2020届高三上学期第二次调研测试数学试题（解析版）

江苏省 2019—2020 学年度高三第二次调研测试 高三数学试卷 一、填空题：本大题共 14 小题． 1.已知集合 ， ，则 __________． 【答案】{ ， ，2，3} 【解析】 【分析】 根据并集计算即可. 【详解】 ， , , 故答案为：{ ， ，2，3} 【点睛】本题主要考查了集合并集 运算，属于容易题. 2.若复数 满足 ，则复数 的共轭复数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算求 ，再求共轭复数即可. 【详解】 , , , 故答案为： 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的共轭复数，属于容易题. 3.如果数据 ， ， ，...， 的方差是 ，若数据 ， ， ，...， 的方差为 36， 则实数 的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】 的 { 2 1}A＝ - , - { 1,2,3}B＝ － A B = 2− 1− { }2, 1A − − ＝ { 1,2,3}B＝ － { }2, 1,2,3A B∴ ∪ = − − 2− 1− z (1 ) 2i z i＋ ＝ z 1 i－ z (1 ) 2i z i+ ＝ 2 2 (1 ) 11 (1 )(1 ) i i iz ii i i −∴ = = = ++ + − 1z i∴ = − 1 i− 1x 2x 3x nx a 13 2x－ 23 2x － 33 2x － 3 2nx － a根据公式 计算即可. 【详解】 数据 ， ， ，...， 的方差是 , 数据 ， ， ，...， 的方差为 ， 即 ， 所以 ， 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了方差的概念，公式 ，属于容易题. 4.在 这四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是_______. 【答案】 【解析】 任取两个不同的数共有 6 种取法，其中和大于积的有 三种，所以概率是 点睛：古典概型中基本事件数 探求方法 (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题 目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 5.如图所示的算法中，输出的结果是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】 的 2( ) ( )D aX b a D X+ =  1x 2x 3x nx a ∴ 13 2x－ 23 2x － 33 2x － 3 2nx － 9a 9 36a = 4a = 2( ) ( )D aX b a D X+ = 1,2,3,4 1 2 (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) (1,2),(1,3),(1,4), 3 1 6 2 =由程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中 各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】该算法运行如下： ， ， ， ， ， ，终止， 输出 ， 故答案为 3． 【点睛】本题重点考查程序框图，循环结构，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 6.若函数 （ ）的图象关于直线 对称，则 ＝____ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意利用余弦函数的图象的对称性，求得 的值． 【详解】解： 函数 的图象关于直线 对称， ， ， ， ， ，函数 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题． 7.已知 为等差数列，其公差为 ，且 是 与 的等比中项， 为 的前 项和，则 的值为 __________． 【答案】110 【解析】 【分析】 12S = 1x = 11;S = 3x = 8;S = 5x = 3S = 7x = 3S = ( ) cos(2 )f x x θ= + 0 θ π< < 12x π= θ 5 6 π θ  ( ) cos(2 )(0 )f x x θ θ π= + < < 12x π= 2 12 k π θ π∴ + = k Z∈ 6k πθ π∴ = − k Z∈ 0 θ π< > 2 1y x= + 5 2 2 2 2 1x y a b − = = by xa 2 1y x= + 2 2 ={ - 1=0 1 by x bx xa ay x + = + 得： 2 = -4=0 2b b a a  ∆ =   ，即 5= 1 1 1ABC A B C− M 1 1AC 1 1B ACMA− 1 1 1ABC A B C−【答案】6 【解析】 【分析】 由四棱锥 的体积为 3，可得 ， 而 ，可得 ， ，由 可得结论． 【详解】由四棱锥 的体积为 3，可得 ， 而 为 的中点， ，可得 ， ， 由 ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，考查空间想象能力、化归与转化思想，属 于中档题. 10.若函数 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，当 时， 单调递增，当 时， 单调递增， 则 等价于 或 ，求解即可． 