n b S S −= = ≥ = − { }nb
1 2 1, , , , ,n n n nn nb x x x b + nkx
1
,3
n
nk nn
k
nx T
=
=∑ { }3n
n n 2 / 36
和，利用错位相减法即可求解；（ii）根据已知得出 的函数关系，利用 ，结合函数值的
变化，即可求解．
【详解】（1）设数列 的公差为 ，则由条件 ，
可得 ， ，
又由 ，可得 ，
将 代入上式得 ，
，由 ①
当 时， ②
①-②得： ， ，
又 ， 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 ，
．
（2）①在 和 之间插入 个数 ，
因为 成等差数列，设公差为 ，则
，
则 ， ，
①
则 ②
①-②得： ，
,m n * *,m N n N∈ ∈
{ }na ( )d d ≠ 0 3 6 9a a a+ =
( ) ( )1 1 12 5 8a d a d a d+ + + = + 1a d∴ =
2
5 7 96a a a+ = ( ) ( ) ( )2
1 1 14 6 6 8a d a d a d+ + + = +
1a d= 25 49 54d d d+ = 249 49d d∴ =
0 1 nd d a n≠ ∴ = ∴ = 4 2 3n nS b+ =
2n ≥ 1 14 2 3n nS b− −+ =
14 2 2 0n n nb b b −+ − = 1
1 ( 2)3n nb b n−∴ = ≥
1 1 1
14 2 3 02b b b+ = ∴ = ≠ { }nb∴ 1
2
1
3
( )1
*1 1
2 3
n
nb n N
− = ∈
( )1
*1 1, 2 3
n
n na n b n N
− ∴ = = ∈
nb 1nb + n 1 2, , ,n n nnx x x
1 2 1, , , , ,n n n nn nb x x x b + nd
1
1
1 1 1 1
12 3 2 3
( 2) 1 1 3 ( 1)
n n
n n
n n
b bd n n n
−
+
− − = = = −+ − + +
11 1
2 3 3 ( 1)
n
nk n n n
kx b kd n
− = + = − +
1
1
1 1 1 ( 1)
2 3 3 ( 1) 2 3
nn
nk n n
k
n n nx n n
−
=
+ ∴ = ⋅ − ⋅ = + ∑
11 21 22 1 2 2
1 1
3 3 3n n n nn n
nT x x x x x x∴ = + + + + + + + = + + +
2 3 1
1 1 1 1
3 3 3 3 3n n n
n nT +
−= + +…+ +
2 1 1 1
1 113 32 1 1 1 1 1113 3 3 3 3 3 2 3 31 3
n
n n n n n n
n n nT + + +
− = + + + − = − = − − − 3 / 36
，
②若 ，因为 ，所以 ，则 ，
，从而 ，
故 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
下证 时，有 ，即证 ，
设 ，则 ， 在 上单调递增，
故 时， ，即 ，
从而 时， 不是整数，故所求的所有整数对为 及 ．
【名师点睛】
由于新数列依赖于顺序，因此项数与项的对应关系是解决问题的关键，而项数与项对应关系往往需要讨论，
因此分类标准的正确选择是考查的难点．
【举一反三】
1．（2020 上海奉贤区一模）有限个元素组成的集合为 ， ，集合 中的元素个数
记为 ，定义 ，集合 的个数记为 ，当
，称集合 具有性质 ．
（1）设集合 具有性质 ，判断集合 中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；
（2）设正数列 的前 项和为 ，满足 ，其中 ，数列 中的前 项：
组成的集合 记作 ，将集合 中的所有元素
1
3 1
4 4 3 2 3n n n
nT −∴ = − −⋅ ⋅
1
2
m
n
m
aT a
+=
na n= ma m=
1
3 1 1 1 1
4 4 3 2 3 2 2 2n n
n m
m m−
+− − = = +⋅ ⋅
1
1 1 1
4 4 3 2 3 2n n
n
m−− − =⋅ ⋅
3 3 2 1
4 3 2
n
n
n
m
− − =⋅
( )2 3 2 3 4 62 3 4 623 2 3 3 2 3 3 2 3
nn
n n n
n n nm n n n
− − + +⋅ += = = +− − − − − −
1n = *102 32m N= + = − ∉−
2n = *142 92m N= + = ∈
3n = *2 1 3m N= + = ∈
4( *)n n N≥ ∈ 3 2 3 4 6n n n− − > + 3 6 9 0n n− − >
( ) 3 6 9( 4)xf x x x= − − ≥ 4( ) 3 ln3 6 3 6 3 6 0x xf x′ = − > − ≥ − > ( )f x∴ [4, )+∞
4n ≥ 43 6 9 3 6 4 9 48 0n n− − > − × − = > 4 60 13 2 3n
n
n
+< + + + +
( )f n { }nT 1
2
9nT T≥ = 1
4nT < nT
2 1,9 4
2
, 2 1
2 , 2
nn
n n k
c
n k
= −=
=
s k s *k N∈ 2s ≥ 2k ≥
{ }nc
2i 2 j ( )2 1p i j p≤ < <
1 12 2 2 22
i j
i j− −+ = + 1i ≥ 2j ≥ 12 j− 12i− 1i =
1 12 2 2 22
j p
j p− −+ = + 2j ≥ 3p ≥ 12 j− 12 p−
2k ≥ 2k =
3 s k+ 5
1d 2d 3d 4d 5d 1d 3d 5d 2d 4d 2 2d =
1 3 22 4d d d+ = = 1 1d = 3 3d = 1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 5 4 3 2 1
n ∗∈N { }na nS 1 1n nS a a+= − { }nb 8 / 36
和为 ，且满足 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设 ，问：数列 中是否存在不同两项 ， （ ，i， ），使 仍是数列
中的项?若存在，请求出 i，j；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，（2） ，（3）存在， ，
【解析】
【分析】（1）先根据 ，求出 ，再根据 可得 ，
