兴宁一中 2020 届中段理科数学试题
一、选择题：每小题 5 分共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解出集合 中的不等式即可
【详解】因为 或
所以
故选：A
【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单.
2.已知向量 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析： ，∴ .
考点：平面向量的坐标运算与模的坐标表示.
3.下列函数中，不满足： 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试 题 分 析 ： A 中 ， B 中 ， C 中
，D 中
考点：函数求值
( ){ }| 1 0A x x x= − ≤ { }| 1xB x e= > A B =
[ )1,+∞ ( )1,+∞ ( ]0,1 [ ]0,1
,A B
( ){ }| 1 0 { | 0A x x x x x= − ≤ = ≤ }1x ≥
{ } { }1 | 0xB x e x x= = >
[ )1,A B = +∞
(1, 3)a = ( 1,0)b = − 2a b+ =
1 2 2 4
2 (1, 3) 2 (-1 0)=( 1, 3)a b+ = + ⋅ − ， 2 2|a+2b|= ( 1) 3 =2− + （ ）
(2 ) 2 ( )f x f x=
( )f x x= ( )f x x x= − ( ) 1f x x= + ( )f x x= −
( ) ( )2 2 2 2f x x x f x= = = ( ) ( )2 2 2 2f x x x f x= − =
( ) ( )2 2 1 2f x x f x= + ≠ ( ) ( )2 2 2f x x f x= − =4.已知函数 ，若 ，则实数 a 等于（ ）
A. B. C. 2 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
由内层开始计算，解方程即可求解.
【详解】 ，
∴ ，
∴ ，解得 .
故选: C.
【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于容易题.
5.已知向量 与 的夹角为 ， ，且 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用 得到 的关系后可得 .
【详解】由题设有 ，故 ，
整理得： 即 ， ，选 B.
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，
.特别地，两个非零向量 垂直的充要条件是 .
( ) 2
2 1, 1
, 1
x xf x
x ax x
+
( )( )0 4f f a=
1
2
4
5
( )0 2f =
( )( ) ( )0 2 4 2f f f a= = +
4 2 4a a+ = 2a =
AB AC
3
π ( )2, 3, ,AB AC AM AB AC Rλ µ λ µ= = = + ∈ AM BC⊥
λ
µ =
1
6 6 1
4 4
0AM BC =
,λ µ 6
λ
µ =
0AM BC =
( )( )· 0AB AC AC ABλ µ+ − =
( )4 9 3 0λ µ λ µ− + + − = 6λ µ= 6
λ
µ =
·a a a=
·cos , a ba b
a b
=
,a b 0a b =
6.等比数列 的各项都是正数，且 ， ， 成等差数列，则 的值是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ， ， 成等差数列求出 ，然后 ，算出即可
【详解】 是等比数列，设其公比为
因为 ， ， 成等差数列
所以 ，即
所以 ，解得
因为数列 的各项都是正数，所以
故选：C
【点睛】本题考查的是等差、等比数列的基本运算，较简单.
7.已知 m，n 为不同的直线，α，β 为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. m⊂α，n∥m⇒n∥α B. m⊂α，n⊥m⇒n⊥α
C. m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β D. n⊂β，n⊥α⇒α⊥β
【答案】D
【解析】
在 A 选项中，可能有 n⊂α，故 A 错误；
在 B 选项中，可能有 n⊂α，故 B 错误；
在 C 选项中，两平面有可能相交，故 C 错误；
在 D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得 D 正确．
故选 D．
{ }na 2a 3
2
a
1a 4 5
5 6
a a
a a
+
+
1 5
2
− 5 1
2
+ 5 1
2
− 5 1
2
+ 5 1
2
−
2a 3
2
a
1a q 4 5
5 6
1a a
a a q
+ =+
{ }na q
2a 3
2
a
1a
1 2 3a a a+ = 2
1 1 1a a q a q+ =
21 q q+ = 1 5
2q
±=
{ }na 1 5
2q
+=
4 5
5 6
1 2 5 1
25 1
a a
a a q
+ −= = =+ +8.已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：依题意，可得 2sinαcosα= ＜0，又 α∈（0，π），于是得 sinα＞0，cosα＜0，sinα-cosα＞0，对所
求的关系式平方后再开方即可．
详解：因为 ，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα= ，∴2sinαcosα= ＜0，又 α∈（0，
π），∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα-cosα＞0，∵（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα= ，∴sinα-cosα=
故选 D．
点睛：本题考查同角三角函数间的关系，判断出 sinα-cosα＞0 是关键，考查运算求解能力，属于中档题．
9.把函数 y＝sin(x＋ )图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将图象向右平移 个单位
长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )
A. x＝－ B. x＝－
C. x＝ D. x＝
【答案】A
【解析】
把函数 y＝sin(x＋ )图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)得 ，再将图象向
右平移 个单位长度得 ，一条对称轴方程为 x＝－ ，
选 A.