1 1B ACMA− 1 1 1 1 1 3B ACMA B AA M B ACMV V V− − −= + = 1 1 1 2B ACM B AA MV V− −= 1 1 1B AA MV − = 1 1 1 1 1 1 1 1ABC A B C B ACMA C B MC B ABCV V V V− − − −= + + 1 1 1 1 1 2 2B ABC B AA M C B MCV V V− − −= = 1 1B ACMA− 1 1 1 1 1 3B ACMA B AA M B ACMV V V− − −= + = M 1 1AC 1 1 1 2B ACM B AA MV V− −= 1 1 1B AA MV − = 1 1 1 1 1 1 1 1ABC A B C B ACMA C B MC B ABCV V V V− − − −= + + 1 1 1 1 1 2 2 2B ABC B AA M C B MCV V V− − −= = = 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 6ABC A B C B ACMA C B MC B ABCV V V V− − − −∴ = + + = + + = ( )f x R 0x > ( ) 2 4xf x = − ( 1) 0xf x + < ( 3, 1) (0,1)− − ∪ 0x > ( ) 2 4xf x = − 0x < ( ) 2 4xf x −= − + ( )1 0xf x + < ( ) 0 1 0 x f x >  + ( ) 2 4xf x = − 0x < ( ) 2 4xf x −= − + ( )1 0xf x + < ( ) 0 1 0 x f x >  +   −  1 1 0 ,2 4 0x x + − <  0 1x< < 3 1x− < < − ( )1 0xf x + < ( ) ( )3, 1 0,1− − ∪ ( ) ( )3, 1 0,1− − ∪ 0a > 0b < 1 1a b − = 1 4ba − 1 1 1 14 4 5 4b b a aba a b ab   − = − − = − −     ( )1 1 1 1 14 4 5 4 5 2 4 9b b a ab aba a b ab ab     − = − − = − − ≥ + − × − =         14ab ab = 1 3,3 4a b= = − 1 4ba − A k l 2 2 4x y+ = B C ABC OBC 1S 2S 1 22S S＝ 60BAC∠ °＝ k 3±【分析】 求出圆心、点 A 到直线的距离分别为 d， ，利用 ，且 ，建立方程，即可求解． 【详解】设斜率为 k 的直线 l 方程为 ，即 ， 圆心 O、点 A 到直线的距离分别为 d， ，则 ， ， 根据 ，可得 BC 对的圆心角 ，且 ． ， ． ， ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中 档题． 13.在 中，已知 ，且 ，则 面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 由向量的数量积化简为 ，由正弦定理和三角形面积公式得到 ，利用正弦 函数性质即可求解． 【详解】设 三角对边分别为 a，b，c， ， ， 即 由正弦定理可得 ， 所以 ， 'd 60BAC ∠ = 1 22S S= y kx m= + 0kx y m− + = 'd 21 md k = + 2 2' 1 md k −= + 60BAC ∠ = 120BOC∠ =  2 3BC = 1 1sin 2 2 sin120 32 2OBCS OB OC BOC∴ = ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = × × × =  1 2 3S∴ = 2 21 2 3 2 32 1 m k −∴ × × = + 2 1 2 3 32 1 m k × × = + 3k∴ = ± 2m = − 3± ABC 2AB AC BC BA⋅ = ⋅    1 3BC = ABC 1 12 2bcosA acosB= ABCS 1 sin 212 B= ABC 2AB AC BC BA⋅ = ⋅     2 0bccosA accosB∴ − = 2bcosA acosB= 2sinBcosA sinAcosB= ( )sin 3sinC A B sinAcosB cosAsinB sinAcosB= + = + =由 可得 ， 所以 ， 所以 当 时， 面积取得最大值为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查正弦定理和三角形面积公式的运用，属于中档题． 14.已知函数 有两个零点 ， ，函数 有两个零点 ， ， 且 ，则实数 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 函数 有两个零点即方程 有两个根 ， ，同理方程 有两个根 ， ，要 使 ，作出函数图象，结合图象可得 a 的范围. 【详解】函数 有两个零点即方程 有两个根 ， ，同理方程 有两个根 ， ，即直线 与曲线 ， 的交点横坐标分别为 ， 和 ， ，要 使 ，只需直线 在曲线 与 的交点 的下方即可，故有 ． 