然 后 两 式 作 差 ， 得 到 ， 再 求 出 首 项 ， 进 而 可 得 数 列 的 通 项 公 式 ； （ 2 ） 根 据
，通过递推，可证数列 为等差数列，即可求出通项公式；（3）由 ，
假设数列 中存在不同两项 ， （ ， ， ），然后根据条件找出满足条件的 ， 值即
可．
【详解】（1）∵数列 的前 n 项和为 ，且满足 ，∴ ， ，
由 ，得 ．
∴ ，且 ，即 ．
∴数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，∴ ．
（2）∵ ①
时， ②
① ②得 ，
∴ ， ，
时， ，∴ ，
nT ( )1 12n n nT b n n b+ = + + 1 2a b=
{ }na
{ }nb
n
n
n
ac b
= { }nc ic jc 1 i j≤ < j ∗∈N i jc c+
{ }nc
2n
na = nb n= 1i = 2j =
( )1 12n n nT b n n b+ = + + 2b 1 1n nS a a+= − ( )1 1 2n nS a a n− = − ≥
12n na a −= { }na
( )1 12n n nT b n n b+ = + + { }nb n
n
n
ac b
=
{ }nc ic jc 1 i j≤ < i j ∗∈N i j
{ }nb nT ( )1 12n n nT b n n b+ = + + 1 1b = 2 2b =
1 1n nS a a+= − ( )1 1 2n nS a a n− = − ≥
( )12 2n na a n−= ≥ 1 2 1a a a= − 2 12a a=
{ }na 1 2 2a b= = 2n
na =
( )1 12n n nT b n n b+ = + +
2n ≥ ( )( )1 1 1
11 1 12n n nT b n n b− − −+ = − + − +
− ( )1 1
1 1 11 12 2 2n n n n nb b b nb n b− −+ − = + + − −
( )1 14 2 3 1n n n nb b nb n b− −− = + − − ( ) ( ) 14 3 3n nn b n b −− − − = −
3n ≥ ( ) ( )1 25 4 3n nn b n b− −− − − = − ( ) ( ) ( )2 14 4 2 8n n nn b n b n b− −− + − = − 9 / 36
∴ ，∴ 为等差数列，∴ ．
（3） ，假设 中存在不同的两项 ， （ ），使 （ ）
，
注意到 ．
∴ 单调递增，由 ，则 ，∴ ，
令 （ ），∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，而 ，∴ ， ．
令 ，则 ，
∴ 为单调递增，注意到 时， ， ，∴m 只能为 1，2，3．
①当 时， ，
∴ ，故 i 只能为 1，2，3，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 无整数解，舍；
当 时， ，此时 ，无正整数解，舍去．
②当 时， ，此时 ，
2 12n n nb b b− −+ = { }nb ( )1 1 1nb n n= + − ⋅ =
2n
nc n
= { }nc ic jc 1 i j≤ < i j kc c c+ = k ∗∈N
2 2 2i j k
i j k
⇒ + =
( )
( )
( )
( )
11
1
2 1 2 1 22 2 01 1 1
n n nn n
n n
n n nc c n n n n n n
++
+
⋅ − + ⋅ − ⋅− = − = = ≥+ + +
{ }nc 2 2k j
k jk j
> ⇒ > 1k j≥ + ( )
( )
1 1 22 2 2
1 1
jk j i j
k j i j j
+ −≥ ⇒ ≥+ +
j i m− = m 1≥ j m i= +
( )
( )
( )( )
( )
1 1 22 1 11 1 1
j i j j m i m i m
i j i m i i m i
− + + + + ≤ = = + + − + − + −
2m i+ ≥ 21 31m i
+ ≤+ − 1 1m mi
+ ≤ + ( )2 3 1m m≤ + 2 31
m
m
≤+
2
1
n
nC n
= +
( ) ( )
( )( ) ( )( )
11
1
2 1 2 22 2 2 02 1 1 2 1 2
n nn n n
n n
n n nC C n n n n n n
++
+
+ − + ⋅− = − = = >+ + + + + +
{ }nC 3m =
32 2 31 3
= +
1m = 1 1j i j i− = ⇒ = +
( )( ) 2
2 2 2
1 2 3 2 3 22 1i i i i
i i i i
+ + + +≤ = = + +
1i = 2j = 2 42 4 42
k
kk
= + = ⇒ =
2i = 3j = 2 8 142 3 3
k
k
= + =
3i = 4j = 2 8 2043 3
k
k
= + =
2m = 2j i= + ( )( )
( )2 2
2
2 3 4 62 3 3 6 01
i i i i ii i i i
+ + +≤ ⇒ ≥ ⇒ − − ≤+ + 10 / 36
∴ ，此时 ， 无解；
③当 时， ，此时 ，无正整数
解，舍去．
综上：存在 ， 满足题意．
2．已知数列 的前 项和 ，对任意正整数 ，总存在正数 使得 ， 恒成立：
数列 的前 项和 ，且对任意正整数 ， 恒成立．
（1）求常数 的值；
（2）证明数列 为等差数列；
（3）若 ，记 ，是否存在正整数 ，使得
对任意正整数 ， 恒成立，若存在，求正整数 的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）见解析（3）正整数 的最小值为 4
【解析】
∵ 为正数
∴ ．
又∵ ， ，且
∴ ．
3j i= + ( )( )
( ) 2 2 23 48 7 12 8 16 7 9 12 02
i i i i i i i ii i
+ +≤ ⇒ + + ≥ + ⇒ + − ≤+
1i = 2j =
1i = 3j = 2 8 142 3 3
k
k
= + = ⇒
3m =
{ }na n nS n , ,p q r 1n
na p −= n
nS q r= −
{ }nb n nT n 2 n nT nb=
, ,p q r
{ }nb
1 2b = 31 2 22 2
2 4n
n n n
n bn b n bP a a a
++ += + + 1
2 1
2 2
2 2
n n
n n
n n
n b n b
a a
−
− −
+ ++…+ + k
n nP k≤ k