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也
必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言.函数 是奇函
数 ；函数 是偶函数 ；函数
是奇函数 ；函数 是偶函数
.
( )0α π∈ ， 2sin cos 2
α α+ = sin cosα α− =
2− 6
2
− 2 6
2
1
2
−
2sin cos 2
α α+ = 1
2
1
2
−
3
2
6
2
π
6
1
2
π
3
π
2
π
4
π
8
π
4
π
6
1
2
πsin(2 )6y x= +
π
3
π π πsin(2( ) ) sin(2 ) cos23 6 2y x x x= − + = − = − π
2
x sin( )( )y A x x Rω ϕ= + ∈
π( )k k Zϕ⇔ = ∈ sin( )( )y A x x Rω ϕ= + ∈ ππ+ ( )2k k Zϕ⇔ = ∈
cos( )( )y A x x Rω ϕ= + ∈ ππ+ ( )2k k Zϕ⇔ = ∈ cos( )( )y A x x Rω ϕ= + ∈
π( )k k Zϕ⇔ = ∈10.设函数 则下列结论错误的是
A. D（x）的值域为{0,1}
B. D（x）是偶函数
C. D（x）不是周期函数
D. D（x）不是单调函数
【答案】C
【解析】
该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性，全面掌握很关键.，C 错误
11.如图，以 为始边作角 与 ，它们终边分别与单位圆相交于 、， 已知点 的坐
标为 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意可得： ，
则
故选
12.若定义在区间 上的函数 满足：对于任意的 ，都有
，且 时，有 ， 的最大值、最小值分别为 、
，则 的值为（ ）
A. 2019 B. 4038 C. 0 D. 1009.5
1( ) {0,
xD x x
= 为有理数 ，为为无理数
Ox α β (0 )β α π< < < P Q P
3 4,5 5
− 30β °= sin( )α β− =
4 3 3
10
+ 4 3 3
10
+ 4 3 3
10
− 4 3 3
10
−
4sin 5
α = 3cos 5
α = −
( ) 4 3 3 1 4 3 3sin sin cos30 cos sin30 5 2 5 2 10
α β α α +− = °− ° = × + × =
A
[ ]2019,2019− ( )f x [ ]1 2 2019,2019x x ∈ −、
( ) ( ) ( )1 2 1 2 2019f x x f x f x+ = + − 0x > ( ) 2019f x < ( )f x M
N M N+【答案】B
【解析】
【分析】
由 算出 、证明 的单调性和得到 即
可.
【详解】令 ，则
所以
令 ，且
则
因为 ，所以
所以 ，即
所以 在 上单调递减
令
由 得
所以
所以
故选：B
【点睛】本题主要考查的是抽象函数单调性的证明，较典型.
二、填空题：每小题 5 分，满分 20 分.
13.函数 定义域为__________．
【答案】
【解析】
要使函数 有意义，则必须 ，解得： ，
的
( ) ( ) ( )1 2 1 2 2019f x x f x f x+ = + − ( )0f ( )f x ( ) ( )1 1 4038f x f x+ − =
1 2 0x x= = ( ) ( ) ( )0 0 0 0 2019f f f+ = + −
(0) 2019f =
1 22019 2019x x− ≤ < ≤ 2 1 0x x t− = >
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 1 2019f x f x f x f x t f x f x f t− = − + = − − +
( )2019 f t= −
0t > ( ) 2019f t <
( )2019 0f t− > ( ) ( )1 2f x f x>
( )f x [ ]2019,2019−
[ ]2 1 2019,2019x x= − ∈ −
( ) ( ) ( )1 2 1 2 2019f x x f x f x+ = + − ( ) ( ) ( )1 10 2019f f x f x= + − −
( ) ( )1 1 4038f x f x+ − =
( ) ( )2019 2019 4038M N f f+ = − + =
6( ) 1 2logf x x= −
(0, 6
( )f x
6
0
1 2log 0
x
x
>
− ≥ 0 6x ≤0 且 a≠1)，y＝sin x，y＝cos x 的定义域均为 R.