1 3a = 1 3 sin sin sin b c A B C = = 1 1sin sin3 3,sin sin B C b cA A = = 2 1 1 sin sin 1 sinsin sin sin2 2 9sin 18 sinABC B C CS bc A A BA A∆ = = × × = × 1 1 1sin cos sin 26 12 12B B B= =  4B π= ABC 1 12 1 12 ( ) 2 ( 1) 2f x x a x= − + − 1x 2x ( ) ln 2g x x x a= − − 3x 4x 1 3 2 4x x x x< < < a ( , 2)−∞ − ( )f x 2 1a x x = − − 1x 2x 2a lnx x= − 3x 4x 1 3 2 4x x x x< < < ( )f x 2 1a x x = − − 1x 2x ln 2a x x= − 3x 4x y a= 1 2: 1C y x x = − − 2 : ln 2C y x x= − 1x 2x 3x 4x 1 3 2 4x x x x< < < y a= 1C 2C (1, 2)A − ( , 2)a ∈ −∞ −故答案为： 【点睛】本题考查函数的零点和函数图像的交点问题，属于中档题. 二、解答题：本大题共 6 小题．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤． 15. 中，角 的对边分别为 ，且 . （I）求 的值； （II）求 的值. 【答案】（1） ；（2）5 【解析】 试题分析：（1）依题意，利用正弦定理 及二倍角的正弦即可求得 cosA 的值； （2）易求 sinA= ，sinB= ，从而利用两角和的正弦可求得 sin（A+B）= ，在△ABC 中，此即 sinC 的值，利用正弦定理可求得 c 的值． 试题解析： ( 1）由正弦定理可得，即： ，∴ ，∴ . （2 由（1） ，且 ，∴ ， ∴ ， ( , 2)−∞ − ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3, 2 6, 2a b B A= = = cos A c 6 3 3 2 6 sin 2sin cosA A A = 3 3 1 3 5 3 9 3 2 6 sin sin2A A = 3 2 6 sin 2sin cosA A A = 6cos 3A = 6cos 3A = 0 180A° < < ° 2 2 6 3sin 1 cos 1 3 3A A  = − = − =    3 6 2 2sin sin2 2sin cos 2 3 3 3B A A A= = = × × = 2 2 6 1cos cos2 2cos 1 2 13 3B A A  = = − = × − =   ∴ = = . 由正弦定理可得： ，∴ ． 16.如图，四棱锥 中，底面 是菱形，对角线 与 交于点 ， 平面 ， 是棱 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 ． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 (1)连结 OE,运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证; (2)由线面垂直的性质可得 VO⊥BD,再由菱形的性质可得 BD⊥AC,可得 BD⊥平面 VAC,再由面面垂直的判 定定理，即可得证. 【详解】证明（1）连结 ． 因为底面 是菱形，所以 为 的中点， 又因为 是棱 的中点，所以 ． 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． （2）因为 平面 ， 又 平面 ，所以 ， ( ) ( )sin sin sinC A B A Bπ = − + = +  sin cos cos sinA B A B+ 3 1 6 2 2 5 3 3 3 3 3 9 × + × = sin sin c a C A = 5 33sin 9 5sin 3 3 a Cc A × = = = V ABCD－ ABCD AC BD O VO ⊥ ABCD E VC / /VA BDE VAC ⊥ BDE OE ABCD O AC E VC / /VA OE OE ⊂ BDE VA ⊄ BDE / /VA BDE VO ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD VO BD⊥因为底面 是菱形，所以 ， 又 ， ， 平面 ， 所以 平面 ． 又因为 平面 ，所以平面 平面 ． 【点睛】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质,考查空间想象能力 和推理能力，属于中档题. 17.在平面直角坐标系 中，已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，且椭圆经过 点 和点 ，其中 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）过点 的直线 交椭圆于 轴上方一点 ，过点 作直线 的垂线交 于点 ，若 与 轴垂 直，求直线 的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 根据已知条件建立 a，b，c 的方程组，解方程组即可； 设 ，根据已知条件建立 的方程组，求出 ，然后根据斜率公式求解即可. 【详解】（1）因为椭圆经过点 （2，0）和点 ， 所以 解得 ， ， ，所以椭圆的方程为 ． （2）由（1）可得 ， （1，0），设 （ ， ）（ ， ）， ABCD BD AC⊥ VO AC O= VO AC ⊂ VAC BD ⊥ VAC BD ⊂ BDE VAC ⊥ BDE xOy 1F 2F 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > (2,0)A (1,3 )e e 2F l x B 1F l AB M 2MF x l 2 2 14 3 x y+ = 2 10 3 − ( )1 ( )2 ( )0 0,B x y ( )0 0,x y ( )0 0,x y A (1,3 )e 2 2 2 2 2 2 1 9 14 4 a c b b c a =  + =  + = 2a = 3b = 1c = 2 2 14 3 x y+ = 1( 1,0)F − 2F B 0x 0y 02 2x− < < 0 0y >则 ①， 直线 的方程为： ， 由 与 轴垂直，知点 的横坐标为 1， 所以 点坐标为 ． 