2020 届百日冲刺模拟考试
数学 I
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置.
1.已知全集 ，集合 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得出 ，然后进行补集的运算即可．
【详解】根据题意知， ，
， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题．
2.若 ，i 为虚数单位，则正实数 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数模的运算性质，即可得答案．
【详解】由已知可得： ， ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查复数模的运算性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
3.若一组样本数据 7，9， ，8，10 的平均数为 9，则该组样本数据的方差为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
{ }1,0,1U = − { }0,| |A x= U A =
{ }1−
{0,1}A =
| | 1x =
{0,1}A∴ = { 1,0,1}U = −
{ 1}U A∴ = −
{ }1−
i 21 i
a − =+ a
7
2 1 2
2
a + = 0a > 7a =
7
x根据题意，由平均数公式可得 ，解得 的值，进而由方差公式计算，可得答案．
【详解】根据题意，数据 7，9， ，8，10 的平均数为 9，
则 ，解得： ，
则其方差 .
故答案为：2．
【点睛】本题考平均数、方差的计算，考查运算求解能力，求解时注意求出 的值，属于基础题．
4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是______.
【答案】124
【解析】
【分析】
该程序的功能为利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化
情况，可得答案．
【详解】模拟程序的运行，可得： ， ，
不满足条件 ，执行循环体， ， ，
不满足条件 ，执行循环体， ， ，
不满足条件 ，执行循环体， ， ，
不满足条件 ，执行循环体， ， ，
此时满足条件 ，退出循环，输出 的值为 124．
故答案为：124．
【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于
基础题.
7 9 8 10 95
x+ + + + = x
x
7 9 8 10 95
x+ + + + = 11x =
2 2 2 2 2 21[(7 9) (9 9) (11 9) (8 9) (10 9) ] 25S = − + − + − + − + − =
x
S
0S = 1n =
4n > 1S = 2n =
4n > 6S = 3n =
4n > 27S = 4n =
4n > 124S = 5n =
4n > S5.已知双曲线 的渐近线与准线的一个交点坐标为 ，则双曲线的焦距为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
由双曲线 的渐近线 ， 以及 求得 的值即可得答案．
【详解】由于双曲线 的渐近线与准线的一个交点坐标为 ，
所以 ，即 ①，
把 代入 ，得 ，即 ②
又 ③
联立①②③，得 ．
所以 ．
故答案是：4．
【点睛】本题考查双曲线的性质，注意题目“双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为 ”这一条件
的运用，另外注意题目中要求的焦距即 ，容易只计算到 ，就得到结论．
6.三个小朋友之间送礼物，约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三
人都收到礼物的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
基本事件总数 ，三人都收到礼物包含的 个基本，由此能求出三人都收到礼物的概率．
【详解】给三个小朋友编号分别为 1，2，3，
约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），
基本事件总数为： ，
三人都收到礼物的基本事件为：1 收到 2 号，2 号收到 3 号，3 号收到 1 号；或 1 号收到 3 号，2 号收到 1
号，3 号收到 2 号，共 2 个基本事件，
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > (1, 3)
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2
1ax c
= = 3 b
a
= 2 2 2+ =a b c c
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > (1, 3)
2
1ax c
= = 2c a=
(1, 3) by xa
= 3 b
a
= 3b a=
2 2 2+ =a b c
2c =
2 4c =
(1, 3)
2c c
1
2
32 8n = = 2
32 8n = =则三人都收到礼物的概率 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
7.函数 的极大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求函的定义域，再对函数进行求导，再解不等式得单调区间，进而求得极值点，即可求出函数 的极
大值．
【详解】 函数 ， ，
，
令 得， ，
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减，
当 时，函数 取到极大值，极大值为 .
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，
求解时注意定义域优先法则的应用．
8.已知等比数列 满足 ， ，则该数列的前 5 项的和为______________.
【答案】31
【解析】
设 ， 可化为 ，得 ， ， ，
9.若函数 ，则 的值为______.
2 1
8 4p = =
1
4
ln 1( ) xf x x
−=
2
1
e
( )f x
1( ) lnxf x x
−= (0, )x∈ +∞
2 2
1 ( 1) 2( ) lnx lnxf x x x
− − −′∴ = =
( ) 0f x′ = 2x e=
∴ 2(0, )x e∈ ( ) 0f x′ > ( )f x 2 +( )x e∈ ∞， ( ) 0f x′ < ( )f x
∴ 2x e= ( )f x
2
2
2 2
1 1( ) lnef e e e
−= =
2
1
e
{ }na 2 12 4a a+ = 2
3 5a a=
1
1
n
na a q −= 2
3 5a a= 2 4 4
1 1a q a q= 1 1a = 2 14 2 2a a= − = 2
1
2aq a
= =
5
5
(1 ) 311
q qS q
−= =−
3
2 , 0( )
log , 0
x xf x
x x
− ≤= > 4
1 1[ (log )]3 3f f【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的解析式求出 的值，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，函数 ，
则 ，
则 ；
故答案为： .