(6)y＝logax(a>0 且 a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y＝tan x 的定义域为 .
14.在正项等比数列 中， ， . 则满足 的最大正整数 的
值为
【答案】12
【解析】
【详解】解：设正项等比数列{an}首项为 a1，公比为 q，
由题意可得 ，解之可得：a1 ，q＝2，
故其通项公式为 an 2n﹣6．
记 Tn＝a1+a2+…+an ，
Sn＝a1a2…an＝2﹣5×2﹣4…×2n﹣6＝2﹣5﹣4+…+n﹣6 ．
由题意可得 Tn＞Sn，即 ，
化简得：2n﹣1 ，即 2n 1，
因此只须 n ，（n＞1），即 n2﹣13n+10＜0，
解得 n ，
由于 n 为正整数，因此 n 最大为 的整数部分，也就是 12．
( )f x (0, 6
π{ | π , }2x x k k≠ + ∈Z
{ }na 5
1
2a = 6 7 3a a+ = 1 2 1 2n na a a a a a+ +⋅⋅⋅+ > ⋅⋅⋅ n
( )
4
1
5
1
1
2
1 3
a q
a q q
=
+ =
1
32
=
11 232
n−= × =
( )
5
1 1 2 2 132
1 2 2
n
n− −= =−
( )11
22
n n−
=
( )11
2
5
2 1 22
n nn −− ＞
21 11 52 22 n n− +
＞
21 11 52 22 n n− +− ＞
21 11 52 2n n− +＞
13 129
2
− ＜ 13 129
2
+＜
13 129
2
+故答案为 12
【考点定位】等比数列的性质，考查分析转化能力、计算能力.较难题.
15.曲线 在点（0，2）处 切线与直线 和 围成的三角形的面积为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导，求 ，写出切线方程，与 y=0,y=x 联立求交点的坐标，即可求面积.
【详解】∵ ，∴ ，∴切线的斜率 ，且过点（0，2），∴切线为 ，
∴ ，∴切线与 x 轴交点为（1，0），与 的交点为 ，∴切线与直线 和 围
成的三角形的面积为 .故答案为
【点睛】本题考查了导数的几何意义，在某点处的切线，属于基础题.
16.已知函数 与 的图像上存在关于 轴对称的点，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得：存在 ，使得 成立，然后可化为 ，然后求出右边对应函数的
值域即可
【详解】由题意可得：存在 ，使得 成立
即
所以 ，所以
所以
令 ，易得 在 上单调递增
当 时 ，
所以 的值域为
的2 1xy e−= + 0y = y x=
1
3
( )0f ′
2 1xy e−= + 22 xy e−= −′ 0 2xk y =′= = − 2 2y x− = −
2 2y x= − + y x= 2 2,3 3
0y = y x=
1 2 112 3 3S = × × = 1.3
( ) ( )2 1 02
xx ef x x= + − < ( ) ( )2 lng x x x a= + + y
a
( ), e−∞
0x < ( ) ( )f x g x= − 1
2
xe
a e x
−= +
0x < ( ) ( )f x g x= −
( ) ( )22 1 ln2
xx e x x a+ − = − + − +
( )1 ln2
xe x a− = − + 1
2
xe
x a e
−− + =
1
2
xe
a e x
−= +
( ) ( )1
2 0
xe
m x e x x
−= + < ( )m x ( ),0- ¥
x → −∞ ( )m x → −∞ ( )0m e=
( )m x ( ), e−∞所以实数 的取值范围是
故答案为：
【点睛】若方程 有根，则 的取值范围就是 的值域.
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.已知数列 的前 项和为 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 中，令 ， ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1） ，
∴当 n=1 时， 1 分
又当 时， 3 分
所以 4 分
（2）∵ ，∴ ， 6 分
8 分
，∴ 12 分
考点：本题考查求数列的通项公式，数列求和
点评：解决本题 关键是（1）注意考虑 n=1 的情况；（2）数列求和的方法要掌握，错位相减法，注意计
算
18.在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ， ， 成等差数列.
（1）若 ， ，求 ；
（2）若 ， ， 成等差数列，试判断 的形状.