2 r=1p q= = ， k
,p q
2p q= =
1 1a = 1S q r= − 1 1a S=
1r = 11 / 36
（2）∵ ③
∴当 时， ④，
∴③-④得： ，即 ⑤，
又∵ ⑥
∴⑤+⑥得： ，即
∴ 为等差数列．
（3）∵ ， ，由（2）知 为等差数列
∴ ．
又由（1）知 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
令 得 ，
∴ ，解得 ，
∴ 时， ，即 ，
∵ 时， ，
∴ ，即 ．
此时 ，即 ，
∴ 的最大值为
若存在正整数 ，使得对任意正整数 ， 恒成立，则 ，
∴正整数 的最小值为 4．
类型三 新数列中定义理解与应用问题
2 n nT nb=
2n ≥ ( )1 12 1n nT n b− −= −
( ) 12 1n n nb nb n b −= − − ( ) ( ) 12 1n nn b n b −− = −
( ) 11 n nn b nb+− =
( ) ( ) ( )1 12 2 1 1n n nn b n b n b− +− = − + − 1 12 n n nb b b− += +
{ }nb
1 0b = 2 2b = { }nb
2 2nb n= −
12n
na −=
1
2 2 2
2 2n n n
n nP −
+= + 2 3 2 2
4 4 4 2
2 2n n
n n
− −
− −+ + +
1
2 2
2n n
nP +
+= + + 2 3 2 2 2 1 2
4 4 4 2 4 4 2
2 2 2 2n n n n
n n n n
− − −
− − ++ + +
1 2 1 2 1
4 4 2 2
2 2 2n n n n n
n n nP P+ − −
+− = + − 12 2 4 2
4
n
n
n n+ − ⋅=
1 0n nP P+ − > 12 2 4 2 0nn n+ − ⋅ >
6 1 12 3 42 2
n n
n n
+< = + < 1n =
1n = 1 0n nP P+ − > 2 1p P>
2n ≥ 2 4n ≥ 13 42n
+ <
1 6 12 3 2 2
n n
n n
+> + = 12 2 4 2 0nn n+ − ⋅ <
1n nP P+ < 2 3 4p p p> > >
nP 2
2 2 2 2 2 7
2 2 2nP
× × += + =
k n nP k≤ max
7
2k P≥ =
k 12 / 36
典例 3．（2020 江苏南京盐城一模）定义：若无穷数列 满足 是公比为 的等比数列，则称数列
为“ 数列”．设数列 中
（1）若 ，且数列 是“ 数列”，求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，且 ，请判断数列 是否为“ 数列”，并说
明理由；
（3）若数列 是“ 数列”，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，请求出所有
满足条件的正整数 ；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）是“ 数列”，证明见解析；（3）存在， ；
【解析】
【分析】（1）计算 ，故 是公比为 1 的等比数列，计算得到答案；（2）
是“ ”数列，化简得到 ，即 ，得到证明；（3）
是公比为 2 的等比数列， ，利用累加法得到 ，得到 ，计算得到答案．
【详解】（1）由题意可得 ，
由数列 为“ 数列”可得 ，即 ，
则 是公比为 1 的等比数列，即 ，
则 是首项为 1，公差为 3 的等差数列， ；
（2） 是“ ”数列，，
理由如下： 时，由 ，可得 ，
两式作差可得 即 ，
则 ，两式作差可得 ，即 ，
由 ，可得 ，则 ，
则 对任意 成立，则 为首项是 ，公比为 3 的等比软列，
{ }na { }1n na a+ − q
{ }na ( )M q { }nb 1 31, 7b b= =
2 4b = { }nb ( )M q { }nb
{ }nb n nS 1
12 2n nb S n λ+ = − + { }nb ( )M q
{ }nb (2)M ,m n 4039 4040
2019 2019
m
n
b
b
< <
,m n
3 2nb n= − ( )M q 11, 10m n= =
2 1 3 23, 3b b b b− = − = { }1n nb b+ − { }nb
( )M q 1
12 2n n nb b b+ − = − ( )2 1 13n n n nb b b b+ + +− = − { }1n nb b+ −
1 2n
n nb b+ − = 2 1n
nb = − 1m n= +
2 1 3 23, 3b b b b− = − =
{ }nb ( )M q ( )3 2 2 1b b q b b− = − 1q =
{ }1n nb b+ − 2 1
*
1 3,n nb b b b n N+ − = − = ∈
{ }nb 3 2nb n= −
{ }nb ( )M q
2n ≥ 1
12 2n nb S n λ+ = − + 1
12 ( 1)2n nb S n λ−= − − +
1
12 2n n nb b b+ − = − 1
13 , 22n nb b n+ − = − ≥
2 1
13 2n nb b+ +− = − 2 1 13 3n n n nb b b b+ + +− = − ( )2 1 13 , 2n n n nb b b b n+ + +− = − ≥
3 2 3
13 , 72b b b− = − = 2
5
2b = ( )3 2 2 1
9 33 32 2b b b b− = = × = −
( )2 1 13n n n nb b b b+ + +− = − *n N∈ { }1n nb b+ − 3
2 13 / 36
则 为 数列；
（3）由 是 数列，可得 是公比为 2 的等比数列，
即 ，则 ，由 ，可得 ，则 ，
则 ，
则 ，若正整数 满足 ，则 ，
由 ，则 ，则 ，
若 ，则 ，不满足 ，
若 ，则 ，则 ，即 ，
则 ，则正整数 ，则 ；
因此存在满足条件的 ．
【名师点睛】
本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式求解，二是利
用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性质，以算代征，
三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用．
【举一反三】
设数列 A： ， ，… ( )．如果对小于 ( )的每个正整数 都有 ＜ ，则称 是数