【点睛】本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查
运算求解能力．
10.如图，从一个边长为 的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以
虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱
的上底，则所得正三棱柱的体积为______.
【答案】27
【解析】
【分析】
由题意得正三棱柱底面边长 6，高为 ，由此能求出所得正三棱柱的体积．
【详解】如图，作 ，交 于 ， ，
由题意得正三棱柱底面边长 ，高为 ，
所得正三棱柱的体积为：
．
故答案为：27．
1
2
−
4
1(log )3f
3
2 , 0,( )
log , 0.
x xf x
x x
−= >
4 4 2
1(log ) ( log 3) ( log 3) 33f f f= − = − =
4 3
1 1 3 3 1[ (log )] ( ) log3 3 3 3 2f f f= = = −
1
2
−
12
3
AO BC⊥ BC O 2 212 6 6 3AO = − =
6EF = 3h =
∴
1 6 6 sin 60 3 272DEFV S h∆= ⋅ = × × × °× =【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空
间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量．
11.圆心在曲线 上的圆中，存在与直线 相切且面积为 的圆，则当 取最
大值时，该圆的标准方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到直线的距离等于半径，再由均
值不等式可得 的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标准方程．
【详解】设圆的半径为 ，由题意可得 ，所以 ，
由题意设圆心 ，由题意可得 ，
由直线与圆相切可得 ，所以 ，
而 ， ，所以 ，即 ，解得 ，
所以 的最大值为 2，当且仅当 时取等号，可得 ，
所以圆心坐标为： ，半径为 ，
所以圆的标准方程为： .
故答案为： ．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考
查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意验正等号成立的条件.
12.函数 的最大值与最小正周期相同，则 在 上的单调递增
( ),ky x 0 k 0x
= > > 2 1 0x y+ + = 5π k
2 2( 1) ( 2) 5x y− + − =
k
r 2 5rπ π= 5r =
( , )kC a a 0a >
| 2 1|
5
5
ka a r
+ +
= = | 2 1| 5ka a
+ + =
0k > 0a > 5 2 1 2 2 1k ka aa a
= + + ≥ ⋅ + 2 2k≥ k 2≤
k 2 ka a
= 1a =
(1,2) 5
2 2( 1) ( 2) 5x y− + − =
2 2( 1) ( 2) 5x y− + − =
( ) 4cos sin( ) 2( 0)4f x x x
πω ω ω= − + > ( )f x [ 1,1]−区间为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数的辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．
【详解】∵
，
则函数的最大值为 2，周期 ，
的最大值与最小正周期相同，
，得 ，
则 ，
当 时， ，
则当 时，得 ，
即函数 在 ， 上的单调递增区间为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查三角函数的性质、单调区间，利用辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键，同
时要注意单调区间为定义域的一个子区间．
13.在边长为 2 的正三角形 中， ，则 的取值范围为
______.
【答案】
【解析】
【分析】
1 3[ , ]4 4
−
2 2( ) 4cos ( sin cos ) 22 2f x x x xω ω ω= − +
22 2 sin cos 2 2 cos 2x x xω ω ω= − +
2 sin 2 2 cos2x xω ω= −
2sin(2 )4x
πω= −
2
2T
π π
ω ω= =
( )f x
∴ 2
π
ω =
2
πω =
( ) 2sin( )4f x x
ππ= −
1 1x−
5 3
4 4 4x
π π ππ− −
2 4 2x
π π ππ− −
1 3
4 4x−
( )f x [ 1− 1] 1 3[ , ]4 4
−
1 3[ , ]4 4
−
ABC , , 0, 0, 2 1BD xBA CE yCA x y x y= = > > + = CD BE⋅
3( 2, ]2
− −建立直角坐标系，依题意可求得 ，而 ， ， ，故可得
，且 ，由此构造函数 ， ，利用二次函数的性质即可求得
取值范围．
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ，设 ， ， ， ，
根据 ，即 ， ， ，则 ，
，即 ， ， ，则 ， ，
所以 ，
，
， ， ，
，且 ，
故 ，
设 ， ，易知二次函数 的对称轴为 ，
故函数 在 ， 上的最大值为 ，最小值为 ，
故 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能
力、运算求解能力，求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题．
2 2 2 4CD BE xy x y⋅ = + + − 0x > 0y > 1x y+ =
1y x= − (0,1)x∈ 2( ) 2 2 2f x x x= − + − 0 1x< <
( 1,0)A − (1,0)B (0, 3)C 1(D x 0) 2(E x 2 )y
BD xBA=
1( 1x − 0) ( 2x= − 0) 1 1 2x x= −
CE yCA=
2(x 2 3) ( 1y y− = − 3)− 2x y= −
2 3 3y y= − +
1 2 2( 3) ( 1, , )CD BE x x y⋅ = − ⋅ −
1 2 2( 1) 3 (1 2 )( 1) 3( 1) 2 2 2 4x x y x y y xy x y= − − = − − − − − + = + + −
0x > 0y > 1x y+ =
1y x∴ = − (0,1)x∈
22 (1 ) 2 2(1 ) 4 2 2 2CD BE x x x x x x⋅ = − + + − − = − + −
2( ) 2 2 2f x x x= − + − 0 1x< < ( )f x 1
2x =
( )f x [0 1] 1 3( )2 2f = − (0) (1) 2f f= = −
CD BE⋅ 3( 2, ]2
− −
3( 2, ]2
− −14.已知函数 ，对于 ， ，使得 成立，则实数
的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
需先求函数 的值域，再分两步对所要求的条件进行转化．要使 对于
， 时成立，只要 ，而且 ，以
及 对任意 恒成立.
