人教版七年级数学下册《平行线的构造模型及综合》同步练习

第 3 讲 平行线的构造模型及综合 命题： 例：如图，有下列三个条件：①DE∥BC:②∠1=∠2；③∠B=∠C. (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题，请 你都写出来； (2)请你就其中的一个真命题给出推理过程。 平移： 1.小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型如图 1 所示,那么他们用的铁丝( ) A、一样多 B、小明的多 C、小华的多 D、不能确定 2.如图，第 1 个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第 2 个，第 3 个图案可以看作是第 1 个 图案经过平移而得，那么第 4 个图案中有白色六边形地面砖______块，第 n 个图案中有白色地面砖 __________ 块． 3.如图，将 Rt△ABC 沿 AB 方向平移得到 Rt△DEF，已知 BE=6，EF=8，CG=3，求阴影部分的面积。 探究：夹在平行线间的折线问题，平行线的构造：“铅笔”型，“M”型，过拐点作已知直线的平行线。 例 1．已知：如图，AC∥BD，折线 AMB 夹在两条平行线间． 判断∠M，∠A，∠B 的关系； (1) (2) 例 2.如图所示,已知 AB∥CD,分别探讨下面的四个图形中∠APC 与∠PAB﹑∠PCD 的关系,请你从所得关系 中任意选取一个加以说明。 (1) (2) 练习：1.如图 1 所示，将含有 30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若 ∠1=35°，则∠2 的度数为   ． 2.如图 2 所示是汽车灯的剖面图,从位于 O 点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线 BA,CD 都是水平线, 若∠ABO=α,∠DCO=60∘,则∠BOC 的度数为（ ） A.180∘−α B. 120∘−α C. 60°+α D. 60∘−α 3.如图 3，AB∥CD，∠B=115°，∠C=45°，则∠BEC 的度数为__________°． 图 1 图 2 图 3 例 3：如图 3-1，已知：AB∥CD，点 E，F 分别在 AB，CD 上，且 OE⊥OF． （1）求证：∠1＋∠2＝90°； （2）如图 3-2，分别在 OE，CD 上取点 G，H，使 FO 平分∠CFG，EO 平分∠AEH，求证：FG∥EH． 例 4：如图 4，a∥b，∠2＝∠3，∠1＝40°，则∠4 的度数是 度． 例 5：如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°，求证：AB∥EF: E DC BA 4 3 2 1 b a 图 4 H G A B C D O E F 1 2 图 3-2图 3-1 2 1 F E O DC BA 练习：1.如图 AB∥CD，∠B=∠C，求证：BE∥CF。 2.如图，如果 AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE 等于(  ) A．∠2－∠1 B．∠1＋∠2 C．180°－∠2＋∠1 D．180°－∠1＋∠2 3.如图，AB∥CD，则下列等式成立的是（ ） A. ∠B+∠F+∠D=∠E+∠G B.∠E+∠F+∠G=∠B+∠D C. ∠F+∠G+∠D=∠B+∠E D. ∠B+∠E+∠F=∠G+∠D 4．如下图，AB∥DE，那么∠BCD＝( )． A.∠2－∠1 B.∠1＋∠2 C.180°＋∠1－∠2 D.180°＋∠2－2∠1 平行线与折叠：（角度计算） (第 2 题图) 第 3 题图 第 4 题图 D' C' G F E D C B A 1. 一张对边互相平行的纸条折成如图所示，EF 是折痕，若 ，则① ② ③ ④ 以 上结论正确的有 ．（填序号） 2.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论： (1)∠1＝∠2； (2)∠3＝∠4； (3)∠2＋∠4＝90°； (4)∠4＋∠5＝180° 其中正确的个数是( )． A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，已知射线 CD∥AB，∠C=∠ABD=110°，E，F 在 CD 上，且满足∠EAD=∠EDA，AF 平分∠CAE. （1）求∠FAD 的度数； （2）若向右平行移动 BD，其它条件不变，那么∠ADC：∠AEC 的值是否发生变化？若变化，找出其 中规律；若不变，求出这个比值； （3）在向右平行移动 BD 的过程中，是否存在某种情况，使∠AFC=∠ADB？若存在，请求出∠ADB 度 数，若不存在，说明理由. °=∠ 32EFB °=∠ 32' EFC °=∠ 148AEC °=∠ 64BGE °=∠ 116BFD 作业： 1．如图，已知直线 AB、CD 相交于 O，OE⊥AB，∠1＝25°，则∠2＝______°，∠3＝______°，∠4＝ ______°. 2．