列 A 的一个“G 时刻”．记“ 是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合．
（1）对数列 A：-2，2，-1，1，3，写出 的所有元素；
（2）证明：若数列 A 中存在 使得 > ，则 ；
（3）证明：若数列 A 满足 - ≤1（n=2，3，…，N），则 的元素个数不小于 - ．
【答案】（1） 的元素为 和 ；（2）详见解析；（3）详见解析．
【解析】
{ }nb ( )M q
{ }nb (2)M { }1n nb b+ −
( )1
1 2 12n
n nb b b b−
+ − = − ( )3 2 2 12b b b b− = − 1 31, 7b b= = 2 3b = 1 2n
n nb b+ − =
( ) ( ) ( ) 2 1
1 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2n n
n n nb b b b b b b b −
−− = − + − + + − = + + + = −
2 1n
nb = − ,m n 4039 4040
2019 2019
m
n
b
b
< < 4039 2 1 4040
2019 2 1 2019
m
n
−< − > 2 1 2 1m n− > − m n>
2m n≥ +
22 1 2 1 34 42 1 2 1 2 1
m n
n n n
+− −≥ = + >− − −
4039 2 1 4040
2019 2 1 2019
m
n
−< ≤≤∈ ∗
1,2 aaNiNi i
{ }1,2min aaNiNim i >≤≤∈= ∗
2≥m mk aaamk
∅≠)(AG
{ } pp nnnnnnAG 4m = 5 4 5
3 04c c
−− = <
4m > 1 0m mc c+ − > 4 5 6c c c> <
( )f x [ )5,+∞
( )1 1f = ( ) ( )2 4 0f f= = ( )3 1f = − ( )5 7f =
1,2,3,n m= ⋅⋅⋅ 22nL n− + − 22mL m− + −
22nL n+ − 1L −
k 22 1mL m L− − ≤+ −
22 1
2
m mL
− +≥
L
22 1
2
m m− − 22 1
2
m mk
− −=
{ }na { }nb { }nc *n N∈ 1na +
n nb c− 1nb + n nc a− 1nc + n na b− nd { }, ,n n nmax a b c { }, ,max x y z 3 x
y z 19 / 36
(1)若 = ， = ， = ，求 ， ， 的值；
(2)若 = ， = ，求满足 = 的 的所有值；
(3)设 ， ， 是非零整数，且 ， ， 互不相等，证明：存在正整数 ，使得数列 ， ，
中有且只有一个数列自第 项起各项均为 ．
【答案】（1） = ， = ， = ．（2） ， ， ， ．（3）见详解
【解析】
【分析】(1)由题意代入分别求出 ， ， 的值；(2)设 = ，的值，讨论 的函数表达式，进而得出
， ， ， ， ， 都用 表示，进而求出所有的 的值；(3)分类讨论：先 ， ， 都不为零，
由题意得出矛盾；所以存在正整数 ，使 ， ， 中至少有一个为零，再讨论两个为零得出矛盾，
以此类推，即有：对 ， = ， = ， = ， ，此时有且仅有一个数列 自
项起各项均为 ．
【详解】（1）由题意： = = = ； = = = ； = = = ；以此类
推，看得出 = ， = ， = ．
（2）若 = ， = ， = ，则 = ， = ， = ，
， = ， = ， = ，
当 时， = ， = ， = ， = ，由 = ，得 = ，不符合题意．
当 ， = ， = ， = ， ，由 = ，
得 = ，符合题意．
当 ， = ， = ， = ，
由 = ，得 = ，符合题意，
1a 1 1b 2 1c 4 4a 4b 4c
1a 1 1b 2 2d 3d 1c
1a 1b 1c 1a 1b 1c k { }na { }nb
{ }nc k 0
4a 0 4b 1− 4c 1 2− 1− 1 2
4a 4b 4c 1c x 2d
2a 3a 2b 3b 2c 3c x 1c ka kb kc
3k ≥ ka kb kc
n k∀ ≥ na 0 1nb + kc 1nc + kc− 0kc ≠ { }na k
0
2a 1 1b c− 2 4− 2− 2b 1 1c a− 4 1− 3 2c 1 1a b− 1 2− 1−
4a 0 4b 1− 4c 1
1a 1 1b 2 1c x 2a 2 x− 2b 1x − 2c 1−
3a 1 1x − − 3b 1 2 x− − 3c 2 1|x x− − −
0 1x≤ < 3a x− 3b 1|x − 3c 1 3d 1 3d 2d | x 1
1 2x≤ < 3a 2x − 3b 1x − 3c 3 2 x− 3d 2d
x 1
2x ≥ 3a 2x − 3b 3 x− 3c 1−
3d 2d x 2 20 / 36
综上 的取值是： ， ， ， ．
（3）先证明：存在正整数 ，使， ， ， 中至少有一个为零，
假设对任意正整数 ，
， ， 都不为零，由 ， ， 是非零整数，且 ， ， 互不相等，得 ， ，
若对任意 ， ， ， 都不为零，则 ．即对任意 ， ．
当 时， = ， = ， = ，
所以 = ，所以 单调递减，由 为有限正整数，所以必存在正整数
，使得 ，矛盾，
所以存在正整数 ，使 ， ， 中至少有一个为零，
不妨设 = ，且 ， … ，则 = ，且 = ，
否则若 = = ，因为 = ，
则必有 = = = ，矛盾．
于是， = ， = ，且 = ，所以， = ，
= ， = = ，
以此类推，即有：对 ， = ， = ， = ， ，
此时有且仅有一个数列 自 项起各项均为 ．
综上：结论成立．
4．（2020 江苏扬州期末考试）对于项数为 m（ 且 ）的有穷正整数数列 ，记
，即 为 中的最小值，设由 组成的数列
称为 的“新型数列”．
（1）若数列 为 2019，2020，2019，2018，2017，请写出 的“新型数列” 的所有项；
1c 2− 1− 1 2
3k ≥ ka kb kc
3k ≥
ka kb kc 1a 1b 1c 1a 1b 1c 1 *d N∈ *
2d N∈
3k ≥ ka kb kc *kd N∈ 1k ≥ *kd N∈
1k ≥ 1ka + { }| ,k k k k kb c max b c d− < ≤ 1kb + k k kc a d− < 1kc + k k ka b d− <
1kd + { }1 1 1, ,k k k kmax a b c d+ + + < { }kd 2d
3m ≥ 0md ≤
3k ≥ ka kb kc