【详解】 ，由 ，得 ，
，即 的值域是 ， ．
①对于 ， ，使得 ，
转化为只要 ，
， ；
对于 ， ， ，
转化为只要 ， ，
解不等式组 ，得 或 ；
②由 对于 恒成立，
，
，
，解得： 或 ；
1
1 2( ) 2 2
x
xf x +
−= +
∀ ∈θ R x R∃ ∈ 2 2cos ( ) sin 1m f x mθ θ− < < + + m
3 2( , 1) ( , )2 2
− − +∞∪
( )f x 2 2cos ( ) sin 1m f x mθ θ− < < + +
∀ ∈θ R x R∃ ∈ 2( ) ( )cos m f xθ − 10 11 2x
< −
2 1
2
3
2
m
m
>
> −
3 2
2 2m− < < − 2
2m >
2 2cos sin 1m mθ θ− < + + ∀ ∈θ R
∴ 2 2cos sin 1m mθ θ− < + +
2 2cos sin cos cos 1 1θ θ θ θ− = + − ≤
∴ 21 1m m< + + 0m > 1m < −故 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查不等式的恒成立和有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能
力、运算求解能力，求解的关键是对人力和存在的理解，正确区分谁是主元、谁是参数.
二、解答题：本大题共 6 小题，15-17 题每题 14 分，18-20 题每题 16 分，共计 90 分.请在答题
卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在平面直角坐标系 中，设向量 ， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，且 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用向量垂直的坐标关系，建立方程，结合正切的倍角公式进行计算即可；
（2）根据向量平行的坐标公式，建立方程进行求解，即可得答案．
【详解】（1）若 ，则 ，
即 ，
即 ，则 ，
则 ．
（2）若 ，则 ，即 ，
得 ，即 ，
m 3 2( , 1) ( , )2 2
− − +∞∪
3 2( , 1) ( , )2 2
− − +∞∪
xOy (1,2sin )a θ= (sin( ),1)3b
πθ= + Rθ ∈
a b⊥ tan 2θ
a // b (0, )2
πθ ∈ θ
5 3
14
−
6
πθ =
a b⊥ sin( ) 2sin 03
πθ θ+ + =
1 3sin cos 2sin 02 2
θ θ θ+ + =
5 3sin cos2 2
θ θ= − 3tan 5
θ = −
2
2 3
2tan 10 3 5 35tan 2 31 28 141 25
tan
θθ θ= = − = − = −+ +
/ /a b 2sin sin( ) 1 03
πθ θ + − = 1 3( sin cos ) 2sin 1 02 2
θ θ θ+ ⋅ − =
2sin 3 cos sin 1 0θ θ θ+ − = 23 cos sin cos 0θ θ θ− =即 ，
， ，
则 ，则 ，即 ，
即 ．
【点睛】本题主要考查向量的应用，结合向量垂直，向量平行的坐标公式，建立方程关系，结合三角函数
的倍角公式进行转化是解决本题的关键，难度不大．
16.如图，在四棱锥 中.