的
a ( ), e−∞
( ), e−∞
( )a f x= a ( )f x
nS ( )2 4 4,nS n n n N ∗= − + ∈
{ }nb
1, 1
{ 5 , 22
n n
n
b a n
=
= + ≥ nT = 2 3
1 2 32 2 2 2n
nb b b b+ + +⋅⋅⋅+ nT
1
1, 1{2 5, 2n n n
na S S n n−
== − = − ≥
1( 1)2 2n
nT n += − +
2 4 4nS n n= − +
1a = 1 1S =
2n ≥ 1 2 5n n na S S n−= − = −
1
1, 1{2 5, 2n n n
na S S n n−
== − = − ≥
1, 1
{ 5 , 22
n n
n
b a n
=
= + ≥ nb n=
2 31 2+2 2 +3 2 + + 2n
nT n= × × × ×
2 3 4 12 1 2 +2 2 +3 2 + +( -1) 2 + 2n n
nT n n += × × × × ×
1( 1)2 2n
nT n += − +
ABC∆ A B C a b c A B C
1a = 3b = sinC
a b c ABC∆【答案】（1） （2）等边三角形
【解析】
【分析】
（1）由 ， ， 成等差数列得 ，然后由正弦定理算出 即可
（2）由 ，得 ，再结合 可推出 ，进而得出 是等
边三角形
【详解】（1）由 ， ，得 .
由 ，得 ，得 .
又 ，∴ ，∴ ，∴ .
（2）由 ，得 ，又
得 ，得 ，∴ .
∴ ，又 ，∴ .
所以 是等边三角形.
【点睛】本题考查的是正余弦定理，属于常见题型.
19.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面 ABCD,PA=3,AD=2,AB=2 ,BC=6.
(1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P-BD-A 的大小.
【答案】(1)见解析;(2)60°.
【解析】
分析：（1）由 PA⊥平面 ABCD，知 BD⊥PA．由 tan∠ABD= = ，tan∠BAC= = ，知∠ABD=30°，
∠BAC=60°．由此能够证明 BD⊥平面 PAC．（2）连接 PE，由 BD⊥平面 PAC，知 BD⊥PE，BD⊥AE．所以∠AEP 为
二面角 P﹣BD﹣A 的平面角，由此能够求出二面角 P﹣BD﹣A 的大小．
详解：（1）∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD．
.
sin 1C =
A B C 3B
π=
6A
π=
2b a c= + 2 2 24 2b a ac c= + + 2 2 2b a c ac= + − a c= ABC∆
A B C π+ + = 2B A C= +
3B
π=
sin sin
a b
A B
=
1 3
sin 3
2
A
= 1sin 2A =
0 A B< <
6A
π=
3 6 2C
π π ππ= − − = sin 1C =
2b a c= + 2 2 24 2b a ac c= + + 2 2 2b a c ac= + −
2 2 2 24 4 4 2a c ac a ac c+ − = + + ( )23 0a c− = a c=
A C= 2
3A C
π+ =
3A C B
π= = =
ABC∆
3
AD
AB
3
3
BC
AB 3∴BD⊥PA．
∵tan∠ABD= = ，tan∠BAC= = ，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴∠AEB=90°，即 BD⊥AC．
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面 PAC．
（2）连接 PE，
∵BD⊥平面 PAC，∴BD⊥PE，BD⊥AE．
∴∠AEP 为二面角 P﹣BD﹣A 的平面角．
在 Rt△AEB 中，AE=ABsin∠ABD= ，
∴tan∠AEP= ，
∴∠AEP=60°，
∴二面角 P﹣BD﹣A 的大小为 60°．
点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的证明和二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平
和空间想象能力计算能力.(2) 二面角的求法方法一：（几何法）找 作（定义法、三垂线法、垂面法）
证（定义） 指 求（解三角形）,方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量 ；再代入公式
（其中 分别是两个平面的法向量， 是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察
二面角的大小选择“ ”号）
20.已知圆 的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为 ， .
（1）求圆 的方程；
（2）若过点 的直线 与圆 有且只有一个公共点，求直线 的方程.
【答案】（1） （2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）由题意得 就是圆 的直径，然后算出圆心和半径即可
（2）设出直线的方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解即可
【详解】（1）由题意得 就是圆 的直径
AD
AB
3
3
BC
AB 3
3
3AP
AE
=
→ →
→ → ,m n
•cos m n
m n
α = ±
,m n α
±
C ( )1, 1A − ( )3,5B
C
( )2,0M − l C l
( ) ( )2 22 2 10x y− + − = 3 6 0x y− + = 3 2 0x y+ + =
AB C
AB C所以圆心 ，半径 ，
所以圆 的方程为 .
（2）显然直线 不可能垂直 轴，
设直线 的方程为 ，因为直线 与圆 有且只有一个公共点，
所以圆心到直线的距离 ，
解得 或 .