ka 0 1 0a ≠ 2 0a ≠ 1 0ka − ≠ 1kb − 1kc − 1kb − 1 1k kc a− −≠
1kb − 1kc − 1ka − 1 1 1k k ka b c− − −+ + 0
1ka − 1kb − 1kc − 0
kb 1 1 0k kc a− −− ≠ kc 1 1 0k ka b− −− ≠ kb kc− 1ka + 0
1kb + kc 1kc + kb− kc−
n k∀ ≥ na 0 1nb + kc 1nc + kc− 0kc ≠
{ }na k 0
*m∈N 1m > { }na
{ }1 2min , , ,k kb a a a= ⋅⋅⋅ ( 1,2, , )k m= ⋅⋅⋅ kb 1 2, , , ka a a⋅⋅⋅ 1 2 3, , , , mb b b b⋅⋅⋅
{ }nb { }na
{ }na { }na { }nb 21 / 36
（2）若数列 满足 ，且其对应的“新型数列” 项数 ，求 的所
有项的和；
（3）若数列 的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的 及其对应的“新型数列”
．
【答案】（1）数列 为 2019，2019，2019，2018，2017（2） （3）满足题意的数列 ：
．所以对应的“新型数列” 分别为： ．
【解析】
【分析】(1)根据 的定义直接写出 的所有项；(2)首先推出 关于 n 递减，则 中共 21 项且各
项分别与 中各项相同，相加利用等比数列的前 n 项和公式即可得解．(3)先不妨设数列 单调递增，
分 、 、 三种情况讨论，求出满足题意的数列 ，进而求得对应的“新型数列” ．
【详解】（1）数列 为 2019，2019，2019，2018，2017；
（2）由已知得：当 时， 关于 n 递减；当 时， 关于 n 递减，
又 时， 关于 n 递减．
， ．
又 ， ．
共 21 项且各项分别与 中各项相同，
其和为
．
（3）先不妨设数列 单调递增，
当 时， ， ，
{ }na
101 , 62
22 , 7
n
n
na
n n
− ≤ =
− ≥
{ }nb [21,30]m∈ { }nb
{ }na { }na
{ }nb
{ }nb 1128 { }na 1,2,3; 1,3,2;
2,1,3; 2,3,1; 3,1,2; 3,2,1 { }nb 1,1,1; 1,1,1; 2,1,1; 2,2,1; 3,1,1; 3,2,1
kb { }nb { }na { }nb
{ }na { }na
2m = 3m = 4m≥ { }na { }nb
{ }nb
6n ≤ { }na 7n ≥ { }na
6 7 ,a a> *n N∴ ∈ { }na
*Nna ∈ 21m∴ ≤
[21,30]m∈ 21m∴ =
{ }nb∴ { }na
2 6
21
1 1 11024 1024 1024 15 14 12 2 2T = + +⋅⋅⋅+ + + +⋅⋅⋅+
6
1 11 15(15 1)2 21024 1 21 2
− + = +
−
1128=
{ }na
2m = *
1 2,a a N∈ 1 2 1 2 22a a a a a+ =
{ }na
{ }na 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,1,2; 3,2,1
{ }nb 1,1,1; 1,1,1; 2,1,1; 2,2,1; 3,1,1; 3,2,1
{ }na { }nb
1 1 2 2 3 34, 6 2 2, 2 4a b b a b a= = = − = +，
{ }na { }nb
{ }nc
1
1
1, 2 2 ,1,
, 2 ,
k k
n k
k
nc c
b n
+ < m，都有 ≥ Cm．
【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）分别可得 ， ，二者求和可得
，进而得证；（2）①分别可得 ，
，二者整理可得 ，即可证明 是首项为 ，公比为
2
1
n
i i
i
a c
=
∑
{ }na d { }nb q
( )
( )2
6 2 4 2 6 2
6 2 4 2 4 12 4
q d d
q d d
= + − = + = + + = +
3
2
d
q
=
=
4 ( 1) 3 3 1na n n= + − × = + 16 2 3 2n n
nb −= × = ×
{ }na 3 1na n= + { }nb 3 2n
nb = ×
( ) ( ) ( )( )2 2 21 1 3 2 1 3 2 1 9 4 1n n n
n n n
na c a b− = − = × + × − = × −
( ){ }2 2 1n na c − ( )2 2 1 9 4 1n n
na c − = × −
( )2 2
1 1
1
n n
i i i i i
i i
a c a a c
= =
= + − ∑ ∑ ( )2 2
2 2
1 1
1
n n
i ii
i i
a a c
= =
= + −∑ ∑ ( )2 2 1
2 4 32
n n
n
− = × + ×
( )
1
9 4 1
n
i
i=
+ × −∑
( ) ( )2 1 1 4 1 4
3 2 5 2 9 1 4
n
n n n− −
−
= × + × + × −−
( )2 1 1 *27 2 5 2 12n n n n N− −= × + × − − ∈
1
1 ( 1) ( )2
n
n na a Rλ λ−
− −= + ∈
2
2
3n nb a= +
2
1
1
3
n
in
i
Cn an =
= ⋅ ∑
pC
2 43
n
nb = ⋅
( )2 +1
2 +1 2 2
1 1 12
n
n n na a a
− −= + = + ( )2
2 2 1 2 1
1 1
2
n
n n na a a− −
− −= + =
2 1 2 1 1n na a+ −− = ( )2 2
2 2 2 1 2 1
1 12 22
n
n n na a a
+
+ + +
− −= + =
( )2 1
2 1 2 2
1 12 2 12
n
n n na a a
+
+
− −= + = + 2 2 24 2n na a+ = + { }nb 8
3 24 / 36
4 的等比数列，进而求得通项公式；②先求得 与 的通项公式，则
，则
，进而利用数列的单调性证明即可
【详解】（1）证明：当 时， ，
①，
②，
则① ②得 ，
当 时， ，
是首项为 1，公差为 1 的等差数列
（2）①当 时， ，
当 时， ，
①，
②，
① ② 得 ，
，即 ，
，
是首项为 ，公比为 4 的等比数列，
{ }2na { }2 1na −
( ) ( )2
1 3 2 1 2 4 2
1
n
i n n
i
a a a a a a a−
=