（1）若 平面 ， ，求证：平面 平面 ；
（2）若 ， 为 的中点，当 平面 时，求 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 平面 ，得 ，由 ，得 平面 ，由此能证明平面 平
面 ．
（2）取 中点 ，连结 ， ，由 ，且 ，由 ，得 ，从而
，进而得到四边形 是平行四边形，由此能求出 ．
【详解】（1）证明： 平面 ， 平面 ，
， ， ，
平面 ，
平面 ， 平面 平面 ．
（2）取 中点 ，连结 ， ，
为 的中点， ，且 ，
cos ( 3sin cos ) 0θ θ θ− =
(0, )2
πθ ∈ cos 0θ∴ ≠
3sin cos 0θ θ− = 3sin cosθ θ= 3tan 3
θ =
6
πθ =
P ABCD−
AD ⊥ PAB PB PD⊥ PBD ⊥ PAD
AD // BC E PA BE // PCD AD
BC
2AD
BC
=
AD ⊥ PAB PB AD⊥ PB PD⊥ PB ⊥ PAD PBD ⊥
PAD
PD F EF CF / /EF AD 1
2EF AD= / /AD BC / /EF BC
/ /BE CF EFCB AD
BC
AD ⊥ PAB PB ⊂ PAB
PB AD∴ ⊥ PB PD⊥ AD PD D=
PB∴ ⊥ PAD
PB ⊂ PBD ∴ PBD ⊥ PAD
PD F EF CF
E PA / /EF AD∴ 1
2EF AD=， ， 四边形 是平面图形，
平面 ， 平面 ， ，
四边形 是平行四边形， ，
．
【点睛】本题考查面面垂直的证明、两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基
础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．
17.如图，某市管辖的海域内有一圆形离岸小岛，半径为 1 公里，小岛中心 O 到岸边 AM 的最近距离 OA 为
2 公里.该市规划开发小岛为旅游景区，拟在圆形小岛区域边界上某点 B 处新建一个浴场，在海岸上某点 C
处新建一家五星级酒店，在 A 处新建一个码头，且使得 AB 与 AC 满足垂直且相等，为方便游客，再建一条
跨海高速通道 OC 连接酒店和小岛，设 .
（1）设 ，试将 表示成 的函数；
（2）若 OC 越长，景区的辐射功能越强，问当 为何值时 OC 最长，并求出该最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理可得 与 的三角函数的关系；
（2）由（1）得， 的值，又有 ，所以由余弦定理可得 的表达式，再由三角函数的有界性
求出 的最大值．
/ /AD BC / /EF BC∴ ∴ EFCB
/ /BE PCD CF ⊂ PCD / /BE CF∴
∴ EFCB EF BC∴ =
∴ 2AD
BC
=
(0 π)AOB α α∠ = < <
BAO β∠ = sin β α
α
sinsin
5 4cos
αβ
α
=
− 2 2 1+
sin β α
AB AB AC= OC
OC【详解】（1）在三角形 中，由正弦定理： ，
即 ，而 ， ，所以 ，
由题意可得由余弦定理可得
，
所以 ，所以 ，
所以 ；
（2）∵ ，
∴
所以 的最大值为 ．
【点睛】本题考查三角形中正弦定理和余弦定理的实际应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考
查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意模型化思想和三角函数有界性的应用.
18.如图，在平面直角坐标系 中，点 在椭圆 上，且椭圆的离心率为
.
（1）求椭圆 的标准方程；
AOB sin sin
AB OB
AOB BAO
=∠ ∠
sin sin
AB OB
α β= 2OA = 1OB = 2sin
sinAB
α
β=
2 2 2 2 cos 4 1 2 2 1cos 5 4cosAB OA OB OA OB α α α= + − ⋅ = + − × × = −
5 4cosAB α= − 5 4cos 1
sin sin
α
α β
− =
sinsin
5 4cos
αβ
α
=
−
AB AC=
2 2 2 2 cos(90 )OC OA AC OA AC β= + − ⋅ ⋅ °+
4 5 4cos 2 2 5 4cos sinα α β= + − + × × − ⋅
9 4cos 4sinα α= − +
9 4 2 sin( ) 9 4 24
πα= + + +
OC 2 2 1+
xOy P 3(1, )2
:C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
3
2
C（2）记椭圆的左、右顶点分别为 ，过点 或 作一条直线交椭圆 于 、 （不
与 重合）两点，直线 交于点 ，记直线 的斜率分别为 .
①对于给定的 ，求 的值；
② 否存在一个定值 使得 恒成立，若存在，求出 值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）① ；②存在, .