所以直线 的方程为 或 .
【点睛】直线与圆的位置关系常用几何法判断，即圆心到直线的距离与半径作比较.
21.已知函数 ( )=In(1+ )- + ( ≥0)．
(Ⅰ)当 =2 时，求曲线 = ( )在点(1， (1))处的切线方程；
(Ⅱ)求 ( )的单调区间．
【答案】（I） （II）见解析
【解析】
【详解】（I）
（II）
当 时， 得单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
当 时， 得单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .
当 时 得单调递增区间是 .
( )2,2C 10R AC= =
C ( ) ( )2 22 2 10x y− + − =
l x
l ( )2y k x= + l C
2
2 2 2 10
1
k kd
k
− += =
+
3k = 1
3k = −
l 3 6 0x y− + = 3 2 0x y+ + =
f x x x 2
2
x x k
k y f x f
f x
3 2 2ln 2 3 0x y− + − =
3 2 2ln 2 3 0x y− + − =
0k = ( )f x ( 1,0)− (0, )+∞
0 1k< < ( )f x ( 1,0)− 1( , )k
k
− +∞ 1(0, )k
k
−
1k = ( )f x ( 1, )− +∞当 时， 得单调递增区间 和 ，单调递减区间是
22.已知函数 .
（1）试确定函数 的零点个数；
（2）设 ， 是函数 的两个零点，证明： .
【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由 得 ，然后利用导数求出 的单调性即可
（2）设 ，设 ，然后利用导数可得 在 递增，
，即 ，进而可得 ，即 ，再由
的单调性即可得到 .
【详解】（1）由 得 ，令 ，
函数 的零点个数即直线 与曲线 的交点个数，
∵ ，
由 得 ；由 得 ，
∴函数 在 单调递增，函数 在 单调递减.
∴当 时，函数 有最大值， ，
又当 时， ， ，当 时， ，
∴当 时，函数 没有零点；
当 或 时，函数 有一个零点；
当 时，函数 有两个零点.
（2）由（1）知 ，不妨设 ，设 ，
∴ ，
是1k > ( )f x 1( 1, )k
k
−− (0, )+∞ 1( ,0)k
k
−
( ) ( ) ( )2 xx e a Rf x a= − + ∈
( )f x
1x 2x ( )f x 1 2 2x x+ <
( ) 0f x = ( )2 xa x e= − ( ) ( )2 xg x x e= −
1 21x x< < ( ) ( ) ( )( )2 1F x f x f x x= − − > ( )F x ( )1,+¥
( ) ( )1 0F x F> = ( ) ( )2f x f x> − ( ) ( )2 22f x f x> − ( ) ( )2 12f x f x− <
( ) ( )f x g x a= − + 1 2 2x x+ <
( ) 0f x = ( )2 xa x e= − ( ) ( )2 xg x x e= −
( )f x y a= ( ) ( )2 xg x x e= −
( ) ( ) ( )2 1x x xg x e x e x e= − + − = −′
( ) 0g x¢ > 1x < ( ) 0g x¢ < 1x >
( )g x ( ),1−∞ ( )g x ( )1,+¥
1x = ( )g x ( ) ( )max 1g x g e= =
2x < ( ) 0g x > ( )2 0g = 2x > ( ) 0g x <
a e> ( )f x
a e= 0a ≤ ( )f x
0 a e< < ( )f x
0a > 1 21x x< < ( ) ( ) ( )( )2 1F x f x f x x= − − >
( ) ( ) 22 x xF x x e xe −= − +由于 ，又易知 是减函数，
当 时，有 ，又 ，得 ，
所以 在 递增， ，即 .
由 得 ，又 ，
∴ ，
由 在 上单调递增，得 在 单调递减，
又 ，∴ ，即 .
【点睛】含参函数的零点问题首选的方法是分离变量法，转化为两个函数的交点问题.
( ) ( )( )21 x xF x x e e−′ = − − 2 x xy e e−= −
1x > 2 0x xe e e e− − < − = 1 0x− < ( ) 0F x′ >
( )F x ( )1,+¥ ( ) ( )1 0F x F> = ( ) ( )2f x f x> −
2 1>x ( ) ( )2 22f x f x> − ( ) ( )2 10f x f x= =
( ) ( )2 12f x f x− <
( ) ( )2 xg x x e= − ( ),1−∞ ( ) ( )f x g x a= − + ( ),1−∞
22 1x− < 2 12 x x− > 1 2 2x x+
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