= + + + + + + +∑ ( )4 4 13
n n= − −
1 1
1
1 4 4 4 3 4
3 3 3 3
n n
n n n
nC nn n
+ +
+
− −= − − = ⋅ ⋅
1λ = ( )
1
1 1
2
n
n na a −
− −= +
( )2 +1
2 +1 2 2
1 1 12
n
n n na a a
− −∴ = + = +
( )2
2 2 1 2 1
1 1
2
n
n n na a a− −
− −= + =
+ 2 1 2 1 1n na a+ −− =
1n = 1 1a =
{ }2 1na −∴
2λ = ( )
1
1 12 2
n
n na a −
− −= +
2n = ( )2
2 1
1 12 22a a
− −= + =
( )2 2
2 2 2 1 2 1
1 12 22
n
n n na a a
+
+ + +
− −∴ = + =
( )2 1
2 1 2 2
1 12 2 12
n
n n na a a
+
+
− −= + = +
+ 2× 2 2 24 2n na a+ = +
2 2 2
2 243 3n na a+
∴ + = + 1 4n nb b+ =
1 2
2 2 823 3 3b a= + = + =
{ }nb\ 8
3 25 / 36
②由（2）①知 ，
同理由 可得 ，
，
当 时， ，
是首项为 ，公比为 4 的等比数列，
，
，
，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
18 24 43 3
n n
nb −∴ = ⋅ = ⋅
( )2
2 4 13
n
na = −
2 1 2
2 2 1
2 1
2
n n
n n
a a
a a
+
−
= +
= 2 1 2 14 1n na a+ −= +
2 1 2 1
1 143 3n na a+ −
∴ + = +
1n = 1
1 1 413 3 3a + = + =
2 1
1
3na −
∴ +
4
3
1
2 1
1 4 14 43 3 3
n n
na −
−∴ + = ⋅ = ⋅
( )2 1
1 4 13
n
na −∴ = −
( ) ( )2
1 3 2 1 2 4 2
1
n
i n n
i
a a a a a a a−
=
∴ = + + + + + + +∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 81 4 1 4 2 4 8 43 3 4 1 4 1 4 11 4 3 1 4 3 9 9 3
n n
n n nn n n n
− −
= − + − = − + − − = − −− −
1 1
1
1 4 4 4 3 4
3 3 3 3
n n
n n n
nC nn n
+ +
+
− −∴ = − − = ⋅ ⋅
( )
( )
2 1
1 2 1
4 3 1 4 4 3 4
1 3 3
n n
n n n n
n nC C n n
+ +
+ + +
− + − − −− = −+ ⋅ ⋅
( ) ( )( )
( )
2 1
2
4 3 1 4 3 1 4 3 4
1 3
n n
n
n n n n
n n
+ +
+
− + − − + − − = + ⋅
( )
( )
1 2
2
3 4 6 6 8 12
1 3
n
n
n n n n
n n
+
+
− + + + += + ⋅
( )
( )
1 2
2
3 4 6 14 12
1 3
n
n
n n n
n n
+
+
− ⋅ + + += +
1n = 2 1 3
2 16 6 14 12 02 3C C
− × + + +− = =×
2n = 2 1 3
64 24 28 12 02 3 3C C
− + + +− = =× ×
3n ≥ 1 0n nC C+ − > 26 / 36
对于一切 ，都有 ，故对任意 ，当 时，
7．（2020 江苏淮安六校联考）对于 若数列 满足 则称这个数列为“ 数列”．
（1）已知数列 1， 是“ 数列”，求实数 的取值范围；
（2）是否存在首项为 的等差数列 为“ 数列”，且其前 项和 使得 恒成立?若存在，
求出 的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知各项均为正整数的等比数列 是“ 数列”，数列 不是“ 数列”，若 试判断
数列 是否为“ 数列”，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】
试题分析：（1）根据题目中所定义的“ 数列”，只需 同时满足，解不等式
可解 m 范围．（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差 ，即 < ，代
入 n=1，n>1，矛盾．（3）设数列 的公比为 则 ， ，满足“ 数列”，即
只需最小项 即 不是“ 数列”，且
为最小项，
所以 即 ，所以只能 只有解 或 分两类讨
论数列 ．
试题解析：（Ⅰ）由题意得
解得
所以实数 的取值范围是
（Ⅱ假设存在等差数列 符合要求，设公差为 则
∴ n ∗∈N 1n nC C+ ≥ ,p m N ∗∈ p m> p mC C≥
*,n N∀ ∈ { }nx 1 1,n nx x+ − > K
21,m m+ K m
1− { }na K n nS 21
2nS n n< −
{ }na
{ }na K 1
2 na K 1 ,1
n
n
ab n
+= +
{ }nb K
2m >
K ( ) ( )21 1 1, 1 1,m m m+ − > − + >
1d > ( )1
2n
n nS n d
−= − + 21
2 n n−
{ }na ,q 1
1
n
na a q −= *
na N∈ K
( )1 1 1 0,n n n n na a a q a a q− − = − = − > > 2 1 1,a a− > ( )1
11 1, 2 na q a − > K
2 1
1 1
2 2a a−
2 1
1 1 1,2 2a a− ≤ ( )1 1 2a q − ≤ ( )1 1 2,a q − = 1 1, 3a q= = 1 2, 2.a q= =
{ }nb
( )1 1 1,m + − >
( )2 1 1,m m− + >
2,m >
m 2.m >
{ }na ,d 1,d > 27 / 36
由 得
由题意，得 对 均成立，即
①当 时，
②当 时，
因为
所以 与 矛盾，
所以这样的等差数列不存在．
（Ⅲ）设数列 的公比为 则
因为 的每一项均为正整数，且
所以在 中，“ ”为最小项．
同理， 中，“ ”为最小项．
由 为“ 数列”，只需 即
又因为 不是“ 数列”，且 为最小项，
所以 即 ，
由数列 的每一项均为正整数，可得
所以 或