【解析】
【分析】
（1）结合点在椭圆上和椭圆的离心率可解得 ， ，进而写出椭圆的标准方程；
（2）①利用点斜式写出直线 和 方程分别为 和 ，再分别与椭圆联立，
结合韦达定理，可求得 ， ，然后利用 、 、 三点共线时，任
意两点构成的直线斜率相等来构造等式即可得解，需要注意的是验证 不符合题意；
②联立直线 和 的方程可解得点 ，再利用 、 两点的坐标表示出直线
的斜率 ，然后结合①中得到的结论，计算化简可得到 ，进而得解．
【详解】（1）根据题意 ，离心率 ，解得 ， ，
所以椭圆 的标准方程 ；
（2）①因为椭圆的左、右顶点分别为 ， ，所以 ， ，
因为直线 ， 的斜率分别为 ， ，所以直线 和 的方程分别为 和
，
设 ， 的坐标分别为 ， ， ， ，
联立 得， ，
是
的
1 2,A A ( ,0)( 2B m m < − 2)m > C E F
1 2,A A 1 2,A E A F G 1 2, ,A E A F GB 1 2 3, ,k k k
m 2
1
k
k
k 1 2 3k k kk+ = k
2
2 14
x y+ = 2
1
2
2
k m
k m
+= − − 2k =
2a = 1b =
1A E 2A F 1( 2)y k x= + 2 ( 2)y k x= −
2
1 1
2 2
1 1
2 8 4( , )1 4 1 4
k kE k k
−
+ +
2
2 2
2 2
2 2
8 2 4( , )1 4 1 4
k kF k k
− −
+ + B E F
1 2
1
4k k = −
1A E 2A F 1 2 1 2
1 2 1 2
2( ) 4( , )k k k kG k k k k
− + −
− − B G
BG 3k 2k =
2 2
1 3 14a b
+ = 2
2
31 2
c be a a
= = − = 2a = 1b =
C
2
2 14
x y+ =
1A 2A 1( 2,0)A − 2 (2,0)A
1A E 2A F 1k 2k 1A E 2A F 1( 2)y k x= +
2 ( 2)y k x= −
E F 1(x 1)y 2(x 2 )y
1
2
2
( 2)
14
y k x
x y
= + + =
2 2 2 2
1 1 1(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k+ + + − =则 ，即 ，
解得 ， ，所以 ．
同理可得，点 的坐标为 ．
因为 、 、 三点共线，所以 ，即 ，
化简得 ．
所以 或 ，即 或 ．
当 时，此时点 位于椭圆的上或下顶点，即 、 分别与 ， 重合，与题干矛盾，故舍
去．
综上，对于给定的 ， ．
②由①知直线 和 的方程分别为 和 ，
联立可解得点 的坐标为 ，
因为点 ，所以 ，
化简得 ，
由①的结论可知 ，所以 ，将其代入上式，
化简整理后可得， ，
故存在定值 使得 恒成立，且 ．
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，其中涉及曲直联立、三点共线、两条直线的交点坐标等考点，
1
2
1
1 2
1
16
1 4A
kx x k
−+ = +
2
1
1 2
1
162 1 4
kx k
−− + = +
2
1
1 2
1
2 8
1 4
kx k
−= +
1
1 1 2
1
4( 2) 1 4
ky k x k
= + = +
2
1 1
2 2
1 1
2 8 4( , )1 4 1 4
k kE k k
−
+ +
F
2
2 2
2 2
2 2
8 2 4( , )1 4 1 4
k k
k k
− −
+ +
B E F BE BFk k=
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
4 4
1 4 1 4
2 8 8 2
1 4 1 4
k k
k k
k km mk k
−
+ +=− −− −+ +
1 2 1 2[( 2) ( 2) ](1 4 ) 0m k m k k k+ + − + =
1 2( 2) ( 2) 0m k m k+ + − = 1 21 4 0k k+ = 2
1
2
2
k m
k m
+= − − 1 2
1
4k k = −
1 2
1
4k k = − G E F 1A 2A
m 2
1
2
2
k m
k m
+= − −
1A E 2A F 1( 2)y k x= + 2 ( 2)y k x= −
G 1 2 1 2
1 2 1 2
2( ) 4( , )k k k k
k k k k
− + −
− −
( ,0)B m
1 2
1 2
3
1 2
1 2
4
2( )
k k
k kk k k mk k
−
−= − + −−
1 2 1 2 34 [( 2) ( 2) ]k k m k m k k= + − −
2
1
2
2
k m
k m
+= − −
2 1
1 2
2( )k km k k
−= +
1 2 32k k k+ =
k 1 2 3k k kk+ = 2k =计算量特别大，考查学生分析问题的能力和运算能力，属于难题．
19.已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）函数 在 上的最大值 .
①求 ；
②若过点 可作出曲线 的三条切线，求 的范围.