所以 , , 若 ，则 ， 所以 ②， 由①②可得 ，即 ， 所以 或 （舍）， ． 所以直线 的斜率为 ． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系以及圆锥曲线的综合应用，是一道难题． 18.如图，半圆 是某个旅游景点的平面示意图，为了保护景点和方便游客观赏，管理部门规划从公路 上某点 起修建游览线路 ， 、 、 分别与半圆相切，且四边形 是等腰梯 形．已知半圆半径 百米，每修建 1 百米游览道路需要费用为 20 万元，设 与圆的切点为 ， （单位：弧度）． （1）试将修建游览道路所需费用 表示为 的函数； （2）试求修建游览道路所需最少费用为多少万元？（精确到 0.1，参考数据： ） 【答案】（1） ， ．（2）修建游览道路所需最少费用约为 69.3 万 元． 2 2 0 03 4 12x y+ = AB 0 0 ( 2)2 yy xx = −− 2MF x M M 0 0 1, 2 y x  −  −  0 1 0 2, 2 yF M x  −=  −   2 0 0( 1, )F B x y= − 1 2MF BF⊥ 2 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 2( 1)( 2)2( 1) 02 2 y x x yF M F B x x x − − −⋅ = − − = =− −   2 0 0 02( 1)( 2)y x x= − − 2 0 011 24 4 0x x− + = 0 0(11 2)( 2) 0x x− − = 0 2 11x = 0 2x = 0 6 10 11y = l 0 0 2 10 2 3 yk x = = −− AOB l C C D E F− − − CD DE EF CDEF 1OA = EF P POB θ∠ = y θ 3 1.732≈ 40[tan 2tan( )]4 2y π θθ= + − (0, )2 πθ ∈【解析】 【分析】 中， ，所以 ， 由题意可求得 ， ， 代入 即可求出函数解析式； 换元，设 ，则 ， ，根据导 数求函数的最值． 【详解】（1） 中， ，所以 ， 设 与半圆相切于点 ， 则由四边形 是等腰梯形知， ，且 ， ， 中， ， 所以 ， 所以 ， 即 ， ． （2）设 ，则 ， ， ( )1 Rt POF 1OP = ·PF OP tan tanθ θ= = 1 1 1 2 2 2 2 2 4 2POE POQ POF π π π θθ   = ∠ = − ∠ = − = −       ·tan tan4 2 4 2PE OP π θ π θ   = − = −       ( )20 2 4y PF PE= + ( )2 ( )tan 0,12x θ= ∈ ( ) 2 2 2 2 1 140 2 801 1 1 x x x xy f x x x x − − + = = + ⋅ = − + −  ( )0,1x∈ Rt POF△ 1OP = tan tanPF OP θ θ= ⋅ = DE Q CDEF OQ l⊥ DQ QE EP= = QOE POE∠ = ∠ Rt POE△ 1 1 ( )2 2 2POE POQ POF π∠ = ∠ = − ∠ 1 ( )2 2 4 2 π π θθ= − = − tan( ) tan( )4 2 4 2PE OP π θ π θ= ⋅ − = − 20(2 4 ) 40[tan tan( )]4 2y PF PE π θθ= + = + − 40[tan 2tan( )]4 2y π θθ= + − (0, )2 πθ ∈ tan (0,1)2x θ= ∈ 2 2 2 2 1 1( ) 40 2 801 1 1 x x x xy f x x x x − − + = = + ⋅ = − + −  )1(0x∈ ，因为 ， ，令 ，解得 ． 列表如下： 0 ↘ 极小值 ↗ 从上表可知，当 ，即 时， 取得极小值，这个极小值就是函数 的最小值，值为 万元． 答：（1）修建游览道路所需费用 表示为 的函数为 ， ． （2）修建游览道路所需最少费用约为 69.3 万元． 【点睛】本题考查了求函数解析式和利用导数求函数最值，是一道难题． 19.已知函数 ，函数 与直线 相切，其中 ， ， 是自然对数的底 数． （1）求实数 的值； （2）设函数 在区间 内有两个极值点． ①求 的取值范围； ②设函数 的极大值和极小值的差为 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1）2（2）① ② 【解析】 【分析】 设切点 ，利用导数的几何意义即可得到 ； 2 2 2 80( 4 1)( ) (1 ) x xf x x − + −′ = − )1(0x∈ ， ( ) 0f x′ = 2 3x = − x (0,2 3)− 2 3− (2 3,1)− ( )f x′ − + ( )f x (2 3)f − 2 3x = − 6 πθ = ( )f x ( )f x (2 3) 40 3 69.3f − = ≈ y θ 40[tan 2tan( )]4 2y π θθ= + − (0, )2 πθ ∈ ( ) af x ax x = − ( ) lng x c x= y xe 2= a Rc∈ e c ( ) ( ) ( )h x f x g x= − 1( )ee ， a ( )h x M M 2 2 11 e ae <