①当 时， 则
令 则
1 1,a = − ( )1 ,2n
n nS n d
−= − +
( ) 21 1
2 2
n nn d n n
−− + < − *n N∈ ( )1 .n d n− <
1n = ;d R∈
1n > ,1
nd n
< −
11 1,1 1
n
n n
= + >− −
1,d ≤ 1d >
{ }na ,q 1
1 ,n
na a q −=
{ }na ( )1 1 1 0,n n n n na a a q a a q− − = − = − > >
{ }1n na a −− 2 1a a−
1
1 1
2 2n na a −
− 2 1
1 1
2 2a a−
{ }na K 2 1 1,a a− > ( )1 1 1,a q − >
1
2 na K 2 1
1 1
2 2a a−
2 1
1 1 1,2 2a a− ≤ ( )1 1 2a q − ≤
{ }na ( )1 1 2,a q − =
1 1, 3a q= = 1 2, 2.a q= =
1 1, 3a q= = 13 ,n
na −= 3 ,1
n
nb n
= +
( )*
1 ,n n nc b b n N+= − ∈
( )( )
13 3 2 13 ,2 1 1 2
n n
n
n
nc n n n n
+ += − = ⋅+ + + + 28 / 36
又
所以 为递增数列，即
所以
所以对于任意的 都有
即数列 为“ 数列”．
②当 时， 则
因为
所以数列 不是“ 数列”．
综上：当 时，数列 为“ 数列”，
当 时， 数列 不是“ 数列”．
8．（2020 江苏月考）数列 满足 对任意的 恒成立， 为其前 n 项
的和，且 ， ．
（1）求数列 的通项 ；
（2）数列 满足 ，其中
．
①证明：数列 为等比数列；
②求集合
【答案】（1） ；（2）①过程见详解；② ．
【解析】
【分析】（1）先由题意，得到数列 是等差数列，设公差为 ，根据题中条件，求出首项与公差，进而
可求出通项公式；（2）①根据（1）的结果，将
( )( ) ( )( )1 2 3 2 13 32 3 1 2
n nn n
n n n n
+ + +⋅ − ⋅+ + + + ( )( )
23 4 8 6 0,2 1 3
n n n
n n n
+ += ⋅ >+ + +
{ }nc 1 2 1,n n nc c c c− −> > > ⋅⋅⋅ >
2 1
3 33 1,2 2b b− = − = >
*,n N∈ 1 1,n nb b+ − >
{ }nb K
1 2, 2a q= = 2 ,n
na = 12 .1
n
nb n
+
= +
2 1
2 1,3b b− = ≤
{ }nb K
1 1, 3a q= = { }nb K
1 2, 2a q= = 2 ,n
na = { }nb K
{ }na 1 12n n na a a+ −= − *2,n n N≥ ∈ nS
4 4a = 8 36S =
{ }na na
{ }nb ( )1 2 1 2 2 3 2 1 2 1 3 2 1 2n
n n k n k n nb a b a b a b a a− − + −+ + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ + = − −
*1,2, , ,= ⋅⋅⋅ ∈k n n N
{ }nb
( ) *3, , , .pm
m p
aam p m p Nb b
= ∈
*,na n n N= ∈ ( ){ }6,8
{ }na d 29 / 36
化为
，得到
（ ），两式作差整理，得到
，进而可求出 ，判断出结果；
②先由 得到 ，即 ，判断出 ，得到 ，设
，得到 ，分别研究 对应的情况，再由导数的方法证明当
， 时， ，即可得出结果．
【详解】（1）因为数列 满足 对任意的 恒成立，
所以数列 是等差数列，设公差为 ，
因为 ， ，所以 ，解得： ，
因此 ；
（2）①因为数列 满足 ，
，
所以 （ ），
两式作差可得： （ ），
又 也满足上式，所以 ，
记数列 的前 项和为 ，
则 ，
当 时， ，两式作差可得： ，
所以 ，
( )1 2 1 2 2 3 2 1 2 1 3 2 1 2n
n n k n k n nb a b a b a b a a− − + −+ + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ + = − −
( ) ( )1 22 1 (2 3) 3 2 1 2− + − +⋅⋅⋅+ = − −n
nb n b n b n
( ) ( )1
1 2 1(2 3) 2 5 3 2 1 2 2−
−− + − +⋅⋅⋅+ = − − +n
nb n b n b n *2,n n N≥ ∈
2
1 3 2n
n nb b −
−+ = ⋅ 12n
nb −=
3 pm
m p
aa
b b
= 32 p m p
m
− = n
n
n
ac b
=
1n nc c +≥ 2
1 ln( ) xf ' x x
−=
( ) 0f ' x =
(1,e)
( )f ' x
ln 2 ln8 ln9 ln3
2 6 6 3
= < = max
ln3( ) (3) 3f k f= =
3 3q = ln lnk qk
kk q≤
1kq k− ≤ 34 / 36
所以 q 不存在．因此所求 m 的最大值小于 6．
综上，所求 m 的最大值为 5．
11．对于数列 ，把 作为新数列 的第一 项，把 或 作为新数列 的第
项，数列 称为数列 的一个生成数列．例如，数列 的一个生成数列是 ．已
知数列 为数列 的生成数列， 为数列 的前 项和．
（1）写出 的所有可能值；
（2）若生成数列 满足 ，求数列 的通项公式．
【答案】（1） ；（2） ．
【 解 析 】 （ 1 ） 由 已 知 ， ， 由 于
可能值为 ．
（2） ，当 时， ．当 时，
，
是 的生成数列，
，在以上各种组合中，当且仅当
时才成立． ．
{ }na 1a { }nb ia ( )2,3,4,...,ia i n− = { }nb i
{ }nb { }na 1,2,3,4,5 1, 2, 3,4,5− −
{ }nb ( )1
2n n N ∗ ∈ nS { }nb n
3S
{ }nb 3
1 117 8n nS = − { }nb
1 3 5 7, , ,8 8 8 8
1 , 3 22 ( )1 , 3 22
n
n
n
n k
b k N
n k
∗
= −= ∈
− ≠ −
( )1 2 3
1 1 1 1, , 2 , ,2 2 4 8n nb b n N n b b∗= = ∈ ≥ ∴ = ± = ±
3