【答案】（1）见解析；（2）① ；② 或 且 ．
【解析】
【分析】
（1）求 ，令 便得到 ，或 ，所以讨论 和 2 的关系，即判断
和 0 的关系：分 ， ， 三种情况，判断每种情况下的 的符号，从而判断 的单调性；
（2）①对应（1）中的三种情况： ， ， ，判断在每种情况下 在 ， 上的单调性，
根据单调性求函数 在 ， 上的最大值 ；
②要作 的三条切线，则 图象应是曲线，所以 ， ，求 ，
设切点为 ，将切点 代入切线方程，则这个关于 的方程有三个不同的实数根，
再利用导数研究三次方程根的情况，即可求得 的取值范围．
【详解】（1） ，令 得， ，或 ；
若 ，即 ，
，或 时， ； 时， ；
在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减；
若 ，即 ， ，
函数 在 上单调递增；
若 ， ， ，或 时， ； 时， ；
在 ， 上单调递增，在 单调递减；
（2）①由（1）知：
3 21 1( ) ( 1) 3( )3 2f x x a x a R= − − + ∈
( )f x
( )f x [0, ]( 0)a a > ( )g a
( )g a
25( , )3m ( )y g x= m
3 21 3, 6( ) 6
3, 6
a a ag a
a
− + + 4}m ≠
2( ) ( 2)f x x a x′ = − − ( ) 0f x′ = 0x = 2a − a 2a −
2a > 2a = 2a < ( )f x′ ( )f x
2a > 2a = 2a < ( )f x [0 ]a
( )f x [0 ]a ( )g a
( )y g x= ( )g x 3 21( ) 36y g x x x= = − + + 6x < ( )g x′
3 2
0 0 0
1( , 3)6x x x− + + 25( , )3m 0x
m
2( ) ( 2)f x x a x′ = − − ( ) 0f x′ = 0x = 2a −
2a > 2 0a − >
0x∴ < 2x a> − ( ) 0f x′ > 0 2x a< < − ( ) 0f x′ <
( )f x∴ ( ,0)−∞ ( 2, )a − +∞ [0 2]a −
2a = 2 0a − = ( ) 0f x∴ ′
∴ ( )f x R
2a < 2 0a − < 2x a∴ < − 0x > ( ) 0f x′ > 2 0a x− < < ( ) 0f x′ <
( )f x∴ ( , 2)a−∞ − (0, )+∞ ( 2,0)a −当 时， 在 ， 单调递减，在 ， 单调递增；
对于此时的 的最大值比较 ， 即可；
∵ ，
时， ，∴ ；
∵ 时， ，∴ ；
当 时， 在 ， 上单调递增，∴ ；
当 时， 在 ， 上单调递增，∴ ；
∴ ；
②根据题意， ， ，
所以设过点 所作切线的切点为 ， ，斜率为 ；
切线方程为 ，
∵点 在切线上，所以 ，
将上式整理成： ，
则关于 的方程有三个不同的实数根，且 ；
令 ，
则 应有三个不同的零点， ，令 ，则 ，或 ， ，
中一个是极大值，一个是极小值；
时， 是极小值， 是极大值， ；
1) 2a > ( )f x [0 2]a − ( 2a − ]a
∴ ( )f x (0)f ( )f a
3 2 21( ) (0) (1 )6 6
af a f a a a− = − + = −
6a∴ ( ) (0)f a f< ( ) (0) 3g a f= =
2 6a< < ( ) (0)f a f> ( ) ( )g a f a=
2) 2a = ( )f x [0 ]a ( ) ( )g a f a=
3) 2a < ( )f x [0 ]a ( ) ( )g a f a=
3 21 3, 6( ) 6
3, 6
a a ag a
a
− + + − 4x ≠ ( ) 0u x <
( ) 0h m∴ > 2m < − 2m∴ < −
2) 2m > (2)h ( )h m ∴
20(2) 2 03
( ) 0
h m
h m
= − >
10
3m >
( ) 0h m < 2m > − 4m ≠ 10
3m∴ > 4m ≠
m { | 2m m < − 10
3m > 4}m ≠
{ }na 1
4d = { }nb n nT 1 13=a b *n N∀ ∈
1 ( 1)2
n
n nnT b+ = − { }*
2 3| , 3k k km P x a x a k N k− +∈ = < < ∈ , ≥ m kP
1b 2b 6P
nS { }na n 2n n nc S aλ= − 1n nc c +< *( )n N∈ k
*( , 3)k N k∈ ≥ λ kP
nH { }nT n *n N∈ 2 1nH − kP k
1b 2b
1n = { }nb d 1a { }na
1b 2b 6P（2）由题意可得 ，代入等差数列 的通项公式和求和公式，化简整理可得 ，
结合集合中元素的特点，即可得证；
（3）求得 ，2，3，4， 的特点，结合 ，4，5，6，集合的特点，即可得到所求取值．
【详解】（1）设等差数列 的公差 ，数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ，
． ，
可得 时， ，解得 ，
，
，即 ，
，即 ，
解得 ， ，同理可得 ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ，
则 不具有性质 ， 具有性质 ；
（2）设 为数列 的前 项和，若 是单调递增数列，
可得 ，
即为 ，
化为 对 为一切自然数成立，
即有 ，可得 ，
又 ， ，
且 ， ，可得 中的元素大于 ，
则对任意的 ， ，实数 都不具有性质 ．
（3）设 是数列 的前 项和，若对任意的 ， 都具有性质 ，
1 12 2n n n nS a S aλ λ+ +− − { }na 1λ −
1n = 2 1nH − 3k =
{ }na 1
4d = { }nb n nT 1 13=a b *n N∀ ∈
1 ( 1)2
n
n nnT b+ = − *( )n N∈
1n = 1 1 1
1
2T b T+ = − = − 1
1
4b = −
2 2 2 2
1 1 1
4 4 4T b b b+ = = − + + =