如图直线 l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝34°，那么∠2 的度数是______． (第 1 题) (第 2 题) (第 4 题) 3．王强从 A 处沿北偏东 60°的方向到达 B 处，又从 B 处沿南偏西 25°的方向到达 C 处，则王强两次行 进路线的夹角为______度． 4．如图，AB∥CD，BC∥ED，则∠B＋∠D＝______． 5.如图所示，直线 AB，CD，EF 交于点 O，OG 平分∠BOF，CD⊥EF，∠AOE＝70°，求∠DOG 的度数. 6.有一条长方形纸带，按如图所示方式沿 AB 折叠，若∠1＝64°，求图中∠3 的度数． O G F E D C BA 7.已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠3．求证：AC∥DE 8．已知：如图，CD⊥AB 于 D，DE∥BC，EF⊥AB 于 F，求证：∠FED＝∠BCD． 第 3 讲 平行线的构造模型及综合答案 命题： 解：(1)一共能组成 2 个命题，它们是：题设：①②，结论：③；题设：①③，结论：②； (2)情况一题设：①②，结论：③； 证明：如图,∵DE∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C. 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C； 情况二题设：①③，结论：②； E DCB A 4 32 1 证明：如图,∵DE∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C. 又∵∠B=∠C， ∴∠1=∠2. 平移： 1.A 2. 18，4n+2 3. 39 探究： 例 1．(1)∠M+∠A+∠B=180° （2）∠M=∠A+∠B 例 2.如图所示,已知 AB∥CD,分别探讨下面的四个图形中∠APC 与∠PAB﹑∠PCD 的关系,请你从所得关系 中任意选取一个加以说明。 解： 图 1:∠APC=∠PAB－∠PCD 延长 BA 交 PC 于 E， ∵AB∥DC， ∴∠PEA=∠C， ∵∠PAE+∠1+∠P=180， ∴∠PAE+∠PAB=180. ∴∠PAB=∠C+∠P； 图 2:∠APC=∠PCD−∠PAB， ∵AB∥DC， ∴∠PEB=∠C， ∵∠PEA+∠A+∠P=180°， ∠PEA+∠PEB=180° ∴∠PEB=∠P＋∠A， ∴∠APC=∠PCD−∠PAB 练习： 1. 25° 2. C 3. 110° 例 3：证明：(1)过点 O 作 OM∥AB, 则∠1=∠EOM， ∵AB∥CD， ∴OM∥CD， ∴∠2=∠FOM， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF=90∘， 即∠EOM+∠FOM=90∘， ∴∠1+∠2=90∘； (2)∵AB∥CD ∴∠AEH+∠CHE=180∘， ∵FO 平分∠CFG，EO 平分∠AEH ∴∠CFG=2∠2，∠AEH=2∠1， ∵∠1+∠2=90∘ ∴∠CFG+∠AEH=2∠1+2∠2=180∘， ∴∠CFG=∠CHE， ∴FG∥EH. 例 4： 40 例 5：过 C 点作 CG∥AB,过点 D 作 DH∥AB,则 CG∥DH， ∵∠B=25°， ∴∠BCG=25°， ∵∠BCD=45°， ∴∠GCD=20°， ∵CG∥HD， ∴∠CDH=20°， ∵∠CDE=30°， ∴∠HDE=10° ∴∠HDE=∠E=10°， ∴DH∥EF， ∴DH∥AB， ∴AB∥EF. 练习：1.略，同例 5 2.C 3. A 4.C G H 平行线与折叠：（角度计算） 1. ①③ 2.D 3.（1）∠FAD=35∘ ∵射线 CD∥AB,∠C=110°， ∴∠CAB=70°，∠BAD=∠EAD， ∵∠EAD=∠EDA， ∴∠EAD=∠BAD= ∠EAB. ∵AF 平分∠CAE， ∴∠FAD=∠FAE+∠EAD = CAB= ×70°=35°； （2）不变。 ∵AB∥CD,∠C=110∘， ∴∠CAB=70∘. 当 BD 向右平移时，∠EAD 增大， ∠CAB 不变， ∵∠EAD=∠EDA，∠AEC=∠EAD+ ∠EDA， ∴∠ADC:∠AEC=1:2； （3）存在 ∠BAD=∠EAD=∠EDA=x°， ∵由(1)知∠FAD=35°， ∴∠AFC=x°+35°. ∵AB∥CD,∠ABD=110°， ∴∠BDC=70°， ∴∠ADB=70°−x°， ∵∠AFC=∠ADB， ∴x+35=70−x, 解得 x=17.5， ∴∠ADB=70°−17.5°=52.5°. 作业： 1. 155°，25°，65° 2. 56° 3. 35° 4.180° 5. 55° 6. 57° 7.证明：∵∠1=∠2 ， ∴AB∥FC ，∴∠A=∠4 ∵∠A=∠3 ， ∴∠3=∠4 ，∴AC∥DE 8．证明：∵CD⊥AB 于 D，EF⊥AB 于 F，∴∠EFD=∠CDB=90°，∴EF∥CD， ∴∠FED=∠EDC ∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB ，∴∠FED＝∠BCD 2 1 2 1 2 1