1 1 1 7 1 1 1 5 1 1 1 3 1 1 1 1, , , ,2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 S+ + = + − = − + = − − = ∴ 1 3 5 7, , ,8 8 8 8
3
1 117 8n nS = − 1n = 1 2 3 3
1 1 117 8 8a a a S + + = = − = 2n ≥
3 2 3 1 3 3 3 3 1
1 1 1 1 11 17 8 7 8 8n n n n n n n na a a S S− − − −
+ + = − = − − − =
{ }3 2 3 1 3
1 , ,8n n n nna a a n N b∗
− −∴ + + = ∈ ( )1
2n n N ∗ ∈
3 2 3 1 3 3 2 3 1 33 2 3 1 3
1 1 1; ; ,2 2 2n n n n n nn n nb b b b b b− − − −− −∴ = ± = ± = ± ∴ + +
( ) ( )3 2 3 1 3
1 1 1 1 14 2 12 2 2 8 8n n n n n n N ∗
− −= ± ± ± = ± ± ± = ∈
( )3 2 3 1 3
4 2 1, ,8 8 8n n nn n nb b b n N ∗
− −= = − = − ∈
1 , 3 22 ( )1 , 3 22
n
n
n
n k
b k N
n k
∗
= −∴ = ∈
− ≠ − 35 / 36
12．已知数列 满足 ， ，其中 ， ， 为非零常数．
（1）若 ， ，求证： 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）若数列 是公差不等于零的等差数列．
①求实数 ， 的值；
②数列 的前 项和 构成数列 ，从 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：
是否存在首项为 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为 2017？若存在，求出所有满足条件
的四项子数列；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）① ， ， ．② ， ，
【解析】
为 2 为首项，3 为公比的等比数列，
， ．
（2）①设 ，
由 得 ，
，
对任意 恒成立．
令 ，2，3，解得， ， ， ．
{ }na 1 1a =
2
1
4
2
n n
n
n
a aa a
λ µ
+
+ += +
*Nn∈ λ µ
3λ = 8µ = { }1na + { }na
{ }na
λ µ
{ }na n nS { }nS { }nS
1S
12 3 1n
na −= ⋅ − 1λ = 4µ = 2 1na n= − { }1 4 8 44, , ,S S S S { }1 12 24 36, , ,S S S S
{ }1 4 20 40, , ,S S S S
{ }1na∴ +
11 2 3n
na −∴ + = ⋅ 12 3 1n
na −∴ = ⋅ −
( )1 1na a n d= + − 1dn d= − +
2
1
4
2
n n
n
n
a aa a
λ µ
+
+ += + ( )1 2n na a+ + = 2 4n na aλ µ+ +
( )( )3 1dn d dn∴ − + + ( )21dn dλ= − + ( )1 4dn dµ+ − + +
( )2 2 24 3d n d d n d∴ ⋅ + − − + ( )( )2 2 2 1d n dλ λ µ= + − + ( )21dn dλ+ − + ( )1 4d µ− +
*Nn∈
1n = 1λ = 4µ = 2d = 36 / 36
经检验，满足题意．
综上， ， ， ．
②由①知 ．
设存在这样满足条件的四元子列，观察到 2017 为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个
偶数．
1°若三个奇数一个偶数，设 ， ， ， 是满足条件的四项，
则 ，
，这与 1007 为奇数矛盾，不合题意舍去．
2°若一个奇数三个偶数，设 ， ， ， 是满足条件的四项，
则 ， ．
由 504 为偶数知， ， ， 中一个偶数两个奇数或者三个偶数．
1）若 ， ， 中一个偶数两个奇数，不妨设 ， ， ，
则 ，这与 251 为奇数矛盾．
2）若 ， ， 均为偶数，不妨设 ， ， ，
则 ，继续奇偶分析知 ， ， 中两奇数一个偶数，
不妨设 ， ， ，则 ．
因为 ， 均为偶数，所以 为奇数，不妨设 ，
当 时， ， ，检验得 ， ， ，
当 时， ， ，检验得 ， ， ，
当 时， ， ，检验得 ， ， ，
即 ， ， ， 或者 ， ， ， 或者 ， ， ， 满足条件，
综上所述， ， ， 为全部满足条件的四元子列．
1λ = 4µ = 2 1na n= −
( ) 21 2 1
2n
n nS n
+ −= =
1S 2 1xS + 2 1yS + 2zS
( )21 2 1x+ + + ( )2 22 1 4 2017y z+ + =
( )2 2 22 x x y y z∴ + + + + 1007=
1S 2xS 2 yS 2zS
2 21 4x+ + 2 24 4 2017y z+ = 2 2 2 504x y z∴ + + =
x y z
x y z 12x x= 12 1y y= + 12 1z z= +
( )2 2 2
1 1 1 1 12 x y y z z+ + + + 251=
x y z 12x x= 12y y= 12z z=
2 2 2
1 1 1 126x y z+ + = 1x 1y 1z
1 22x x= 1 22 1y y= + 1 22 1z z= + 2 2
2 2 2x y y+ + + 2
2 2 31z z+ =
( )2 2 1y y + ( )2 2 1z z + 2x 2 20 y z≤ ≤
2 1x = 2 2
2 2 2 2y y z z+ + + 30= 2
2 2 14y y+ ≤ 2 0y = 2 5z = 2 1x =
2 3x = 2 2
2 2 2 2y y z z+ + + 22= 2
2 2 10y y+ ≤ 2 1y = 2 4z = 2 3x =
2 5x = 2 2
2 2 2 2y y z z+ + + 6= 2
2 2 2y y+ ≤ 2 0y = 2 2z = 2 5x =
1S 4S 8S 44S 1S 12S 24S 36S 1S 4S 20S 40S
{ }1 4 8 44, , ,S S S S { }1 12 24 36, , ,S S S S { }1 4 20 40, , ,S S S S
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