3 3 2 3
1 1 1
8 4 8T b b b+ = − = − + + + 2 3
12 8b b+ =
4 4 2 3 4
1 1 1
16 4 16T b b b b+ = = − + + + + 2 3
3
16b b+ =
2
1
4b = 3
1
16b = − 4
1
16b = 5
1
64b = −
6
1
64b = 7
1
256b = − …
2 1
1
4n nb − = −
1 13a b= 1
3
4a∴ = − 1
4d = 4
4n
na
−=
*
6 4 9{ | }(P x a x a k N= < < ∈ 53) { | 0 }4k x x= < kP 1−
*(k k N∈ 3)k λ kP
nH { }nT n *n N∈ 2 1nH − kP由于 ， ，
，
， ， ， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
显然 ，6 不成立，
故所有满足条件的 的值为 3，4．
【点睛】本题考查数列中对新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式的求法，集合的性质和数列的
单调性的判断和应用，考查化简整理的运算能力，属于难题．
21.已知矩阵 ，A 的两个特征值为 ， =3.
（1）求 a，b 的值；
（2）求属于 的一个特征向量 .
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求 ， 的值；
（2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．
【详解】（1）令 ，
于是 ， ．解得 ， .
（2）设 ，则 ，
故 解得 ．于是 ．
1 1 1
1
4H T b= = = − 3 1 2 3
5
16H T T T= + + = −
5 1 2 3 4 5
21
64H T T T T T= + + + + = −
7
21 1 85064 256 256H = − + − = − …
2 1 2 3 2 1n n nH H b− − −= + ( 2)n
3k = 3 1 6
3 1{ | } { | }4 2P x a x a x x= < < = − < <
4k = 4 2 7
1 3{ | } { | }2 4P x a x a x x= < < = − < <
5k = 5 3 8
1{ | } { | 1}4P x a x a x x= < < = − < <
6k = 3 4 9
5{ | } { | 0 }4P x a x a x x= < < = < <
5k =
k
1 4
a b = − A 1 2λ = 2
λ
2
λ α
1a = 2b = 1
1
α =
a b
2( ) ( )( 4) ( 4) 4 01 4
a bf a b a a b
λλ λ λ λ λλ
− −= = − − + = − + + + =−
1 2 4aλ λ+ = + 1 2 4a bλ λ = + 1a = 2b =
x
y
α =
1 2 2 331 4 4 3
x x y x xA y x y y y
α + = = = = − − +
2 3
4 3
x y x
x y y
+ =
− + =
x y= 1
1
α =
【点睛】本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于
基础题．
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，以直角坐标系 的 点为极点， 为极轴，
且取相同的长度单位，建立极坐标系，已知圆 的极坐标方程为 .
（1）求直线 的倾斜角；
（2）若直线 与圆 交于 两点，当 的面积最大时，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）由代入法可得直线 的普通方程，再由直线的斜率公式可得所求倾斜角；
（2）由 ， ， ，可得圆 的直角坐标方程，求得圆心和半径，运用三
角形的面积公式可得 的面积为 ，结合正弦函数的最值，可得 ，
求得圆心 到直线的距离为 1，运用点到直线的距离公式，解方程可得所求值．
【详解】（1）直线 的参数方程为 为参数），
消去 可得直线 的普通方程为 ，
可得直线的斜率为 ，即 为倾斜角），
则倾斜角为 ；
（2）由 ， ， ，
可得圆 极坐标方程 即为 ，即为圆 ，且圆
心 ，半径 ，
的面积为 ，
的
xOy l
1
2
3
2
x a t
y t
= +
=
xOy O Ox
C π2 2 cos( )4
ρ θ= −
l
l C ,A B ABC a
3
π 31 3a = + 1 3−
l
cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2x yρ = + C
ABC∆ 1 | | | | sin2 AC BC ACB⋅ ⋅ ∠ 90ACB∠ = °
C
l
1
2 (
3
2
x a t
t
y t
= +
=
t l 3 3 0x y a− − =
3k = tan 3(α α=
3
π
cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2x yρ = +
C 2 2 cos( )4
πρ θ= − 2 2 2 2x y x y+ = + 2 2( 1) ( 1) 2x y− + − =
(1,1)C 2r =
ABC∆ 1 1| | | | sin 2 2 sin sin2 2AC BC ACB ACB ACB⋅ ⋅ ∠ = × × ∠ = ∠当 ，即 ，即 为等腰直角三角形，
可得 ，即圆心 到直线 的距离为 1，
可得 ，解得 或 ．
【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、参数方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置
关系，方程思想和运算能力，属于基础题．
23.从编号为 1，2，3，4，…，10 的 10 个大小、形状相同的小球中，任取 5 个球.如果某两个球的编号相邻，
则称这两个球为一组“好球”.
