第 5 讲 实数的计算
实数：
无限不循环小数叫做无理数；______和_______统称为实数。
1、下列说法：①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④所有有理
数都可以用数轴上的点表示；⑤数轴上所有点都表示有理数；⑥所有实数都可以用数轴上的点表示；⑦数
轴上所有点都表示实数，其中正确的是______________
2、下列各数： ，3.1415926， ，-8， ，0.6，0， ， ，其中无理数有:_________
3、 的相反数_________；| |=________
4、比较大小：-π，-3，- 的大小顺序用“＜”连接为_________________
5、如图，数轴上表示 1， 的对应点分别是 A、B，且 AC=AB，则 C 点表示的数是多少?
练习：如图所示，数轴上表示 2 和 的对应点分别是 C、B，点 C 是 AB 的中点，则点 A 表示的数为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知数轴上 A，B 两点，且这两点间的距离是 4 ，若点 A 在数轴上表示的数为 3 ，则点 B 表示的
数为____________。
实数的运算
1、化简
(1) (2) (3)
2、计算
(1) (2)|x-1|= (3)（2x-1）2-25=56
7
22 7 3 2 36 3
π
32 − 32 −
3
2
5
25 − 52 −
54 − 45 −
2 2
33|73| +− 33 2764|64| −−−+− |23||32||21| −+−+−
64)1x2( 3 −=− 3
(4) (5)
3、已知 是 的一个算术平方根， 是平方根等于本身的数， 是 的整数部分，求
的平方根.
4、已知一个正数的平方根是 2a-2 和 -a+5，求这个数的算术平方根。
5.已知|x|= ， ，|y-x|=x-y，求 x，y 的值。
实数
1.把下列各数分别填在相应的集合中：
有理数集合：______________________无理数集合：_______________________
2.下列说法正确的有___________________①无限小数都是无理数，②带根号的数都是无理数，③有理数都
是有限小数，④实数不是有理数就是无理数，⑤两个有理数的和与积都是无理数，⑥有理数与无理数分别
平方后不能相同，⑦负数没有立方根
3.实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简： 。
4.无理数和有理数、无理数运算、结果的情况
24-|3||33||22| ）（ππ +−+−−− )323(|32| −−−
3− a b c 32 cba 22 ++
5 3y2 =
14.3,32.0484.0-04-212
11- 33
••
、π、、、、、、
222 )ba(ba −+−
（1）如果 其中 为有理数，那么 ； ；
（2）如果 其中 为有理数，求 的值.
练习：设 x、y 为有理数，且 x、y 满足等式 ，求 x+y 的值。
5.已知 是 的立方根，而 是 的相反数，且 ，求 与 的平方和的立方
根.
6.实数 在数轴上的位置如图所示，化简：
7.已知 2a-1 的平方根是±3，3a+b-1 的平方根是±4，求 a+2b 的算术平方根。
8.已知|x-2y+1|+ =0，且 =4，求 的值。
练习：1、|3-π|+ =_________ 2、绝对值小于 的整数有________个
3、 有下列说法（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正
无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示。 其中正确的说法的是___________
4、 的平方根是_______, 若 和 都有意义，则 的值是_______
( ) ,0322 =++− ba ba, =a =b
( ) ( ) ,52122 =−−+ ba ba, ba 2+
2417y2y2x2 −=++
ba mx += m 3 6−= by x 73 −= am x y
ba, .25 −+− ba
3y − 3 z 3 33 zyx ++
24- ）（π 11
( )20.7− a a− a
4. 9 的算术平方根是 ；平方根是 ； 的相反数是 ，绝对值是 。
6.一个正方形的面积变为原来的 m 倍，则边长变为原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的 n
倍，则棱长变为原来的 倍。
7. –1 的立方根是 , 9 的立方根是
8.若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 。
9. ； ； = .
10．若 和 都是 5 的立方根，则 = ， =
11、（- ）2 的平方根为 x，64 的立方根为 y，则 x+y 的值为_______。
12、-8 的立方根与 4 的平方根的和是___________。
13、在有理数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“※”如下：当 m≥n 时，m※n=n2；当 m＜n 时，
m※n=m，则当 x=-2 时，（1※x）x-（-3x※x）的值为_____________
综合题
14、计算：
(1) （2）（x+1）2=81
（3）x2 = 17； （4）x2 = 0 （5）
15、已知 a 为 的整数部分，b-1 是 400 的算术平方根，求 。
16、A= 是 9 的算术平方根，B= ，求 A+2B 的立方根。
17、已知 ，且 x＜y，求 x+10y 的平方根。
25 −
=− 2)4( =−3 3)6( 2)196(
2 1 5b+ 3 1a − a b
9
）（ 3- 2-2-32-3 +
− 121
49
6 2 2 1 3 6− + − − −
17 ba +
2a2 b5a2− + 3 b2a3 −−
4y4x2 == ，
练习：若|a|=2， =3，且 a+b＜0，则 a-b=________2b
第 5 讲 实数的计算参考答案
实数：
有理数，无理数
1、②④⑥ 2、 ， ， 3、 ； 4、-π＜-3＜-
5、2- 练习：C 6、 7 或﹣
实数的运算
1、化简 (1) (2) 7 (3) 1
2、计算
(1) (2) (3) x=5 或-4 (4) (5) 2
3、±2 （提示：由题可得：a=3，b=0，c=5， =4， ）
4、 8
5、x= ，y= （提示，由题可得：x=± ，y2=3，x≥y）
实数
1.有理数集合： 无理数集合：
2.④⑥
3. -2a
4.（1） 2； -3； （2）
（提示： ）
练习：1 或-9
5. 2 6. 7.±3 8. 6
练习：1、1 2、7 3、（2）（4） 4、±0.7 ；0 5、3；±3； ； 6、
7、 -1； ； 8、 0 或±1 9、4；-6；196 10、6；1 11、1 或 7 12、 0 或-4
13、-12
综合题
14、计算：（1）0 （2）8 或-10 （3） （4） （5）
15、 5 16、-1
17、±4 练习：1 或 5
7 3 2 3
π
23 − 3-2 3
2 2 2
327 +
2
3x −= 13x13x +−=+= 或 23 −
cba 22 ++ 24 ±=±
5 3± 5
14.3,32.0804-12
11- 3
••
，，，，
44.0-23 π，，
=a =b 3
5−
( ) ( ) 0ba5,b-2a0,b)a(2ba25b2ba2a2,5b21a22 =+=∴=++−=+−+=−−+ ，
b-a-25 +
25 +− 25 +− 3 n;m
3 9
2-1- 17±
7
11± 4-62
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