（1）求任取的 5 个球中至少有一组“好球”的概率；
（2）在任取的 5 个球中，记“好球”的组数为 X，求随机变量Ｘ的概率分布列和均值 E(X).
【答案】（1） ；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）从 10 个球中任取 5 个球共有 种取法，设事件 表示“至少有一组好球”，则 表示“5 个
球不相邻”，推导出 ，由此能求出任取的5 个球中至少有一组“好球”的概率．
（2）依题意， 的可能取值为 0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期
望 ．
详解】（1）从 10 个球中任取 5 个球共有 种取法，
设事件 表示“至少有一组好球”，则 表示“5 个球不相邻”， ，
任取的 5 个球中至少有一组“好球”的概率为 ．
（2）依题意， 的可能取值为 0，1，2，3，4，
，
，
，
【
sin 1ACB∠ = 90ACB∠ = ° ABC∆
| | 2 2AB r= = C l
| 3 1 3 | 1
1 3
a− − =
+
31 3a = + 1 3−
41
42
5
10 252C = A A
5
6
5
10
1( ) 42
CP A C
= =
X X
EX
5
10 252C =
A A
5
6
5
10
1( ) 42
CP A C
= =
∴ 1 41( ) 1 ( ) 1 42 42P A P A= − = − =
X
5
6
5
10
1( 0) 42
CP X C
= = =
1 2
6 5
5
10
5( 1) 21
C CP X C
= = =
2 1 1 2
6 4 6 5
5 5
10 10
10( 2) 21
C C C CP X C C
= = + =，
，
的分布列为：
0 1 2 3 4
．
【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知
识，考查运算求解能力，是中档题．
24.已知 ，其中 是给定的正整数，且 ，
为常数，设 （ 中的最小值）.
（1）求 、 的值；
（2）求 的通项公式.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1） 时， ．通项公式 ．令 ，1，2，3，可得： ，
， ， ，可得 ，同理可得 ．
（2）由（1）可得：通项公式 ，即可得出 ．
【详解】（1） 时， ．
通项公式 ．
令 ，1，2，3，可得： ， ， ， ．
2 2
6 6
5
10
5( 3) 21
A AP X C
+= = =
1
6
5
10
1( 4) 42
CP X C
= = =
X∴
X
P 1
42
5
21
10
21
5
21
1
42
1 5 10 5 10 1 2 3 4 242 21 21 21 42EX = × + × + × + × + × =
2
0 1 2
1( ) ( 1) 2 2
n
n n
n nf x x x a a x a x a x = + − + = + + + + n 2n ≥
0 1 2, , , , na a a a { }0 1 2min , , , ,n nP a a a a= 0 1 2| |,| |,| |, ,| |na a a a
3P 4P
nP
3
7
8P = 4
15
16P = 2 1
2
n
n nP
−=
3n = 3 31( 1) (2 )2x x+ − + 2 3
1 3(1 2 )k k k
kT x−
+ = − 0k = 0a
1a 2a 3a 3
7
8P = 4P
2
1 (1 2 )k n k k
k nT x−
+ = − nP
3n = 3 3 2 3
0 1 2 3
1( 1) (2 )2x x a a x a x a x+ − + = + + +
3 2 3
1 3 3 3
1( ) (2 ) (1 2 )2
k k k k k k k k
kT x x x− −
+ = − = −
0k = 0
7
8a = 1
3
2a = 2 3a = − 3 7a = −，同理可得 ．
（2）由（1）可得： 的通项公式 ．
∵ （ 中的最小值），
∴当 时，可得 ．
【点睛】本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
3
7
8P∴ = 4
15
16P =
( )nf x 2
1 (1 2 )k n k k
k nT x−
+ = −
{ }0 1 2min , , , ,n nP a a a a= 0 1 2| |,| |,| |, ,| |na a a a
0k = 2 1
2
n
n nP
−=
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